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Resoluções das atividades de Matemática

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Academic year: 2021

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Resoluções das atividades de Matemática

Sumário

Capítulo 1 – Segmentos proporcionais ...1

Capítulo 2 – Teorema de Tales ...3

Capítulo 3 – Teorema da Bissetriz Interna ...4

Capítulo 4 – Teorema da Bissetriz Externa ...4

Capítulo 5 – Semelhança ...5 Razão – pág. 2 a) 4 9 b) 7 5 7 5 5 5 7 5 5 = ⋅( )= ( ) c) 2 1 2 100 000 1 50 000 cm km cm cm = = d) 0 8 1 2 8 12 2 3 , , = = a) 4 8 10 20 8 10 4 2080 80 = ⇒ ⋅ = ⋅ = São proporcionais. b) 12 15 18 21 12 21 15 18252 270 = ⇒ ⋅ = ⋅ ≠ Não são proporcionais.

03 Razão = Comprimento L ura cm cm x m x x m arg , , , = = = = 26 5 17 51 17 1351 5 79 5 Comprimento L ura cm cm x m x x m arg , , , = = = = 26 5 17 51 17 1351 5 79 5 Razão de segmentos – pág. 3 a) Razão =LR AR= = 12 4 3 b) Razão = AR LR = = 4 12 1 3 c) Razão =LU AR= = 4 4 1

d) A razão entre segmentos congruentes é igual a 1.

01 02 01 a) 2 45 200 45 40 9 m cm cm cm = = b) 5 6 50 50 6 50 6 m dm dm dm = = c) 2 7 18 27 18 3 2 , dm cm cm cm = = d) 1 200000 1000 200000 1 200 km m m m = = 03 a) 2 1=2 b) 2 1=2 c) 1 1=1 a) 2 4 1 2 = b) 3 6 1 2 = c) São proporcionais AB BC AD DE = .

d) Divide na mesma razão 1 2. Mergulhando fundo – pág. 5 1 4 2 1 3 12 3 12 4 6 2 12 12 3 24 8 5 12 2 4 16 − = ⋅ −= − − = − = = − t t t t t t t t ( ) , 22 4, h=13 36h min 02 04

(2)

Proporção – pág. 5 01 a) 5y – 5 = 8y + 4 5y – 8y = 4 + 5 – 3y = 9 y = – 3 b) 9y = 4y + 12 5y = 12 y = 12 5 c) 3y + 9 = y – 4 2y = – 4 – 9 2y = – 13 y = −13 2 d) y2 – 4y + y – 4 = –3y y2 – 3y + 3y – 4 = 0 y2 = 4 y = +2 ou y = –2

Propriedade das proporções – pág. 6 01 a) x y x x x x x y y y + = + = = = + = = − = 3 4 3 42 7 3 7 126 18 42 42 18 24 b) x y y y y y x y x x − = − = = = − = = + = 8 5 5 90 3 5 3 450 150 90 90 150 240 a) x y y y y y + = + = = = 2 3 3 20 5 3 5 60 12 x + y = 20 x = 20 – 12 x = 8 b) x – y = 40 – y = 40 – 100 – y = – 60 y = 60 x y x x x x − = − = = = 5 3 5 40 2 5 2 200 100 Segmentos proporcionais – pág. 6 01 AB CD EF GH x x x x x x = ⇒ + = = + = ⇒ = 2 5 4 12 24 4 20 20 20 1 02 a) 2 5 3 2 5 6 4 4 4 = − = − − = − = x x x x x x BC x CD x CD = = = − = ⋅ − = 4 3 2 3 4 2 10 b) BM MA BC CD Onde AB AM MB cm BM MA MA MA MA = = + = + = + = : , , 10 5 4 10 10 10 5 14 10 14 == = = − = 105 7 5 10 5 7 5 3 MA Assim MB MB , , , , 03 AB CD EF GH AB CD CD CD CD Se CD mm Logo AB = + = + = = = = 18 30 30 32 48 30 48 960 20 , 332 20 12 − = AB mm a) AM MB AM m AM AM AM m + = + = = = 1 3 1 10 4 1 4 10 2 5, Se AB Ent o MB MB m = = − = 10 10 2 5 7 5 , : , , ã b) A B m C Sabe se que AB BC e BC BM MC Ent o AB BC AC BC BC AC BM MC BM MC - : : = = + + = + = + + + ã == + + + + − = + = = − ⇒ = − AM MC BM BM MC MC MC AM BM MC AM BM AM MC BM AM MC 2 2 2 02 04

