Unidade II. Unidade II. Introdução

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Revisão: Elaine - Diagr

amação: Fabio - 09/05/1

1 -||- 2ª Revisão: Elaine - Corr

eção: Fabio -1

1/05/20

11 // 3ª Revisão - Elaine - Corr

eção: Már cio - 23/05/20 11

Unidade II

5 EQUAÇÕES Introdução

A resolução de problemas matemáticos está sempre associada à lógica. Isso quer dizer que você tem que usar raciocínio lógico quando analisa os problemas a serem resolvidos. Para que a matemática possa ajudá-lo a solucioná-los, você deve construir o que chamamos de uma sentença matemática. O primeiro passo para resolver um problema é construir a sentença matemática em que aparece pelo menos um elemento que você desconhece: o resultado. Na linguagem matemática temos uma maneira de escrever por meio de símbolos.

Linguagem e matemática

Sentença em português: Sentença matemática:

cinco somado a 8 5 + 8

três vezes cinco 3 x 5

o dobro de um número 2 x X

Note que quando desconhecemos o valor do elemento utilizamos uma letra para representá-lo; no exemplo acima, usamos o x para representar esse elemento. Esse elemento desconhecido recebe, na linguagem matemática, o nome de variável ou incógnita.

Utilizando essa linguagem, qualquer pessoa que a conheça, no Brasil, Japão, China etc. pode resolver o problema.

Uma equação pode ser comparada a uma balança de dois pratos, isto é, deve manter o equilíbrio. O conteúdo de cada lado deve ser equivalente. Assim, o símbolo de igualdade “=” é usado para separar os dois lados da equação que se assemelham aos pratos da balança. Outro elemento importante em uma equação é a resposta ao problema representado na equação. Para representar o valor desconhecido usamos uma letra qualquer, por exemplo, x. Assim, você pode escrever uma equação desta forma:

4x + 4 = 28

Note que a sentença matemática diz: quatro vezes x mais quatro é igual a vinte e oito. A letra x representa a variável ou incógnita.

Podemos notar que toda equação tem:

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eção: Már

cio - 23/05/20

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• Um sinal de igualdade, denotado por =.

• Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda. • Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

4 x + 4 = 28

1º membro sinal de igualdade 2º membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação. Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

4x + 42 = 28 Equação original 4x + 4 - 4 = 28 - 4 Subtraímos 4 dos dois membros

4x = 24 Dividimos por 4 os dois membros

x = 6 Solução

Muito importante: quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os

membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Esse processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

5.1 Equações do 1º grau

Deﬁnição

Uma equação é deﬁnida como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.

Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação do 1º grau signiﬁca achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.

Na forma simples de entender a solução de equação do 1º grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Dessa forma, os números ﬁcam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.

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eção: Már cio - 23/05/20 11 a) Determine o valor do X: 4x – 12 = 8 4x = 8 + 12 4x = 20 x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}

b) Qual o valor da incógnita x?

2 – 3.(2 - 4x) = 8 2 – 6 + 12x = 8 12x = 8 - 2 + 6 12x = 6 + 6 x = 12/12 x = 1 V = {1}

Outros exemplos de equações de 1º grau:

x + 5 = 10 5x – 3 = 28 3x + 12 = 4 2x – 4 = 0 10 + 4.(5.4x) = 5 – (x + 8)

Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do 1º grau, sempre colocamos de um lado as incógnitas e de outros os números para que se tenha assim a solução da equação. Ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.

Lembrete

Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.

A constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)

Observe: Para a ≠ 0 e b ≠ 0, temos: x = -b/a S = {-b/a} Para a ≠ 0 e b = 0, temos: x = 0/a S = {0}

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Agora, se a constante “a” for igual = 0 (a = 0), temos:

b ≠ 0 e x = -b/0 V = {0}

Assim é possível notar que quando a constante “a” for igual a zero (a = 0), temos “a” conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero.

V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.

Ainda se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação: b = 0

0x = 0 V = R

Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.

Incógnita com valor negativo

Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer de o coeﬁciente que estiver acompanhando a variável ser um número negativo (-).

Caso isso ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), eliminando assim o sinal negativo.

Veja alguns exemplos:

a) 4x – 2 = 6x + 8

Reduzindo os termos: 4x – 6x = 8 + 2 -2x = 10

Veriﬁque que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeﬁciente, tem o valor negativo (-), e então multiplicam-se os termos da equação por (-1).

Assim, temos aos valores: -2x = 10 (-1)

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Veriﬁque, então, que após multiplicar os termos por (-1) temos o coeﬁciente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.

x = -10/2 >> x = -5

Como o valor de x = -5, então V = {-5}

Observação:

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual se colocam os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro, é apenas uma forma prática. Veja o que realmente ocorre:

Repare: 2x + 4 = 8

Adicionamos (-4) a ambos os lados, a ﬁm de deixarmos o valor de 2x “separado”. Veja o que acontece:

2x + 4 - 4 = 8 - 4 2x = 4

x = 2 V={2}

Saiba mais

As equações do 1º grau que vimos neste item permitem resolver muitos problemas apresentados na vida cotidiana. Veja deﬁnições e exemplos em:

<http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-1-deﬁnicao.jhtm>.

<http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-2-resolucao.jhtm>.

<http://educacao.uol.com.br/matematica/equacao-de-1-grau-3-problemas.jhtm>. Acesso em: 08 maio 2011.

5.2 Equações do 2º grau

As equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

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Denominamos equação do 2º grau toda equação do tipo ax²+bx+c com coeﬁcientes numéricos a,

b e c com a ≠ 0. Exemplos:

Equação a b c

x²+4x+1 1 4 1

-2x²+3x-2 -2 3 -2

Observe a equação e os coeﬁcientes a, b e c separados.

As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. São chamadas de incompletas se um dos coeﬁcientes (b ou c) for nulo.

