Exercícios - Cálculo IV - Aula 12 - Semana
09/11 - 13/11
Séries de Fourier
1 Introdução às Séries de Fourier
Uma série de Fourier é uma série do tipo s(x) = a0 2 + +∞ X n=1 ancos(nx) + +∞ X n=1 bnsin(nx)
em que {an} e {bn} são sequências numéricas reais. As sequências {an} e
{bn} são chamadas de coe cientes de Fourier da série.
De forma geral, vamos inicialmente estudar os seguintes problemas e suas consequências:
1) Qual tipo de função pode ser escrita como uma série de Fourier? 2) Dada uma função f : I → R como encontrar seus coe cientes de Fourier?
3) Quais propriedades (contínua, derivável, integrável, etc) tem uma série de Fourier?
Para iniciar esse estudo vamos lembrar alguns resultados do cálculo e da álgebra linear.
Deste ponto em diante vamos estar considerando que as funções estarão
de nidas em intervalos simétricos pela origem do tipo I = [−L, L] ou (−L, L) ou R, para algum L > 0. Em outras palavras, isso signi ca que I tem a propriedade
de simetria:
x ∈ I ⇒ −x ∈ I.
Por exemplo, os conjuntos [−1, 1], (−π, π), ou R têm essa propriedade. Para veri car isso no intervalo [−1, 1] lembre que [−1, 1] = {x ∈ R : |x| ≤ 1}. Logo,
por de nição, x ∈ [−1, 1] se e somente se |x| ≤ 1. Portanto, se x ∈ [−1, 1] temos que | − x| = |x| ≤ 1 e segue que −x ∈ [−1, 1].
De nição. Seja I um intervalo simétrico pela origem e f : I → R uma função. Diremos que:
(i) f é par se, para todo x ∈ I temos que f(−x) = f(x);
(i) f é ímpar se, para todo x ∈ I temos que f(−x) = −f(x). Em partic-ular, f(0) = 0.
Exercício. Para cada função abaixo considere que seu domínio seja al-gum intervalo simétrico pela origem I. Mostre que:
i) as funções g0(x) = c-constante, g1(x) = |x|, g2 = x2 e g(x) = cos(x) são
funções pares.
ii) as funções h1(x) = x, h2(x) = x3, h3(x) = sin(x) são funções ímpares.
iii) se f e g forem funções pares, então f.g e f + g são também funções pares.
iv) se f e g forem funções ímpares, então f.g é uma função par e f + g é uma função ímpar.
v) se f for par e g for ímpar, então f.g é função ímpar.
Observação. Considerado o sistema de coordenadas retangulares xOy no plano cartesiano, obtemos geometricamente que o grá co de uma função par é simétrico com respeito ao eixo Oy, e da função ímpar é simétrico com relação a origem (0, 0).
Exercício. Dada f : [−L, L] → R uma função contínua. a) Se f for par, então
Z L −L f (x)dx = 2 Z L 0 f (x)dx;
b) Se f for ímpar, então Z L
−L
f (x)dx = 0.
Vamos lembrar também as seguintes fórmulas trigonométricas que vão ser importantes:
Exercício. Mostre que:
c) 2 cos(α). cos(β) = cos(α + β) + cos(α − β). Em particular, 2 cos2(α) =
d) 2 sin(α). sin(β) = cos(α − β) − cos(α + β). Em particular, 2 sin2(α) =
1 − cos(2α);
Utilize essas fórmulas trigonométricas para resolver o seguinte exercício. Exercício. Nos problemas abaixo considere que p e q são inteiros posi-tivos: a)Z 2π 0 cos(px)dx = 0, b) Z 2π 0 sin(px)dx = 0, c)Z 2π 0 cos(px) cos(qx)dx = 0, se p 6= q π, se p = q d)Z 2π 0 sin(px) sin(qx)dx = 0, se p 6= q π, se p = q
***** Lembrete da Álgebra Linear *****
Considere o intervalo J = [−L, L], para algum 0 < L ≤ ∞. Vamos lem-brar da álgebra linear que o espaço vetorial de todas as funções F(J) = {f : J → R} pode ser decomposto como soma direta de dois subespaços ve-toriais F(J) = FP(J ) ⊕ FI(J )em que FP(J ) = {g : J → R, g é função par}
e FI(J ) = {h : J → R, h é função ímpar}. Consequentemente, dada
qual-quer função f ∈ F(J) existem únicas funções g ∈ FP(J ) e h ∈ FI(J )
tal que para cada x ∈ J segue que f(x) = g(x) + h(x). Ou seja, a função pode ser escrita de forma única como soma de uma função par e uma função ímpar.
*********************** Suponha que uma série de Fourier s(x) = a0
2+ P+∞
n=1ancos(nx)+
P+∞
n=1bnsin(nx)
seja convergente em todo ponto de um intervalo simétrico pela origem I, logo podemos de nir a função s : I → R, x 7→ s(x). Além disso, vamos assumir que no mesmo intervalo I as séries a0
2 + P+∞
n=1ancos(nx) e P +∞
n=1bnsin(nx)
também sejam convergentes.
Então, a série s(x) pode ser decomposta como soma de duas séries: uma série de funções pares a0
2 + P+∞
n=1ancos(nx),e uma série de funções ímpares
P+∞
n=1bnsin(nx).
seguir.