(3)

Capítulo 2

Teorema de Tales

Feixe de retas paralelas – pág. 8

a) 18 18 15 1 1 15 15 = = = m m m b) 7 8 8 8 7 8 1 1 7 8 , , , m m m = = = c) x x m m m = = = 6 8 1 1 6 8 6 8 , , , d) k k= m⇒ = m⇒ =m 10 1 1 10 10 a) 7 7 4 9 3 20 1 1 4 9 3 20 4 9 3 20 4 3 20 9 11 = + + = + + + = + − = − = x x x x x x x x x b) 3 4 4 1 2 10 10 3 4 4 1 2 6 8 2 8 1 2 6 8 1 8 2 9 4 5 x x x x x x x x x x + − = + = − + = − − = − − − = − = , c) 4 2 14 54 5 14 54 5 14 49 0 7 0 7 0 7 2 2 2 2 , ( ) 4,2 = − + − + = − + = − = − = = x x x x x x x x x 01 02 03 PX XR AM MB PX XR PX AM MB AM PR k k PR cm = ⇒ + = + = = 4 8 2 9 6 , , a) 2 5 2 5 2 7 2 21 6 =MN⇒ + = + = = ⇒ = NR MN MR MN MN MN cm b) MN NR NR NR NR + = + = ⇒ = − ⇒ = 21 6 21 21 6 15 05 25 15 30 25 15 30 25 15 30 70 84 25 70 84 15 70 84 x y z x y z x y z x y = = = + + + + = = = ⇒ = = 330 70 84 2100 70 1260 70 2520 70 30 18 36 z x y z x m y m z m = = = = = = = 06 I. a) b) x x x 7 5 18 12 12 135 11 25 , , = = = 33 6 2 6 66 11 = = = x x x II. x x x x x x x x x x + = + + + = + + + = 1 5 3 5 3 3 3 2 2

Tales nos triângulos – pág. 11

a) 2 3 3 1 3 5 10 15 9 3 12 x x x x x − − = − = − = b) YB x YB YB = − = ⋅ − = − = 3 1 3 12 1 36 1 35 YA x YA YA = − = ⋅ − = 2 3 2 12 3 21 a) 12 5 18 12 90 90 12 7 5 = = = = x x x x , 04 01 02

(4)

b) 15 6 2 10 15 12 60 3 60 20 = + = + = = x x x x x x c) 16 10 5 10 80 8 = = = x x x d) x x x x x x + + = + = + = = 8 2 4 18 24 36 72 24 192 12 120 10 03 21 49 35 49 735 15 x x x m = = = a) x x x x x x + = = + = = 3 4 6 6 4 12 2 12 6 b) 10 2 3 2 30 15 = = = x x x 05 50 25 10 50 500 25 25 500 20 10 20 10 10 2 = − − = = = = − = − = = − = x x x x x x AN x NC AC AN 00 10 10− = 06 x x x x x x x x x x x + = + − + = + − − − = − = − − ⇒ 3 2 2 2 1 6 2 2 2 6 1 6 4 8 2 4 4 8 4 8 2 4 2 2 , , , , , , , xx Se x Altura AC x = = = ⇒ = + ⋅ + = 48 24 2 2 2 3 2 2 3 7 04

Capítulo 3

Teorema da Bissetriz Interna

01 x y x x x x x x 6 4 6 5 4 4 30 6 10 30 3 = = − = − = = 3 + y = 5 y = 5 – 3 y = 2 Então, BD=3e DC=2 02 x x x x x 12 8 96 96 2 2 2 3 4 6 2 2 2 = ⇒ = = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = a) x x x x x x + = = + = = 8 6 4 6 4 32 2 32 16 AC x AB x = = = + ⇒ + = 16 8 16 8 24 b) 2 3 5 4 8 3 15 5 15 3 x x x x x x = + = + = = AC x AB x = + ⇒ + = = ⇒ ⋅ = 5 3 5 8 2 2 3 6 04 Mergulhando fundo – pág. 15

Dados: n = número de alunos; d = idade padrão dos alunos. n · d + 7(d – 1) + 2(d + 2) = 330 nd + 7d – 7 + 2d + 4 = 330 nd + 9d = 333 d (n + 9) = 3 · (111) d = 3 n + 9 = 111 n = 102