Resolução da equação do 2º grau incompleta: Caso 1: b=0

A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução: x²-9=0 ⇒ x²=9 ⇒ x= ⇒ x=

Note que o coeﬁciente b não está presente.

Caso 2: c=0

A equação do 2º grau é incompleta, veja a resolução: x²-9x=0 basta fatorar o fator comum x

x(x-9)=0 ⇒ x=0,9

Note que o coeﬁciente c não está presente.

Caso 3: b=c=0

2x²=0 ⇒ x=0

Note que os coeﬁcientes b e c não estão presentes.

Resolução da equação do 2º grau completa:

As equações do 2º grau completas são do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bhaskara.

A fórmula quadrática de Bhaskara, Sridhara

O fundamento usado para obter essa fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do 2º grau.

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Seja a equação: a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeﬁcientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bhaskara: Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros: 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquerdo e substituímos o lado direito (b²-4ac) por (delta), temos então: (2ax+b)² =

2ax+b = 2ax=-b

Temos então a fórmula de Bhaskara:

Vamos agora usar a fórmula de Bhaskara para resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula: = e

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Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) -x²+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4

∆ = b2_{- 4ac = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0}

Substituindo na fórmula de Bhaskara: » x=2

Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais (∆ = 0).

3) 5x²-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5

∆ = b2_{- 4ac = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64}

Note que ∆ < 0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo: V = ∅ V = ∅ (conjunto vazio).

As equações do segundo grau podem ser representadas no plano cartesiano. Essa representação tem a forma de uma parábola.

Gráﬁco da função:

Lembre-se: a é o coeﬁciente do x2_(ax2_).

Como podemos observar, a parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo, depende o valor do coeﬁciente a.

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Coeﬁciente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima. Coeﬁciente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo.

A função do 2º grau pode ter três resultados possíveis, chamados raízes. Esses resultados dependem do valor de ∆. Fazendo f(x) = 0 podemos calcular essas raízes pela formula de Bháskara. Lembrando que: ∆ = b2 _{- 4ac}

Quando ∆ > 0

A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos, como podemos ver abaixo:

Quando ∆ = 0

A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

Quando ∆ < 0

A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

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Exemplos de aplicação

1) A soma das idades de André e Célio é 24 anos. Descubra as idades de cada um deles sabendo-se

que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução: primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

c + a = 24 c + (c - 4) = 24 2c - 4 = 24 2c - 4 + 4 = 24 + 4 2c = 28 c = 14

Resposta: Célio tem 14 anos e André tem 14-4=10 anos.

2) O levantamento da população de duas cidades revelou que a população de uma delas, que

chamaremos de cidade A, é o triplo da população da outra, chamada de cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Resolução: identiﬁcaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a

letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma podemos escrever:

a + b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3) Uma casa com 260m2_{de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de}

cada quarto se as outras dependências da casa ocupam 140m2_?

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eção: Már cio - 23/05/20 11 3x + 140 = 260 3x = 260 -140 3x = 120 x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2_.

4) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

x + (x + 1) + (x + 2) = 393 3x + 3 = 393

3x = 390 x = 130

Você pode veriﬁcar que os números procurados são: 130, 131 e 132.

5) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20 d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2_{+ 12} e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 f) 4x (x + 6) - x2_{= 5x}2 Resposta a: 18x = 65 + 43 18x = 108 x = 108/18 x = 6 Resposta b: 23x = 14 - 17x + 16 23x + 17x = 30 40x = 30 x = 30/40 = 3/4 Resposta c: 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20 5y - 6y = -26 + 5 -y = -21 y = 21

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eção: Már cio - 23/05/20 11 Resposta d: x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12 2x² + 6x = 2x² + 12

Diminuindo 2x² em ambos os lados: 6x = 12 x = 12/6 = 2 Resposta e: [2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20 2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x -6x - 6 = 15 - 5x -6x + 5x = 15 + 6 -x = 21 x = -21 Resposta f: 4x² + 24x - x² = 5x² 4x² - x² - 5x² = -24x -2x² = -24x

Dividindo por x em ambos os lados: -2x = - 24

x = 24/2 = 12

6) Determine um número real “a” para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6 6 (3a + 6) = 8 (2a + 10) 18a + 36 = 16a + 80 2a = 44

a = 44/2 = 22

7) Resolva as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0) b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Resposta a:

(20 - 8x) / 4x = x/4x 20 - 8x = x

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eção: Már cio - 23/05/20 11 -8x = x – 20 -8x - x = -20 -9x = -20 x = 20/9 Resposta b: 3bx = 7bx + 3bc - 6bc 3bx - 7bx = -3bc -4bx = -3 bc x = (3bc/4b) x = 3c/4 Saiba mais

Veja um exemplo de resolução de equação do segundo grau no site abaixo:

<http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-2-grau.htm>. Acesso em: 08 maio 2011.

6 FUNÇÕES 6.1 Conceito

Em matemática, uma relação é apenas um conjunto de pares ordenados. Se utilizamos { } como o símbolo para o “conjunto”, temos abaixo alguns exemplos de relações entre pares ordenados:

• {(0, 1), (55.22), (3, - 50)} • {(0, 1), (5, 2), (- 3, 9)}

• {(- 1,7), (1, 7), (33, 7), (32, 7)}

Por vezes podemos identiﬁcar, em várias situações práticas, variáveis que estão em relação de dependência. Aqui, buscamos explicitar situações que envolvam essa relação de dependência, determinando, assim, suas variáveis.

Essa identificação será baseada em parte da teoria de conjuntos vista na unidade I. Lá, verificamos que podemos relacionar números por meio de relações gráficas em um plano cartesiano, números que, de maneira geral, são chamados de x e y pelos matemáticos.

Apesar de amplamente rejeitado, em diversos momentos de nosso dia a dia empregamos o conceito de função, até sem perceber.

