Estruturas Complexas Nilpotentes em Álgebras de Lie Solúveis

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT Dissertação de Mestrado

Estruturas Complexas Nilpotentes em ´

Algebras

de Lie Sol´

uveis.

Jaqueline Alexsandra de Souza Azevedo

Salvador-Bahia

(2)

Estruturas Complexas Nilpotentes em ´

Algebras

de Lie Sol´

uveis

Jaqueline Alexsandra de Souza Azevedo

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi.

Salvador-Bahia

(3)

Azevedo, Jaqueline Alexsandra de Souza.

Estruturas Complexas Nilpotentes em ´Algebras de Lie Sol´uveis / Ja-queline Alexsandra de Souza Azevedo. – Salvador, 2013.

56 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi.

Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2013.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Álgebra Linear 2. Álgebras de Lie. 3. Estruturas Complexas. I. Mandolesi, André Lu´ıs Godinho. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática. III. T´ıtulo.

(4)

Estruturas Complexas Nilpotentes em ´

Algebras

de Lie Sol´

uveis .

Jaqueline Alexsandra de Souza Azevedo

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 19 de setembro de 2013.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi (Orientador) UFBA

Prof. Dra. Rita de C´assia de Jesus Silva UFBA

(5)

Dedicat´

oria

(6)

Agradecimentos

Expresso minha gratidão às seguintes pessoas e institui¸cões: `

A CAPES, pelo apoio financeiro; `

A secretaria e aos professores de pós-gradua¸cão do IM-UFBA, pela preocupa¸cão em solucionar questões acadêmicas nas quais eu estava diretamente envolvida;

Ao meu orientador Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi, pela confian¸ca e incentivo; `

A banca examinadora, pelas valorosas contribui¸c˜oes;

Aos meus amigos do IM-UFBA, pelo apoio acadêmico. E aos meus amigos de fora, pela compreensão, os quais não citarei nomes para não cometer injusti¸cas;

(7)

“Sucesso e genialidade, são 10 por cento de inspira¸cão e 90 por cento de transpira¸cão”

(8)

Resumo

Considerando uma ´Algebra de Lie (g,[., .]) com estrutura complexa J, ´e poss´ıvel definir em g um novo colchete Lie [∗]J, de modo que se pode mostrar que os subespa¸cos

g1,0 _e _g0,1 _{s˜ao sub´algebras de Lie isomorfas a (}_g_,_[_∗_]

J). Para tanto, neste trabalho ser˜ao

consideradas apenas estruturas complexas integr´aveis.

Será mostrado também, que no caso em que essas subálgebras forem nilpotentes, então (g,[., .]) será solúvel. Nesse sentido, será feita uma caracteriza¸cão da Álgebras de Lie (g,[∗]J) com estrutura complexa s-passos nilpotente, afim de estudar o comportamento

do colchete de Lie original [., .], permitindo assim a constru¸c˜ao de exemplos de ´Algebras de Lie de dim = 6.

Também, será mencionado o conceito de estrutura hipercomplexa, demonstrado alguns resultados algébricos envolvendo tal estrutura e exemplificando em casos de Álgebras de Lie de dim = 8, afim de comentar sua importância em outros contextos matemáticos.

(9)

Abstract

Considering a Lie ´Algebra (g,[., .]) with complex structure J, you can set in g, a new Lie bracket [∗]J, so that it is possible to show that the subspaces g1,0 and g0,1 are

Lie subalgebras isomorphic to the (g,[∗]J). Therefore, this work will be considered only

integrated complex structures.

It will be shown also that in the case where these are nilpotent subalgebras, then (g[., .]) is soluble. Accordingly, there will be a characterization of Lie algebras (g,[∗]) with complex structure s-step nilpotent, in order to study the behavior of the original Lie bracket [., .], thus allowing the construction of examples of Lie algebras of dim = 6.

Also, we mention the concept of hypercomplex structure, shown some results involving such algebraic structure and exemplifying in cases of Lie algebras of dim = 8, in order to comment on its importance in other mathematical contexts.

(10)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 10

2 Conceitos b´asicos 12

2.1 Algebras de Lie . . . 12´

2.2 Representa¸c˜oes . . . 17

2.3 Sub´algebras de Cartan . . . 22

2.4 Elementos regulares . . . 24

2.5 Conjuga¸c˜ao entre ´Algebras de Cartan . . . 25

2.6 Sub´algebra de Borel . . . 28

2.7 Estruturas Complexas . . . 29

3 Auto-espa¸cos nilpotentes 31 3.1 O colchete* . . . 31

3.2 g é solúvel se g∗ é nilpotente . . . 34

3.3 Caracteriza¸cão de g∗ até dimensão complexa 3 . . . 37

3.4 Exemplos em que g∗ ´e nilpotente . . . 44

4 Considera¸c˜oes Finais 54

(11)

1 Introdu¸

c˜

ao

Iniciado com os trabalhos de Sophus Lie no final do século XIX, as Álgebras de Lie surgiram com o propósito de estender uma teoria, análoga a teoria de Galois, ao estudo das equa¸cões diferenciais. A idéia de S. Lie de examinar os grupos de transforma¸cões lineares como obtidos através de solu¸cões de equa¸cões diferenciais ordinárias, foi importante como ponto de partida para a teoria que chamamos hoje de ” Álgebras de Lie”.

Atualmente as Álgebras de Lie têm sido apontadas como um importante ele-mento de estudos, com aplica¸cões em vários campos da Matemática e da F´ısica. Além de serem estruturas algébricas extremamente atraentes por si mesmas, sua importância se deve ao fato delas codificarem muitas informa¸cões sobre a geometria dos Grupos de Lie correspondentes a elas.

Em particular, recentemente tem surgido interesse no estudo de estruturas com-plexas em Álgebras de Lie nilpotentes e solúveis, devido à sua rela¸cão com estruturas complexas e hipercomplexas em Grupos de Lie (ver [3]).

Uma estrutura complexa em uma ´Algebra de Lie real g ´e um endomorfismo J tal queJ2 ₌₋_I_{. No presente trabalho, veremos que no caso de uma estrutura complexa}

integrável J sobre uma Álgebra de Lie real g, os auto-espa¸cos g1,0 e g0,1 associados aos autovaloresi e −i, respectivamente, são subálgebras complexas de gC, ondegC =C_⊗_g_.

Uma importante classe de estruturas complexas são as chamadas abelianas, que satisfazem [JX, JY] = [X, Y], para todo X, Y ∈ g. Em [6], I.Dotti e A. Fino provaram que tais estruturas só podem ocorrer em Álgebras de Lie solúveis e em [3], M. Barberis e I. Dotti apresentaram uma caracteriza¸cão das álgebras solúveis que admitem estruturas complexas abelianas.

Em [2], A. Andrada, M. Barberis e I. Dotti estudaram a estrutura de Grupos de Lie que admitem estruturas complexas abelianas invariantes à esquerda em termos de álgebras associativas comutativas. Analisaram diferentes obstáculos algébricos em Grupos de Lie solúveis que carregam estruturas complexas abelianas invariantes, além de estudar Grupos de Lie que admitem estruturas complexas abelianas invariantes à esquerda. Nesse sentido, frisaram que uma estrutura Hermitiana é Kahler se, e somente se, o Grupo de Lie é produto direto de várias cópias do plano real hiperbólico por um fator euclidiano.

Em sua Tese de Doutorado [11], E. Licurgo considerou a situa¸c˜ao em que g1,0

e g0,1 _{são nilpotentes, e mostrou que também nesse caso} _g _{deve ser sol´}_{uvel, sendo além}

disso obtida uma caracteriza¸cão para Álgebras de Lie de dimensões 2, 4 e 6. No presente trabalho detalhamos as demonstra¸cões destes resultados, utilizando alguns procedimentos que esclareceram várias implica¸cões.

(12)

Lie s-passos nilpotentes. Apresentamos nessa disserta¸cão todos cálculos necessários para a edifica¸cão destes exemplos. Como base para a constru¸cão desses exemplos, E. Licurgo e L.A.B. San Martin utilizaram manipula¸cões algébricas e, através delas descobriram como se comporta o colchete de Lie para uma dada base da Álgebra de Lie que satisfaz as condi¸cões de alguns resultados obtidos por eles e apresentados em [12]. No presente trabalho, explanamos detalhadamente estas manipula¸cões algébricas sobre outra base da mesma Álgebra de Lie, afim de encontrar os mesmos resultados obtidos a menos de uma mudan¸ca de base.

Uma variedade Hiper Kahler de Tor¸cão (HKT) é uma variedade suave com es-trutura hipercomplexa {J1, J2, J3} e métrica Riemaniana g, que é hyperhermitiana e

existe uma conexão ▽, tal que ▽g = 0,▽Ji=1,2,3 = 0 e o tensor de tor¸cão T é tal que

c(X, Y, Z) =g(X, T(Y, Z)) é uma 3-forma. Em [7], Isabel G. Dotti e A. Fino estudaram as estruturas Hiper Kahler de Tor¸cão em Grupos de Lie 8-dimensionais. O conceito de estruturas hipercomplexas foi utilizado de modo a fundamentar os estudos sobre varie-dades Hiper Kahler de Tor¸cão. Nesta disserta¸cão, estudaremos o conceito de estruturas hipercomplexas e detalharemos a constru¸cão de exemplos de estruturas hipercomplexas, também apresentados por E. Licurgo e L.A.B. San Martin em [11], abordando breves comentários a respeito de estruturas hipercomplexas sobre Álgebras de Lie nilpotentes 8-dimensionais, utilizando resultados obtidos em [8].

(13)

2 Conceitos b´

asicos

Estudaremos neste cap´ıtulo os conceitos básicos da teoria das Álgebras de Lie, que serão relevantes para fundamentar os resultados obtidos no cap´ıtulo seguinte. Nas primeiras se¸cões estaremos interessados em defini¸cões e propriedades de Álgebras de Lie, subálgebras de Cartan e subálgebras de Borel. Na última se¸cão introduziremos o conceito e algumas propriedades de estrutura complexa sobre uma Álgebra de Lie g e veremos a rela¸cão entre estruturas complexas integráveis e os ±iauto-espa¸cos de J em gC.

2.1 Algebras de Lie

´

Defini¸cão 2.1. Uma Álgebra de Lie g é um espa¸co vetorial sobre um corpo K_{, munido}

de uma opera¸c˜ao bilinear, chamada colchete de Lie

[. , .] :g×g−→g

que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

1. anti-simetria:

[X, X] = 0 (1)

2. identidade de Jacobi:

[X,[Y, Z]] + [Z,[X, Y]] + [Y,[Z, X]] = 0, (2)

para todoX, Y, Z ∈g.