2 Coe cientes de Fourier da série
Dada uma função f(x) = a0
2 + P+∞
n=1ancos(nx) +
P+∞
n=1bnsin(nx). Como
podemos encontrar os coe cientes de Fourier an e bn?
Exercício. Considere que a série de Fourier f(x) acima possa ser in-tegrada termo a termo. Mostre que an =
1 π
Z π
−π
f (x) cos(nx)dx para todo n ≥ 0, e bn =
1 π
Z π
−π
f (x) sin(nx)dx, n ≥ 1. (Dica: se tiver dúvidas assista a vídeo aula 3/5 da semana).
Exemplo. Encontre a série de Fourier da função f : [−π, π] → R, f (x) = x. Vamos lembrar que f é uma função impar, logo an = 0para todo
n ≥ 0. Então, basta calcular os coe cientes bn =
1 π
Z π
−π
x sin(nx)dx, para todo n ≥ 1. Usando integração por partes conclua que bn =
2(−1)n+1 n e, consequentemente, a série de Fourier de f(x) = x para x ∈ [−π, π] é dada por s(x) = +∞ X n=1 2(−1)n+1 n sin(nx).
Exemplo. Encontre a série de Fourier da função f : [−π, π] → R, f (x) = x2. Lembre que sendo f agora uma função par, então b
n = 0 para
todo n ≥ 1. Resta encontrar os coe cientes an, n ≥ 0. Por cálculo direto
obtemos que a0 =
2π2
3 e an =
4(−1)n
n2 , n ≥ 1, portanto a série de Fourier de
f é dado por s(x) = π 2 3 + +∞ X n=1 4(−1)n n2 cos(nx).
3 Convergência da série de Fourier
De nição. Seja f : [a, b] → R uma função. Diremos que f é C1 por partes,
se existir uma partição P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} de [a, b], tal que
para cada subintervalo (xi−1, xi), i = 1, . . . , nas funções f, f
0
: (xi−1, xi) → R
O resultado abaixo mostra condições su cientes para a convergência da série de Fourier para uma certa classe de função.
Teorema de convergência pontual de uma série de Fourier. Sejam f : [−π, π] → R uma função e P = {−π = x0 < x1 < · · · < xn = π} uma
partição do intervalo [−π, π], no qual f é C1 por partes e limitada. Suponha
que nos pontos xi ∈ P os limites laterais de f sejam nitos. Então, a série
de Fourier s(x) de f satisfaz:
1) f(x) = s(x) para cada x ∈]xi−1, xi[,
2) para cada xi ∈ P = {−π = x0 < x1 < · · · < xn = π} temos que
s(xi) = limx→x+ i f (x) + limx→x − i f (x) 2 ,
3) A série de Fourier s(x) é 2π-períodica em R; ou seja, existe um p > 0 tal que s(x + p) = s(x), para todo x ∈ R.1
Vamos esclarecer abaixo alguns pontos do Teorema de convergência a partir de alguns exemplos.
Exemplo. As funções f(x) = cos(x), g(x) = sin(x) são 2π-periódicas, e a função h(x) = cos(2πx) é 1-periódica.
Exemplo. A função f : [−π, π] → R, f(x) = |x| é claramente C1 por
partes, visto que nos subintervalos ] − π, 0[ a função é dada por f(x) = −x, e em ]0, π[ a função é f(x) = x. Além disso, a função é limitada em [−π, π] pois |f(x)| ≤ π. Faça o grá co para comprovar essas a rmações.
Vamos encontrar a série de Fourier de f e para isso vamos calcular os coe- cientes de Fourier. Sendo f uma função par segue que bn= 0,para todo n ≥
1. Por outro lado, a0 =
1 π Z π −π |x|dx = 2 π Z π 0 xdx = 1 πx 2 π 0 = π. Além disso, para todo n ≥ 1 segue que an =
2 π
Z π
0
x cos(nx)dx,e fazendo integração por partes obtemos a seguinte primitivaZ x cos(nx)dx = 1
n{x sin(nx) + 1
ncos(nx)}+ C, para C-constante. Concluímos que
an= 2 nπ{x sin(nx)+ 1 ncos(nx)} π 0 = 2 nπ{ (−1)n n − 1 n} = 0, n par, − 4 πn2, n ímpar.
Portanto, a série de Fourier de f(x) = |x| em [−π, π] é s(x) = π 2 − 4 π +∞ X n=1 cos((2n − 1)x) (2n − 1)2 .
Aplicando o Teorema da convergência pontual temos que s(0) = limx→0+f (x) + limx→0−f (x)
2 = 0.
Da série de Fourier temos que 0 = s(0) = π 2 − 4 π +∞ X n=1 1 (2n − 1)2, e concluímos que +∞ X n=1 1 (2n − 1)2 = π2 8 .
Exercício. Encontre a série de Fourier das funções abaixo no intervalo [−π, π]. i) g(x) = x2. ii) h(x) = ( 1, 0 ≤ x < π; 0, − π ≤ x < 0 .
Exercício. Determine a soma das séries: iii) +∞ X n=1 (−1)n+1 n2 , iv) +∞ X n=1 1 n2.
