1.) As notas de uma prova de cálculo se distribuem normalmente em torno da média 6,8 com desvio- padrão de 1,1 a) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota superior a 5,5? - Distribuicao Normal Fatec

(1)

LISTA DE EXERCÍCIOS - DISTRIBUIÇÃO NORMAL

1.) As notas de uma prova de cálculo se distribuem normalmente em torno da média 6,8 com desvio-padrão de 1,1

a) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota superior a 5,5?

SOLUÇÃO

1,18

1 , 1

8 , 6 5 , 5 -x

z = = − = −

σ μ

z fHzL

-1,18

x fHxL

6,8 5,5

p( x≥5,5) = p(z≥-1,18) = 0,5 + p(0≤z≤1,18) = 0,5 + 0,3810 = 0,8810 (88,10%)

b) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota entre 7,6 e 8,0?

SOLUÇÃO

0,73

1 , 1

8 , 6 6 , 7 -x

z₁ = 1 = − =

σ μ

1,09 1 , 1

8 , 6 0 , 8 -x

z₂ = 2 = − =

σ μ

z fHzL

0,73 1,09

x fHxL

7,6 8,0 6,8

= =

≤ ≤ ≤

≤ = ≤

≤ =

≤

≤x 8,0) p(0,73 z 1,09) p(0 z 1,09)-p(0 z 0,73) 0,3621-0,2673

(2)

c) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota maior do que 9,0?

ÃO SOLUÇ

2,0

1 , 1

8 , 6 0 , 9 -x

z = = − =

σ μ

= =

≤ ≤ =

≥ =

≥9,0) p(z 2,0) 0,5 - p(0 z 2,0) 0,5 - 0,4772 x

(

p 0,0228 (2,28%)

) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota menor do que 7,5?

SOLUÇÃO d

0,64

1 , 1

8 , 6 5 , 7 -x

z = = − =

σ μ

= +

= ≤

≤ + = ≤

= p(z 0,64) 0,5 p(0 z 0,64) 0,5 0,2389

) 5 ,

7 0,7389 (73,89%

≤ x (

p )

x fHxL

6,8 9,0

z fHzL

2,0

x fHxL

7,5 6,8

z fHzL

(3)

e) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota entre 5,9 e 8,5?

SOLUÇÃO

-0,82

1 , 1

8 , 6 9 , 5 -x

z₁ = 1 = − =

σ μ

1,55 1 , 1

8 , 6 5 , 8 -x

z₂ = 2 = − =

σ μ

= +

= ≤

≤ + ≤

≤ = ≤

≤ =

≤

≤x 8,5) p(-0,82 z 1,55) p(0 z 1,55) p(0 z 0,82) 0,4394 0,2939 )

p(5,9 0,7333 (73,33%

Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota entre 6,8 e 7,7?

SOLUÇÃO f)

0

1 , 1

8 , 6 8 , 6 -x

z 1

1 =

− = =

σ μ

0,82 1 , 1

8 , 6 7 , 7 -x

z 2

2 =

− = =

σ μ

p(6,8≤x≤8,5) =p(0≤z≤0,82) = 0,2939 (29,39%) x

f xH L fHzL

z

5,9 6,8 8,5 _-0,82 _1,55

z fHzL

x fHxL

(4)

g) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota menor do que 4,0?

SOLUÇÃO

55 , 2 1 , 1

8 , 6 0 , 4 -x

z = = − =−

σ μ

p( x≤4,0) = p(z≤−2,55) = 0,5 - p(0≤ ≤ ) = 0,5 - 0,4946 = 0,0054 (0,54%)

) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota entre 5,8 e 7,8?