Exemplo 2.2. O conjunto gl(n,R₎ _{das matrizes reais} _n_×_n _{´e uma ´}_{Algebra de Lie com}

colchete definido por

[X, Y] =XY −Y X. (3)

Com efeito,gl(n,R₎_{´e um espa¸co vetorial com opera¸c˜oes usuais de soma e produto}

por n´umeros reais. De (3) temos:

[C, α1A+α2B] =C(α1A+α2B)−(α1A+α2B)C=α1CA+α2CB−α1AC−α2BC

=α1(CA−AC) +α2(CB−BC)

=α1[C, A] +α2[C, B],

para quaisquer A, B, C ∈gl(n,R₎ _e _α₁_{, α}₂ _∈R_{. Analogamente,} [α1A+α2B, C] =α1[A, C] +α2[B, C].

Isso mostra a bilinearidade de gl(n,R₎_{. Também, são satisfeitas as condi¸cões} ₍₁₎ _e ₍₂₎

(14)

1. anti-simetria

[A, B] =AB −BA=−(BA−AB) = −[B, A]

2. identidade de Jacobi

[A,[B, C]] + [C,[A, B]] + [B,[C, A]] =A[B, C]−[B, C]A+C[A, B]−[A, B]C+ +B[C, A]−[C, A]B

=ABC−ACB−BCA+CBA+CAB− −CBA−ABC+BAC+BCA−BAC− −CAB+ACB

=0

Exemplo 2.3. Seja V um espa¸co vetorial de dimensão n e gl(V) o espa¸co das trans-forma¸cões lineares deV. Comogl(V)é isomorfo ao espa¸co das matrizesn×n, a opera¸cão

[T1, T2] =T1◦T2−T2◦T1,

com T1 e T2 ∈gl(V), define em gl(V) um colchete de Lie.

Exemplo 2.4. Seja g é um espa¸co vetorial. É imediato verificar que a opera¸cão

[X, Y] = 0,

para quaisquerX, Y ∈g, define um colchete de Lie emg. As Álgebras de Lie com colchetes assim são chamadas de álgebras abelianas.

Proposi¸c˜ao 2.5. Numa ´Algebra de Lie tem-se que

[X, Y] =−[Y, X], (4)

para quaisquer X, Y ∈g.

Demonstra¸c˜ao. Para quaisquerX, Y ∈g temos que [X+Y, X+Y] = 0.

Segue da bilinearidade da ´Algebra de Lie que [X, X] + [X, Y] + [Y, X] + [Y, Y] = 0. Portanto, [X, Y] =−[Y, X].

Note que, se o corpoK_{é de caracter´ıstica zero, então a condi¸cão (1) da defini¸cão} 2.1 e (4) são equivalentes.

(15)

Exemplo 2.7. O conjunto das matrizes quadradas de tra¸co zero, que ser´a denotada por

sl(n,K_{) =} _{_X _∈_gl_(n,K_{) :}_trX _{= 0}_} _{´e uma sub´algebra de} _gl_(n,K₎_{. De fato,} tr([X, Y]) =tr(AB−BA) =tr(AB)−tr(BA) = 0.

Portanto, [A, B] ∈ sl(n,K₎_{. Quando} K ₌ _R _{´e comum denotar esta ´}_{Algebra apenas por}

sl(n).

Defini¸cão 2.8. Um subespa¸co vetorial h ⊂ g, tal que [X, Y] ∈ h se X ∈ g e Y ∈ h é chamado de ideal de g. Em particular, todo ideal de g é uma subálgebra de g.

Defini¸c˜ao 2.9. Seja guma ´Algebra de Lie eh⊂gum ideal. No espa¸co vetorial quociente

g/h, defina

[ ¯X,Y¯] = [X, Y],

ondeX¯ denota a classe X+h. A constru¸c˜ao desse colchete define em g/h uma estrutura de ´Algebra de Lie.

Defini¸cão 2.10. Dada uma Álgebra de Lieg, podemos definir, por indu¸cão, os seguintes subespa¸cos deg:

g(0) =g g′ = [g,g]

...

g(k) _{= [}_g(k−1)_,_g(k−1)_]

e g1 =g

g2 = [g,g]

...

gk _{= [}_g_,_gk−1_],

onde[a,b]denota o subespa¸co gerado por{[X, Y];X ∈a, Y ∈b}, seaebsão subconjuntos de g. Dizemos que g(0), g′,..., g(k),... é a série derivada de g e que g1, g2,..., gk... é a série central decrescente de g.

Proposi¸cão 2.11. Seja g uma Álgebra de Lie. Então os subespa¸cos g(k) e gk são ideais de g, para todo k ≥1.

Demonstra¸cão. Obvio que´ gé ideal de si próprio. Então, sejami,jdois ideais não triviais deg e sejam A=P

[Xi, Yi] e B ∈g.

Temos que

[A, B] =X[[Xi, Yi], B],

onde X∈i, Y ∈j.

Da identidade de Jacobi, segue que

[A, B] =X[Xi,[Yi, B]]−[Yi[Xi, B]].

(16)

Proposi¸cão 2.12. Seja guma Álgebra de Lie. Então, g(k) _⊂_gk+1 _e _gk+1 _⊂_gk_{, para todo}

k≥1.

Demonstra¸cão. Sek = 0 é óbvio queg(k)_⊂_gk+1_{. Para o caso}_k _{= 1, claro que}_g(k) _⊂_gk+1

e gk+1 ⊂ gk. Como g′ = g2, é claro que [g′,g′] ⊂ [g,g2]. Da´ıg(2) ⊂ g3, isso prova a proposi¸cão para o caso k= 2. Suponhamos, por indu¸cão, que g(k−1) ⊂gk. Então,

g(k)= [g(k−1),g(k−1)]⊂[g,gk] =gk+1. Também, gk+1 _{= [}_g_,_gk_]_⊂_gk_{, já que} _gk _{é ideal de}_g_.

Defini¸c˜ao 2.13. Dada uma ´Algebra de Lie g, dizemos que

1. g ´e sol´uvel se existir k ≥ 1, tal que g(k) ₌_{₀_} _e

2. g ´e nilpotente se existir k ≥ 1, tal que gk ₌_{₀_}_.

Defini¸cão 2.14. Seja g uma Álgebra de Lie nilpotente. Dizemos que g é s-passos

nilpo-tente se s+ 1 ´e o menor inteiro k tal que gk = 0.

Exemplo 2.15. Agora apresentaremos uma sub´algebra h de gl(3,R₎ _{chamada de ´algebra}

de Heisenberg e definida por

h ={



  

0 a b 0 0 c 0 0 0



  

:a, b, c∈R_}

Ela é uma Álgebra de Lie solúvel. De fato,

h′ ={



  

0 0 b 0 0 0 0 0 0



  

:b∈R_}

e portanto,h(2) = 0.

´

E fácil ver que h é também nilpotente. Com efeito, h2 =h′ e h3 = [h,h2] = 0. Um fato relevante a se observar com rela¸cão à álgebra de Heisenberg é que com respeito à base

{e1 =



  

0 1 0 0 0 0 0 0 0



  

, e2 =



  

0 0 0 0 0 1 0 0 0



  

, e3 =



  

0 0 1 0 0 0 0 0 0



  

(17)

de h, temos que

[e1, e2] =e3

e o colchete dos demais elementos da base ´e nulo.

Proposi¸cão 2.16. Toda Álgebra de Lie nilpotente é também solúvel.

Demonstra¸c˜ao. Isso decorre do fato de queg(k) _⊂_gk+1_.

Existe em g de dimensão finita, um único ideal solúvel chamado radical solúvel,

r(g)⊂g que cont´em todos os ideais sol´uveis de g. Ver em [14].

Defini¸cão 2.17. Dada uma Álgebra de Lie g, dizemos que g é semi-simples se o radical solúvel de g é nulo, isto é, se não existem em g ideais solúveis além do ideal nulo.

Exemplo 2.18. A sub´algebra de Lie sl(2,R_{) =}_{_X _∈_gl_(2,R_{) :}_trX _{= 0}_} _{´e semi-simples.}

De fato, considere a base de sl(2,R₎

{X =

"

0 1 0 0

#

, Y =

"

1 0 0 −1

#

, Z =

"

0 0 1 0

#

}

Verifica-se facilmente que

[X, Z] =Y [Y, X] = 2X [Y, Z] =−2Z.

Da´ı, que {X, Y, Z} ∈ sl(2,R₎′ _{= [}_sl_(2,R_),_sl_(2,R_)]_{. Portanto} _sl_(2,R₎′ ₌ _sl_(2,R₎_.

Ra-cioc´ınio an´alogo mostra quesl(2,R₎(k) ₌_sl_(2,_R₎ _{para todo}_k _≥₀_{. Com isso,}_sl_(2,_R₎_n˜ao

´e sol´uvel.

Al´em disso, todos os ideais de sl(2,R₎ _{s˜ao triviais. De fato, seja} _h_⊂_sl_(2,R₎ _um

ideal. TomeW ∈he escreva W =aX+bY+cZ, com a, b e c reais n˜ao simultaneamente nulos. Obtemos

[W, X] =cY −2bX e [X,[X, W]] = −2bZ.

Se b6= 0, temos que Z ∈h, j´a que h´e ideal. Com isso, Y = [X, Z]∈h, e por fim

X = 1

2[Y, X]∈h.

Se b= 0 e c6= 0, temos Y = −1

c [W, X]∈h.

Se b = c= 0, nos resta W =aX, e ainda assim teremos X ∈ h. E de qualquer modo, {X, Y, Z} ∈h, isto ´e h=sl(2,R₎_.

Conclu´ımos que sl(2,R₎ _{´e semi-simples.}

(18)

2.2 Representa¸

c˜

oes

Defini¸cão 2.19. Sejam g e h Algebras de Lie. Uma transforma¸cão linear´ φ : g−→ h é um homomorfismo se φ[X, Y] = [φX, φY], para todo X, Y ∈g.

Defini¸cão 2.20. Sejamguma Álgebra de Lie, V um espa¸co vetorial e gl(V) a Álgebra de Lie das transforma¸cões lineares deV. Uma representa¸cão deg em Vé um homomorfismo

ρ :g−→gl(V).

