Cap.II-Análise das Deformações, Notas das Aulas de Mecânica dos Sólidos

(1)

CAPÍTULO II

ANÁLISE DAS DEFORMAÇÕES

1.1. RESUMO DA TEORIA

4ª AULA

2.1.1. Deslocamento e Deformação Linear

Deformação linear do segmento PQ:

ds

−

=

'

PQ

ε

(2.1)

Fig. 2.1 – Vector Deslocamento

P(x,y,z) ) , , (u v w ur= z x O (R) (R’) P’(x’,y’,z’) y

Fig. 2.2 - Deformação linear ou extensão

) (P ur ) Q ( ur (R) (R’) P Q P’ Q’ ds' ds O z x y

(2)

Deformação linear ou extensão linear no ponto P, segundo a direcção n = (l,m,n):

ds

lim

n

0 ds

−

=

→

'

)

,

(P

r

ε

(2.2)

Componentes cartesianas lineares da deformação no ponto P:

)

,

(P

)

,

(P

)

,

(P

k

j

i

zz yy xx

r

ε

=

(2.3)

2.1.2. Distorção ou Deformação de Corte

( )

( ) ' ' ou tg _xy _yx DP DB distorção corte de Deformação = =

γ

≅

γ

=

γ

Fig. 2.4 – Distorção dum paralelepípedo Fig. 2.3 – Distorção dum rectângulo

B C H B’ C’ E E’ H’ G G’ F’ F P P’ A A’ x z y B’ C’ A’ A D C B _γ P P’ _x y

(3)

No caso dum elemento tridimensional, Fig.2.4, obtêm-se assim as três componentes cartesianas da

distorção ou deformação de corte no ponto P:

zx xz zy yz yx xy

γ

=

;

=

;

=

(2.4)

2.1.3. Matriz e Vector das Deformações

As seis componentes cartesianas da deformação podem obter-se por derivação do campo dos deslocamentos: x v y u x w z u y w z v z w y v x u xy xz yz zz yy xx ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = γ γ γ ε ε ε (2.5)

As seis componentes cartesianas da deformação podem agrupar-se sob a forma da matriz das

deformações ou do vector deformação no ponto P:

Matriz das Deformações: Vector Deformação:

[ ]













=

zz yz xz yz yy xy xz xy xx

ε

γ

ε

γ

ε

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

{ }

























=

xy xz yz zz yy xx

γ

ε

(4)

2.1.4. Deformação Segundo Direcções Arbitrárias

A deformação linear segundo uma direcção arbitrária nr = (l,m,n), e a distorção do diedro (nr,tr) podem exprimir-se em termos das componentes cartesianas da deformação no ponto considerado:

nl mn lm n m l n ε_xx ε_yy ε_zz γ _xy γ _yz γ _xz ε = 2 + 2 + 2 + + + ) , P ( r (2.7a) e ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ( ) ' ' ' ( 2 , m l lm n l ln n m mn nn mm ll xy xz yz zz yy xx t n + + + + + + + + =

γ

ε

γ

(2.7b)

2.1.5. Leis de Transformação das Deformações

[L] =           ' ' ' ' ' ' ' ' ' z z z y y y x x x n m l n m l n m l Fig. 2.6 – Distorção γnt x O z y P π/2 ) , , (l m n nr= ) ' , ' , ' (l m n tr=

Fig. 2.7– Referenciais Oxyz e Ox’y’z’

O=O' x x' y' y z' z

(5)

Aplicando, as equações (27), obtém-se: ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' ' ' y x y x xy y x y x xz y x y x yz y x zz y x yy y x xx x z x z xy x z x z xz x z x z yz x z zz x z yy x z xx y x z x z y z y xy z y z y xz z y z y yz z y zz z y yy z y xx z y z z xy z z xz z z yz z zz z yy z xx z z y y xy y y xz y y yz y zz y yy y xx y y x x xy x x xz x x yz x zz x yy x xx x x l m m l n l l n m n n m n n m m l l l m m l n l l n m n n m n n m m l l l m m l n l l n m n n m n n m m l l m l l n n m n m l m l l n n m n m l m l l n n m n m l + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + =

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

(2.8)

ou seja, sob a forma matricial:

T ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 1 ' ' 2 1 ' ' 2 1 ' ' ' ' 2 1 ' ' 2 1 ' ' 2 1 ' '           ×           ×           =           z z z y y y x x x zz yz xz yz yy xy xz xy xx z z z y y y x x x z z z y z x z y y y y x z x y x x x n m l n m l n m l n m l n m l n m l

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

(2.9) ou ainda, simbolicamente: [εεεε´] = [L] [εεεε] [L]T (2.10)

Inversamente, pode escrever-se:

(6)

Utilizando a notação vectorial, as equações de transformação das deformações no referencial global (Oxyz) para o referencial particular (Ox’y’z’) podem ainda escrever-se sob a forma seguinte:

                    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' y x z x z y z z y y x x

γ

ε

= T 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11                   T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T x                     xy xz yz zz yy xx

γ

ε

(2.12) Isto é: {εεεε'} = [T]T {εεεε} (2.13)

onde [T] é a matriz de transformação das tensões definida no parágrafo §1.5. do capítulo anterior. E inversamente, a equação de transformação do vector deformação no referencial particular (Ox’y’z’) para o referencial global (Oxyz) é:

{εεεε} = [R]T {εεεε'} (2.14)

Comparando as equações (2.10)-(2.14) com as equações homólogas (1.13) e (1.15) do cap. anterior:

σ

xx ↔

ε

xx

τ

yz ↔ 2 1

γ

yz

σ

yy ↔

ε

yy e

τ

xz ↔ 2 1

γ

xz

σ

zz ↔

ε

zz

τ

xy ↔ 2 1

γ

xy

(7)

as equações de transformação em cada uma das situações são idênticas duas a duas, pelo que podem extrapolar-se directamente os conceitos de deformações principais, de direcções principais de

deformação e de invariantes das deformações em cada ponto do corpo.

Independentemente do referencial que se utilize, são sempre constantes as seguintes grandezas: 1º Invariante das Deformações:

ε

_xx_'

+

ε

_y_'_y_'

+

ε

_z_'_z_'

=

ε

_xx

+

ε

_yy

+

ε

_zz

=

J

₁ (2.15)

2º Invariante das Deformações:

4

2 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z x z y y x x x z z z z y y y y x x

γ

ε

+

−

= 2 2 2 2

4

4 J

zx yz xy xx zz zz yy yy xx

+

−

=

ε

γ

(2.16)

3º Invariante das Deformações:

4

' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' ' 2 ' ' ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' x z z y y x y x z z x z y y z y x x z z y y x x

γ

ε

γ

ε

γ

ε

−

+

=

4

₃ 2 2 2

J

zx yz xy xy zz zx yy yz xx z yy xx

−

+

=

ε

γ

ε

γ

ε

γ

(2.17)

O primeiro invariante das deformações em particular, J1=

ε

xx+

ε

yy+

ε

zz, tem um significado físico

importante: é numericamente igual à variação relativa de volume no ponto considerado, isto é:

V

(8)

2.1.6. Deformações Principais

Em cada ponto existem pelo menos três direcções mutuamente ortogonais (nr₁,nr₂,nr₃), para as quais são nulas as deformações de corte, sendo estacionários (máximos ou mínimos) os valores das respectivas deformações lineares. Essas direcções são as direcções principais de deformação, definidas por um sistema de três equações do tipo:











=

−

+

=

+

−

+

=

+

−

0 )

(

0 )

(

0 )

(

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n

m

l

n

m

l

n

m

l

zz yz xz yz yy xy xz xy xx

ε

γ

ε

γ

ε

(2.19)

onde

ε

é uma das deformações principais

( ε

1

≥

ε

2

≥

ε

3

)

no ponto considerado:

0 ]

)

(

)

(

)

(

[

)

(

)

(

4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 3

=

+

−

+

−

zx yz xy xy zz zx yy yz xx zz yy xx zx yz xy xx zz zz yy yy xx zz yy xx

γ

ε

γ

ε

γ

ε

γ

ε

(2.20)

