1 ∂ ¯ -lema de Poicaré

1 ∂ ¯ -lema de Poicaré

Antes de começarmos a demonstração do lema acima, é importante relembrar que, dada uma integral imprópria do tipo R

A f(w)

w−z⁰dw∧dw, onde A é um aberto que contém o pontoz₀ em Ce f não possui singularidades em C, o valor principal de Cauchy é definido como:

Z

A

f(w)

w−z₀dw∧dw:= lim

r→0

Z

A\B(z0,r)

f(w)

w−z₀dw∧dw, onde B(z₀, r)⊂Cdenota a bola aberta de raio r >0 centrada emz₀. Proposição 1.1. (Primeiro Resultado) Sejam a ∈ C, U uma vizinhança aberta deaeǫ >0tal queU contém o fecho deB(a, ǫ), ou seja,B(a, ǫ)⊂U. Então, se α=f d¯z∈ A^0,1(U), a função:

g(z) := 1 2πi

Z

B(a,ǫ)

f(w)

w−zdw∧dw

satisfaz: α= ¯∂g, ou seja, ^∂g_∂¯z =f.

Demonstração. Seja z₀ um ponto arbitrário de B(a, ǫ). Definindo δ := ǫ−

|z₀ −a|, vale que B(z₀, δ) ⊂ B(a, ǫ). Então, podemos tomar uma função corte como:

Ψ_z0(z) :=











1 ,|z−z₀| ≤ ^δ₄; exp _3δ¹⁶2

exp

− ¹

(^δ2)^{2−|z−z0|2}

,^δ₄ <|z−z₀|< ^δ₂; 0 ,|z−z₀| ≥ ^δ₂. Para esta função vale que o suporte deΨ_z0 está contido emB(z₀,₂^δ).

Definindo as funções f₁ := Ψz0 ·f e f₂ := (1−Ψz0) ·f, temos que f =f₁+f₂ e podemos definir as funções:

g_k(z) := 1 2πi

Z

B(a,ǫ)

f_k(w)

w−zdw∧dw, k= 1,2.

Para vermos que a funçãog₁está bem definida, devemos lembrar primeiro que podemos estender a integração a todo o plano complexoC, pois o suporte da função Ψz0 já está contido no domínio de integração B(a, ǫ). Temos, então:

g₁(z) := 1 2πi

Z

C

f₁(w)

w−zdw∧dw.

Tomando w−z = x+iy, com z fixo, temos dw = dx+idy. Fazendo a mudança de variáveis: x = rcosφ e y = rsinφ, obtemos que dw∧dw =

−2irdr∧dφ. Então, segue que:

g₁(z) = 1 2πi

Z Z

C

f₁(z+re^iφ)

re^iφ (−2ir)drdφ,

= −1 π

Z Z

C

f₁(z+re^iφ)e^−iφdrdφ. (1) Mostrando que a funçãog₁ está bem definida.

Temos que a funçãog₂ é dada através do valor principal de Cauchy:

1 2πi

Z

B(a,ǫ)

f₂(w)

w−zdw∧dw= 1 2πilim

r→0

Z

B(a,ǫ)\B(z,r)

f₂(w)

w−zdw∧dw.

Logo paraz ∈B(z₀,^δ₄), temos que a região de integração não possui singu- laridades e a funçãof₂se anula em uma vizinhança suficientemente pequena de z. Isso mostra que a função g₂ está bem definida em B(z0,^δ₄). Desta maneira, mostramos que a função:

g(z) :=g₁(z) +g₂(z) = 1 2πi

Z

B(a,ǫ)

f(w)

w−zdw∧dw

está bem definida em B(z₀,^δ₄) ⊂B(a, ǫ), onde z₀ é um ponto arbitrário de B(a, ǫ). Isso mostra que a funçãogestá bem definida para todoz∈B(a, ǫ).

Devido a função Ψz0, temos que f₂(z) = 0 para todo z ∈ B(z0,^δ₄).