SOLUÇÃO

55

, 2 z

h

0,91

1 , 1

8 , 6 8 , 7 -x

z 1

1 =

− = =

σ μ

0,91 1 , 1

8 , 6 8 , 5 -x

z 2

2 =

− = =

σ μ

= =

≤ ≤ + ≤

≤ = ≤

≤ =

≤

≤x 7,8) p(-0,91 z 0,91) p(0 z 0,91) p(0 z 0,91) 2 .0,3186

p(5,8 0,6372 (63,72%)

z fHzL

fHxL

x

4,0 6,8 -2,55

f

z

HzL

fHxL

x

(5)

i) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota entre 4,6 e 5,6?

SOLUÇÃO

2,0 1 , 1

8 , 6 6 , 4 -x

z 1

1 =

− = =

σ μ

1,09 1 , 1

8 , 6 6 , 5 -x

z 2

2 =

− = =

σ μ

= −

= ≤

≤ ≤

≤ = −

≤ ≤ =

≤

≤x 5,6) p(-2,0 z 1,09) p(0 z 2,0)- p(0 z 1,09) 0,4772 0,3621

p(4,6 0,1151 (11,51%)

Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade dele ter tirado uma nota entre 3,5 e 6,8?

SOLUÇÃO j)

-3,0

1 , 1

8 , 6 5 , 3 -x

z 1

1 =

− = =

σ μ

0 1 , 1

8 , 6 8 , 6 -x

z 2

2 =

− = =

σ μ

= ≤ ≤ = ≤ ≤ =

≤

≤x 6,8) p(-3,0 z 0) p(0 z 3,0)

p(3,5 0,4987 (49,87%)

x

fHxL fHzL

z

1,09 2,0 4,6 5,6 6,8

x

fHxL fHzL

6,8

z

-3,0

-2,0 -1,09

(6)

k) Qual deve ser a nota mínima de aprovação de modo que 83,4% dos alunos sejam aprovados?

SOLUÇÃO

Devemos encontrar o valor de x 1 que deixa, a sua direita, uma área sob a curva normal de 0,834.

l fornece apenas os valores das áreas à direita do eixo vertical, vamos, na verdade, encontrar o valor 2.

Notando agora que z 1 = - z 2 podemos escrever:

Observe que para determinar x 1 devemos encontrar na tabela o valor de z 1. Entretanto, como a tabe-

norma de

z

Tabela Normal: 0,334 → z 2 = 0,97

= +

= ⇒

− =

⇒ - 0,97 x 6,8 x

-z = 1 μ 1 _1,1.(-0,97₎ _6,8

1 , 1 x

₁

1 σ 5,73

20% dos alunos foram considerados excelentes, determine a nota mínima para esta cate-

SOLUÇÃO l) Sabendo que

goria?

mos encontrar o valor de x 1 que deixa, a sua direita, uma área sob a curva normal de 0,20

0,2995

1

Deve

z ₁

z

Da Tabela Normal resulta: ⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

85 , 0 3023 , 0

0,30) de próximo (mais

84 , 0

Assim podemos escrever:

= +

= ⇒

− = ⇒

= x 1,1.(0,84) 6,8

1 , 1

8 , 6 x 0,84 -x

z 1 1 ₁

1 _σ

μ

7,72

x

f xH L f

0,500 0,334

X 1 _6,8

z

H Lz

0,334

Z 1 Z 2

x

fHxL f z

0,30

H L

6,8

0,20

0,30

0,20

Z ₁

(7)

2.) O salário mensal dos operários de uma indústria estão distribuídos normalmente em torno da média que é de R$ 1.500,00 com desvio-padrão de R$ 225,00.

) Escolhido um operário ao acaso, determine a probabilidade de que o seu salário seja maior do que a

R$ 1.200,00?

SOLUÇÃO

1,33 225

1 _σ

500 . 1 200 . 1

z = 1 μ = − =

x

= +

= ≤

≤ + = ≥

=

≥1.200) p(z -1,33) 0,5 p(0 z 1,33) 0,5 0,4082 x

(

p 0,9082 (90,82%)

) Escolhido um funcionário ao acaso, determine a probabilidade de que o seu salário esteja entre .300,00 e R$ 1.850,00?

