Em particular os termos

Fundamentos de Análise para Licenciatura – prof. Regina Franchi Notas de Aula - Sequências 2

Teoremas sobre convergência de Sequências infinitas Teorema 1 (Unicidade do Limite)

Se x a n

n   

lim e x b

n n   

lim , então a = b.

(Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos)

Dem:

Temos por hipótese que x a n

n   

lim e x b

n n   

lim . Devemos provar que a = b.

Vamos demonstrar por absurdo, ou seja, vamos admitir que ab_.

Se ab _{podemos tomar}  _{tal que os intervalos} I(a,a)_e J(b,b)_sejam

disjuntos. (para isso basta tomar

2 a b



 ).

Como x a n

n   

lim então 0, N natural/ nN x_n a_{. Isso que dizer que} I

x_n .

Como I e J são disjuntos, então x_nJ, o que é absurdo pois x b n

n   

lim .

Teorema 2: Se x a n

n   

lim então toda subsequência de (xn) converge para a.

Dem: Seja ( , , ,..., ,...)

3 2

1 n n nk

n x x x

x _{uma subsequência de (}x_n).

Como x a n

n  

lim então 0, N natural/ nN x_na _{. Isso que dizer que} )

, (  



I a a

x_{n . Isso significa que todos os termos} x_{n, com n>N, pertencem a I.}

Em particular os termos xn_k , com nk Ntambém pertencem a I.

Logo (xn_k ) converge para a.

Teorema 3: Toda sequência convergente é limitada. Dem: Seja x a

n n   

lim . Então  0, N natural/ nN x_n a, ou seja, para n>N temos ax_na_.

Então, a partir do índice n=N+1, os termos da sequência estão do intervalo (a,a).

Vamos formar um conjunto F com estes termos e mais os valores (a) e (a).



 



 x x x a a

F ₁, ₂... _N, ,

Seja A o menor elemento de F e B o maior elemento de F. Vê-se que n, x_n

 

A,B .

Logo (xn) é limitada.

OBS: A recíproca não é verdadeira.

Ex1: xn=sen(n) 1sen(n)1 (xn) é limitada mas não é convergente.

Ex2: n n

x (1) (-1,1,-1,1,...) (xn) é limitada mas não é convergente. Teorema 4: Toda sequência monótona e limitada é convergente.

Dem: Seja (xn) uma sequência monótona e limitada. Vamos admitir (xn) não decrescente.

... ...

2

1x  xn

x _{. Seja X=}



x₁,x₂...xn,...



e a=Sup X.

Afirmamos (e vamos provar) que limx_n a.

Devemos mostrar que 0, N natural/ nN x_n a_{, ou seja, para n>N} temos ax_na.

Seja  >0. Temos aa e a=Sup X. Então anão é cota superior de X (pois Sup X é a menor das cotas superiores de X).

Logo existe N pertencente aos Naturais tal que x_N a.

Por outro lado xn<a pois a=Sup X.

Como (xn) uma sequência monótona não decrescente, nNxnxN.

Então, para n>N temos: ax_N x_naa  ax_na  x_na _{, como} queremos demonstrar.

Analogamente podemos provar para (xn) não crescente, tomando a= Inf X.

Teorema 5: Se uma sequência (xn) converge para um limite L, e se A<L<B, então, a partir de um certo índice N temos A<xn<B.

Dem: Temos limx_n L. Então 0, N natural/ nN x_nL, ou seja, para

n>N temos Lx_nL_.

Como LA temos LL(LA)A

Como BL temos LL(BL)B

Então ALx_nLB_{, ou seja,} Ax_n B_.