Um tipo de representa¸cão interessante ao nosso estudo é a representa¸cão adjunta

deg, que ´e dada por

ad:g−→gl(g) X 7−→ad(X),

onde ad(X)(Y) = [X, Y], para todo X, Y ∈g. ´

E fácil ver que ad(X) e ad são transforma¸cões lineares. E ad é homomorfismo por causa da identidade de Jacobi. De fato,

ad[X, Y](Z) = [[X, Y], Z]

= [X,[Y, Z] + [[X, Z], Y]

=ad(X)ad(Y)(Z)−ad(Y)ad(X)(Z) = [ad(X), ad(Y)](Z).

A ´ultima igualdade segue do colchete de Lie definido no exemplo 2.3.

Exemplo 2.21. Podemos construir a representa¸c˜ao adjunta de sl(n) do seguinte modo. Considere a base

{X =

"

0 1 0 0

#

, Y =

"

1 0 0 −1

#

, Z =

"

0 0 1 0

#

}

de sl(2,R₎_{. Tomando} _H ₌_aX₊_bY ₊_cZ_{, temos que}

ad(H)X = [H, X] =a[X, X] +b[Y, X] +c[Z, X] =

" 0 2b 0 0 # + "

−c 0 0 c

#

= 2bX−cY.

Analogamente,

ad(H)Y = [H, Y] =a[X, Y] +b[Y, Y] +c[Z, Y] =

"

0 −2a 0 0 # + " 0 0 2c 0 #

=−2aX+ 2cZ

e

ad(H)Z = [H, Z] =a[X, Z] +b[Y, Z] +c[Z, Z] =

"

a 0 0 −a

# + " 0 0 2b 0 #

(19)

Logo, a aplica¸c˜ao

"

b a c −b

#

∈sl(2,R₎_7−→



  

2b −2a 0

−c 0 a 0 2c −2b



  

∈gl(3,R₎

´e a representa¸c˜ao adjunta de sl(2,R_).

Defini¸cão 2.22. Sejaguma Álgebra de Lie. Uma representa¸cãoρdegno espa¸co vetorial

V é uma representa¸cão nilpotente se ρ(X) é nilpotente (isto é, ρ(X)n _{= 0} _{para algum}

n∈N_{) para todo X} _∈ _g_.

Teorema 2.23. (Engel) Seja g uma Álgebra de Lie. g é nilpotente se, e somente se, ad(X) é nilpotente, para todo X ∈g.

Demonstra¸c˜ao. Ver em [14].

Proposi¸cão 2.24. Seja h ⊂ g uma subálgebra nilpotente de g. A representa¸cão adjunta de h em si mesma é nilpotente.

Demonstra¸c˜ao. Note que

ad :h−→gl(h)

Y 7−→ad(Y) :h−→h.

Se a subálgebrah⊂gé nilpotente, segue do teorema de Engel que ad(Y) é nilpotente, para todoY ∈h. A afirma¸cão segue imediatamente da defini¸cão de representa¸cões nilpotentes.

O conceito de peso, que consideraremos relevante para importantes efeitos poste-riores, ser´a constru´ıdo a partir dos resultados que seguem.

Considere V um espa¸co vetorial de dimensão finita sobre um corpo K _{e seja} T : V −→ V uma transforma¸cão linear, cuja fatora¸cão do polinômio minimal é dada pormT(t) = p1(t)r1. . . pk(t)rk. O Teorema da Decomposi¸cão Primária decompõeV numa

soma direta de subespa¸cos invariantes porT na forma V =V1⊕. . .⊕Vs

que s˜ao os auto-espa¸cos generalizados

Vi ={v ∈V :pi(T)kv = 0 para algum k ≥1}

(20)

Vi ={v ∈V : (T −λi)kv = 0 para algum k ≥1}.

Destacaremos a rela¸c˜ao que estes auto-espa¸cos tem com os autovalores deT denotando-os porVλi.

Proposi¸c˜ao 2.25. Suponha que o corpo de escalares ´e algebricamente fechado. Sejam

T1 e T2 transforma¸c˜oes lineares de V e Vλi os auto-espa¸cos generalizados de T1. Ent˜ao

T2(Vλi)⊂Vλi para todo i se e s´o se ad(T1)

q_(T

2) = 0 para algum q≥1.

Demonstra¸c˜ao. Ver [14].

Se g é uma Álgebra de Lie nilpotente e ρ uma representa¸cão de g em V, dados X, Y ∈g temos ad(X)q_(Y_{) = 0 para algum} _q_≥_{1, e portanto ad(ρ(X))}q_(ρ(Y_{)) = 0.}

Fixando X ∈ g, podemos considerar a decomposi¸c˜ao prim´aria de V numa soma direta de subespa¸cos generalizados deρ(X) na forma

V =V1⊕. . .⊕Vs

Da proposi¸c˜ao anterior e de ad(ρ(X))q_(ρ(Y_{)) = 0, temos que cada subespa¸co}

Vi ´e ρ(Y)-invariante para todo Y ∈ g e, portanto, g se representa em cada um deles.

Então podemos tomar a decomposi¸cão primária de Vi como soma direta de subespa¸cos

invariantes por restri¸c˜oes deρ(Y), com Y ∈g. Temos dois casos a considerar: 1◦ _caso

Se Vi ´e gerado por um ´unico elemento, imediatamente teremos ρ(Y) = λi(Y)v,

para v ∈Vi. E da´ı que

(ρ(Y)−λi(Y))v = 0.

2◦ _caso

Se algum Vi se decomp˜oe para algum ρ(Y), podemos tomar uma nova

decom-posi¸cão deV e repetir o argumento anterior. Como a cada nova decomposi¸cão a dimensão dos subespa¸cos diminui, após finitos passos obtemos uma decomposi¸cão final

V =W1⊕. . .⊕W n,

tal que dado Y ∈g,i= 1, ..., n, existe autovalor λi(Y) paraρ(Y) tal que Wi est´a contido

no auto-espa¸co generalizado associado aλi(Y) e segue da decomposi¸c˜ao prim´aria, que se

v ∈Wi

(ρ(Y)−λi(Y))kv = 0

(21)

Ainda, considerandoρi a restri¸c˜ao da representa¸c˜ao ao subespa¸coVλi, observamos

que para todo X ∈ g (ρi(X)−λi(X))kv = 0, para algum k, sempre que v ∈ Vλi. Isto ´e

ρi(X)−λi(X) ´e nilpotente para todo X ∈g. E da´ı quetr(ρi(X)−λi(X)) = 0 e

λi(X) =

trρi(X)

dimVλi

.

Com isso mostramos facilmente queλi ´e linear.

Com tudo que vimos, segue o teorema abaixo.

Teorema 2.26. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre K_{, um corpo}

alge-bricamente fechado, e ρ uma representa¸cão de g, uma Álgebra de Lie nilpotente, em V. Então existem funcionais lineares λ1,..., λs de g tais que se

Vλi ={v ∈V;∀X ∈g,∃n ≥1|(ρ(X)−λi(X))

n_v _{= 0}_}_,

então Vλi é invariante pela representa¸cão ρ, isto éρ(X)(Vλi)⊂Vλi,∀X ∈g,1≤i≤s e

V =Vλ1 ⊕ · · · ⊕Vλs.

Demonstra¸cão. A discussão acima já garante a existência dos subespa¸cos W1, . . . , Ws

invariantes pela representa¸c˜aoρ, e aplica¸c˜oes lineares λi :g−→K tais que

V =W1⊕. . .⊕Ws,

eWi ⊂Vλi como no enunciado.

Se houver v´ariosW′_s_{em um mesmo}_V

λi podemos som´a-los em um ´unicoWi ⊂Vλi,

e agora podemos tomar λi 6= λj, sempre que i 6= j. Os funcionais lineares λi − λj

são não nulos, então podemos tomar X ∈ g não nulo, tal que λi(X) 6= λj(X), para

i6=j. Para X dessa forma, cada λi(X) ´e autovalor de ρ(X). Seja Vλi(X) seu auto-espa¸co

correspondente. Sabemos que auto-espa¸cos correspondentes a autovalores distintos s˜ao disjuntos, eWi ⊂Vλi(X), ent˜ao de V = W1 ⊕. . .⊕Ws segue que Wi = Vλi(X). Mas, por

defini¸c˜ao, Vλi(X) ⊃Vλi, logo Wi ⊃Vλi. Portanto, Wi =Vλi.

O teorema 2.26 motiva a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.27. Um funcional linear λ : g −→ K _{para o qual}

06=Vλ ={v ∈V;∀X ∈g,∃n≥1,(ρ(X)−λ(X))nv = 0}

´e chamado de peso . O subespa¸co Vλ ´e dito subespa¸co de peso associado a λ.

(22)

Defini¸cão 2.29. Sejaguma Álgebra de Lie. Uma aplica¸cão linearD:g−→gé chamada de deriva¸cão, se satisfaz

D[X, Y] = [DX, Y] + [X, DY],

para todoX, Y ∈g.

Exemplo 2.30. Seja g uma Álgebra de Lie e seja X ∈ g. A identidade de Jacobi nos permite concluir que a aplica¸cão linear ad(X) :g−→g é uma deriva¸cão.

Proposi¸cão 2.31. Seja g uma Álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo algebri-camente fechado. Se D:g−→g é uma deriva¸cão e

g=gλ1 ⊕. . .⊕gλm

é a decomposi¸cão primária de g, onde

gλi ={X ∈g: (D−λi)

n_X _{= 0} _{para algum} _n_≥₁_}_,

então [gλi,gλj]⊂gλi+λj e gλi+λj = 0 se λi+λj não é autovalor de D.

Demonstra¸cão. Vamos fixargλi como na decomposi¸cão da proposi¸cão e tome X0 = 0. Se

X ∈gλi, ent˜ao ∃n ≥1, tal que

0 = (D−λi)nX = (D−λi)(D−λi)n−1X.

Considere o menor inteironque satisfaz a condi¸c˜ao acima. ChamandoX1 = (D−λi)n−1X,

obteremos (D−λi)X1 = 0 =X0, isto ´e, DX1 =X0+λiX1. Mais uma vez, vamos chamar

(D−λi)n−2X =X2, temos queX1 = (D−λi)n−1X = (D−λi)(D−λi)n−2X = (D−λi)X2,

isto ´e,DX2 =X1+λiX2. Repetindo o racioc´ınio, podemos obter conjuntos{X1, . . . , Xs}

linearmente independentes, tais que

DXj =Xj−1+λiXj j = 1, . . . , s (X0 = 0),

e existe uma base de gλi formada por tais conjuntos. Sejam {X1, . . . , Xs} ⊂ gλi e

{Y1, . . . , Yt} ⊂ gλj conjuntos linearmente independentes como acima. Mostraremos por

indu¸c˜ao sobre k+l que

[Xk, Yl]∈gλi+λj k= 1, . . . , s l = 1, . . . , t.