SOLUÇÃO b

1

0,89 500 . 1 300 . 1 -x

z 1

1 =

− =

=

σ μ

225 1,56

1500 850

. 1 -x

z 2

2 =

− =

=

σ μ

225

= +

= ≤

≤ + ≤

≤ = ≤

≤ =

≤

≤x 1.850) p(-0,89 z 1,56) p(0 z 0,89) p(0 z 1,56) 0,3133 0,4406

p(1.200 0,7539 (75,39%)

x

fHxL fHzL

z

-1,33 1.500

1.200

x

f xH L fHzL

z

(8)

c) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que o seu salário s

SOLUÇÃO

eja menor que R$ 1.000,00?

2,22 225

500 . 1 000 . 1 -x

z 1

1 =

− =

=

σ μ

=

z 0 p( 0,5 ) 22 , 2 z p( ) 000 . 1 x (

p ≤ = ≤− = ≤ ≤2,22) = 0,5 - 0,4868 0,0132 (1,32%)

) Se 15% dos operários da indústria ganham “salários baixos” qual o maior salário desta categoria? d

SOLUÇÃO

Devemos encontrar o valor de x 1 que deixa, a su

Observe que para determinar x 1 devemos encontrar na tabela o valor de z 1. Entretanto, como a tabe- a do eixo vertical, vamos, na verdade, encontrar o valor de 2.

Da Tabela Normal resulta:

a esquerda, uma área sob a curva normal de 0,15

normal fornece apenas os valores das áreas à direit z

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

04 , 1 3508 , 0

03 , 1 z 0,3485

1 1

z

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x 225.(-1,04) 1.500

225 500 . 1 x 1,04 -x

z 1 1 ₁

1 _σ

μ

x 1 = 1.266,00

x

fHxL fHzL

1.000 1.500

x fHxL

z

- 2,22 2,22

f

X₁ 0,15

0,35

HzL

z 0,15

0,35

Z1

0,35

(9)

3.) Uma máquina fabrica tubos metálicos com diâmetro médio de 200 mm e desvio-padrão de 2 mm. Se dos por estarem com o

diâmetro “pequeno”, determine as tolerância

SOLUÇÃO

17% dos tubos estão sendo rejeita diâmetro “grande” e 10% por estarem com o

s de especificação para este diâmetro.

Inicialmente devemos encontrar o valor de x 1 rmal

de 0,10.

minar x 1 devemos encontrar na tabela o valor de z 1. Entretanto, como a tabe-

ormal vertical, vamos, na verdade, encontrar o valor de

2.

que deixa, a sua esquerda, uma área sob a curva no

Observe que para deter

n fornece apenas os valores das áreas à direita do eixo z

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

29 , 1 4015 , 0

28 , 1 z 0,3997

1 1

z

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x 2.(-1,28) 200

2 200 x

1,28 -x

z 1 1 ₁

1 σ

μ

x 1 = 197,44 mm

Devemos agora encontrar o valor de x que deixa, a sua direita, um2 a área sob a curva normal de 0,17.

=

⇒ z 0,95 (maispróximode0,33)

0,3289 ₁

Assim:

Da Tabela Normal resulta: ⎩

⎨ _⇒ ₌

96 , 0 3315 ,

0 z₁

⎧

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x 2.(0,95) 200

2 200 x

0,95 -x

z 1 1 ₁

1 _σ

μ

x 1 = 201,90 mm

s tolerâncias de especificação são: 197,44 mm

Assim a ≤ diâmetro ≤ 201,90 mm

z fHzL

fHxL

0,10

0,40

Z1

0,40

Z2

x

X1

0,10

200

x f xH L

200

0,17

fH Lz

0,33

X 1

0,33

Z 1

0,17

(10)

4.) A resistência de uma coluna é uma var e desvio-padrão

d iável aleatória normal com média 180 kg/cmenha 93,7% de proba

2

e 8 kg/cm2. Qual o esforço máximo que se pode permitir, para que a coluna t bili- ade de resistir?

d

SOLUÇÃO

Devemos encontrar o valor de x 1 que deixa, a sua esquerda, um

a área sob a curva normal de 0,937.