Corolário: Se uma sequência (xn) converge para um limite L0, então, a partir de certo índice N,

2 L x_n  .

Dem:

Se L_{>0, tome} 2 L

A _e LB

2 L

A < LB. Então, para n>N temos Ax_n B

n n n

n A x x x

x  0 0 

Mas L L _e 2 L

A _{. Logo}

2 L

x_n  _{, como queremos demonstrar.}

Demonstração análoga para L< 0 com 2 L B

Teorema 6: (Propriedades Aritméticas dos Limites)

Sejam (an) e (bn) duas sequências convergentes com limites ae b respectivamente. Então



anbn



,



an.bn



e



k.an



, onde k é uma constante qualquer, são sequências convergentes. Ainda:

a) lim



a_nb_n



lim(a_n)lim(b_n)ab b) lim



k.a_n



k.lim(a_n)k.a

c) lim



a_n.b_n



lim(a_n).lim(b_n)a.b

d) Se b0

b a

b a

b a

n n n

n  

     

) lim(

) lim( lim

Dem:

1 1

1

1 0, /

)

(a_n a  N natural nN a_na

2 2

2

2 0, /

)

(b_n b  N natural nN b_nb

a) Devo mostrar que  0, N natural/nN (a_nb_n)(ab) Seja Nmáx



N1,N2



. Então para nNtemos:

 

  

          

 ) ( ) ( ) ( ) _{1 2}

Logo (a_nb_n)ab

b) Devo mostrar que  0, N natural/nN (k.a_n)(k.a)

       

( . ) .( ) . ₁

) .

(ka_n ka k a_n a k a_n a k

c) Devo mostrar que  0, N natural/nN (a_n.b_n)(a.b)

             ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) .( ) .( ) .( ) .( ) ) .

(a_nb_n ab a_nb_n ab_n ab_n ab b_n a_n a a b_n b b_n a_n a a b_n b b

b a a a

b_n. _n  . _n 

Seja Nmáx



N1,N2



. Como (bn)é convergente então (bn)é limitada. Isso implica c

b_n  .

Então, para nNtemos:

 ( . ) ) .

(a_nb_n ab b_n.a_naa.b_nbc₁a₂

d) n n n n b a b a 1 .

 . Devo mostrar que se (b_n)bentão

b b_n

1 1



Devo mostrar que        b b N n natural N n 1 1 / , 0 b b b b b b _n n n . 1 1    b b_n)

( e b0

2 / b b n n natural

N   _n 

  . Ou seja: b b_n 2 1             b b b b b b b b b b b b b b b

b _n n _n

n n n n 1 . 2 . 1 . 1 . . 1 1 2

Então, pelo resultado de (c),

b a b a b a n n n n 1 . 1 . lim

lim _

            Limites Infinitos

Certas sequências, embora não convergentes, apresentam regularidade de comportamento, tornando-se o termo geral arbitrariamente grande ou arbitrariamente pequeno quando o índice cresce. Diz-se então que a sequência diverge para +∞ ou diverge para -∞.

Definição:

Diz-se que a sequência (an) diverge (ou tende) para +∞ se:

k a N n natural N

k    _n

 0 / . Nesse caso liman

Diz-se que a sequência (an) diverge (ou tende) para -∞ se:

k a N n natural N

k    _n

Teorema 6: (Propriedades Aritméticas dos Limites) a) (an)(an)

b) Seja (an) não limitada

Se (an) é não decrescente então(an) Se (an) é não crescente então (an) c) Se liman então 0

1



n a

d) Se liman 0então 0

1 0

1

 

 



 n

n n

n

a se a

e a

se a

e) Se (bn) é uma sequência limitada e (an) então (anbn) Se (bn) é uma sequência limitada e (an) então (anbn)

f) Se (an)e bnc0, então (an.bn) Se (an)e bn, então (an.bn) Se (an)e bnc0, então (an.bn) Se (an)e bnc0, então (an.bn) Se (an)e bnc0, então (an.bn) g) Se (an)e an bn, então (bn)

Bibliografia consultada

ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. 3.ed. São Paulo: Blucher, 2006.

LIMA, Elon Lages. Análise real: funções de uma variável. 9.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. v. 1.

148 p.