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Exibiremos a seguir algumas situações do nosso cotidiano nas quais podemos destacar tais relações funcionais.

Quando completamos rapidamente o cálculo do valor de um lanche em que pedimos dois salgados e um refrigerante, não sabemos imediatamente quanto iremos gastar?

Ao completarmos uma previsão de gastos residenciais e compará-los com a renda familiar, saberemos se teremos condições de adquirir um bem?

Ao finalizarmos um crediário e verificarmos que o valor final terá um acréscimo de determinada soma, poderemos aceitar ou não os juros propostos pela empresa.

Ao calcularmos a quantidade de material necessária para uma reforma, poderemos estimar os gastos iniciais?

É fato que o conceito de função, juntamente com sua representação gráﬁca, é a ferramenta matemática mais potente na formatação de problemas empresariais, motivo que nos levará a estudá-lo de modo amplo. Além disso, deve-se exercitar continuamente, pois o gestor precisa tomar decisões constantemente, amparado por ferramentas matemáticas, para obter o sucesso pretendido. Claramente, em uma relação entre pares ordenados, não há absolutamente nenhuma condição especial que a estabeleça, isto é, qualquer conjunto de números é uma relação, contanto que esses números sejam pares ordenados.

Já para uma função temos condições precisas que deﬁnem sua existência. Ainda assim, funções são um tipo especial da relação.

Vejamos:

Uma relação f: A → B é chamada de função se:

(I) não há elemento x em A sem correspondente y em B (não podem “sobrar” elementos de A); (II) qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (não pode haver elemento de A

“associado” a mais de um elemento de B).

Observação: no entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmo elemento de

B e podem “sobrar” elementos de B.

Outra representação, mais conveniente e muito mais utilizada, é: uma função é uma relação entre duas variáveis x e y, de forma que o conjunto de valores para x seja atribuído e a cada valor x seja associado um e somente um único valor para y, como y = f(x).

Nesse caso:

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As variáveis x e y são nomeadas, simultaneamente, independente e dependente.

A relação entre as variáveis x e y tem uma signiﬁcação de grande apelo visual, que destaca propriedades da função.

Pode-se, por meio da descrição gráﬁca da função, observar diretamente, por exemplo, se as variáveis estão em relação crescente (ou seja, aumento em x associado a aumento em y) ou se a variação de y é dependente quadrática da variação de x, etc.

6.2 Deﬁnição

Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A → B ; y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada x ∈ A esteja

associado um único y ∈ B, podendo, entretanto, existir y ∈ B que não esteja associado a nenhum

elemento pertencente ao conjunto A.

Observação: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está

associado a x por meio da função f. Exemplos:

f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e, portanto, 11 é imagem de 2 pela função f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto, 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3 etc.

Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (domínio e contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e, somente, um elemento do contradomínio.

Quando D(f) (domínio) ⊂ R e CD(f) (contradomínio) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemos que a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma

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função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a deﬁne, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, por exemplo, para a função deﬁnida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R, ou seja, o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se de que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R, já que se y = 1/x, então x = 1/y e, portanto, y também não pode ser zero.

Lembre-se: o símbolo ⊂ signiﬁca “contido em”.

Dada uma função f: A → B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y) ∈ f onde: x ∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico obtido será o da função f. Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que: a) a projeção da curva sobre o eixo dos x nos dá o domínio da função.

b) a projeção da curva sobre o eixo dos y nos dá o conjunto imagem da função.

c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função intercepta o gráﬁco da função em, no máximo, um ponto.

Veja a ﬁgura abaixo, relativa aos itens acima:

6.3 Tipos de funções

6.3.1 Função sobrejetora

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Exemplo:

6.3.2 Função injetora

Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio possuem imagens distintas, isto é:

x₁ ≠ x₂ ⇒f(x₁) ≠ f(x₂)

Exemplo:

6.3.3 Função bijetora

Uma função é dita bijetora quando é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora.

Exemplo:

Exemplos de aplicação

1) Considere três funções f, g e h, tais que:

A função f atribui a cada pessoa do mundo a sua idade. A função g atribui a cada país a sua capital.

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Podemos aﬁrmar que, das funções dadas, são injetoras: a) f, g e h

b) f e h c) g e h d) apenas h

e) nenhuma das alternativas anteriores

Resolução:

Sabemos que numa função injetora elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, ou seja:

x_1≠x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.

h é injetora, pois dois números naturais distintos possuem os seus dobros também distintos. Assim, concluímos que a alternativa correta é a letra C.

2) Seja f uma função deﬁnida em R - conjunto dos números reais tal que f(x - 5) = 4x. Nessas

condições, pede-se determinar f(x + 5).

Resolução:

Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma: x - 5 = u → x = u + 5

Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem: f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20

Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:

f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

3) (UEFS 2005) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2_{+ 1) = - 2x}2_{+ 2, para todo}

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eção: Már cio - 23/05/20 11 a) 2 b) 3/2 c) 1/2 d) -1/3 e) -3 Resolução:

Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2_{+ 1) = a(2x}2_{+ 1) + b}

Como f(2x2_{+ 1) = - 2x}2_{+ 2, vem igualando:}

a(2x2_{+ 1) + b = - 2x}2_{+ 2}

Efetuando o produto indicado no primeiro membro ﬁca: 2ax2_{+ a + b = -2x}2_{+ 2}

Então, poderemos escrever: 2a = -2 ∴ a = -2/2 = -1 E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1/3, o que nos leva tranquilamente à alternativa d. Agora resolva este:

A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1). Resposta: 9x + 5.

6.4 Funções usuais

6.4.1 Função par

A função y = f(x) é par, quando ∀ x ∈ D(f) , f(-x) = f(x), ou seja, para todo elemento do seu

domínio, f(x) = f (-x). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma consequência desse fato é que os gráﬁcos cartesianos das funções pares são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.

