Aula 2 - Tensão Normal e de Cisalhamento.
A - TENSÃO NORMAL MÉDIA
1. Exemplo 1.17 - A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC, como
mostra a figura 1.17a. Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão normal média em cada haste.
Resp: 𝝈𝑩𝑨= 𝟖, 𝟎𝟓 𝑴𝑷𝒂 𝝈𝑩𝑪 = 𝟕, 𝟖𝟔 𝑴𝑷𝒂
2. Ex. 1.34 A coluna está submetida a uma força axial de 8 kN no seu topo. Supondo
-se que a -seção transversal tenha as dimensões mostradas na figura, determinar a tensão normal média que atua sobre a seção a-a.
3. Determinar a tensão normal de compressão mutua (ou tensões de “contato” ou tensão
de “esmagamento") da figura ao lado, entre:
a) o bloco de madeira de seção 100 mm x120 mm e a base de concreto 500 mm x 500 mm.
b) a base de concreto e o solo.
Resp.: a) 3333 kPa ; b) 160 kPa
4.Uma caixa d’água de fibra de vidro com capacidade para 2.000 L será
colocada a uma altura de 3,75 m. Para sua sustentação, deverá ser construído um suporte com quatro colunas e uma pequena laje. As colunas tem diâmetro de 0,20 m e a laje será de concreto com 0,10 m x 1,5 m x 1,5 m. Calcule a tensão em cada coluna, quando a caixa d’água estiver cheia.
Dados: densidade da água igual 1kg/L e g = 9,81 m/s2, peso específico
do concreto c = 25 kN/m3 e massa da caixa d’água vazia = 60 kg.
Resp: 205.577,26 kPa
5. O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal definido por EDB.
A = 1,8 MPa
A = 1,2 MPa
B = 0,6 MPaB - Tensão de Cisalhamento
6. Um rebite é usado para unir duas chapas de
aço, conforme a figura ao lado. O diâmetro do rebite é de 6 mm e o esforço cortante é de 10 kN. Qual a tensão de cisalhamento no rebite?
7. Uma placa é fixada a uma base de madeira por meio de três parafusos
de diâmetro 22 mm e submetida a uma carga P = 120 kN, conforme mostra a figura ao lado. Se a placa tiver uma espessura de 3 cm e for de material que possua tensão de 10 MPa, qual deverá ser a
distância mínima do furo até a borda da placa?
Resp.: LR = 67 mm
8. A escora de madeira mostrada na figura a seguir está suportada por uma haste de
aço presa na parede. Para o carregamento indicado na figura, determine:
a) o diâmetro mínimo da haste, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é de adm = 55 MPa;
b) o menor valor d para escora com aproximação de 0,5 cm, para que a haste não corte a escora, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é de adm = 2,5 MPa;
R: a) d = 10,76 11,0 mm b) d = 100 mm
9. Um engenheiro, propõe emendar duas tábuas para formar um elemento comprido,
submetido a tração, utilizando 4 parafusos de diâmetro de 12 mm, e duas placas de aço, conforme mostra a figura.
a) Se a tensão de cisalhamento média experimentada por cada parafuso for 91,4 MPa, qual será o valor da
carga de tração P suportada pelas tábuas?
b) Se em vez de usar parafusos, o engenheiro utilizasse cola para prender as duas tábuas, qual seria o valor da tensão cisalhamento média nas juntas coladas, para uma força trativa P = 8,4 kN?
c) Se as tábuas tiverem uma espessura de 4,2 cm e for de material que possua tensão de 10 Mpa e submetida a uma carga P = 60 kN, qual deverá ser distância mínima do furo até a borda da tábua?
10. A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC. Se P = 15 kN, determine a
tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos em A, B e C. Todos os pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 18 mm.
A = 324 MPa
B = 324 MPa11. Determine a área da seção transversal exigida para o elemento BC e o diâmetro
exigido para o pino B se a tensão normal admissível for σadm = 21 MPa e a tensão de
cisalhamento for
adm = 28 MPa.12. Ex 1.48. A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 425 N.
Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvidas nas fibras da madeira, orientadas ao longo da seção a-a a 15° em relação ao eixo da prancha.
Resposta: = 15,2 kPa = 56,6 kPa
13. A barra mostrada na figura abaixo, tem área de seção transversal quadrada com
40 mm de profundidade e largura. Uma força axial de 800 N é aplicada ao longo do eixo que passa pelo centroide da área da seção transversal da barra. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem no material ao longo do:
a) plano de seção a-a, b) plano de seção b-b.
Resp.: a) = 500 kPa,
= 0 ; b) = 375 kPa, = 217 kPa
C - TENSÃO ADMISSÍVEL
14 - Determinar o valor máximo da força P a que está
submetida a peça de madeira abaixo. Dados: E = 8 GPa, R = 10 MPa e FS = 2
15 – Dimensionar uma peça de madeira, cuja seção é quadrada conforme esquema
abaixo. Dados: E = 8 GPa, e = 5 MPa e FS = 2
Resp.: A = 400 cm2
16. Um eixo vertical é suportado por um colar de escora
sobre uma placa de apoio (ver figura). Determinar a carga axial máxima que pode ser aplicada ao eixo, se a tensão média de corte no colar e a tensão média entre o colar e a placa são limitadas, respectivamente por 40 MPa e 65 MPa.
