Curso Matemática Para Concursos II Módulo V. Módulo V. Estamos no Módulo V e você com certeza é um vencedor...

(1)

LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br , quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que sejam resolvidos tais problemas.

Fonte: http://www.solbrilhando.com.br/Lazer_e_Diversao/Cartoons_e_Tiras.htm

Módulo V

Estamos no Módulo V e você com certeza é um vencedor....

Neste Módulo apresentaremos os Sistemas Lineares e a famosa

Regra de Cramer para resolver os Sistemas Lineares.

(2)

Ele é GABRIEL CRAMER

Professor de matemática suíço nascido em Genebra, que publicou a

famosa regra de Cramer para solução de equações (1750), no

Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques. Um dos três

filhos de Jean Isaac Cramer, médico em Genebra, e de Anne Mallet,

foi educado em Genebra e tinha somente 18 anos quando conseguiu

seu doutorado (1722) com uma tese sobre a teoria do som.

Dois anos depois passou a ocupar a cadeira de filosofia da Académie

de Clavin, em Genebra. Como além do brilhante jovem, ainda

disputavam a vaga os talentosos Amédée de la Rive e Giovanni

Ludovico Calandrini, o conselho da universidade resolveu dividir a

cadeira em duas, ficando a de filosofia pura com De la Rive e a de

matemática para Calandrini e o jovem suíço.

Ambos ainda dividiram o assunto de matemática de modo que ele

com geometria e mecânica e Calandrini com álgebra e astronomia

(1724). Depois de dois anos ensinando, foi indicado para um viagem

de aprendizagem pela Europa (1727-1729), onde conheceu os

maiores matemáticos de então, estudando com Johann e Daniel

Bernoulli, Euler, Halley, de Moivre, Stirling, 'sGravesande, Fontenelle,

Maupertuis, Buffon, Clairaut, entre outros.

De volta a Genebra (1729), voltou a ensinar e a publicar trabalhos

científicos em várias entidades como nas Academias de Paris (1734)

e de Berlim (1748/1750/1752) como também na Royal Society de

Londres.

Manteve permanente e extensa correspondência com os principais

matemáticos de sua época, foi eleito Fellow da Royal Society (1749) e

morreu três anos depois, em Bagnols-sur-Cèze, França.

(3)

Sistemas de Equações Lineares

Sistema de equações lineares é qualquer conjunto de equações

lineares.

Exemplo:

Os valores

x

=

1 e

y

=

2 representam a solução do sistema.

Substituindo-se

x

=

1 e

y

=

2 em cada equação, a igualdade é verificada.

Veja:

Dizemos que o par

(1, 2)

é solução do sistema de equação.

Classificação

Um sistema de equações lineares pode ser:

• Possível e determinado: solução única.

• Possível e indeterminado: infinitas soluções.

(4)

Regra de Cramer

A resolução de um sistema de equações lineares através da regra de

Cramer é baseada em determinantes.

Exemplo:

• Determinante principal:

O determinante formado pelos coeficientes das incógnitas:

1

2

1

9

2

1

1 =

−

=

−

△

• Determinantes das incógnitas:

Substitui-se a coluna dos valores conhecidos, nas colunas das incógnitas

x

,

y

e

z

respectivamente:

(5)

• Resposta:

Divide-se cada determinante das incógnitas pelo determinante principal,

obtendo-se

x

,

y

e

z

:

18

2

9 x

x

∆

=

0

9 y

y

=

∆

= =

∆

18

2

9 y

z

=

∆

=

∆

(2;0;2)

1) Resolva os seguintes sistemas utilizando a regra de Cramer:

Soluções:

1)

• determinante principal:

(6)

1 3 1 1 1 3

8 = + + − + + =

△

• determinante das incógnitas:repete-se, após a 3ª linha, a 1ª e a 2ª

linhas:

6 2 6 2 16

x

= + + + =

△

2 6 2 18

24 y

= − + + + =

△

18 2 6 2

8 z

= − + + + = −

△

(7)