Lembre-se, o símbolo ∀ lê-se “qualquer que seja”.

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y = x4_{+ 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 2}4_{+ 1 = 17 e}

f(-2) = (-2)4_{+ 1 = 17}

O gráﬁco abaixo é de uma função par.

6.4.2 Função ímpar

A função y = f(x) é ímpar, quando ??∀ x ∈ D(f), f(-x) = - f(x), ou seja, para todo elemento do seu domínio, f(-x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma consequência desse fato é que os gráﬁcos cartesianos das funções ímpares são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.

Exemplo:

y = x3_{é uma função ímpar, pois para todo x teremos f(-x) = - f(x). Por exemplo, f(-2) = (-2)}3_{= - 8 e}

- f(x) = - (23_{) = - 8.}

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Entenda mais: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.

Exemplo:

O gráﬁco abaixo representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.

6.4.3 Função constante

É toda função f(x) = k, em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x. Veja o gráfico abaixo:

Exemplos:

a) f(x) = 7 b) f(x) = -2

6.4.4 Função linear

Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma função f: A → B, com f (x) = a.x é uma função linear.

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O gráﬁco de uma função linear é um conjunto de pontos sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0), ou a origem do gráﬁco cartesiano:

Você pode dizer também: o gráﬁco da função linear é uma reta não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

6.5 Função do 1º grau

Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações em nosso dia a dia. Mesmo problemas muito complexos podem ser representados, em primeira aproximação, por esse tipo de função, daí seu uso frequente em economia, gestão de recursos humanos, descrições de mercado etc.

Uma função é chamada de função aﬁm (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por y = a.x + b, sendo a e b constantes reais com m ≠ 0.

Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos.

1. A constante b é chamada de coeﬁciente linear e representa, no gráﬁco, a ordenada do ponto de

interseção da reta com o eixo y.

MATEMÁTICA APLICADA

2. A constante a é chamada de coeﬁciente angular e representa a variação de y correspondente a

um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir de qualquer ponto da reta; quando a > 0, o gráﬁco corresponde a uma função crescente, e, quando a < 0, o gráﬁco corresponde a uma função decrescente.

Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 + 1

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Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores e tendo em conta que x₂ = x₁ + 1, obtém-se o coeﬁciente angular a:

2. Assim, conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x₁, y₁) e B (x₂, y₂), o coeﬁciente angular a é facilmente determinado.

3. Da mesma forma, conhecendo-se um ponto P (x₀, y₀) de uma reta e seu coeﬁciente angular a, a função correspondente é dada por y – y₀ = a (x – x₀). Ou seja: equação da reta y=a.(x - x₀) + y₀

Propriedades da função do 1º grau:

1. O gráﬁco de uma função do 1º grau é sempre uma reta.

2. Na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função aﬁm.

3. O gráﬁco intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa

x = - b/a.

4. O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), onde b é chamado coeficiente linear. 5. O valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta.

6. Se a > 0, então f é crescente. 7. Se a < 0, então f é decrescente.

8. Quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráﬁco é uma reta que sempre passa na

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6.6 Aplicações

O valor a ser pago na conta de água de uma empresa depende do consumo medido no período; o tempo de uma viagem de caminhão entre duas cidades depende da velocidade média desenvolvida no trajeto; consequentemente, é um cálculo que nos leva a um custo logístico.

Unidade I

Quando uma indústria lança um produto no mercado, para fixar o preço desse produto, ela tem que levar em conta os custos para a sua produção e distribuição, que dependem de diversos fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio, custo das matérias-primas e salários. Como esses custos podem variar, a indústria tem que “equacionar” essas variáveis para compor o preço do seu produto.

Podemos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre duas ou mais grandezas.

Dizemos que:

• o preço de uma peça de carne é dado em consequência do “peso” da peça; • a taxa de desemprego é dada conforme o mês.

Vejamos algumas deﬁnições úteis em uma análise gerencial em que se utilizam os conceitos e métodos analíticos das funções.

6.6.1 Demanda e oferta de mercado 6.6.1.1 Função demanda de mercado

A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores

pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros). Podemos entender a demanda como a quantidade de produtos que compradores desejam e podem adquirir em diversos níveis de preço. Devemos observar uma relação inversa/negativa entre preço e quantidade (lei geral da demanda). O que isso signiﬁca?

Quando se tratar de demanda, pense como um consumidor, ou seja: “Se o preço estiver subindo, eu vou comprar menos”.

A demanda de um bem se dá por causa de várias variáveis: preço por unidade do produto, renda do consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas as variáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do produto (p), veriﬁca-se que o preço p relaciona-se com a quantidade demandada (x). Chama-se função de demanda a relação entre p e

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O que regula a demanda de consumo? Fatores como: • preço;

• renda;

• preço de produtos similares; • gosto; • expectativa; • número de consumidores; • marca; • atendimento; • localização; • forma de pagamento; • qualidade; • propaganda; • status; • etc.

Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo de consumidores (nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, em um nível de preço p). Em geral, quando nos referirmos à função de demanda, estamos nos referindo a um grupo de consumidores que chamaremos de função de demanda de mercado.

Qd = -a.P +b

Onde:

• Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo; • P é o preço do bem.

Essa função de 1º grau é representada por uma reta decrescente, já que a < 0. Isso está em

concordância com o gráfico de p em função de x (que chamaremos de curva de demanda), é o de uma função decrescente, pois, quanto maior o preço, menor a quantidade demandada. Cada função de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras variáveis (renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a configuração dessas outras variáveis, teremos nova função de demanda.

6.6.1.2 Função oferta de mercado

Por outro lado, temos a deﬁnição de função oferta: é a quantidade de produtos que vendedores

desejam e podem produzir para vender em diversos níveis de preço. Existe uma relação direta/positiva entre preço e quantidade (lei geral da oferta).