Da Tabela Normal resulta: 0,437 ⇒ z₁ = 1,53

Assim, podemos escrever:

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x

z 1

1 x 8.(1,53) 180 92,24 kg/cm

8 180 x 1,53

1 ₁

σ μ

x 1 = 1

te por 72 horas

2

5.) A resistência de uma peça cromada a um ensaio de corrosão se distribui normalmen com desvio-padrão de 5 horas.

a) Qual a probabilidade de uma peça resistir entre 60 e 65 horas?

b) Se 30% das peças resistem menos que um determinado número de horas, determine este número.

SOLUÇÃO a)

2,40 5

72 60

-x₁ μ −

z₁ = = =

σ 5 -1,40

72 65

-x₂ μ −

z₂ = = =

σ

0)

0,4192

0,4918

) 40 , 1 z p(0 -) 40 , 2 z p(0 1,4 z

p(-2,40

) 65 x

p(60≤ ≤ = ≤ ≤− = ≤ ≤ ≤ ≤ = = 0,0726 (7,26%)

z fHzL

fHxL

0,437

Z 1

0,500 0,437

0,500

0,063 0,063

x

x fHxL

60 65 72

z fHzL

-2,40 -1,40

180 X 1

(11)

b) Devemos encontrar o valor de x 1 que deixa, a sua esquerda, uma área sob a curva normal de 0,30.

Observe que para determinar x 1 devemo

normal fornece apenas os valores das áreas à direita do eixo v z 2.

s encontrar na tabela o valor de z 1. Entretanto, como a tabe- ertical, vamos, na verdade, encontrar o valor de

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

0,53 2019 , 0

52 , 0 z 0,1985

1 1

z

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x 5.(-0,52) 72

5 72 x 0,52 -x

z 1 1 ₁

1 _σ

μ

x 1 =

6.) O tempo de duração de uma bateria de automóvel de certa marca, se distribui segundo uma normal de média 800 dias e desvio-padrão de 60 dias.

dias? ) Qual a garantia em dias, deve ser dada pelo fabricante, para que tenha que repor no mercado somente 5%

69,40 horas

a) Escolhida uma bateria desta marca, ao acaso, qual a probabilidade dela durar mais do que 670 b

das baterias vendidas?

SOLUÇÃO a)

2,17 60

800 670 -x

z = = − =

σ μ

= +

= ≤

≤ + = f x

≥ =

≥670) p(z -2,17) 0,5 p(0 z 2,17) 0,5 0,4850 x

(

p 0,9850 (98,50%)

x

H L

0,20

fHzL

0,30

72

X1 z

0,30

0,20

Z1

0,20

Z2

x fHxL

800 670

fHzL

z

(12)

b) Devemos encontrar o valor de x 1 que deixa, a sua esquerda, uma área sob a curva normal de 0,05.

Observe que para determinar x 1 devemos encontrar na tabela o valor de z 1. Entretanto, como a tabe- reita do eix

de z 2.

Como os dois valores encontrados na tabela normal (0,4495 e 0,4505) guardam a mesma distância de 0,4500, a escolha é aleatória. Vamos escolher o valor: z 2 = 1,65.

la normal fornece apenas os valores das áreas à di o vertical, vamos, na verdade, encontrar o valor

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

1,65 4505 , 0

1,64 z 0,4495

1 1

z

800 60.(-1,65)

x 60

800 x

1,65 -x

z₁ = 1 ⇒ = 1− ⇒ ₁ = +

σ μ

x 1 = 701 dias

7.) Observando a produção de placas de um certo material para forro, verifica-se que as mesmas tem em

mé c esso

cida com a dimensão desejada, determine a porcentagem de placas cia de dimensão.