ComoD ´e uma deriva¸c˜ao, temos

D[Xk, Yl] = [DXk, Yl] + [Xk, DYl]

= [Xk−1+λiXk, Yl] + [Xk, Yl−1+λjYl]

(23)

de onde conclu´ımos que

(D−(λi+λj))[Xk, Yl] = [Xk−1, Yl] + [Xk, Yl−1].

Se k=l = 1, obtemos (D−(λi+λj))[X1, Y1] = 0, ent˜ao [X1, Y1]∈gλi+λj.

A hipótese de indu¸cão é que

[Xk−1, Yl]∈gλi+λj e [Xk, Yl−1]∈gλi+λj.

Ou seja, [Xk−1, Yl]∈Ker(D−(λi+λj))q, para algumq e [Xk, Yl−1]∈Ker(D−(λi+λj))r,

para algum r. De onde afirmamos que [Xk−1, Yl] + [Xk, Yl−1] ∈ Ker(D −(λi +λj))n,

n= max{q, r}. Portanto,

0 = (D−(λi+λj))n([Xk−1, Yl] + [Xk, Yl−1])

= (D−(λi+λj))n+1[Xk, Yl],

isto ´e, [Xk, Yl]∈gλi+λj.

Considere a deriva¸cão ad(X), para cada X ∈ g, na proposi¸cão acima. Sempre podemos admitir a existência do auto-espa¸co generalizado não-nulo g0(X) associado ao

autovalor λ= 0, j´a que ad(X)X = 0, e da´ıX ∈g0(X).

2.3 Sub´

algebras de Cartan

Agora, introduziremos o conceito de sub´algebra de Cartan, a fim de nos auxiliar na constru¸c˜ao de alguns resultados contidos no decorrer do nosso trabalho.

Defini¸cão 2.32. Seja g uma Álgebra de Lie. Uma subálgebra h⊂g é dita subálgebra de Cartan de g se satisfaz

1. h ´e nilpotente e

2. seu normalizador em g é o próprio h,isto é, {X ∈ g;ad(X)h ⊂ h} = h. Esta condi¸cão é equivalente a

2’. Se X ∈g e [X,h]⊂h ent˜ao X ∈h

Exemplo 2.33. Considere a ´Algebra de Lie g=gl(2,R₎_{. Ent˜ao, o conjunto das matrizes}

diagonaish ={ a 0

0 b

!

(24)

nilpotente, pois ´e abeliano. Ainda, se X = α β γ θ

!

, temos

[ a 0 0 b

!

, α β γ θ

!

] = 0 (a−b)β (b−a)γ 0

!

e este colchete est´a em h se, e s´o se, γ =β = 0. Da´ı, X ∈h.

Seja h⊂guma subálgebra de Cartan. No teorema (2.26), vamos tomar V =g e ρa representa¸cão adjunta de h em g. Como a representa¸cão adjunta de h em si mesma é nilpotente, o funcional nulo é sempre um peso dessa representa¸cão. Denotamos por g0 o

subespa¸co correspondente.

Teorema 2.34. Seja V 6= 0 um espa¸co vetorial de dimensão finita e g ⊂ gl(V) uma subálgebra. Suponha que todo X ∈ g é nilpotente. Então, existe v ∈ V, v 6= 0 tal que

Xv = 0 para todo X ∈g.

Demonstra¸cão. Seja dimg= 1 eX ∈g, X 6= 0.ComoX é nilpotente, existek≥1 tal que Xk _{= 0 e} _Xk−1 ₆_{= 0. Seja} _ω _∈_V _{tal que} _Xk−1_ω ₌ _υ ₆_{= 0. Então} _Xυ _{= 0, o que mostra}

o resultado acima para as Álgebras de Lie de dimensão um. A demonstra¸cão segue por indu¸cão sobre a dimensão deg e está detalhadamente contida em [14].

Proposi¸cão 2.35. Sob as condi¸cões da defini¸cão 2.32, h=g0.

Demonstra¸c˜ao. Da discuss˜ao acima, temos

g0 ={X ∈g;∀H ∈h; (ad(H))n(X) = 0}

A representa¸cão adjunta de h em g0 é nilpotente, e induz uma representa¸cão também

nilpotente,

ρ:h −→ gl(g0/h)

H 7−→ρ(H) :g0/h−→g0/h.

v+h7−→ad(H)v+h, isto é, a transforma¸cão linearρ(H) é nilpotente, para todo H ∈h.

Pelo teorema 2.34, existe ˜v ∈ g0/h não nulo, que é autovetor simultâneo de

ρ(H) para todo H ∈ h, com ρ(H)˜v = ˜0 ≡ h. Seja v ∈ g0 tal que ˜v = v +h. Como

h = ρ(H)˜v = ad(H)v +h, nos resta que ad(H)v ∈ h. Ent˜ao v est´a no normalizador de

h, que é o próprio h, da´ıv ∈ h. Isso significa que ˜v = ˜0, que não é autovetor. Nos resta

(25)

Os pesos não-nulos da representa¸cão adjunta de h em g são chamados de ra´ızes. Seu conjunto será denotado por Q

. Segue do Teorema 2.26 e da afirma¸cão acima, que dada uma Álgebra de Lie g de dimensão finita sobre o corpo dos complexos, dada uma subálgebra de Cartanhdege denotando porQ

o conjunto de ra´ızes do par (h,g), podemos escrever

g=h⊕X

λ∈Q

gλ,

onde gλ ={X ∈g;∀H ∈h; (ad(H)−λ(H))n(X) = 0, para algumn ≥1}.

2.4 Elementos regulares

Sejaguma ´Algebra de Lie n-dimensional. Para definir um elemento regular, tome X ∈g. Denotaremos por pX o o polinˆomio caracter´ıstico de ad(X) da forma

pX(λ) = λn+pn−1(X)λn−1+. . .+p1(X)λ+p0(X),

onde cadapi(·) é um polinômio de graun−inas coordenadas deX, já que os coeficientes

do polinômio caracter´ıstico são polinômios no espa¸co das transforma¸cões lineares e ad é linear emX. Em geral, esses coeficientes são dados pelo tra¸co de algum produto exterior da transforma¸cão linear.

Defini¸cão 2.36. O posto de uma Álgebra de Lie de dimensão finita é o menor ´ındice i

em que pi não é identicamente nulo, onde pi denota, os coeficientes do polinômio

carac-ter´ıstico. Um elemento X ∈g ´e dito regular se pi(X)6= 0 onde i ´e o posto de g.

A Álgebra de Cartan é exatamente o subespa¸co g0 que aparece na decomposi¸cão

primária da transforma¸cão linear ad(X), para um elemento regular X genérico em h.

Exemplo 2.37. Seja sl(2,R₎ _{com a base}

{X =

"

0 1 0 0

#

, Y =

"

1 0 0 −1

# Z = " 0 0 1 0 # }

Tomando H =aX+bY +cZ, a matriz de sua adjunta nesta base ´e

ad(H) =



  

2b −2a 0

−c 0 a 0 2c −2b



  

e, portanto,pH(λ) = λ3−4(b2+ac)λ. Da defini¸c˜ao acima, temos que o posto de sl(2,R)

é um e H é elemento regular se e só se b2 ₊_ac ₆_{= 0}_{. Em particular} _Y _{é um elemento}

(26)

Teorema 2.38. Seja g uma Álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de ca-racter´ıstica zero e h ⊂ g uma subálgebra de Cartan. Então, existe um elemento regular

X ∈h.

Antes de demonstrar o teorema acima, faremos uma breve discussão sobre a a¸cão dos automorfismos sobre as subálgebras de Cartan.

2.5 Conjuga¸

c˜

ao entre ´

Algebras de Cartan

Defini¸cão 2.39. Duas subálgebras de Cartan são ditas conjugadas, se uma é a imagem da outra por automorfismo de g.

Apresentaremos agora um fato relevante, que se refere a ´Algebras de Cartan, a ser utilizado no capitulo seguinte.

Teorema 2.40.Numa Álgebra de Lie sobre um corpo algebricamente fechado, as subálgebras de Cartan são duas a duas conjugadas por automorfismos.

Demonstraremos este resultado por procedimento puramente algébrico. Nesse sentido, vamos recorrer aoTeorema Polinomial da Aplica¸cão Aberta. Por questões didáticas, é conveniente comentar com alguns detalhes as propriedades básicas dos polinômios sobre espa¸cos vetoriais sobre um corpoK_{algebricamente fechado e de caracter´ıstica zero .}

Defini¸cão 2.41. Seja V um espa¸co vetorial de dimensão finita sobre K_{. Um polinômio}

em V é uma aplica¸cão p : V −→ K _{que é constante ou pode ser escrita como soma de}

produto finitos de funcionais lineares de V. O conjunto dos polinˆomios ser´a chamado de

K_[V_]_.

Defini¸cão 2.42. Seja agora, W outro espa¸co vetorial sobre o corpo K_{. Uma aplica¸cão} P :V −→W é dita polinomial se λ◦P é um polinômio em V para todo funcional linear

λ∈K_.

O Teorema da Aplica¸cão Aberta é utilizado para garantir que a imagem de um aberto por uma aplica¸cão que possui diferencial sobrejetora contém um conjunto aberto. No contexto algébrico, um conjunto é aberto se for o complementar do conjunto dos zeros de um polinômio. Neste sentido enunciamos o teorema da Aplica¸cão Aberta a aplica¸cões polinomiais.

Teorema 2.43. (Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta a aplica¸c˜oes polinomiais)

Seja P : V −→ W uma aplica¸c˜ao polinomial e suponha que dPx ´e sobrejetora

para algum x ∈ V. Seja p um polinômio não-nulo em V. Então, exite um polinômio

(27)

Demonstra¸c˜ao. Ver [14]

Nossa inten¸cão aqui, é aplicar o Teorema da Aplica¸cão Aberta para aplica¸cões polinomiais a transforma¸cão

(X, Y)7−→ead(X)_Y,

onde ead(X) ₌P

n≥0

1

n!ad(X)

n_.

Como as sub´algebras de Cartan s˜ao nilpotentes, temos que ad(X)k _{= 0, para}

algum k ≥ 0. Com isso, ´e suficiente considerar exponenciais que s˜ao dadas por somas finitas.