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Quando se tratar de oferta, pense como um empresário: “Se o preço estiver subindo, eu vou vender mais produtos”.

Quais são os fatores que inﬂuenciam a oferta feita ao mercado? • preço;

• preço dos insumos; • tecnologia; • expectativa; • concorrência; • demanda; • sazonalidade; • impostos; • temperatura;

• disponibilidade dos insumos; • tecnologia;

• religião; • etc.

Chama-se de oferta de um bem a quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no

mercado em certo intervalo de tempo. A oferta depende de muitas variáveis: preço do bem, preço dos insumos utilizados na produção, tecnologia utilizada e outras. Mantidas constantes todas as variáveis, exceto o preço do próprio bem, chamamos de função de oferta a relação entre o preço do bem (p) e a

quantidade ofertada (x) e a indicamos por p = g(x).

Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, pois quanto maior o preço, maior a quantidade ofertada. Tal gráfico é chamado de curva de oferta. Observemos que temos uma curva de oferta para cada configuração das outras variáveis que afetam a oferta.

6.6.2 Preço e quantidade de equilíbrio

É o ponto de interseção entre as curvas de demanda e oferta. Assim, temos um preço e uma quantidade de equilíbrio: Por exemplo: demanda oferta 500 p 3 x I

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6.6.3 Receita total

Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita o produto de x pelo

preço de venda e indicamos por R.

6.6.4 Custo total5

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção (ou simplesmente custo) depende de x, e à relação entre eles chamamos de função custo total (ou simplesmente função custo) e a indicamos por C. Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses custos que não depende da quantidade produzida chamamos de custo ﬁxo e indicamos por CF. A parcela

do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por

CV. Assim, podemos escrever: C = CF + CV

Veriﬁcamos também que para x variando dentro de certos limites (normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada de custo variável por unidade.

6.6.5 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento

O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x).

6.6.6 Função lucro

É deﬁnida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. Assim, indicando a função lucro por L, teremos:

L(x) = R(x) − C(x)

APLICADA

6.6.7 Margem de contribuição

É a diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade.

Vamos, agora, resolver alguns exercícios repetindo e exempliﬁcando essas deﬁnições administrativas de grande importância em atividades empresariais.

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Exercícios aplicados à administração

1. Quando o preço de venda de uma determinada mercadoria é $ 100,00, nenhuma é vendida;

quando a mercadoria é fornecida gratuitamente, 50 produtos são procurados. Ache a função do 1º grau ou equação da demanda e calcule a demanda para o preço de $ 30,00.

Resolução

Sejam: p = preço de venda e D = demanda.

Do enunciado, temos: 1º) p = 100 _{⇒ D = 0 e 2º) p = 0 ⇒ D = 50.}

Como a função é do 1º grau, y = ax + b e, fazendo x = p e y = D, temos: D = ap + b. Devemos achar os valores de a e b da função.

Substituindo p = 100 e D = 0 _{⇒ 0 = a.100 + b (Equação I).} Substituindo p = 0 e D = 50 _{⇒ 50 = a.0 + b ⇒ b = 50.} Voltando à equação I, temos:

0 = a.100 + 50 _{⇒ a = 0,5, e daí, D = -0,5p + 50.} A equação de demanda ou função demanda é: D = 0,5p + 50.

Substituindo p = 30 na equação D = 0,5p + 50, temos: D = 0,5. 30 + 50 = 65.

Assim, para o preço de $ 30,00 a demanda é de 65 unidades.

2. Suponha que as funções demanda e oferta sejam dadas por funções lineares, tais que:

D(p) = 34 - 5p S(p) = -8 + 2p

Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?

Resolução

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eção: Már cio - 23/05/20 11 34 - 5p = -8 +2p 34 + 8 = 2p + 5p 42 = 7p p = 6

Logo, o preço do equilíbrio é R$ 6,00.

Para obter a quantidade de equilíbrio, basta substituir p = 6,00 em umas das funções, utilizando a função oferta; temos:

S = -8 + 2.6 = 4.

Logo, a quantidade de equilíbrio é de 4 unidades.

3. Considere a função RT = 20,5.q, em que o preço é ﬁxo (R$ 20,50) e q é a quantidade de produtos

vendidos (0 � q � 120 unidades). Qual é a quantidade de produtos vendidos quando a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00?6 Resolução RT = 1025 20,5.q = 1025 q = 1025 20,5 q = 50 unidades vendidas.

Portanto, a receita total atinge o valor de R$ 1.025,00 quando são vendidas 50 unidades do produto.

Saiba mais

Veja outras considerações e também gráﬁcos de uma função nos sites: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao.htm>.

<http://www.brasilescola.com/matematica/grafico-funcao.htm>. Acesso em: 08 maio 2011.

7 AJUSTE DE CURVAS

Em matemática e estatística aplicada existem muitas situações em que conhecemos uma tabela de pontos (x; y). Nessa tabela, os valores de y são obtidos experimentalmente e deseja-se obter uma expressão analítica de uma curva y = f(x) que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos.

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Por exemplo, no departamento de uma empresa podemos obter uma tabela com valores do custo total (CT) de um produto em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela abaixo:

Quantidade (q) Custo total (CT)

1 164

2 272

3 348

4 416

5 500

Fazendo a representação gráﬁca dos pontos da tabela abaixo, temos:

Custo total x Quantidade

Observamos que no gráﬁco acima não passa uma reta por todos os pontos. Com base nisso, podemos fazer as seguintes perguntas:

1) Qual é a curva que melhor se adapta para o conjunto de pontos, isto é, qual é a expressão analítica

ou a função que melhor se ajusta para os pontos (x; y)?

2) Qual é a previsão do custo total para dez unidades do produto?