SOLUÇÃO

⇒

dia 220 m de comprimento, sendo aceitáveis as que tem de 219,6 a 220,3 cm. Sabe-se que o proc produtivo tem um desvio-padrão de 0,2 cm. Regulando a máquina de forma que a dimensão média coin-

inaceitáveis por excesso ou deficiên-

a) Porcentagem de placas inaceitáveis por deficiência.

2,0 2 , 0

220,0 6

, 219 -x

z = = − =

σ μ

(

p x≤ 219,5) = p(z≤−2,0) = 0,5 - p(0≤z≤2,0) = 0,5 - 0,4772 = 0,0228 (2,28%)

f x

x

H L f z

X1

0,05 0,45

H L

0,45 _0,45

0,50

0,05

z

Z1 Z2

800

x fHxL

?

220 219,6

fHzL

? ?

z 2,0

(13)

b) Porcentagem de placas inaceitáveis por excesso.

1,5 2 , 0

220,0 3

, 220 -x

z = = − =

σ μ

= =

≤ ≤ =

≥ =

≥ 220,3) p(z 1,5) 0,5 - p(0 z 1,5) 0,5 - 0,4332 x

(

p 0,0668 (6,68%)

Assim a inaceitabilidade é de 8,96% do total da produção.

8.) Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com pesos seguindo uma distribuição normal de média de 130 kg e desvio-padrão de 20 kg. Com intuito de determinar o tratamento mais adequado,

de “magros” enquanto os 25% pacientes de maior pe- ados de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada um

SOLUÇÃO 25% dos pacientes de menor peso são classificados

so são classific a destas classificações.

tamos interessados em determinar o valor x 1 que deixa a sua esquerda uma área sob a curva normal de 0,25.

Observe que para determinar x 1 devemos encontrar na tabela o valor de z 1. Entretanto, como a tabe- normal fornece apenas os valores das áreas à direita do eixo vertical, vamos, na verdade, encontrar o valor e z 2.

=

⇒ z 0,67 (maispróximode0,25)

0,2486

1

a) vamos determinar o peso limite dos “magros”. Em outras palavras, es

la d

Da Tabela Normal resulta: ⎩

⎨ _⇒ ₌

0,68 2517 , 0

1

z

⎧

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x1-μ x1 130 _x _20.(-_0,67) ₁₃₀ _{x = 116,6 kg}

20 0,67

z₁ ₁

σ 1

x fHxL

220

?

fH Lz

?

1,5 220,3

z

x

fHxL fHzL

X1 0,25

0,25

130 Z ₁ Z₂

0,25 0,25

0,50

(14)

b) vamos determinar o peso limite dos “obesos”. Em outras palavras, estamos interessados em determinar o va- r x 2 que deixa a sua direita uma área sob a curva normal de 0,25.

0,6 2517 , 0

0,67 z 0,2486

1 1

z

lo

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

8

Assim podemos escrever:

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x 20.(0,67) 130

20 130 x

0,67 -x

z₂ 2 2 ₂

σ μ

x 2 = 143,4 kg

9.) Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal, em eríodos de seca numa p certa região, pode ser considerada como seguindo uma distribuição Normal com média de 30mm e va-

2_.

odo que exista apenas 10% de probabilidade de haver uma precipitação inferior a este valor;

b) Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores da precipi- tação pluviométrica;

c) Determine a probabilidade de ocorrer uma pr o superior a 34 mm em um mês qualquer. riância 16 mm

a) Determine o valor da precipitação pluviométrica de m

ecipitaçã SOLUÇÃO

a) Observe inicialmente que: σ =16mm ⇒ σ = 16=4mm

Estamos interessados em determinar o valor de x1 que deixa a sua esquerda uma área sob a curva normal

de 0,10.

x 1 devemos encontrar na tabela o valor de z 1. Entretanto, como a tabe- s das áreas à direita do eixo vertical, vamos, na verdade, encontrar o valor e z 2.

