Métodos Numéricos em Hidrodinâmica I Projeto No. 1

Métodos Numéricos em Hidrodinâmica I

Projeto No. 1

Escreva um programa para resolver a equação de Laplace em duas dimensões e em coordenadas cartesianas,

Fisicamente isto representa um escoamento potencial, incompressível, em estado estacionário. O programa deve ser construído de forma a resolver o escoamento sobre um aerofólio biconvexo sem sustentação (i. e., α=0), definido abaixo, onde t é a espessura máxima do perfil, e x, y e t são adimensionalizados pela corda do aerofólio.

Condições de contorno e Condições Iniciais

Considere que a condição de escoamento não-perturbado seja dada por

Portanto, utilize φ∞ como condição inicial. Neste caso, U∞ é uma constante especificada como dado de entrada. Note, ainda, que a condição de escoamento não-perturbado pode ser também utilizada nas fronteiras de entrada, de saída, e na fronteira superior do domínio de cálculo, para todos os níveis de iteração (ou seja, em qualquer instante). Em outras palavras, esta não é apenas uma condição inicial, mas também uma condição de contorno nas fronteiras acima especificadas. A condição de contorno de escoamento tangente na superfície do aerofólio deve ser implementada utilizando a hipótese de pequenas perturbações, ou seja,

Observe que esta não é a abordagem ideal para implementação da condição de escoamento tangente em uma formulação de potencial completo. Entretanto, é suficiente para os nossos propósitos aqui, e simplifica a geração de uma malha de diferenças finitas para o problema. Ao longo do restante da fronteira y=0, ou seja, antes e após o perfil, φy deve ser definido como zero. Isto é simplesmente a condição de

simetria do escoamento para α=0.

φxx +φyy =0

(

)

y=2tx1−x

φ_∞ =U x_∞

( )

dy

dx x

Malha Computacional

O programa deve utilizar uma malha de diferenças finitas cartesiana que possua um “stretching” em ambas as direções x e y. Uma malha apropriada é definida por:

onde:

ILE ≡ índice i correspondente ao bordo de ataque do perfil.

ITE ≡ índice i correspondente ao bordo de fuga do perfil.

IMAX ≡ número de pontos na direção x.

JMAX ≡ número de pontos na direção y.

XSF ≡ fator de “stretching” da malha para a direção x.

YSF ≡ fator de “stretching” da malha para a direção y.

Esquema de Diferenças Espaciais

O esquema de diferenças espaciais que deve ser utilizado é dado por

A condição de contorno em φy na posição y=0 pode ser implementada de várias formas

no esquema de diferenças espaciais. Para o caso deste trabalho, recomenda-se que o procedimento descrito a seguir seja implementado. A corda do aerofólio (note que, devido à formulação sendo utilizada para a condição de contorno, o perfil está sendo representado por sua corda, com um valor dy/dx≠0) está localizada a “meio-caminho” entre duas linhas y=const na malha, i. e. , j=1 e j=2 (pela própria construção da malha). A linha j=1 representa uma linha de pontos atualizados unicamente por condição de contorno. Portanto, no início de cada iteração, o valor de φ para j=1 deve ser atualizado como

(

)

(

)

(

)

(

)

Δ

Δ

Δ

Δ

x

ITE ILE

x i ILE x ILE i ITE

x x x x XSF ITE i IMAX

x x x x XSF i ILE

y x

y x

y y y y YSF j JMAX

i

i i i i

i i i i

i j j j

= −

= − ⋅ ≤ ≤

= + − ⋅ < ≤

= + − ⋅ ≤ <

= −

= +

= + − ⋅ ≤ ≤

− − −

+ + +

− − −

10

1

2

2

3

1 1 2

1 1 2

1

2

1 1 2

.

,

, ,

,

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− − − − − −

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − − − − −

=

− −

+ +

− +

− −

+ +

− +

1 1 , ,

1 , 1 ,

1 1

1 , 1 ,

1 , , 1

1 1 ,

2

2

j j

j i j i

j j

j i j i

j j

i i

j i j i

i i

j i j i

i i j i

y y y y y y

x x x

x x x L

φ φ φ φ

φ φ φ φ

Observe que o cálculo do resíduo, ou seja, Lφi,j , não é nunca efetuado em quaisquer dos

pontos das fronteiras computacionais.