Observação: As respostas destas duas questões você encontrará mais à frente, no item 7.2.

7.1 Introdução à regressão linear

A título de exemplo, utilizaremos pares ordenados resultantes de algum experimento, como:

x x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ ... x_n-1 x_n

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A ordenação desses pares em uma distribuição cartesiana será inﬂuenciada pelos valores de x_i e y_i, (i = 1...n), logo, podemos obter, por exemplo, o seguinte gráﬁco:

Figura 4: Fonseca; Martins; Toledo (2009).

Podemos constatar a possibilidade de obtenção de uma função real que passe nos pontos ou pelo menos passe próxima dos pontos (x_i,y_i) dados.

A teoria de interpolação é a área matemática destinada a estudar tais processos para obter funções

que passem exatamente pelos pontos dados, enquanto que a teoria de aproximação estuda processos resultantes de funções que se aproximem ao máximo dos pontos dados. Lógico que se pudermos gerar funções que se aproximem dos pontos dados e que tenham uma expressão fácil de ser manuseada teremos gerado algo positivo e de valor cientíﬁco.

Existem vários processos matemáticos para a solução do problema; podemos destacar o método dos mínimos quadrados, que tem por ﬁnalidade gerar o que se chama em estatística de regressão linear

ou ajuste linear.

Entre as curvas mais comuns aplicadas, estão:

Ordem Função Nome

1 y = a_o+a₁ x Reta

2 y = a_o+a₁ x+a₂ x² Parábola

A proposta de qualquer uma das funções é encontrar quais são os valores dos coeficientes a₀, a₁ e a₂, de forma que a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da referida curva y = f(x) a cada um dos pontos dados (y_i) seja a praticável, daí o nome método dos mínimos quadrados. Isso pode ser feito através de cálculos avançados que consideram todas as variáveis utilizadas ou simplificado pelo chamado método dos mínimos quadrados que estudaremos a seguir.

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Método dos mínimos quadrados (MMQ)

Consiste em um dos mais simples e eﬁcazes métodos da análise de regressão. É utilizado quando temos uma distribuição de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse conjunto de dados. 7.2 Regressão linear

Analisaremos o caso em que a curva de ajuste é uma função linear, muito frequente nos casos empresariais. Na verdade, pela necessidade de agilidade nas respostas e tomadas de decisões, problemas mais complexos podem ser aproximados pelo caso linear, considerando as duas variáveis mais signiﬁcativas para cada caso.

Matematicamente, vamos considerar y = ax + b, cujo gráﬁco é uma reta. A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de pontos é dada por:

y = Ax + B

Onde: n = número de pontos observados; �x= soma dos valores de x (abscissas); �y= soma dos valores de y (ordenadas); �x.y = soma dos produtos entre x e y; �x2_{= soma dos quadrados dos valores de x;}

(médias aritméticas).

Aplicaremos o modelo para responder às duas perguntas do problema inicialmente proposto no item 7. Para facilitar os cálculos, construímos a tabela e calculamos os elementos da fórmula do método dos mínimos quadrados, onde y representa o custo total (CT) e x representa a quantidade q.

x y x.y x2 1 164 164 1 2 272 544 4 3 348 1044 9 4 416 1664 16 5 500 2500 25 Soma = ∑ 15 1700 5916 55

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Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que aproxima os pontos da tabela é: y = 81,6x + 95,20

Isto é, CT = 81,6q + 95,20, e a previsão para a quantidade q = 10 unidades é dada por: q = 10 ⇒ CT = 81,6. 10 + 95,20 = 911,20.

Assim, o custo total para dez unidades é de $ 911,20. Graﬁcamente:

Custo total x Quantidade

y = 81,6x + 95,2

Lembramos aqui que o símbolo Σ é a representação de um somatório e corresponde à letra grega sigma maiúscula.

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7.3 Regressão quadrática

Em muitos problemas de matemática aplicada também é comum ocorrerem situações em que a curva de ajuste não é uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva cujo gráﬁco é uma função quadrática, exponencial, logarítmica e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função quadrática: y = ax2_{+ b.x + c.}

O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por y = Ax + Bx + C, onde A, B e C são uma solução do sistema de equações lineares abaixo:

Exemplo:

A tabela a seguir apresenta os valores da quantidade demandada de um bem e os preços de venda correspondentes em determinado período:

Quantidade vendida 150 185 210 173 145 Preço de venda 15 38 59 80 100

Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a quantidade vendida para um preço de venda igual a R$ 120,00.

Solução - gráﬁco

Quantidade X preço de venda

Quantidade em unidades 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −40 40 80 120 160 200 x y Preço de venda em R$

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Para facilitar os cálculos, construímos uma tabela e calculamos os elementos da fórmula do ajuste da parábola, onde y representa a quantidade e x o preço de venda, e, na última linha, os somatórios das colunas.

x y x.y x2 _x3 _x4 _x2_{. y} 15 150 2250 225 3375 50625 33750 38 185 7030 1444 54872 2085136 267140 59 210 12390 3481 205379 12117361 731010 80 173 13840 6400 512000 40960000 1107200 100 145 14500 10000 1000000 100000000 1450000 292 863 50010 21550 1775626 155213122 3589100

Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema de equações e resolvendo, obtemos: A = -0,0298 B = 3,3416 e C = 105,95.

A equação que aproxima os pontos da tabela é: y = -0,0298x2_{+ 3,3416x + 105,95.}

Isto é, q = - 0,0298 p2_{+ 3,3416 p + 105,95,}

onde q representa a quantidade demandada e p o preço de venda.

Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda igual a R$ 120,00, temos: p = 120 ⇒ q = -0,0298. (120)2_{+ 3,3416. 120 + 105,95 = 77,82.}

Assim, a quantidade demandada para o preço de R$ 120,00 é de 77,82 unidades. Note que quando tratamos de unidades vendidas o resultado pode ser aproximado, no caso, podemos aproximar para 78 unidades.