Da Tabela Normal resulta: 0,3997 z 1,28 (maispróximo

1 1

z

2 2

Observe que para determinar la normal fornece apenas os valore d

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒

1,29 4015 , 0

0,40) de

⇒ +

= ⇒

= x 4.(-1,28) 30

4 1,28

z₁ 1 1 ₁

σ x

− 30 x

-x μ

1 = 24,88 mm

f x

x

H L f

0,25 0,25

x

HxL

0,25

Z 2

130

x fHxL

X1

0,10 0,40

30

0,50

z fHzL

0,40

X 2 130

0,10 0,10

(15)

b) Estamos interessados em determinar o valor de x1 que deixa a sua esquerda uma área sob a curva normal

de 0,10 e o valor de x2 que deixa a sua direita uma área sob a curva normal de 0,10.

Com raciocínio semelhante ao do item a) obtemos da tabela os valores: z 1 = -1,28 e z 2 = 1,28. Assim:

⇒ +

= ⇒

− = ⇒

= x - - 1,28

z 1

1 σ x 4.(-1,28) 30

4 30 x

1 ₁

μ

x = 24,88 mm1

: e

⇒ +

= ⇒

− μ

= ⇒

= x 4.(1,28) 30

4 30 x 1,28 -x

z 2 1 ₁

2 _σ x 2 = 35,12 mm

Logo, o intervalo central em torno da média que contém 80% dos possíveis valores da precipita-ção pluviométrica é: [ 24,88 mm ; 35,12 mm ].

c) 1 4

30 34 -x

z = = − =

σ μ

= =

≤ ≤ =

≥ =

≥ 34) p(z 1,0) 0,5 - p(0 z 1,0) 0,5 - 0,3413 x

(

p 0,1587 (15,87%)

x fHxL

z fHzL

X1 0,10

0,40

30

0,40 0,40

0,40

0,10 0,10

0,10

X 2 Z 1 Z 2

x fHxL

30 34

fHzL

z

(16)

10.) Em uma determinada região, a estatura d

0,05 m. Sabe-se que 33% desta população é constituída por pessoas com menos de 1,68 m de altura. Qual as pessoas se distribui normalmente com desvio-padrão de estatura média desta população?

e

SOLUÇÃO

2 = 0,44

Assim, podemos escrever:

Da tabela normal: 0,17 ⇒ z ⇒ z 1 = - 0,44

1,702 ,68 1, 0,022 05 , 0

68 , 1 0,44 -x

z 1

1 = ⇒ = ⇒ = μ ⇒ μ =

μ σ

μ

ou seja, a estatura média da população é de aproximadamente 1,70 m.

1.) A máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com desvio-padrão de 20 g. , para que apenas 15% dos pacotes tenham menos 1

Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote de 400 g?

SOLUÇÃO

1,0 z

3508 , 0

1,03 z 0,3485

1 2

2

1 Da Tabela Normal resulta:

⎩ ⎨ ⎧

= ⇒ =

⇒ = ⇒

1,04 -z 0,35) de próximo (mais

4 Assim, podemos escrever:

⇒ =

⇒

= x - -1,04 400

z 1

1 _σ

μ

400 20,8 20

μ _μ

μ = 420,8 g

z fHzL

Z 1 Z 2

0,33

0,17 0,17

fHxL

0,17

x

1,68 0,33

μ

x

f xH L fHzL

400 μ 0,15

0,35

z

Z₂ 0,15

0,35 0,35

(17)

12.) Em uma distribuição normal a proporção de valores abaixo de 25 é de 83,4% e a proporção de valo- tribuição.