Resposta:

x

=

△

y

=

△

z

=

△

16

8 x

=

24

8 y

=

8

8 z

=

−

2 x

=

y

=

3 z

= −

1 (

2 ,

3 ,

−

1 )

12 4 1 3 2 8

6 = − − + + − + = −

△

6 5 1 3 1 10

6 x

= + + + + + − = +

△

(8)

0 y

=

△

6 4 5 3 10 4

6 z

= − − + + − =

△

x

=

△

y

=

△

z

=

△

6

6 x

=

−

0

6 y

=

−

6

6 z

=

−

1 x

= −

y

=

0 z

= −

1 (

−

1 ,

0 ,

−

1 ) Resposta

(9)

3 4 4 2 24 1

24 = − − + + −

+ = −

△

3 4 4 2 24 1

24 x

= − − + + −

+ = −

△

3 2 12 2 12 3

0 y

= − − + + − + =

△

6 12 2 6 12 2

0 z

= + + − − − =

△

x

=

△

y

=

△

z

=

△

24

24 x

=

−

0

24 y

=

−

0

24 z

=

−

1 x

=

y

=

0 z

=

0

(10)

(

1 ,

0 ,

0 ) Resposta

4 6 2 1 3 16

10 = − + + − + − = −

△

15 10 5 40

20 x

= + − −

= −

△

20 10 5 5 10

y

=

− + − =

△

(11)

5 10 15 20

0 z

= − + + −

=

△

x

=

△

y

=

△

z

=

△

20

10 x

=

−

10

10 y

=

−

0

10 z

=

−

2 x

=

y

= −

1 z

=

0 (

2 ,

−

1 ,

0 ) Resposta

2) Discuta o sistema linear

Solução:

1

1 m

m

=

= − −

−

△

0 ≠

△

1

0

1

1 m

m

− − ≠

− ≠

≠ −

0 =

△

(12)

1

0

1

1 m

m

− − =

− =

= −

2

1 2 1

3

1

1 x

=

= − − = −

−

△

2

1

1 m

y

=

△

1 2

3

1

1 y

=

−

= − − = −

△

O sistema será:

- possível e determinado para

m

≠ −

1 - impossível para

m

= −

1 3) O sistema linear

admite uma única solução. Usando a regra de Cramer,

determinar essa solução:

Solução:

4

5 12 10

2

3 =

= − =

△

(

_△

≠

0)

14

5 42 30 12

6

3 x

=

−

=

△

(13)

24 28

4

2

6 y

=

−

= −

△

Então:

x

=

△

y

=

△

6 x

=

y

= −

2 Então, (

6 ,

−

2 ) é a única solução do sistema dado.

4) Discutir e resolver o sistema linear.

Solução:

2

1 4 3

7

3

2 =

= − − = −

−

△

(

_△

≠

0 ), o sistema é possível e determinado.

13

1 26 9

35

9

2 x

=

= − − = −

−

△

35

7

5 x

x

=

−

=

−

=

△

2 13

18 39

21

3

9 y

=

= −

△

(14)

21

7

3 y

y

=

−

=

−

=

△

Então, a única solução do sistema é (

5 ,

3 ).

5) Discutir o sistema linear

Solução:

1

2

1

2 K

K

=

= −

△

• Se

_△

≠

0

2

0

2 K

K

− ≠

− ≠ −

K

≠

2 , o sistema é possível e determinado.

• Se

_△

=

0

2

0

2 K

K

− =

− = −

K

=

2 , devemos calcular

_△

x

e

△

y

.

1

2 2 6

4

3

2 x

=

= − = −

△

(15)

3 1

2 1 3

y

=

= − =

△

Como,

_△

x

≠

e

_△

≠

0 , o sistema é impossível.

Portanto: - para

K

≠

2 , o sistema é possível e determinado;

- para

K

=

2 , o sistema é impossível.

6) Determinar os valores de

a

para que o sistema linear

seja possível e determinado:

Solução:

Para que o sistema seja possível e determinado, deve-se ter:

0 ≠

△

→

3

0

3 a

a

≠

2 2

9

0

9 a

a

− ≠

≠

a

≠

3 e

a

≠ −

3 Logo, o sistema será possível e determinado sempre que

a

≠

3 e

a

≠ −

3 .