Graﬁcamente:

Quantidade X preço de venda

y = -0,0298x2_{+ 3,3416x + 105,95}

Quantidade em unidades

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O estudo das regressões é muito aplicado em problemas de estatística. Se estamos interessados em aprender o “processo” (isto é, fazer dele uma ferramenta de trabalho), devemos observar as mudanças que ocorreram quando passamos da reta para a parábola. Não construiremos o processo para função cúbica ou até mesmo quártica, mas a analogia entre os casos permanece.

Obviamente, quando necessitamos desse tipo de análise empresarialmente, buscamos soluções rápidas para os casos de interesse. A grande aliada desse tipo de cálculo é a informática, que nos possibilita ter à disposição programas domésticos, pacotes e até sistemas dedicados a cada nova situação a ser simulada.

O método de regressão linear consta, por exemplo, no tutorial do Microsoft Excel, que faz parte do pacote Ofﬁce da Microsoft, utilizado pela grande maioria dos proﬁssionais.

É fácil utilizá-lo para ajustar curvas ou equações de múltiplas variáveis. O programa possui duas ferramentas para desenvolver regressões.

A primeira é a descrita neste estudo e tem a vantagem de ser mais automatizada. Essa opção precisa ser instalada por meio do menu Ferramentas/Suplementos/Análise de dados, escolhendo-se depois a opção Ferramentas/Análise de dados/Regressão.

Nesse caso, o MS-Excel pode calcular os resíduos e gerar os gráﬁcos automaticamente, porém, cada nova equação precisa ser gerada desde o início.

No segundo formato, os resultados se ajustam imediatamente às alterações nos dados e o programa aceita até 16 variáveis independentes, reconhecendo automaticamente os dados em uma planilha a partir do formato da variável dependente (y), como descrito a seguir:

A ferramenta de análise Regressão realiza uma análise de regressão linear usando o método de “quadrados mínimos” para encaixar uma linha em um conjunto de observações. Podemos analisar como uma única variável dependente é afetada pelos valores de uma ou mais variáveis independentes.

Por exemplo, ao analisar como o desempenho de um atleta é afetado por fatores como idade, altura e peso. Podemos distribuir partes da medição de desempenho para cada um desses três fatores, com base em um conjunto de dados de desempenho e, em seguida, usar os resultados para prever o desempenho de um novo atleta não testado. A ferramenta Regressão usa a função de planilha LINEST.

Sistemática de cálculo

Para uma função linear, com o aspecto formal tipo Y = a₀ + a₁*X₁+ a₂*X₂+... +a_k*X_k, o ajustamento da equação de regressão pode ser realizado com a função estatística PROJ.LIN (na versão em inglês, LINEST), da seguinte forma:

1) Selecionar (com mouse ou teclas de movimentação) um grupo de células: 5 linhas x número de

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2) Entrar a fórmula, indicando primeiro a coluna da variável dependente, em seguida a faixa de

colunas das variáveis independentes, depois a existência ou não da constante no modelo (default = sim, 0 = não) e o desejo de receber o conjunto de informações completo (default = não, verdadeiro = sim), adquirindo o seguinte aspecto:

=PROJ.LIN (A2:A13; B2:D13; verdadeiro).

Nem sempre se usará ” e “. Conforme opções de instalação do programa, em vez de “verdadeiro”, sendo que também é possível que o correto (para um dado sistema) seja: =LINEST (A2:A13, B2: D13,,true).

3) Inserir esta função como matriz, pressionando simultaneamente CTRL+SHIFT+ENTER. Qualquer

alteração na fórmula somente terá efeito se a matriz resposta for selecionada inteiramente e a nova fórmula for inserida igualmente com CTRL+SHIFT+ENTER.

Como resultado dos cálculos efetuados pelo programa, será exibida uma matriz sempre com o seguinte formato: a_k a_k-1 ... a₂ a₁ a₀ ep_k ep_k-1 ... ep₂ ep₁ ep₀ r2 _ep y #N/D #N/D #N/D #N/D F GL #N/D #N/D #N/D #N/D SQRegres SQResid #N/D #N/D #N/D #N/D

Onde a₀ é a constante, a₁.a_k são os coeficientes das variáveis, ep₀...ep_k são os erros padrão de cada estimativa destas, R2_{é o coeficiente de determinação, ep}

y é o erro padrão da estimativa, F

é o parâmetro de teste de Fischer-Snedecor, GL é o número de graus de liberdade, SQRegres é a soma dos quadrados da regressão e SQResid é a soma dos quadrados dos resíduos. Os elementos marcados como “#N/D” são espaços sem resultado, normais, decorrentes do desenho da função (na versão em inglês vem “#N/A”).

É importante veriﬁcar que a posição dos elementos no quadro de resultados é sempre a mesma, independentemente da posição dos dados da amostra na planilha, indicados na fórmula.

Os testes t podem ser determinados pela razão entre os dados da primeira e da segunda linha, (tai=ai/epi). Os erros serão calculados utilizando os coeficientes determinados (atenção à posição deles: a constante está na última coluna, o coeficiente da primeira variável na penúltima e assim por diante).

Mais esclarecimentos podem ser encontrados no item “regressão” (“regression”), no menu “Ajuda” do programa.

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8 MATEMÁTICA FINANCEIRA 8.1 Conceitos de juros e taxas

A maioria das questões financeiras é construída por algumas fórmulas-padrão e estratégias de negócio. Por exemplo, os investimentos tendem a crescer quando os bancos ou empresas oferecem juros compostos para seus clientes. Estamos em um momento financeiro mundial em que as chamadas taxas de juros devem baixar para que não tenhamos um colapso da estrutura econômica (desemprego, repercussões sociais etc.). Assim, a matemática financeira destina-se a fornecer subsídios para a análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo.