SOLUÇÃO

res acima de 20 é de 69,5%. Determine a média e o desvio-padrão da dis

Da tabela normal: 0,334 z 1 = 0,97

Como:

Vamos inicialmente analisar a informação: “a proporção de valores abaixo de 25 é de 83,4”

⇒

(1) 0,97 25 25 25 -x

z 1

1 _σ μ σ

μ σ

μ

= ⇒

=

mação: “a proporção de valores acima de 20 é de 69,5%”

0,97

Vamos agora analisar a infor

Da tabela Normal resulta: 0195 ⇒ z 3 = 0,51 Por outro lado como z 2 = - z 3 podemos escrever:

(2) 0,51 20 20 0,51 20 -x

z 2

2 σ μ σ

μ σ

μ

= ⇒

=

Resolvendo o sistema formado pelas equações (1) e (2) podemos obter a média (μ) e o desvio-padrão (σ ) da distribuição. Isolando μ em (2) obtemos:

σ μ = 20 + 0,51 (3)

Substituindo (3) em (1) resulta:

⇒ =

+ 0,51 ) 0,97 1,48

(20

25 σ σ σ 5 σ = 3,378

, substituindo o valor de

Finalmente σ em (2) obtemos:

20 - μ = -0,51σ ⇒ 20 - μ = -0,51 .3,378 ⇒ μ = 20 + 1,723 ⇒ μ = 21,723

x

fHxL fHzL

0,334

0,500 0,500

z

μ 25 Z 1

x

fHxL fHzL

0,195 0,195

0,500 0,195

0,305

20 _μ

z

(18)

13.) Um produto pesa em média 10 gramas com desvio-p 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam

uma distribuição normal dos pesos e

calcule a probabilidade de uma caixa cheia pesar: a) mais do que 1065 gramas;

b) menos do que 1026 gramas.

SOLUÇÃO

adrão de 2 gramas. É embalado em caixas com 500 g com desvio padrão de 25 gramas. Admitindo-se independência entre as variáveis dos pesos do produto e da caixa,

Para resolver este exercício, vamos utiliz

“ Sejam W1 , W2 , . . . , Wn variáveis normais independentes. Nestas condições a variável: 2 + . . . + kn . Wn

também terá distribuição normal com os parâmetros:

ar a seguinte propriedade do modelo Normal:

X = k1 . W1 + k2 . W

n 2

1 2 W n W

W 1

X

k

.

μ

k

.

μ

.

k

.

μ

=

+

e

2 2

ativa do peso do produto. Assim:

W n W

2 W

X

k

₁

.

σ

₁

k

.

σ

₂

.

k

.

σ

_n

σ

=

+

2 ”

Voltando ao exercício temos: Seja W 1 a variável represent

W₁

10 e

W ₁

2 μ

=

σ

=

Seja W 2 a variável representativa do peso da caixa. Assim:

25 e

500

1

2 W

W

μ

=

σ

=

Seja X a variável representativa do peso da caixa cheia. Assim: X = 50 W 1 + W 2

e consequentemente:

g

1.000

500

10 .

0

2

1 W

W

X

=

50 .

μ

+

μ

=

5 +

=

μ

08 ,

103

10.625

25

2 .

50 .

50

2 2 2 2 2 2

2

=

σ

+

σ

=

+

=

⇒

σ

=

σ

_X _W _W _X

2 1

a) 0,63

08 , 103

z = = =

σ

-x μ ₁₀₆₅₋₁₀₀₀

= =

≤ ≤ =

≥ =

≥ 1065) p(z 0,63) 0,5 - p(0 z 0,63) 0,5 - x

(

p 0,2357 0,2643 (26,43%)

x

fH Lx fHzL

z

(19)

b) 0,25 08

, 103

z = = =

σ

-x μ 1026 − 1000

= +

= ≤

≤ + = ≤

=

≤ 1026) p(z 0,25) 0,5 p(0 z 0,25) 0,5 0,0987 x

(

p 0,5987 (59,87%)

x

fHxL fHzL

z

0,25 1026