Proposi¸cão 2.44. Seja g uma Álgebra de Lie. Se D é uma deriva¸cão nilpotente de g, então etD _{é um automorfismo de} _g_{, para todo} _t_∈_K_.

Demonstra¸c˜ao. DadosX, Y ∈g, considere as curvas α :K_−→_g _β _:K_−→_g

t7−→etD_{[X, Y}_] _t_7−→_[etD_{X, e}tD_Y_]

ComoD ´e nilpotente, essas curvas s˜ao polinomiais. Derivando, temos

α′(t) = DetD_{[X, Y}_{] =}_Dα(t).

Considerando as transforma¸c˜oesT1 eT2 dadas respectivamente por T1(t) = etDX

eT2(t) =etDY,utilizando o colchete do exemplo 2.3, obtemos

β′(t) = [T1, T2]′t

= [T₁′, T2]t+ [T1, T2′]t

= [Det_{X, e}t_Y_{] + [e}t_{X, De}t_Y_]

=Dβ(t)

Ora, como α(0) = β(0) as duas curvas satisfazem o mesmo Problema de Valor Inicial. Então, segue do teorema de Unicidade de Solu¸cão queα(t) = β(t)∀t∈K_{. Isto é,}

etD_{[X, Y}_{] = [e}tD_{X, e}tD_Y_].

Tamb´em,

detetD ₌_etr(tD) _{= 1,}

já que o tra¸co de uma transforma¸cão linear nilpotente se anula. Portanto, et_D _{é um}

(28)

Agora, dada uma sub´algebra de Cartan h, tomando X num subespa¸co de ra´ızes

gλi e Y num subespa¸co de ra´ızes gλj, segue da proposi¸c˜ao 2.31 que [X, Y] ∈ gλi+λj, isto

´e, ad(X)Y ∈ gλi+λj. Por indu¸c˜ao sobre k ≥ 1, temos ad(X)

k_Y _∈ _g

k.λi+λj. Mas, existe

um número finito de ra´ızes, então existe k ≥ 1, tal que ad(X)k_Y _{= 0, e da´ı que ad(X) é}

nilpotente.

O Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta ser´a explorado no seguinte contexto. Sejam

{X1, ..., Xn}uma uni˜ao de bases dos g′λs e {H1, ..., Hm} uma base de h. A aplica¸c˜ao

ϕ :Kn_×_h_−→_g

(t, H)7−→et1ad(X1)_.et2ad(X2)_{. . . e}tnad(Xn)_(H),

ondet = (t1, ..., tn)∈Kn é uma aplica¸cão polinomial, pois ad(Xi) é nilpotente para cada

i= 1, ..., n eϕ ´e linear em H.

Tomando as derivadas parciais em rela¸c˜ao a ti, tem-se

∂ϕ ∂ti

(0, H) =ad(Xi)(H) =−[H, Xi] =−λi(H)Xi,

onde λi ´e a raiz correspondente a Xi. Complementando essas derivadas parciais com as

derivadas direcionais na dire¸cão de H ∈ h, vê-se que dϕ(0,H) é sobrejetiva se λ(H) 6= 0

para toda raizλ.

Sejap um polinˆomio n˜ao nulo emKn_×_h_com _p₌_p

i◦ϕ, ondepi(X) ´e polinˆomio

não nulo emg que é o coeficiente do termo de menor grau do polinômio caracter´ıstico de ad(X), e i é o posto de g. Segue do Teorema da Aplica¸cão Aberta que existe q ∈ K₍_g_), tal que dadoY ∈gcom q(Y)6= 0 existe (t, H)∈Kn_×_h _com _{p(t, H)}₆_{= 0 e} _{ϕ(t, H) =} _Y_.

Agora, 06=p(t, H) = pi(ϕ(t, H)) =pi(Y) e da´ı queY ´e regular. De modo queH

tamb´em ´e regular, pois

Y =et1ad(X1)_.et2ad(X2)_{. . . e}tnad(Xn)_(H)

e imagens de elementos regulares por automorfismos s˜ao regulares. Isso mostra que h

cont´em elementos regulares. Como quer´ıamos no teorema 2.38.

Com tudo que vimos, para toda subálgebra de Cartan dada, existe um polinômio não nuloq ∈gtal que o conjunto

Cq={Y ∈g:q(Y)6= 0}

´e formado por elementos regulares e para todo Y ∈ Cq, existe um automorfismo ψ de g

tal que ψ(Y)∈h.

Tome outra sub´algebra de Cartan h′, tem-se um polinˆomio q′ _{com mesmas}

pro-priedades. Como qq′ _{é um polinômio não nulo, existe} _Y _∈ _g _{tal que} _q(Y₎ ₆_{= 0} ₆₌ _q′_(Y_).

Para esteY existem ψ e ψ′ _{tais que} _ψ(Y₎_∈_h _e _ψ′_(Y₎_∈_h′_{, e da´ı que}

(29)

Masψ(Y) ´e um elemento regular emh, logoψ′_ψ−1₍_h_{) =}_h′_{, o que mostra que}_h′ _{´e imagem}

de h por automorfismo, isto é, duas subálgebras de Cartan são conjugadas entre si por automorfismos deg.

2.6 Sub´

algebra de Borel

Nosso objetivo agora é definir a subálgebra de Borel. O primeiro passo consiste numa discussão sobre a ordem lexicográfica em espa¸cos vetoriais.

Defini¸c˜ao 2.45. Seja V um espa¸co vetorial sobre o corpo ordenado K _e _{_v₁_{, ..., v}_n_} _uma

base de V. Sejam v, w∈V escritos na forma

v =a1v1+...+anvn

w=b1v1+...+bnvn,

com ai, bi ∈ K. A ordem lexicográfica em V em rela¸cão a base {v1, ..., vn} é dada por

v ≤w se v =w ou seai < bi, onde i representa o primeiro ´ındice em que as coordenadas

de v e w são diferentes. Essa ordem define de fato uma ordem que é compat´ıvel com a estrutura de espa¸co vetorial (isto é, v ≤w⇒v+u≤w+ue xv ≤xwse x >0 ev ≤w). Exemplo 2.46. A rela¸cão R = {(a+bi, c+di) : b < d ou b = d e a ≤ c}, definida no conjunto dos números complexos, é uma ordem lexicográfica para o conjunto C_.

Conside-rando z1 =−5−i, z2 = 6−i, z3 =−2 + 3i, z4 = 3 + 3i e z5 =−2 + 4i, temos a seguinte

ordem lexicogr´afica z1 ≤z2 ≤z3 ≤z4 ≤z5.

Denotaremos por Q+

⊂ Q

o conjunto de todas as ra´ızes positivas. Isto é, o conjunto dos pesos não-nulos da representa¸cão adjunta de h em g que são funcionais lineares no espa¸co vetorial h que levam todo elemento positivo X ∈ h (escolhendo uma ordem lexicográfica em h) em um elemento não-negativo em C _{(escolhendo uma ordem} lexicográfica no conjuntoC_).

Defini¸c˜ao 2.47. Para uma escolha de ra´ızes positivas Q+

⊂ Q

, seja b = h⊕n+, onde

n+ =P

λ∈Q+g_λ. A subálgebra b de g é chamada de subálgebra de Borel gerada por Q+.

(30)

2.7 Estruturas Complexas

Defini¸cão 2.49. Seja g uma Álgebra de Lie. Dizemos que g é uma Álgebra de Lie complexa se for espa¸co vetorial complexo e [iX, Y] =i[X, Y], para todo X, Y ∈g.

Defini¸cão 2.50. Uma estrutura complexa sobre uma Álgebra de Lie real g é um endo-morfismo J do espa¸co vetorial g tal que J2 ₌₋_I_{. No que segue vamos supor sempre que}

J é integrável, isto é, NJ = 0, onde NJ é o tensor de Nijenhuis de J:

NJ(X, Y) =J[X, Y]−[JX, Y]−[X, JY]−J[JX, JY].

Defini¸c˜ao 2.51. Dizemos que uma estrutura complexa J sobre g ´e adaptada se

[JX, Y] =J[X, Y].

para todoX, Y ∈g.

Observa¸cão 2.52. Se J é uma estrutura complexa adaptada, então J é integrável. De fato,

J[X, Y]−[JX, Y]−[X, JY]−J[JX, JY] =J[X, Y]−J[X, Y]−J[X, Y]−J2[X, JY] =J[X, Y]−J[X, Y]−J[X, Y] +J[X, Y] = 0

Observa¸c˜ao 2.53. No caso deJ ser uma estrutura complexa adaptadagpassa a ser uma ´

Algebra de Lie Complexa se definirmos a multiplica¸c˜ao por escalares complexos atrav´es de J. Tomado iX ≡JX, temos

[iX, Y] = [JX, Y] =J[X, Y] =i[X, Y].

A princ´ıpio, vamos considerar g como espa¸co vetorial real, dimRg = n. Sejam {1, i},{X1, ..., Xn} bases deC eg, respectivamente. A complexificada deg ´e dada por

gC =C_⊗_g_.

Ent˜ao, {X1, ..., Xn, iX1, ..., iXn} constitui uma base de g

C

, dimRg

C

= 2n e podemos escrevergC =g⊕ig.Segé Álgebra de Lie real, é fácil estender o colchete de Lie a gC de modo que ela se torne uma Álgebra de Lie Complexa.

Dada uma estrutura complexa integr´avelJ sobreg, sua complexificadagC

=g⊕ig

pode ser escrita comogC

=g1,0_⊕_g0,1_{, onde}

g1,0 ={X ∈gC;JX =iX} e g0,1 ={X ∈gC;JX =−iX}

(31)

Proposi¸cão 2.54. Os auto-espa¸cos g1,0 _e _g0,1 _{são subálgebras de} _gC .

Demonstra¸cão. ComoJ é integrável (NJ(X, Y) = 0), temos para X, Y ∈g1,0

0 =J[X, Y]−[JX, Y]−[X, JY]−J[JX, JY] =J[X, Y]−[iX, Y]−[X, iY]−J[iX, iY] =J[X, Y]−i[X, Y]−i[X, Y] +J[X, Y] = 2J[X, Y]−2i[X, Y].

AssimJ[X, Y] =i[X, Y] e da´ı, [X, Y] ∈g1,0, para quaisquer X, Y ∈ g1,0. Analogamente J[X, Y] =−i[X, Y], para quaisquer X, Y ∈g0,1_.