7) Para que valores dos coeficientes

a

e

b

o sistema

(16)

Solução:

0 =

△

2

0

1

1 a

a

= − =

a

=

2 No entanto, apenas sabendo que

_△

=

0 não garante que o sistema seja

possível e indeterminado; ele poderá ser, mas também poderá ser

impossível (que não é o caso desejado).

Então, devemos ter:

0 x

=

△

e

_△

y

=

0

0 x

=

△

2

0

1 b

=

2

0

1 b

b

− =

=

y

△

= para

a

=

2 e

b

=

1

2

2 2 2

0

1

1 y

=

= − =

△

(17)

é possível e determinado. Calcular a solução desse sistema:

Solução:

Fazendo

1 m

x

=

e

1 n

y

=

, o sistema toma a forma:

1

3

2

5

2

3

1 9 1

10

1

3

1

3 1 6

5 2 1

=

= − − = −

−

=

= − − = −

−

=

= − = −

△

m n

10

5

2 m

m

∆

=

∆

−

=

−

=

5

1 n

n

=

−

=

−

=

△

(18)

Logo,

1 ,1

2 











é a solução do sistema dado.

Consideremos dois casos:

1

0

caso: o número de equações é maior que o número de incógnitas

(

n

〉

m

).

Exemplo: 1) Resolver o sistema

Solução:

Consideremos um sistema formado por duas equações, de modo que

0 ≠

△

.

1

1 1 2

3

0

2

1 =

= − − = − ≠

−

△

(19)

x

=

△

y

=

△

12

3 x

=

−

3

3 y

=

−

4 x

=

y

= −

1 - Vejamos se ela é, também, solução da 3

a

equação:

x

−

2 y

=

6 (

x

=

4 e

y

= −

1)

4 2( 1)

− − = + =

4 2

6 Logo, o sistema inicial é possível e determinado, com solução =

{

(

4; 1

−

)

}

.

Exemplo: 2) Resolver o sistema

Solução:

1

2

1 =

−

△

2 1

3

0 = − − = − ≠

△

Esse sistema é possível e determinado, e sua única solução é:

3

1 3 9

12

9

1 x

=

= − − = −

−

△

(20)

12

3

4 x

x

=

−

=

−

=

△

1

3

2

9 y

=

△

9 6

3 y

y

= −

=

△

3

1 y

y

=

−

= −

△

Testando

(4

,

−

1)

na 3

a

equação:

x

=

4 e

y

= −

1

2

1 4 2 ( 1)

1 4 2 1

6

1 x

−

y

=

− ⋅ − =

+ =

≠

Então, o par

(4

,

−

1)

não é solução da 3

a

equação:

Logo, o sistema inicial dado é impossível, pois não há um par que seja

solução simultaneamente das três equações, ou seja,

(21)

Exemplo: 3) Resolver o sistema

Solução:

2

4 12 12

0

3

6 −

=

= + − =

−

△

_△

=

0

6

4 36 36

0

9

6 x

=

= − +

=

−

△

2

6 18 18

0

3

9 y

=

−

= + − =

−

△

0 =

△

_△

x

=

0 _△

y

=

0 Então, o sistema dado é possível e indeterminado, e sua solução geral é

obtida através de uma das equações:

2

3

(22)

Logo, Solução =

{

(

− +

3 2 ,

K K

)

}

K

∈

_ℝ

Exemplo: 4) Resolver o sistema

Solução:

1

1 2 2

0

2

2 =

= − =

△

3

1 6 6

0

6

2 x

=

= − =

△

1

3 6 6

0

2

6 y

=

= − =

△

0 =

△

_△

x

=

0 _△

y

=

0 Se verificarmos no sistema

(23)

3 3

0 3 3

3 1

9 8

1

0 8 3

1 3

8 9

1

0 3 8

=

= − =

=

= − = ≠

=

= − = − ≠

△

x

y

Logo, esse sistema é impossível.

→

Se não existe solução para esse sistema, o mesmo se pode dizer para

o sistema inicial dado:

Solução =

0

2

0

caso: o número de equações é menor que o número de incógnitas

(

n

〈

m

).