A finalidade de se usar vários esquemas de iteração é de se poder comparar a razão de convergência destes esquemas. Os esquemas que devem ser utilizados são:

1. Jacobi (ou point-Jacobi);

2. Gauss-Seidel (ou point-Gauss-Seidel); 3. SOR (Successive Overrelaxation); 4. Line-Jacobi;

5. Line-Gauss-Seidel;

6. SLOR (Successive Line Overrelaxation); 7. AF1;

8. AF2.

No caso dos esquemas (line-Jacobi, line-Gauss-Seidel e SLOR), a idéia é que a iteração, ou relaxação, deve ser feita utilizando-se linhas horizontais, ou seja, o processo iterativo opera na direção y. A solução, nestes casos, dentro de cada linha horizontal deve ser efetuada simultaneamente resolvendo-se tridiagonais em x.

Todos estes esquemas propostos para a solução do projeto podem ser escritos em forma padrão de correção, ou forma delta, como:

onde:

♦ Lφi,jn representa o esquema de discretização espacial adotado, que já foi fornecido

anteriormente;

♦ Ci,jn=Δφi,jn=φi,jn+1- φi,jn , é a correção a ser efetuada no potancial no nível de iteração n;

♦ o operador N é discutido abaixo em cada caso.

1. Jacobi: 2. Gauss-Seidel: 3. SOR: 4. Line-Jacobi: 5. Line-Gauss-Seidel:

(

)

( )

φi φi φy

i

y y i IMAX

, ,

, / ,

1 2 2 1

3 2 1

= − − ⋅ ≤ ≤

NC_{i j}n L

i j n

, + φ, =0

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = − + − + − + −

+1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 1 1 2 j j j j j j i i i i i i PJ y y y y y y x x x x x x N ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = − − + − + − + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 j j y j j j j i i i i i i PGS y y E y y y y x x x x x x N ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − = − − + − + − − + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 1 / 1 2 / 1 / 1 2 j j y j j j j i i x i i i i SOR y y E r y y r y y x x E r x x r x x N ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − + = − − + − + 1 1 1 1 1 1 1 2 ~ j j y j j j j xx LGS y y E y y y y N δ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + = − + −

+1 1 1 1

6. SLOR:

7. AF1:

8. AF2:

Nas expressões acima, temos que:

• Ex e Ey são operadores deslocamento nas direções x e y, respectivamente. Por exemplo,

• O operador δyy é definido por

•r é o parâmetro de relaxação de SOR ou SLOR.

Casos a Serem Estudados

a) Caso 1:

b) Caso 2:

Em ambos os casos, utilize a seguinte malha:

O caso 1 deve ser resolvido utilizando-se todos os esquemas de iteração anteriormente mencionados. A solução do caso 2 deve ser efetuada utilizando-se apenas os esquemas 7 e 8.

( ) ( )

E_x

i j i j

−

−

=

1

1

, ,

( )

( )

( ) ( ) ( )

~

,

, , , ,

δ_yy

i j

j j

i j i j

j j

i j i j

j j

y y y y y y

= −

−

− −

− − ⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

+ −

+

+

−

−

2

1 1

1

1

1

1

t U

= = ⎧ ⎨

⎩ ∞

0 05 1 0 .

.

t U

= = ⎧ ⎨

⎩ ∞

010 1 0 .

.

24 . 1 24

. 1 22

61 41

21

= =

=

= =

=

YSF XSF

JMAX

IMAX ITE

ILE

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

− − − − − − + =

− −

+ −

+ 1

1 1

1 1

/ 1 / 1 2

~ 1

j j

y

j j j j xx LGS

y y

E r y y

r y

y r

N δ

(

)(

)

AF

N α δ α δ

α

~ ~

1

1 =− − −

(

)

(

)

N α α δ

α

~ 1

Apresentação de resultados

a) Curva -Cp vs x/c;

b) Curva log10⏐Lφ⏐max vs n;

c) Mapa de cores de Cp; d) Malha computacional; e) Linhas de corrente.

O coeficiente de pressão é definido como:

Para escoamentos incompressíveis, isto pode ser simplificado para

onde u é a magnitude do vetor velocidade local.

Relatório

• Título; • Autor; • Introdução;

• Formulação matemática; • Formulação numérica; • Análise dos resultados; • Conclusões;

• Listagem do programa; • Bibliografia.

C p p

U

P =

− _∞

∞ ∞

1 2

2

ρ

C u

U

P = −

∞

1

2

2

u u u

u x

u y

x y

x

y

= +

=

=

2 2