Defini¸cão 2.55. Seja g uma Álgebra de Lie e J uma estrutura complexa sobre g. J é dita abeliana se satisfaz

[JX, JY] = [X, Y],∀X, Y ∈g.

Defini¸c˜ao 2.56. Seja g uma ´Algebra de Lie real e J1 e J2 estruturas complexas sobre g.

Dizemos que o par {J1, J2}´e uma estrutura hipercomplexa sobre g, se

J1◦J2 =−J2◦J1.

Uma estrutura hipercomplexa{J1, J2}´e dita abeliana, se J1 e J2 s˜ao estruturas complexas

abelianas.

Observa¸cão 2.57. Algumas vezes uma estrutura hipercomplexa é apresentada como uma tripla de estruturas complexas {J1, J2, J3} satisfazendo a rela¸cão dos quatérnios

J3 =J1J2 =−J2J1.

Proposi¸cão 2.58. Sejam J1 e J2 estruturas complexas integráveis sobre uma Álgebra de

Lie g. Se {J1, J2} é estrutura hipercomplexa sobre g e J1 é abeliana, então J2 também é

abeliana.

Demonstra¸c˜ao. Da integrabilidade de J2 e de J22 =−I, temos

−[X, Y] =J2[J2X, Y] +J2[X, J2Y]−[J2X, J2Y],

para todo X, Y ∈ g. Com isso, basta mostrarmos que J2[J2X, Y] +J2[X, J2Y] = 0, isto

´e [J2X, Y] = −[X, J2Y]. Do fato de J1 e J2 serem hipercomplexas, J2 ser integr´avel e J1

ser abeliana, temos

[J2X, Y] + [X, J2Y] +J2[J2X, J2Y] =J2[X, Y] =J2[J1X, J1Y]

= [J2J1X, J1Y] + [J1X, J2J1Y] +J2[J2J1X, J2J1Y]

= [−J1J2X, J1Y] + [J1X,−J1J2Y] +J2[J1J2X, J1J2Y]

=−[J2X, Y]−[X, J2Y] +J2[J2X, J2Y].

(32)

3 Auto-espa¸

cos nilpotentes

Neste cap´ıtulo estaremos interessados em caracterizar e exemplificar Álgebras de Lie, com estrutura complexa cujos subespa¸cos sejam subálgebras nilpotentes. Por questões didáticas, na primeira se¸cão faremos um estudo mais detalhado sobre estruturas complexas Jdefinindo emgum novo colchete de Lie, de modo queg, munida deste colchete, seja uma álgebra de Lei isomorfa às subálgebrasg1,0eg0,1. Na segunda se¸cão veremos que dada uma álgebra de Lieg, tal queg1,0(ou equivalentementeg0,1) é uma subálgebra nilpotente degC, entãogé solúvel. Neste sentido, iremos nos dedicar a estruturas complexas para as quais os ± i auto-espa¸cos são subálgebras de gC

, para tanto consideraremos apenas Álgebras de Lie que admitem estruturas complexas integráveis. Na terceira se¸cão caracterizaremos as Álgebras de Lie solúveis até dimensão 6 que admitem estruturas complexas com auto-espa¸cos nilpotentes. Por fim, na quarta se¸cão faremos a constru¸cão detalhada de vários exemplos que satisfazem as condi¸cões dos resultados obtidos durante todo o cap´ıtulo.

3.1 O colchete*

Para estudar a estrutura complexa J definimos em g um novo colchete de Lie [∗]J, tal que g1,0 eg0,1 sejam ´Algebras de Lie isomorfas a (g,[∗]J)

Defini¸cão 3.1. Seja (g,[., .]) uma Álgebra de Lie com uma estrutura complexa integrável

J. Definimos

[∗]J :g×g−→g

(X, Y)7−→[X∗Y]J =

1

2([X, Y]−[JX, JY])

Proposi¸cão 3.2. (g,[∗]J), como definida acima, é uma Álgebra de Lie.

Demonstra¸cão. A anti-simetria é óbvia. Sejam α, β ∈C_{, temos}

[αX+βY ∗Z]J =

1

2([αX+βY, Z]−[J(αX+βY,), JZ]) = 1

2(α[X, Y] +β[Y, Z]−[αJX +βJY, JZ]) =α[X∗Z]J +β[Y ∗Z]J.

Isso prova a bilinearidade.

(33)

temos

[X∗[Y ∗Z]J]J =[X∗

1

2([Y, Z]−[JY, JZ])]J =1

2([X, 1

2([Y, Z]−[JY, JZ])]−[JX, J( 1

2([Y, Z]−[JY, JZ]))]) =1

2([X, 1

2([Y, Z]−[JY, JZ])]−[JX, 1

2([JY, Z]) + [Y, JZ]) =1

4([X,[Y, Z]] + [JZ,[X, JY]] + [JY,[JZ, X]] + [Z,[JX, JY]]+ + [JY,[Z, JX]] + [JZ,[JX, Y]] + [Y,[JZ, JX]])

Do mesmo modo, obtemos

[Z∗[X∗Y]J]J =

1

4([Z,[X, Y]]+[JY,[Z, JX]]+[JX,[JY, Z]]+[Y,[JZ, JX]]+[JX,[Y, JZ]]+ + [JY,[JZ, X]] + [X,[JY, JZ]]) e

[Y∗[Z∗X]J]J =

1

4([Y,[Z, X]]+[JX,[Y, JZ]]+[JZ,[JX, Y]]+[X,[JY, JZ]]+[JZ,[X, JY]]+ + [JX[, JY, Z] + [Z,[JX, JY]]). Das três últimas equa¸cões, conclu´ımos que

[X∗[Y ∗Z]J]J + [Z ∗[X∗Y]J]J + [Y ∗[Z ∗X]J]J =

1

4([X,[Y, Z]] + [Z,[X, Y]] + [Y,[Z, X]])+ +1

2([X,[JY, JZ]] + [JZ,[X, JY]]+ + [JY,[JZ, X]] + [Z,[JX, JY]]+ + [JY,[Z, JX]] + [JX,[Y, JZ]]+ + [JZ,[JX, Y]] + [Y,[JZ, JX]]+ + [JX,[JY, Z]]).

Agora usaremos a validade da identidade de Jacobi para o colchete [., .] [X∗[Y ∗Z]J]J + [Z∗[X∗Y]J]J + [Y ∗[Z∗X]J]J =

1

2{([X,[JY, JZ]] + [JZ,[X, JY]]+ + [JY,[JZ, X]]) + [Z,[JX, JY]]+ + [JY,[Z, JX]] + [JX,[JY, Z]])+ + [JX,[Y, JZ]] + [JZ,[JX, Y]]+ + [Y,[JZ, JX]]

(34)

No que segue denotamos a ´Algebra de Lie (g, [∗]J) por g∗.

Fato 3.3. Seja g uma Álgebra de Lie e J uma estrutura complexa sobre g. Então g∗ é

abeliana se, e s´o se, J ´e abeliana.

Demonstra¸c˜ao. [X∗Y]J = 0 se, e s´o se, [X, Y]−[JX, JY] = 0;X, Y ∈g

Proposi¸cão 3.4. Seja (g,[., .]) uma Álgebra de Lie com estrutura complexa integrávelJ. EntãoJ é adaptada a (g,[∗]J). Consequentemente,g∗ é uma Álgebra de Lie complexa, se

definirmos a multiplica¸c˜ao por i atrav´es de J.

Demonstra¸c˜ao. DadosX, Y ∈g, temos J[X∗Y]J =

1

2(J[X, Y]−J[JX, JY]) = 1

2([JX, Y] + [X, JY]) = 1

2([JX, Y]−[JJX, JY]) = [JX ∗Y]J.

Proposi¸cão 3.5. Seja (g,[., .]) uma Álgebra de Lie com estrutura complexa J. Então as ´

Algebras de Lie g1,0, g0,1 e (g,[∗]J) s˜ao isomorfas.

Demonstra¸c˜ao. Tome Z ∈ {X−iJX;X ∈g}.

JZ =JX−iJ2X =JX−i(−X) = JX+iX =i(X−iJX) = iZ, isto ´e{X−iJX;X ∈g} ⊆g1,0_.

Tome Z ∈g1,0_{, e sejam} _{X, Y} _∈_g _{tais que} _Z ₌_X₊_iY_{. Temos que}

JZ =iZ =⇒JX+iJY =i(X+iY) = −Y +iX.

Nos resta que −JX = Y, e da´ıZ = X−iJX. Logo, {X−iJX;X ∈ g} ⊇ g1,0_{. Com}

isso, mostramos queg1,0 ={X−iJX;X ∈g}. Considere

ϕ : (g,[∗]J)−→g1,0

X 7−→ 1

2(X−iJX) ´

(35)

Como J ´e adaptada a (g,[∗]J) , temos que

ϕ[X∗Y]J =

1

2([X∗Y]J−iJ[X∗Y]J) = 1

4([X, Y]−[JX, JY])− 1

4iJ([X, Y]−[JX, JY]) = 1

4([X, Y]−[JX, JY]−i[JX, Y]−[X, JY]) = 1

4([X, Y] + [X,−iJY] + [−iJX, Y] + [−iJX,−iJY]) = [1

2(X−iJX), 1

2(Y −iJY)] = [ϕ(X), ϕ(Y)].

Logo ϕ ´e homeomorfismo, e portanto isomorfismo entre (g,[∗]J) e g1,0.

Analo-gamente, g0,1 _{´e isomorfo a (}_g_,_[_∗_]

J). Basta definir o isomorfismo ψ(X) =

1

2(X+iJX) e observar queg0,1 ={X+iJX;X ∈g} .

Das proposi¸c˜oes 3.4 e 3.5, temos o seguinte corol´ario.

Corolário 3.6. Seja (g,[., .]) uma Álgebra de Lie com estrutura complexa integrável J. Então os ±i auto-espa¸cos g0,1 _e _g1,0 _de _J _{são subálgebras complexas de} _gC

=g⊕ig. Defini¸cão 3.7. Seja g uma Álgebra de Lie e J uma estrutura complexa sobreg. J é dita s-passos nilpotente se é integrável e g∗ é s-passos nilpotente.

Uma estrutura hipercomplexa dada por um par{J1, J2}de estruturas complexas

´e s-passos nilpotente se tanto J1 como J2 s˜ao s-passos nilpotente para o mesmo s.