Resp.: 314,16 kN
17. Um parafuso de 20 mm de diâmetro é apertado contra uma peça de madeira
exercendo–se uma tensão de tração de 120 MPa (ver figura). Calcular a espessura “e” da cabeça do parafuso e o diâmetro externo “d” da arruela. Dados: as tensões admissíveis 50 MPa ao corte no parafuso, e 10 MPa na compressão na madeira.
Resp.: e = 12 mm ; d = 72,11 mm
18. O parafuso de olhal é usado para sustentar a carga de 25 KN.
Determine o diâmetro d e a espessura exigida h do suporte, de forma que a arruela não penetre ou cisalhe o suporte. A tensão normal admissível para o parafuso é adm = 150 MPa e a tensão
de cisalhamento admissível para o material do suporte é adm = 35 MPa.
19. As peças principais de madeira mostradas são emendadas por meio de duas chapas
de madeira compensada, que são inteiramente coladas em toda a extensão da superfície de contato. Sabendo-se que a folga entre as extremidades das peças é de 6 mm e que a tensão de cisalhamento última da cola é de 2,5 MPa, determine:
a) o comprimento L, para que o coeficiente de segurança seja 2,75.
b) o coeficiente de segurança quando L = 180 mm.
c) Resp.: a) L = 146,8 mm ; b) CS = 3,4
20. Ex 1.65 A junta sobreposta do elemento de
madeira A de uma treliça está submetida a uma força de compressão de 5 kN. Determine o diâmetro requerido d da haste de aço C e a altura h do elemento B se a tensão normal admissível do aço é
(adm)aço = 157 MPa e a tensão normal admissível da
madeira é (adm)mad = 2 MPa. O elemento B tem
50 mm de espessura.
Resp.: daço = 5,93 mm ; dmad = 25 mm
21. Calcular o comprimento total de 2 L da ligação de duas peças de madeira, conforme
a figura, e a altura h necessária. Dados: P = 50 kN, b = 250 mm e as tensões admissíveis na madeira são: 0,8 MPa ao corte e 6,5 MPa na compressão.
22. A barra rígida AB mostrada na figura a seguir é sustentada por uma haste de aço AC
de 20 mm de diâmetro e por um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1800 mm2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento
simples. Considerando as tensões de ruptura do aço e do alumínio definidas respectivamente por rup_aço = 680 MPa e rup_alum = 70 MPa, e a tensão de ruptura por
cisalhamento para cada pino for rup_pino = 900 MPa, determine a maior carga P que pode
ser aplicada à barra. Aplique um coeficiente de segurança ou fator de segurança FS = 2.
Resp.: 168 kN
23. A dobradiça da figura ao lado, tem uma articulação com um pino, que deve resistir a
uma força de tração P = 60 kN. Calcule o diâmetro do pino e a espessura mínima da chapa para as tensões admissíveis de 50 MPa ao corte e 120 MPa na tração.
24. Duas vigas de madeira são conectadas por um parafuso em B. Assumindo que as
conexões em A, B, C, e D exercem somente forças verticais nas vigas. Determine o diâmetro do parafuso em B e o diâmetro externo de sua arruela se a tensão admissível do parafuso é σadmp. = 150 MPa e a tensão admissível da madeira é σadmm. = 28 MPa.
Resp.: dP = 6,1 mm; deA = 15,4 mm
25. Considere a estrutura abaixo, construída em barras de aço AB e BC, unidas por
ligações articuladas nas extremidades. As barras têm seção transversal circular, sendo que a seção da barra BC tem um diâmetro de 2 cm e a seção da barra AB tem um diâmetro de 4 cm. Verifique se a estrutura pode suportar com segurança a carga aplicada de 60 kN, aplicada no ponto B. Para verificar a segurança, vai ser utilizado o critério de tensão admissível do material, que no caso do aço pode ser adotado com o valor
adm = 165 MPa, tanto na tração quanto na compressão.26. As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 2 cm2. Determine a
tensão normal média em cada elemento devido à carga. Indicar se a tensão é de tração ou de compressão.
Barra Esforço (kgf) Tensão (kgf/cm2)
AB Tração 13333 6666,7 BC Tração 29333 14666,7 DE Compressão 10667 5333,3 AE Compressão 10667 5333,3 BE Tração 6000 3000 BD Compressão 23333 11666,7
27. As barras AB e BE da treliça mostrada são da mesma liga metálica. Sabe-se que
uma barra de 20 mm de diâmetro desta mesma liga foi testada até a falha e foi registrada uma carga máxima de 150 kN. Usando um coeficiente de segurança igual a 3,2, determine qual o diâmetro necessário para a barra AB e BE.
a) a barra AB; b) a barra BE.
