EEN300 - Métodos Matemáticos em Engenharia Naval e Oceânica
Projeto No. 1
Escreva um programa para resolver a equação de Laplace em duas dimensões e em coordenadas cartesianas,
φxx +φyy =0
Fisicamente isto representa um escoamento potencial, incompressível, em estado estacionário. O programa deve ser construído de forma a resolver o escoamento sobre um aerofólio biconvexo sem sustentação (i. e., α=0), definido por
(
)
y=2tx1−x
onde t é a espessura máxima do perfil, e x, y e t são adimensionalizados pela corda do aerofólio c.
Condições de contorno e Condições Iniciais
Considere que a condição de escoamento não-perturbado seja dada por
φ∞ =U x∞
Portanto, utilize φ∞ como condição inicial. Neste caso, U∞ é uma constante especificada como dado de entrada. Note, ainda, que a condição de escoamento não-perturbado pode ser também utilizada nas fronteiras de entrada, de saída, e na fronteira superior do domínio de cálculo, para todos os níveis de iteração (ou seja, em qualquer instante). Em outras palavras, esta não é apenas uma condição inicial, mas também uma condição de contorno nas fronteiras acima especificadas. A condição de contorno de escoamento tangente na superfície do aerofólio deve ser implementada utilizando-se a hipótese de pequenas perturbações, ou seja,
( )
φy x U
dy
dx x
,0 = ∞ , 0≤ ≤1
Malha Computacional
O programa deve utilizar uma malha de diferenças finitas cartesiana que possua um certo “stretching” em ambas as direções x e y. Uma malha apropriada é definida por:
(
)
(
)
(
)
(
)
Δ
Δ
Δ
Δ
x
ITE ILE
x i ILE x ILE i ITE
x x x x XSF ITE i IMAX
x x x x XSF i ILE
y x
y x
y y y y YSF j JMAX
i
i i i i
i i i i
i j j j
= −
= − ⋅ ≤ ≤
= + − ⋅ < ≤
= + − ⋅ ≤ <
= −
= +
= + − ⋅ ≤ ≤
− − −
+ + +
− − −
10
1
2 2
3
1 1 2
1 1 2
1
2
1 1 2
.
,
, ,
,
onde:
ILE ≡ índice i correspondente ao bordo de ataque do perfil.
ITE ≡ índice i correspondente ao bordo de fuga do perfil.
IMAX ≡ número de pontos na direção x.
JMAX ≡ número de pontos na direção y.
XSF ≡ fator de “stretching” da malha para a direção x.
YSF ≡ fator de “stretching” da malha para a direção y.
Esquema de Diferenças Espaciais
O esquema de diferenças espaciais que deve ser utilizado é dado por
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
− − − − − −
+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− − − − − −
=
− −
+ +
− +
− −
+ +
− +
1 1 , ,
1 , 1 ,
1 1
1 , 1 ,
1 , , 1
1 1 ,
2
2
j j
j i j i
j j
j i j i
j j
i i
j i j i
i i
j i j i
i i j i
y y y y y y
x x x
x x x L
φ φ φ φ
φ φ φ φ
φ
(
)
( )
φi φi φy
i
y y i IMAX
, ,
, / ,
1 2 2 1
3 2 1
= − − ⋅ ≤ ≤
Observe que o cálculo do resíduo, ou seja, Lφi,j , não é nunca efetuado em quaisquer dos pontos das fronteiras computacionais.
Esquemas de Iteração
O problema deve ser resolvido utilizando-se 8 esquemas de iteração diferentes. A finalidade de se usar vários esquemas de iteração é de se poder comparar a razão de convergência destes esquemas. Os esquemas que devem ser utilizados são:
1. Jacobi (ou point-Jacobi);
2. Gauss-Seidel (ou point-Gauss-Seidel); 3. SOR (Successive Overrelaxation); 4. Line-Jacobi;
5. Line-Gauss-Seidel;
6. SLOR (Successive Line Overrelaxation); 7. AF1;
8. AF2.
No caso dos esquemas (line-Jacobi, line-Gauss-Seidel e SLOR), a idéia é que a iteração, ou relaxação, deve ser feita utilizando-se linhas horizontais, ou seja, o processo iterativo opera na direção y. A solução, nestes casos, dentro de cada linha horizontal deve ser efetuada simultaneamente resolvendo-se tridiagonais em x.
Todos estes esquemas propostos para a solução do projeto podem ser escritos em forma padrão de correção, ou forma delta, como:
NCi jn L
i j n
, + φ, =0
onde:
♦ Lφi,jn representa o esquema de discretização espacial adotado, que já foi fornecido anteriormente;
♦ Ci,jn=Δφi,jn=φi,jn+1- φi,jn , é a correção a ser efetuada no potancial no nível de iteração
n;
♦ o operador N é discutido abaixo em cada caso. 1. Jacobi: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = − + − + − + −
+1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 1 2 j j j j j j i i i i i i PJ y y y y y y x x x x x x N ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = − − + − + − + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 j j y j j j j i i i i i i PGS y y E y y y y x x x x x x N 2. Gauss-Seidel: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − = − − + − + − + − + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 1 / 1 2 / 1 / 1 2 j j y j j j j i i i i i i SOR y y E r y y r y y x x r x x r x x N 3. SOR: 4. Line-Jacobi: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − + = − + −
+1 1 1 1
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
− − − − − − + =
− −
+ −
+ 1
1 1
1 1
1 1 2
~
j j
y
j j j j xx LGS
y y
E y
y y y
N δ
5. Line-Gauss-Seidel:
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
− − − − − − + =
− −
+ −
+ 1
1 1
1 1
/ 1 / 1 2
~ 1
j j
y
j j j j xx LGS
y y
E r y y
r y
y r
N δ
6. SLOR:
7. AF1: NAF α
(
α δxx)(
α δyy)
~ ~
1
1 =− − −
8. AF2: NAF
(
α x)
(
α x δyy)
α~ 1
2 =− −Δ ∇ −
Nas expressões acima, temos que:
• Ex e Ey são operadores deslocamento nas direções x e y, respectivamente. Por exemplo,
( )
,( )
, 11
−
− =
j i j i y
E
• O operador δyy é definido por
( )
( )
( ) ( ) ( )
~
,
, , , ,
δyy i j
j j
i j i j
j j
i j i j
j j
y y y y y y
= −
−
− −
− − ⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
+ −
+
+
−
−
2
1 1
1
1
1
1
•r é o parâmetro de relaxação de SOR ou SLOR.
Casos a Serem Estudados
t
U
= = ⎧ ⎨
⎩ ∞
0 05 1 0 .
. a) Caso 1:
t
U
= = ⎧ ⎨
⎩ ∞
010 1 0 .
. b) Caso 2:
Em ambos os casos, utilize a seguinte malha:
24 . 1 24
. 1 22
61 41
21
= =
=
= =
=
YSF XSF
JMAX
IMAX ITE
Apresentação de resultados a) Curva -Cp vs x/c;
b) Curva log10⏐Lφ⏐max vs n; c) Mapa de cores de Cp; d) Malha computacional; e) Linhas de corrente.
O coeficiente de pressão é definido como:
C p p
U
P =
− ∞
∞ ∞
1 2
2 ρ
Para escoamentos incompressíveis, isto pode ser simplificado para
C u
U
P = − ∞
1
2
2
onde u é a magnitude do vetor velocidade local.
u u u
u x
u y
x y
x
y
= +
=
=
2 2
∂φ ∂ ∂φ ∂
Relatório
• Título; • Autor; • Introdução;
• Formulação matemática; • Formulação numérica; • Análise dos resultados; • Conclusões;