Um sistema desse tipo (

n

〈

m

) nunca será possível e determinado, pois,

para se obter um sistema

n n

×

a partir dele, uma das incógnitas terá valor

indeterminado.

Exemplo: Resolver o sistema

Solução:

(24)

1

1 3 2

5

2

3 =

= − − = −

−

△

1 3

1 3 9

2

4

5

2

4

3 +

=

= − −

− +

= −

−

△

x

K

1 1 3

10

2 2 4

K

y

K

+

=

= −

−

△

x

=

△

y

=

△

5

5 K

x

=

−

10

5 K

y

=

−

1 x

= +

K

y

=

2 K

A solução geral é:

{

(

K

+

1; 2 ;

K K

)

}

→

Existem casos em que as equações são equivalentes, como por

exemplo:

Se dividimos a 1

a

(25)

Se dividimos a 2

a

equação por 3, teremos:

3

2

3 x

−

y

+

z

=

Logo, o sistema é possível e indeterminado, e a sua solução geral será:

y

=∝

e

z

=

β

2

6

4

6

2

6

4 3 3

2 β

β

α

β

− ∝ +

=

= + ∝ −

= +

−

x

Logo,

{

(

3 3

+ ∝ −

2 , ,

β

∝

β

)

}

.

→

Existem casos em que o sistema é impossível:

Se dividirmos a 1

a

equação por 2, teremos:

3

2

3 x

−

y

+

z

=

Se dividirmos a 2

a

equação por 3, teremos:

3

2

5 x

−

y

+

z

=

Comparando as duas igualdades, verificamos que o sistema é impossível.

(26)

Exemplo:

Resolver o sistema

0

2

4

0 x

y

z

x

y

z

− − =





_{+ +}

₌



Esse sistema não é impossível (é homogêneo) e não é determinado (2

equações e 3 variáveis).

Logo, um sistema desse tipo se afirma que é possível e indeterminado.

1

1 1 2

3

0

2

1 −

=

= + = ≠

△

1

4

3

4

1 K

x

K

−

=

= −

−

△

1

4

2

6

2

4 K

y

K

=

= −

−

= −

−

△

x

=

△

y

=

△

3

3 K

x

=

−

6

3 K

y

=

−

x

= −

K

y

= −

2 K

(27)

S

= − −

(

K

, 2 ,

K K

)

Fonte: http://postcards.ig.com.br/index.php?step=sendcard&ec_id=197

Exercícios sobre matrizes

1) Calcule

2 A

+

3 B

para:

a)

1

3

5

4 A

=



_



_





e

1 0

2

3 B

=



_

−



_





b)

1

4

3

7

2

1 A









=

_

_



₋







e

1

3

2

4

3 B

−









=

_

_



₋







(28)

c)

1

2

3

5 1 3

A









=

_

_



₋







e

10

1

7 1 0

3 B

=



_

−



_

−





2) Calcule os seguintes produtos:

a)

1 [

0 2 1 5

]

3  

⋅

−

 

₋

 

b)

(

)

0

2

2 9 1

1

3 1 0









⋅

_

_



₋







Exercícios sobre determinantes

1) Calcule os determinantes abaixo:

a)

2

5

1

7 b)

1

5 a

b

−

c)

1

2

3

9

7

4

2

3

1

(29)

d)

7

3

0

4 −

4

1 2) Para quais valores de

a

e

b

o determinante

2

1

3

2 a

a

b

pode ser zero?