3.2 g

´

e sol´

uvel se

g∗

´

e nilpotente

O principal resultado que obteremos nesta se¸cão é que se g∗ é nilpotente, então

g é solúvel. Veremos, nas próximas se¸cões, exemplos onde g∗ é nilpotente e g é solúvel,

mas n˜ao ´e nilpotente.

Teorema 3.8. Seja guma ´Algebra de Lie com estrutura complexa, tal queg∗´e nilpotente.

Entãog é solúvel.

A demonstra¸cão deste Teorema é baseada em um lema de Goto. Por questões didáticas, seguem algumas defini¸cões cujo conhecimento é fundamental para a demons-tra¸cão do Lema de Goto.

Defini¸c˜ao 3.9. Seja A um subconjunto de g. Chamamos de centralizador de A em g e denotamos por z(A) o conjunto

(36)

O centralizador de g em g ser´a chamado de centro de g e ser´a denotado por

c(g) ={X ∈g: [X, Y] = 0,∀Y ∈g}

Defini¸cão 3.10. Seja g uma Álgebra de Lie sobre um corpo K_{. Diremos que} _X _∈ _g _é

um elemento semi-simples de g se ad(X)é diagonalizável para alguma extensão de K_.

Observa¸cão 3.11. Se g é semi-simples, então as subálgebras de Cartan de g são as subálgebras abelianas maximais cujos elementos são semi-simples. Ver [11].

Lema 3.12. (Goto) Seja g uma Álgebra de Lie semi-simples sobre um corpo algebrica-mente fechado e de caracter´ıstica zero, e seja n ⊂ g uma subálgebra nilpotente. Então

dimn ≤dimb−dimh = dimg−dimh

2 ,

onde b é uma subálgebra de Borel e h uma subálgebra de Cartan.

Demonstra¸cão. Sené nilpotente, entãoné solúvel. Da´ı está contida em alguma subálgebra de Borel b = h ⊕ n+, já que g é semi-simples. Considere s o conjunto de todos os ele-mentos semi-simples den e seja X ∈s. Comon é nilpotente e ad(X) é diagonalizável em

gC, nos resta que ad(X) = 0, sempre que restrita an. Segue que s⊂c(n) e sé abeliana. Como s é abeliana e seus elementos são semi-simples, temos que s está contida em alguma subálgebra de Cartan ˜h de b. Como h ⊂ b é subálgebra de Cartan de g, ela é abeliana maximal com elementos semi-simples, logo é também subálgebra de Cartan de b. Assim, h e ˜h são conjugadas por algum automorfismo de b, e trocando n e s por suas imagens através desse automorfismo podemos sem perda de generalidade assumir

s⊂h ⊂b. Logo

s⊂h∩n.

Por outro lado, os elementos de h s˜ao semi-simples. Segue da forma como s foi definida que

h∩n ⊂s.

Portantoh∩n =s

Seja Γ = {λ ∈ Π+ _: _{λ(S) = 0,}_∀_S _∈ _s_} _{e seja} _l

1 = h⊕P_λ∈_Γgλ. Afirmamos

que l1 ´e o centralizador de s em b. De fato, se B ∈ z(s), em particular B ∈ b. Seja

B =H+P

λ∈Π+Gλ, com H ∈h e Gλ ∈gλ. Tome S ∈s, ent˜ao

0 = ad(S)B =ad(S)H+ X

λ∈Π+

ad(S)Gλ = 0 +

X

λ∈Π+

λ(S)Gλ,

para todoS ∈s. Nos resta que seGλ 6= 0, entãoλ(S) = 0, isto é,λ ∈Γ eB ∈l1. A última

(37)

Pois, neste caso, sempre que (ad(S)−λ(S))n_X _{= 0, teremos (ad(S)}₋_λ(S))X _{= 0, e da´ı}

ad(S)X =λ(S)X, para todo X ∈gλ.

Analogamente, se L=H+P

λ∈ΓGλ, segue que

ad(S)L=ad(S)H+X

λ∈Γ

ad(S)Gλ = 0 +

X

λ∈Γ

λ(S)Gλ,

pelo mesmo motivo de antes. Ainda de λ ∈ Γ, temos λ(S) = 0, e ad(S)L = 0. Logo L∈z(s).

Portanto, h+n⊂z(s) =l1 e assim

diml1 ≥dimn+ dimh−dimh∩n= dimn+ dimh−dims.

Por outro lado, se pomos l2 = Pλ∈Π+_\_Γgλ ent˜ao b = h⊕ n+ = l1 ⊕l2. Seja

σ = {λ1, ..., λn} o sistema simples de ra´ızes contido em Π+. σ ´e base do dual de h e

σ|s= {λ1|s, ..., λn|s} gera o dual de s. Mas se λi ∈ Γ, ent˜ao λi |s= 0, de modo que

devem existir pelo menos r ra´ızes λ1, ..., λr ∈ σ, r ≥dims∗ = dims, que n˜ao est˜ao em Γ.

De modo que os espa¸cos de ra´ızes gλi, i = 1, ..., r est˜ao contidos em l2, isso mostra que

diml2 ≥dims.

Combinando as desigualdades temos

dimb = diml1 + diml2 ≥diml1+ dims≥dimn+ dimh.

Assim, dimn≤dimb−dimh. Por fim, seja n−=P

λ∈Q−g_λ e

Q−

=−Q+

. Ent˜ao,

g=h⊕n+⊕n−.

Comon− en+ são subálgebras isomorfas, logo têm as mesma dimensões, ver [14]. É fácil ver que

dimg−dimh = 2 dimn+,

e por outro lado dimb−dimh = dimn+. Isso conclui a demonstra¸c˜ao do Lema.

Proposi¸cão 3.13. Seja g uma Álgebra de Lie sobre K _e K¯ _{uma extensão de} K_. _g _é

solúvel se e só se gK¯ = ¯K_⊗_g _{é sol´}_uvel.

Demonstra¸cão. De fato, as álgebras derivadas tanto de g quanto de gK¯ são gerados por colchetes sucessivos de elementos de g; as álgebras derivadas de g são obtidas por com-bina¸cões lineares com coeficientes emK_{enquanto as de} _gK¯

por combina¸c˜oes lineares com coeficientes em ¯K_{. Da´ı que}

(g(n))K¯

= (gK¯)(n)

(38)

Proposi¸c˜ao 3.14. Seja g uma ´algebra de Lie e h ⊂ g um ideal. Suponha que tanto h

quanto g/h sejam solúveis. Então gé solúvel.

Ver demonstra¸c˜ao [14].

Proposi¸cão 3.15. Seja guma Álgebra de Lie que não é solúvel er(g)seu radical solúvel. Entãog/r(g) é semi-simples.

Demonstra¸cão. Seja π :g −→ g/r(g) o homomorfismo canônico e tome um ideal solúvel

i⊂ g/r(g). Então, π−1₍_i_{) é um ideal que contém} _r₍_g_{) e} _i ₌_π−1₍_i_)/_r₍_g_{). Assim,} _π−1₍_i_{) é}

solúvel e, portanto, está contido em r(g), isto é i= 0, entãog/r(g) é semi-simples. Estamos preparados para demonstrar o teorema 3.8.

Demonstra¸c˜ao. (Teorema 3.8) Escrevendo a complexificadagC

deg como soma direta de duas sub´algebras nilpotentes, por isomorfismo deg∗.

gC =g1,0⊕g0,1

Suponhamos que g não é solúvel. Da proposi¸cão 3.13 ter´ıamos que gC não é solúvel. Se r(gC) é o radical solúvel de gC, a proposi¸cão 3.15 garante que a Álgebra de Liem=gC

/r(gC

) ´e semi-simples. Considere n1 en2 as respectivas proje¸c˜oes de g1,0 e g0,1

sobrem. As proje¸c˜oes n1 e n2continuam nilpotentes e m=n1⊕n2. Logo, pelo lema 3.12,

dimn1 < 1₂dimm e dimn2 < 1₂dimm. Contradi¸c˜ao a menos que m={0}.

Portanto g´e sol´uvel.

3.3 Caracteriza¸

c˜

ao de

g

∗

at´

e dimens˜

ao complexa 3

Considerando apenas estruturas complexas integr´aveis, iremos caracterizar as ´

Algebras de Lieh nilpotentes, tais que existeg comg∗ =h. Esta caracteriza¸c˜ao ser´a feita

separadamente, considerandoh de dimens˜oes complexas 1,2 e 3.

Se hé Álgebra de Lie Complexa 1-dimensional, entãoh é abeliana.

Proposi¸c˜ao 3.16. Seja h uma ´Algebra de Lie nilpotente 2-dimensional, sobre um corpo

K_{. Ent˜ao} _h _{´e abeliana.}

Demonstra¸c˜ao. Se dimh = 2, afirmamos que dimh1 = 1 ou dimh1 = 0. Caso contr´ario, ter´ıamos h=h1. Da´ı

(39)

o que não é poss´ıvel, já quehé nilpotente. Um racioc´ınio análogo mostra que dimh2 = 0. Suponha dimh1 = 1 e seja {X} uma base de h1. Seja Y ∈ h\h1 tal que {X, Y} é uma base de h. Temos que [X, Y] ∈ h1, já que h1 é ideal de h. Tome c ∈ K _{tal que} [X, Y] =cX. Se c6= 0, entãoX = 1

c[X, Y] e [X, Y] = [ 1

c[X, Y], Y]∈h

2 ₌_{₀_}_{. Nos resta}

quec= 0⇒[X, Y] = 0. Logo h ´e abeliana.

Da afirma¸cão acima, segue que se h é uma Álgebra de Lie Complexa nilpotente 2-dimensional, entãoh=g∗ para g abeliana de dimensão real 4.

Proposi¸cão 3.17. Seja g uma Álgebra de Lie 2-dimensional. Então g é abeliana ou existe uma base {X, Y} de g tal que [X, Y] =Y.

Demonstra¸cão. Seja g uma Álgebra de Lie não abeliana e tome {X, Y} uma base de g. Temos que [X, Y]6= 0. Seja [X, Y] =Y′ e tome X′ ∈g, tal que {X′, Y′_} _{forme uma base}

de g. Podemos escrever X′

e Y′ _{com rela¸c˜ao a base} _{_{X, Y}_}_{. Sejam} _{α, β, γ, δ} _em _K _tais

queX′

=αX+βY e Y′ ₌_γX₊_δY_{. Da´ı,}

[X′, Y′] = [αX +βY, γX+δY] = (αγ−βδ)[X, Y] = (αγ −βδ)Y′.