Capítulo 4

Teorema da Bissetriz Externa

01 9 4 6 9 24 6 3 24 8 + = = + = = x x x x x x Assim, BD BC CD BD BD cm = + = + = 4 8 12 03 4 2 5 4 10 2 5 = = = x x x ,

(5)

02 x x x 12 5 10 10 60 6 = = = 03 15 10 7 15 7 70 8 70 8 75 x x x x x x + = = + = = , 04 40 80 30 80 320 4 240 80 4 20 = − − = = = x x x x

Capítulo 5

Semelhança

Polígonos semelhantes – pág. 18 a) B e C. b) Resposta pessoal. 02 a) 6 3 4 2 63 42 9 6 3 2 7 7 , , = = = ÷ ÷ b) 3 6 6 3 4 2 6 3 15 122 4 , , , , ,, x = ⇒ xx==

c) Como os paralelogramos A e B são semelhantes, o ângulo a também vale 70º.

d) Perímetro A ⇒ 3,6 + 3,6 + 6,3 + 6,3 = 19,8 cm Perímetro B ⇒ 2,4 + 2,4 + 4,2 + 4,2 = 13,2 cm A para B 19 8 13 2 1 5 3 2 , , = , ou 04 BC NP NP NP NP cm = = ⇒ = = 7 3 9 1 7 3 7 27 3 3 9 , , , 01 C O L E G 6 cm A 6 3 4 8 x= ⇒ =x 6 8 3 4 = 03

05 o lado x do octógono mede 3,5 cm

a) 5 14 75 5 1050 210 = ⇒ = = Per metro y y cm í b) 160 20 7 2 8 7 2 8 7 2 0 9 = ⇒ = ⇒ = = , , , , x x x x cm Semelhança de triângulos – pág. 20 a) 3 4 5 4 6 6 9 0 6666 , = = ⇒ , ... mesma razão b) Não é semelhante. c) 3 9 4 12 5 15 1 3 = = = mesma razão 02 a) Sim. b) RS correspondente RT RH correspondente HT SH correspondente RH ; ; . c) 15 20 12 16 9 12 3 4 = = = (razão de semelhança) a) 18 6 15 12 18 6 15 18 6 12 3 15 3 12 5 4 = = ⇒ = = = = = = y x y e x y x y x b) 6 8 4 8 4 8 6 8 4 8 6 8 4 8 6 38 4 8 28 8 6 4 3 6 = = ⇒ = = = = = = , , , , , , , , y x y e x y x y x c) y x y e x y x 1 8 2 5 1 1 2 1 8 2 5 1 1 2 2 5 1 4 5 3 , , , , , , , , = = ⇒ = = = =

Teorema Fundamental da Semelhança Casos de semelhança de triângulos – pág. 22

a) 2 2 4 5 3 6 10 20 4 20 5 x x x x x x − = ⇒ = − − = − = b) MN=2x= ⋅ =2 5 10 a) 10 5 2 4 6 2 4 10 20 60 2 6 80 0 3 40 0 8 2 2 2 x x x x x x x x x x x − = + + = − − = − − = − ⋅ + ( ) ( 55 0 8 5 )= = = − x ou x 06 01 03 01 02 A B B B B = ⇒ = ⇒ = = 7 8 3 5 7 8 7 28 4 , não satisfaz

(6)

b) AC x AC cm = − = − = 5 8 5 3 c) 10 8 5 2 8 4 6 10 3 − = ⋅ + = 03 28 63 28 63 4 9 2 3 = = = 04 30 18 90 30 18 90 54 = ⇒ = = Per metro MNP x x cm í 05 3 6 5 6 4 15 60 3 6 15 60 5 15 60 6 4 15 60 15 216 15 300 15 , , , , x y z x y z x y = = = = = = = = zz x cm y cm z cm = = = = 384 14 4, 20 25 6, 06 x + y = 32 ∆ABH semelhante ao ∆JDC 9 15 15 9 15 15 9 15 = =x ⇒ = ⇒ + = + y z x y x y y 24 15 32 3 60 20 = = = y y y x + y = 32 y = 20 Então, x = 12 Razão de semelhança 3 5 15 3 75 25 = = = z z z 07 30 30 16 30 42 5 7 +y= + = ⇒ x x (razão de semelhança) I. x x y x x y x y x y + = + = = + + = = = = = 16 5 7 30 30 5 7 7 5 80 150 5 210 2 80 5 60 40 12 II. y x y x y x y y 20 3 10 15 10 25 15 15 200 3 2 5 15 45 200 6 200 45 40 9 = = = = = = = =

08 Os ângulos JRC e RCF  são alternos internos → JRC RCF =  . Os ângulosRJF e RFC  são alternos internos → RJF RFC =  . Os ângulosJOR e FOC  são opostos pelo vértice → JOR FOC =  . JOR FOC =  .