3) Utilize a fórmula

11 12 13 22 23 21 23 21 22 21 22 23 11 12 13 32 33 31 33 31 32 31 32 33

a

=

⋅

−

⋅

+

⋅

para calcular os

determinantes abaixo:

a)

2

5

7

3 1 2

4

7

5 −

b)

1

0

3

2

1 1 4

7 −

c)

2

1

3

1

4 a

b

c

d)

2

1

1 1 0

3 i

j

k

−

(30)

1) Solução:

a)

2 2 2 2

1

3 1 0

2

3

5

4

_×

2

3

_×

−









⋅

_

_

+ ⋅

_

_









=

2 2 2 2

2

6 3 0

10

8

_×

6

9

_×

−









=

_

_

+

_

_









=

2 2

1

6 16 17

_×

−





=

_

_





b)

3 2 3 2

1

4

1

2

3

7

3

2

1

_×

4

3

_×

−

















⋅

_

_

+ ⋅

_

_



₋





₋











=

3 2 3 2

2

8

3

6

14

9

6

4

2

_×

12

9

_×

−

















=

_

_

+

_

_



₋





₋











=

(31)

3 2

15

20

16

11

_×





=

_

_



₋







c)

1

2

10

1

7

2

3

5

3 1 0

3 1 3





−









⋅

_

_

+ ⋅

_

_

=

−







₋







2 3 3 2

2

4

30

3

21

6

10 3 0

9

2

6

_× ×





−









=

_

_

+

_

_

=

−







₋







Não é possível realizar a operação, pois matrizes não são do mesmo tipo.

A

_{3 2}_×

≠

B

_{2 3}_×

2)Solução:

2 4

0

2

1

5

0

6

3

15

_×

−





=

_

_

+

−





= + −

(

0 9 1 4 27 0

+

)

_{1 2}_×

=

(

8 31

)

_{1 2}_×

(32)

Solução

→

exercícios sobre determinantes

1)

a)

2

5 14 5

9

1

7 = − =

det( )

A

=

9 b)

5

1

5 a

b

a b

= − −

−

det( )

B

= − −

5 a b

7 81 16 42 12 18

+ + −

− − =

32 det( )

C

=

32 3 14

− = −

11 det( )

D

= −

11

(33)

2

1

0

3

2 a

a

b

=

2 2 2 2 2

1

2

0

3

2

0

3

2

3 a b

a

a b

a





−

_

⋅

_

=





−

=

−

0

3 =

(

)

2

3

2

0 a

b

− =

2

0 a

=

→

a

=

0

3

2

0

3

2

3 b

b

− =

=

a

=

0 ou

2

3 b

=

3)Soluções:

a)

2

5

7

3 1 2

4

7

5 −

2 1 2

5

3

2

7

3

1

7

5

4

5

4

7 −

−

⋅

− ⋅

+ ⋅

=

(34)

2 (

− −

5 14

)

− ⋅

5 15 8

(

− +

) (

7 21 4

+ =

)

− − +

38 35 175 102

=

b)

1

0

3

2

1 1 4

7 −

1

2

1

0

3

1

4

7 1 7

⋅

− ⋅

−

3

2

3 1 4

+ ⋅

=

−

= − + ⋅

14 4 3 12 2

(

+ = +

)

10 42

=

52 c)

2

1

3

1

4 a

b

c

1 3

2

3 2 1

1 4

3

4 3 1

a

⋅

− ⋅

b

+ ⋅

c

=

= ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − = + −

a

(

4 3

)

b

(

8 9

)

c

(

2 3

)

a b c

d)

2

1

1 1 0

3 i

j

k

−

1

2

1

2

1

0

3 1 3

1 0

i

⋅

− ⋅

j

+ ⋅

k

=

−

i

⋅ − − ⋅ + +

(

3 0

)

j

(

6 1

) (

k

0 1

+ =

)

(35)

4) O produto

M N

⋅

na matriz

1

1 M

 

 

=

_{ }

 

 

pela matriz

N

=

(

1 1 1

)

:

a) não se define

b

) é uma matriz de determinante nulo

c) é a matriz identidade de ordem 3

d) é uma matriz de uma linha e uma coluna

e) não é matriz quadrada

3 3

1 1 1

_×





















5) (UESP) Se o determinante da matriz

2

4

1 p

p





















é igual a – 18, então o

determinante da matriz

1 2

2

4

2

1 p

p

−







₋









₋







é igual a:

a) -9 b) -6 c) 3 d) 6

e

) 9

(36)

Solução:

Foi dividida por (-2) a 2

a

coluna da 1

a

matriz, então

18

9

2 − =

−

.

Fonte: www.nilsonamadeu.com