Como g é Álgebra de Lie não abeliana, temos (αγ −βδ) 6= 0. Então podemos definir A= (αγ −βδ)−1_X′

e B =Y′_{. Como}

[A, B] = (αγ −βδ)−1[X′, Y′] = (αγ−βδ)−1(αγ−βδ)Y′ =Y′ =B, a base que procuramos ´e{A, B}.

Teorema 3.18. Seja g uma Álgebra de Lie tridimensional cuja álgebra derivada g′ é unidimensional. Suponhag′ ⊂c(g). Então existe uma base{X, Y, Z}degtal que[Y, Z] = X,[X, Y] = 0 e [X, Z] = 0 ou seja, g é isomorfa à Álgebra de Heinsenberg.

Demonstra¸c˜ao. Sejam{X} e{X, Y1, Z} bases de g′ e grespectivamente. Comog′ ⊂c(g)

eX ∈g′temos [X, W] = 0 para qualquerW ∈g, e, em particular [X, Y1] = 0 e [X, Z] = 0.

Como [Z, Y1] ∈ g′, temos que [Z, Y1] = aX. Se a = 0, teremos [Z, Y1] = 0. E da´ı para

quaisquer U, V ∈g vale

[U, V] = [a1X+a2Y1+a3Z, b1X+b2Y1+b3Z] = 0.

Conclu´ımos que dim(g′) = 0, contradizendo a hip´otese. Logo, a6= 0. Definimos Y = 1

aY1. Então, {X,Y,Z} também é uma base de g e [X, Y] = 0,[X, Z] = 0 e

[Y, Z] = 1

a[Y1, Z] = 1

(40)

Lema 3.19. Se h é uma Álgebra de Lie nilpotente 3-dimensional, então h é no máximo 2-passos nilpotente. Em particular, h é abeliana ou isomorfa à álgebra de Heisenberg.

Demonstra¸cão. Comohé nilpotente, não é poss´ıvel que dimh2 = 3. Se dimh2 = 0, então

h´e abeliana e consequentemente, h´e 1-passo nilpotente.

Se dimh2 = 1, não é poss´ıvel que dimh3 = 1, caso contrário h2 = h3, o que contradiz o fato de h ser nilpotente. Neste caso nos resta que dimh3 = 0, isto é h é 2-passos nilpotente e do teorema 3.18,h é isomorfa à álgebra de Heisenberg.

Se dimh2 = 2, ent˜ao h2 ´e abeliana ou existe uma base {X, Y} de h2 tal que [X, Y] = Y. Neste caso Y ∈ hk_{, para todo} _{k, o que contradiz o fato de} _h _{ser nilpotente.}

Assim, nos resta queh2é abeliana. Comoh2é ideal deh, segue que [X, Y]∈h2, para todo X ∈h\h2 e para todo Y ∈h2. Da´ı ad(X)h2 ⊂h2, e como ad(X) restrita ah2é nilpotente e lembrando que para cada transforma¸cão linear nilpotente existe uma base em rela¸cão à qual a matriz associada é estritamente triangular superior, definimos, neste caso, a base

{Y, Z} deh2 tal que ad(X)Y = 0, ad(X)Z =Y, isto ´e, [X, Y] = 0 e [X, Z] =Y. Mash2

´e abeliana, ent˜ao [Y, Z] = 0. Dados U, V ∈h, temos

[U, V] = [α1X+α2Y +α3Z, β1X+β2Y +β3Z]

=α1β3[X, Z] +α3β1[Z, X]

= (α1β3 −α3β1)[X, Z]

=γ[X, Z] =γY.

Comoh2 = [U, V] =γY, isso contradiz o fato de que dimh2 = 2.

Logo, nos resta que só é poss´ıvel que dimh2 = 0, então h é abeliana e 1-passo nilpotente ou dimh2 = 1, e neste caso h é isomorfo a álgebra de Heisenberg e 2-passos nilpotente .

Se h = g∗ é Álgebra de Lie Complexa nilpotente e não abeliana 3-dimensional,

segue do lema acima que g∗ é isomorfa à álgebra de Heisenberg. Ainda, g1,0 e g0,1 são

isomorfas a ´algebra de Heisenberg.

Observa¸c˜ao 3.20. Considere uma base {X1, X2, X3} deg1,0, onde Xk =Yk−iJYk, com

k= 1,2,3. Note que {Y1, Y2, Y3, JY1, JY2, JY3}´e uma base de g.

Com efeito, se αk, βk(k= 1,2,3) s˜ao reais tais queP3_k₌₁αkYk+P3_k₌₁βkJYk= 0

ent˜ao,

3

X

k=1

αk

Xk+ ¯Xk

2

+

3

X

k=1

βk

¯

Xk−Xk

2i

(41)

Da´ı, 3 X k=1 αk 2 − βk 2i

Xk+

3 X k=1 αk 2 + βk 2i ¯ Xk = 0.

Como X¯k ∈g0,1 e g1,0∩g0,1 = 0, segue que αk=βk = 0.

Como g1,0 é isomorfa à álgebra de Heisenberg podemos supor, sem perda de generalidade que a base{X1, X2, X3} deg1,0, como acima, é tal que

[X1, X2] =X3

é o único colchete não nulo dos elementos desta base. Assim, [Y1−iJY1, Y2−iJY2] =Y3−iJY3,

da´ı,

[Y1, Y2]−i[Y1, JY2]−i[JY1, Y2] +i2[JY1, JY2] =Y3−iJY3,

ent˜ao

[Y1, Y2]−[JY1, JY2] =Y3 e [Y1, JY2] + [JY1, Y2] =JY3

Deste modo,

[Y1∗Y2] =

1

2([Y1, Y2]−[JY1, JY2]) = 1

2Y3 e

[Y1∗JY2] =

1

2([Y1, JY2]−[JY1, J

2_Y 2])

= 1

2([Y1, JY2]−[JY1,−Y2]) = 1

2([Y1, JY2] + [JY1, Y2]) = 1

2JY3.

Tamb´em, usando o fato de que J2 ₌₋_{I, segue que}

[JY1∗JY2] =

1

2([JY1, JY2]−[J

2_Y

1, J2Y2])

= 1

2([JY1, JY2]−[−Y1,−Y2]) = 1

2(−[Y1, Y2] + [JY1, JY2]) =−1

2([Y1, Y2]−[JY1, JY2]) =−1

(42)

e

[JY1 ∗Y2] =

1

2([JY1, Y2]−[J

2_Y

1, JY2])

= 1

2([JY1, Y2]−[−Y1, JY2]) = 1

2([Y1, JY2] + [JY1, Y2]) = 1

2([Y1, JY2] + [JY1,−J(JY2)]) = 1

2([Y1, JY2]−[JY1, J(JY2)]) = [Y1∗JY2] =

1 2JY3.

Finalmente, de [X1, X3] = [X2, X3] = 0, temos [Y1−iJY1, Y3−iJY3] = 0. Ent˜ao,

[Y1, Y3]−i[Y1, JY3]−i[JY1, Y3] +i2[JY1, JY3] = 0.

Da´ı que,

[Y1, Y3]−[JY1, JY3] = 0

e

[Y1, JY3] + [JY1, Y3] = 0.

As igualdades acima nos fornecem, por exemplo [Y1∗Y3] =

1

2([Y1, Y3]−[JY1, JY3]) = 0. Analogamente, verifica-se a nulidade dos demais colchetes deg∗.

A discuss˜ao acima nos ajuda a articular o teorema seguinte.

Teorema 3.21. Seja g ´e uma ´Algebra de Lie 6-dimensional com estrutura complexa J

não-abeliana. Se J é s-passos nilpotente, então s=2 e existe {Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6} base

de g, tal que os colchetes n˜ao nulos de (g,[∗]J) satisfazem

[Z1∗Z2] = [Z3∗Z4] =−Z5 e [Z1∗Z3] = [Z4∗Z2] =−Z6.

Demonstra¸cão. Se J é s-passos nilpotente, segue que g∗ é s-passos nilpotente. Como g∗

é 3-dimensional sobre C_{, temos do lema 3.19, que} _g_∗ _{é 2-passos nilpotente. Ainda,} _J _é adaptada a g∗, logo é integrável . Segue da defini¸cão 3.7 que J é 2-passos nilpotente.

Também, o auto-espa¸co g1,0 é subálgebra complexa de gC, pois J é integrável. Se J é estrutura complexa não-abeliana, então g∗ é Álgebra de Lie não-abeliana. De g1,0 ≃ g∗,

segue o isomorfismo entreg1,0 _{e a ´algebra de Heisenberg. Segue da discuss˜ao acima que}_g

admite uma base{Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6}, com colchetes n˜ao-nulos dados por

(43)

A verifica¸c˜ao ´e imediata, basta tomar

Z1 =Y1 Z2 =Y2 Z3 =JY2

Z4 =JY1 Z5 = −Y3

2 Z6 =

−JY3

2

Abaixo segue um exemplo que satisfaz tanto as condi¸c˜oes do Teorema 3.21, quanto do Lema 3.19.

Exemplo 3.22. Seja g uma ´Algebra de Lie e seja {e1, e2, e3, e4, e5, e6} uma base de g,

cujos colchetes satisfazem

[e1, e2] =−e3 [e1, e3] =−e4 [e2, e3] =−e5 [e1, e4] = [e2, e5] =−e6

A estrutura complexa J, sobre g, tal que

Je1 =−e2 Je4 =−e5 Je3 =−e6,

é 2-passos nilpotente. De fato, note que J não é abeliana, caso contrário ter´ıamos por exemplo,

−e4 = [e1, e3] = [Je1, Je3]

= [−e2,−e6]

= 0.

Considerando a base {w1 =e1−iJe1, w2 =e4−iJe4, w3 =e3−iJe3} de g1,0, temos

[w1, w2] = [e1−iJe1, e4−iJe4]

= [e1, e4]−i[e1, Je4]−i[Je1, e4]−[Je1, Je4]

=−e6−i[e1,−e5]−i[−e2, e4]−[−e2,−e5]

= 0

[w1, w3] = [e1−iJe1, e3−iJe3]

= [e1, e3]−i[e1, Je3]−i[Je1, e3]−[Je1, Je3]

=−e4−i[e1,−e6]−i[−e2, e3]−[−e2,−e6] =−e4−ie5

=−e4+iJe4

=−w2

[w2, w3] = [e4−iJe4, e3−iJe3]

= [e4, e3]−i[e4, Je3]−i[Je4, e3]−[Je4, Je3]

=−i[e4,−e6]−i[−e4, e3]−[−e5,−e6]