Relativamente ao triedro ortonormal das três direcções principais de deformação nr₁,nr₂,nr₃, as equações que exprimem a extensão linear segundo uma direcção arbitrária (l,m,n) e a deformação de

corte segundo duas direcções ortogonais nr=(l,m,n) e tr= (l’,m’,n’) são dadas pelas expressões

seguintes, conforme decorre directamente das equações (2.7):

3 2 2 2 1 2

ε

_n

=

l

+

m

+

n

(2.21)

)

'

(

2 ε

₁

ε

₂

ε

₃

γ

_nt

=

ll

+

mm

+

nn

(2.22)

(9)

2.1.7. Deformações sobre um Plano

Deformação ou extensão linear sobre um plano π é a deformação linear επ segundo a direcção da

respectiva normal nr = (l,m,n), isto é:

lm

ln

mn

n

m

l

_yy _zz _yz _xz _xy xx

ε

γ

ε

_π

=

2

+

2

+

2

+

(2.23)

Deformação angular, deformação de corte ou distorção sobre o plano π:

)

'

(

)

'

(

)

'

(

'

2 '

2

' '

ml

lm

nl

ln

nm

mn

nn

mm

ll

xy xz yz zz yy xx nd

+

=

γ

ε

γ

ε

γ

_π (2.24)

Fig. 2.8 – Deformações sobre um plano π

nr ' d r " d r π γ " γ_π ' γ_π B C C' π' π h e e' e" P A B’ ' γ_π e' h P d' r nr E B F F’ e' e" e B” B” F F’ E (a) (c) (b)

5ª AULA

(10)

Tomando um plano paralelo π’, a uma distância infinitesimal h do plano π, o escorregamento relativo (e') de π’ sobre π, segundo a direcção de d'

r

, está relacionado com a deformação de corte '

π

γ através

da equação seguinte, Fig. 2.8(b):

'

h

γ

_π

e

=

(2.25)

Igualmente, para uma outra direcção d"=(l",m",n")

r

, também sobre o plano π e perpendicular a d'

r , tem-se:

)

"

(

"

(

)

"

(

"

2 "

2

"

ml

lm

nl

ln

nm

mn

nn

mm

ll

xy xz yz zz yy xx

+

=

γ

ε

γ

_π (2.26)

e o escorregamento (e") de π' sobre π segundo a direcção d"

r

:

"

h

γ

_π

e

=

(2.27)

O escorregamento relativo total (e) entre π e π’ obtém-se pela composição vectorial, Fig.2.8(c):

2 2 2

"

'

e

=

+

(2.28)

A este escorregamento total corresponde a deformação de corte ou distorção resultante γπ sobre o

plano π, isto é:

h

e

=

π

γ

(2.29)

Esta é a deformação angular responsável pela transformação do rectângulo PACB no paralelogramo PAC’B’, Fig.2.8(a).

Combinando as equações (2.25)-(2.29) pode então escrever-se:

2 2 2

"

'

_π _π π

γ

=

+

(2.30)

(11)

Tomando para referência o triedro principal em P, as componentes normal e tangencial da deformação sobre um plano qualquer (π) definido pela respectiva normal nr=(l,m,n) são dadas,

respectivamente, pelas expressões seguintes:

2 3 2 2 2 1

l

ε

m

ε

n

ε

_π

=

+

(2.36)

( )

2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 1 π π

ε

γ

=

l

+

m

+

n

−

(2.37)

conforme decorre directamente das equações (2.23) e (2.32).

2.1.8. Valores Máximos das Tensões Normais e de Corte

Tal como acontece para as tensões:

1

ε

_max

=

3 1

ε

γ

_max

=

−

A deformação de corte máximae ocorre sobre o plano cuja normal (nr) tem, relativamente ao triedro

principal, os seguintes co-senos directores:

)

2 /

2 ,

0 ,

2 /

2 (

±

=

c

n

r

(12)

2.1.9. Equações de Compatibilidade

As seis componentes da deformação não podem ser fixadas arbitrariamente, devendo ter de satisfazer determinadas condições que garantam a existência das três funções contínuas u(x,y,z),

v(x,y,z) e w(x,y,z), capazes de definirem uma deformação coerente de todo o corpo. Essas condições

são traduzidas por seis equações, denominadas Equações de Compatibilidade das deformações:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x z x y z z y x y y x xx zz xz zz yy yz yy xx xy ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