De modo geral, podemos afirmar que esta disciplina é a divisão da matemática aplicada que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo, quantificando as transações que ocorrem no universo financeiro, levando em conta a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo (time value money, como se diz usualmente no mercado financeiro). As principais variáveis tratadas no processo de quantificação financeira são taxa de juros, capital e tempo.

Os conceitos de matemática financeira são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos em moeda estável “forte”, quanto nos fluxos de caixa com inflação, expressos em moeda “fraca”, que perdeu seu poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência da inflação.

Iniciaremos nossos estudos considerando a hipótese de moeda estável, isto é, assume-se que a moeda utilizada no ﬂuxo de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo.

A seguir, veremos os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa, segundo os modelos pré-fixado e pós-pré-fixado.

A diferença básica existente nos dois modelos corresponde ao valor percentual da taxa de juros a ser adotada em cada caso. É evidente que nenhum conceito de matemática ﬁnanceira sofre qualquer alteração pela mera variação do valor da taxa de juros.

Consideremos um breve estudo dos conceitos mais utilizados:

Juros

Juro é a remuneração gerada por um capital aplicado ou emprestado. O valor é obtido pela diferença entre dois pagamentos, um em cada tempo, de modo que se tornem equivalentes.

Podemos, então, dizer que juros são a remuneração de um capital aplicado a uma taxa estipulada previamente durante um determinado prazo. Resumindo: é o valor recebido pela utilização de dinheiro emprestado.

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Logo,

Juros (J) = preço do crédito.

A incidência de juros é resultado de vários fatores, entre os quais podemos destacar: • inﬂação: redução do poder aquisitivo da moeda num determinado espaço de tempo; • risco: os juros recebidos representam garantia contra possíveis riscos do investimento;

• fatores próprios da natureza humana, lembrando que a relação entre o homem e o dinheiro é uma das mais complexas de descrever, tanto social quanto psicologicamente.

Taxa de juros

É a forma de se estipular o montante de juros, ou seja, o valor percentual a ser pago pelo uso do capital emprestado durante um tempo pré-estipulado (anual, trimestral, semestral, mensal etc.). Assim, a taxa de juros é o valor produzido numa unidade de tempo e é simbolizada pela letra i.

Exemplo:

10% ao mês; sua representação poderá ser feita na forma decimal, isto é, 0,10. Podemos observar também na tabela abaixo:

Forma percentual Transformação Forma unitária

20% a.m. ₁₀₀ 20 0,20 a.m.

3% a.a. ₁₀₀ 3 0,03 a.a.

13,5% a.m. 13,5 ₁₀₀ 0,135 a.m.

5% a.d. ₁₀₀ 5 0,05 a.d.

A modalidade em que a taxa de juros é aplicada ao capital inicial ao longo de determinado período denomina-se sistema de capitalização simples (juros simples). Já quando a taxa de juros é aplicada sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), temos um sistema de capitalização composta (juros compostos). Em geral, e por razões óbvias, o mercado ﬁnanceiro trabalha apenas a modalidade de juros compostos, em que temos maior rentabilidade.

8.2 Fluxo de caixa

Diagrama de ﬂuxo de caixa

Um diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas monetárias, identificado temporalmente (isto é, em razão do tempo). É fundamental para que se

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compreendam as operações de matemática ﬁnanceira, demonstrando de forma clara o que ocorre com o capital durante o período estipulado.

A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte ﬁnanceiro da operação. O ponto zero indica o instante inicial e os demais pontos representam os demais períodos de tempo (datas).

Exemplo:

Veja o diagrama de ﬂuxo de caixa a seguir:

O diagrama da ﬁgura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, pagamento de 200 no terceiro ano e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.

Dinheiro recebido ⇒ ﬂecha para cima ⇒ valor positivo

Convenção

Dinheiro pago ⇒ ﬂecha para baixo ⇒ valor negativo 8.3 Capitalização

Regras básicas

Nas fórmulas da matemática ﬁnanceira, o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. Os critérios de transformação do prazo ou da taxa para a mesma unidade de tempo dependem do regime de capitalização deﬁnido para a operação. Para juros simples, podemos observar os seguintes exemplos:

� 24% a.a. = 24/12 = 2% ao mês. � 24% a.a. = 24/6 = 4% ao bimestre. � 24% a.a. = 24/4 = 6% ao trimestre. � 24% a.a. = 24/2 = 2% ao semestre. Critérios de capitalização

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8.4 Capitalização simples7

Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. A taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por trinta; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por doze, e assim por diante.

Portanto, consiste na apuração de juros aplicando-se a taxa contratada sempre sobre o mesmo capital inicial. Havendo várias adições consecutivas de juros ao capital, todas as parcelas de juros geradas têm a mesma dimensão, significando isso que as parcelas de juros geradas anteriormente não se incorporam ao capital como base para a geração de novos juros. O montante de capital e juros se comporta como uma progressão aritmética.

Juros simples i = 10% ao período

Ano Saldo do início_{do período} Juros apurados_{a cada período} Saldo ao ﬁnal do período

1 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00 2 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00 3 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00 4 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00 * Crescimento de 40% em 4 períodos 8.5 Capitalização composta8

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime de capitalização, a taxa varia exponencialmente em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo deﬁnido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.

Consiste na apuração periódica de juros com sua imediata incorporação ao capital gerador de novos juros. Dessa forma, o montante ao ﬁnal do período “x” passa a ser o capital inicial para o período “x+1”. Os juros abonados em

7 _{Disponível em: <http://www.algosobre.com.br/matematica-ﬁnanceira/capitalizacaosimples.html>. Acesso em: 14}

abr. 2011.

8 _{Disponível em: <http://www.algosobre.com.br/matematica-ﬁnanceira/capitalizacaosimples.html>. Acesso em: 14}