Pode-se observar que os três pares de ângulos são con-gruentes. Assim, os triângulos são semelhantes.

a) Como os ∆ABC e ∆DFE são semelhantes, então, ACB DEF =  .

Nos ∆AHC e ∆DIE têm-se, então, dois pares de ângulos

congruentes, AHC DI E =  = 90º e ACB DE F =  .

Logo, têm-se dois pares congruentes de ângulos e o terceiro par também será congruente, H C IDEÂ =  . Assim, se todos os três são congruentes, os dois triân-gulos são semelhantes.

b) AH DI = = 15 9 5 3 I. a) 6 6 4 4 4 5 6 6 4 5 4 4 4 5 24 30 5 16 4 20 5 6 4 4 6 5 1 2 − = + = − = + = = − + = = = = ⇒ x y x y x y x y x , ccm y= 1cm b) 8 8 6 9 4 6 9 4 8 8 6 9 9 6 24 48 6 72 3 24 6 24 8 4 + = = + = + + = = + + = = = = = y x x x x y x x y x y x y II. 4 4 3 6 12 3 24 3 12 4 + = + = = = x x x x cm

No ∆CDE, ED= 5cm(Teorema de Pitágoras)

No ∆ABE, EB= 10cm(Teorema de Pitágoras)

Perímetro ∆CDE = 12 cm Perímetro ∆ABE = 24 cm

III. a x b z c y a b c x z y k = = = + + + + = = 1 10 09

(7)

Então: x z y a b c+ + = + + ⇒x z y+ + = = 2 10 2 5 IV. A x B C 4 E y D F 3 6

No EDC por Pit goras tem se y y y y Como o ABC ∆ = + = + = = ∆ , á , - : 4 3 16 9 7 7 2 2 2 2 2  ∆ = = = = EDC x y x x x Logo a S d : , 6 4 7 3 2 2 3 7 3 7 2

área o quadrado ABDF seráá:

S = x2 S S ua =    = 3 7 2 63 4 2 . . 11 1 6 2 5 8 2 5 12 8 5 12 , , , , , h h h m = ⇒ = = 12 I. 1 69 2 6 4 16 2 6 7 0304 2 704 , , , , , , x x x m = = =

II. a) Quadro Imagem

2 3 45 30 2 30 3 45 1 15 = = (razão de semelhança) 20 1 15 300 3 x = ⇒ =x cm x= m b) 4 30 6 45 2 15 = = (razão de semelhança) 20 2 15 2 300 150 1 5 x = ⇒ x= ⇒ =x cm⇒ = ,x m Mergulhando fundo – pág. 27

Seja x a quantidade de farinha, em quilos, de que o

padeiro dispõe. Trabalhando sozinho, ele usaria x 6 quilos de farinha em 1 hora; trabalhando com seu ajudante, usariam x

2 quilos de farinha em 1 hora. Seja t o tempo,

em horas, que o padeiro trabalhou sozinho. Como a farinha acaba em 150 minutos (2 h e 30 min = 2,5 horas), o tempo que ele trabalhou com seu ajudante foi 2,5 – t horas. Logo, a quantidade gasta em farinha durante o tempo que o padeiro trabalhou sozinho é x

6 · t, e a quantidade gasta durante o tempo que o padeiro trabalhou com seu ajudante é x

2 · (2,5 – t).

Portanto:

Quantidade total de farinha = quantidade de farinha

gasta pelo padeiro trabalhando sozinho + quantidade de farinha gasta pelo padeiro trabalhando com o ajudante.

x = x 6 · t + x2 · (2,5 – t) Assim, tem-se: x = x 6 · t + x2 · (2,5 – t), x ≠ 0 1 = 1 6 1 2 t+ · (2,5 – t) t = 0,75 h = 0,75 · 60 t = 45 min

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