ε

γ

ε

γ

ε

γ

      ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ z x y z y x y z x y x z x y z x z y xy zy zx zz zx yx yz yy yz xz xy xx

γ

ε

γ

ε

γ

ε

2 2 2 2 2 2 (2.38)

(13)

2.1.10. Construção de Mohr para as Deformações

Existe uma construção de Mohr para as deformações (

ε

_π,

γ

_π), em tudo semelhante à construção

homóloga para as tensões, com a única diferença de que as tensões normais (

σ

) são substituídas por

(

ε

_π) e as tensões de corte (

τ

) por metade das deformações (

γ

_π/2):

2 / ) (

ε

1+

ε

3 2 / ) (

ε

2+

ε

3 2 / ) (

ε

₁+

ε

₂ γ/2

ε

γ_/2

ε

t3 t2 t1

r

3

r

2

r

1 R1 R3 Q2 Q3 S2 S1 β β α γ P3 C1 P2 C2 C3 P1 Q (2) (3) (1) Ο

Fig. 2.10 - Construção de Mohr para as deformações

1

ε

2

ε

3

ε

(14)

2.1.11. Estado Plano de Deformação Verificam-se as condições:

ε

_zz

=

γ

_xz

=

γ

_yz

=

0

e: εxx = εxx(x, y) u = u(x, y) εyy = εyy(x, y) e v = v(x, y) γxy = γxy (x, y) w = 0

Num estado plano de deformação, a expressão (2.23) para a extensão linear (ε) segundo uma

direcção paralela ao plano Oxy e inclinada de um ângulo θ relativamente ao eixo dos xx, reduz-se à

forma seguinte:

)

2 (

)

2 (

)

(

)

(

2 1 2 1 2 1

ε

θ

γ

θ

ε

=

_xx

+

_yy

+

_xx

−

_yy

cos

+

_xy

sen

(2.39)

e a deformação de corte, sobre o plano perpendicular a essa mesma direcção, é dada por:

)

2 (

)

2 (

)

(

2 1 2 1 2 1

γ

ε

_sen

θ

γ

_cos

θ

xy yy xx

−

+

−

=

(2.40)

A deformação de corte anula-se para um ângulo θp, definido pela equação seguinte:

yy xx xy p

tg

ε

γ

θ

−

=

)

2 (

_(2.41)

(15)

Existem duas direcções mutuamente perpendiculares que satisfazem a condição (2.42), isto é θ1 e

θ₂=θ₁+π/2. São as direcções principais de deformação nr₁ e nr₂, que correspondem às extensões principais ε₁ e ε₂, dadas pelas expressões seguintes:

2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2       +       − − + =       +       − + + = xy yy xx yy xx xy yy xx yy xx

γ

ε

γ

ε

(2.42)

2.1.12. Deformações Principais Secundárias

Na situação mais geral dum estado de deformação tridimensional, as equações (2.39)-(2.42) continuam válidas para as deformações no plano (x, y), embora possam ser diferentes de zero as componentes

ε

zz,

γ

xz e

γ

yz. Neste caso as deformações dadas pelas equações (2.42) dizem-se as

deformações principais secundárias no plano (x, y) e representam-se pelos símbolos

ε

’1 e

ε

’2,

respectivamente: 2 2 ' 2 2 2 ' 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 2 xy yy xx yy xx xy yy xx yy xx

γ

σ

ε

γ

σ

ε

+ − − + = + − + + = (2.43)

As direcções definidas pela equação (2.41) são as direcções principais secundárias nr₁' ne r₂' da deformação em P, no plano (x, y).

(16)

2.1.13. Círculo de Mohr para o Estado Plano de Deformação

Quando a deformação angular γ é positiva, (γxy > 0), o ponto D representativo da direcção Ox é

marcado a uma distância ½γxy para baixo do eixo horizontal, e o ponto D’ representativo da direcção

Oy , a uma distância ½γxy para cima; e vice-versa, quando a deformação angular γxy é negativa.

A convenção para o sinal da deformação de corte coincide com a que foi adoptada na construção do círculo de Mohr para as tensões.

Fig. 2.11-Construção de Mohr para o estado plano de deformação

Fig. 2.12-Convenção de sinais para τ e γ xy τ xy

γ

(+) (+) (+) (+) (-) (-) (-) (-)

ε

max

γ

2 1 yy

ε

xx

ε

2

ε

1

ε

2 / ) (ε₁+ε₂ θ 2 θ xy

γ

2 1 xy

γ

2 1

γ

_/2 E E' D D' C P₁ 2 P O

(17)

2.1.14. Análise de Rosetas

Experimentalmente, é mais fácil medir directamente as extensões lineares do que as distorções. Por isso, é frequente pôr-se o problema de determinar as extensões principais num ponto, a partir da medição das extensões lineares ε_a, ε_b, ε_c, segundo três direcções distintas sobre o plano de deformação, Fig. 2.13.

Suponha-se que aquelas três direcções fazem ângulos

θ

a,

θ

b e

θ

c , respectivamente, com a direcção

do eixo dos xx. De acordo com a equação (2.39), pode escrever-se:

      + + = + + = + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 c c xy c yy c xx c b b xy b yy b xx b a a xy a yy a xx a cos sen sen cos cos sen sen cos cos sen sen cos

θ

γ

θ

ε

θ

ε

θ

γ

θ

ε

θ

ε

θ

γ

θ

ε

θ

ε

(2.44) x y a b c a θ b θ c θ

Fig.2.13-Roseta de três elementos arbitrariamente orientados em relação aos eixos coordenados x e y.

(18)

A)- Roseta Rectangular de três elementos

Corresponde à situação em que as três direcções estão espaçadas de 45º. Nas aplicações práticas esta situação é materializado através das rosetas rectangulares de três extensómetros, que têm um aspecto conforme representado na Fig.2.13.

(

) (

)

(

) (

)

     − − + − − + = − − + − + + = 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 c a b c a c a c a b c a c a

ε

(2.45) c a c a b tg

ε

θ

− − − = 2 ) 2 ( ₁_,₂ (2.46) x y a b c 120º 120º 1 θ 1 nr º 240 º 120 º 0 = == c b a θ θ θ a b c Fig.2.13-Roseta rectangular de três elementos. x y a b c 1 θ º 45 º 90 º 45 º 0 = == c b a θ θ θ a b c º 45 1 nr Fig.2.14-Roseta delta (∆) de três elementos.

(19)

onde o valor do ângulo 1 dado pela equação (2.46) é identificado de acordo com as seguintes regras: (i) 0 <

θ

1 < π/2, quando εb > (εa+ εc)/2 (ii)− π/2 <

θ

1 < 0, quando εb < (εa+ εc)/2 (iii)

θ

1 = 0, quando εa > εc e εa = ε1 (iv)

θ

1 = ±π/2, quando εa < εc e εa = ε2 B)- Roseta Delta (∆∆∆∆) de três elmentos

Corresponde à situação em que as três direcções estão espaçadas de 45º. Nas aplicações práticas esta situação é materializado através das rosetas rectangulares de três extensómetros, que têm um aspecto conforme representado na Fig.2.14.

Neste caso particular, as deformações principais e as respectivas direcções são dadas pelas equações seguintes (ver problema 2.2.7b):

(

)

(

)

       − +     + + − − + + = − +     + + − + + + = 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 b c c b a a c b a b c c b a a c b a

ε

(2.47)

(

)

(

b c

)

a b c tg

ε

θ

+ − − = 2 3 ) 2 ( ₁_,₂ (2.48)

(20)

(i) 0 <

θ

1 < π/2, quando εc > εb

(ii) − π/2 <

θ

1 < 0, quando εc < εb

(iii)

θ

1 = 0, quando εb = εc e εa > εb

(iv)

θ

1 = ±π/2, quando εb = εc e εa < εb

Construção gráfica alternativa:

Fig. 2.15-Construção do círculo de Mohr a partir de três deformações lineares γ_/2 O ε h 2γ 2β β γ O’ A a E ' B B 1 C b E c E C a e b e c e 1 P 2 P ' c e ' a e a ε b ε c ε 1 ε 2 ε 1 2θ 1 nr 1 θ x a ≡ b c β γ