Logo, temos que, para z ∈B(z₀,^δ₄), vale que a função _w−z¹ é holomorfa se w6∈B(z0,^δ₄) e, portanto, ∂¯_w−z¹ = 0. Temos, então, que:

∂g₂

∂¯z (z) = 1 2πi

Z

B(a,ǫ)

f₂(w) ∂

∂z¯ 1

w−z

dw∧dw= 0, z∈B(z0,δ 4), poisf₂ se anula emB(z0,^δ₄) e∂¯_w−z¹ se anula fora deB(z0,^δ₄).

Como a função f₁ não se anula como a funçãof₂ emB(z0,^δ₄), partimos da expressão (1) aplicando o operador ∂:¯

∂g₁

∂z¯(z) = −1 π

Z Z

C

∂

∂¯z

f₁(z+re^iφ)

e^−iφdrdφ

= −1 π

Z Z

C







∂f₁

∂w✟✟✟✟✟✟✟✯0

∂(z+re^iφ)

∂z¯ +∂f₁

∂w¯^✘✘

✘✘✘✘✘✿1

∂(¯z+re^−iφ)

∂¯z





e^−iφdrdφ

= −1 π

Z Z

C

∂f₁

∂w¯e^−iφdrdφ

= 1

2πi Z

B(a,ǫ)

∂f₁

∂w¯ · 1

w−zdw∧dw. (2)

Temos que o lado direito da igualdade em (2) é dado pelo valor principal de Cauchy:

1 2πi lim

r→0

Z

B(a,ǫ)\B(z,r)

∂f₁

∂w¯ · 1

w−zdw∧dw, (3)

como:

d

f₁(w) w−zdw

=− ∂f₁

∂w¯ · 1

w−z +f₁(w) ∂

∂w¯ 1

w−z

dw∧dw e por _w−z¹ ser holomorfa no domínio de integração, vale que (3) é escrita como:

− 1 2πilim

r→0

Z

B(a,ǫ)\B(z,r)

d f₁

w−zdw

.

Utilizando esse resultado e através do teorema de Stokes temos que:

∂g¯ ₁(z) = − 1 2πilim

r→0

Z

B(a,ǫ)\B(z,r)

d f₁

w−zdw

= − 1 2πilim

r→0

Z

∂[B(a,ǫ)\B(z,r)]

f₁(w) w−zdw.

Como o suporte de f₁ está inteiramente contido em B(a, ǫ), temos que a integral sobre a borda de B(a, ǫ) no sentido anti-horário se anula, restando somente a integral sobre a borda de B(z, r) no sentido horário. Então, tro- cando o sentido de integração com o sinal na frente da integral, resulta que:

∂g¯ ₁(z) =

"

1 2πilim

r→0

Z

∂B(z,r)

f₁(w) w−zdw

#

= 1

2π lim

r→0

Z 2π 0

f₁(z+re^iφ) re^iφ re^iφdφ

= 1

2π Z _2π

0

f₁(z+ lim

r→0re^iφ)dφ

= 1

2πf₁(z) Z _2π

0

dφ

= f₁(z).

A proposição segue do fato que:

∂g(z) = ¯¯ ∂g₁(z) + ¯∂g₂(z) = ¯∂g₁(z).

Proposição 1.2. Sejam a = (a₁, a₂, . . . , an) ∈ Cⁿ, U uma vizinhança de a em Cⁿ, ǫ = (ǫ₁, . . . , ǫ_n) com ǫ_i > 0 para i = 1, . . . , n tal que D_ǫ(a) = {(z₁, . . . , z_n) | |zi−a_i|< ǫ_i}é um polidisco cujo fecho está contido emU, ou seja, Dǫ(a) ⊂U. Então, se α ∈ A^p,q(U) é ∂-fechada e¯ q > 0, então existe uma formaβ ∈ A^p,q−1(D_ǫ(a)) tal que α= ¯∂β emD_ǫ(a).

Demonstração. Seja, então,α ∈ A^p,q(U) denotado da seguinte maneira:

α=X

I,J

f_IJdz_I ∧d¯z_J,

ondeI denota um multi-índice crescente: (i₁, i₂, . . . , i_p), comi₁ < i₂ <· · ·<

ip e J um multi-índice crescente: (j₁, j₂, . . . , jq), com j₁ < j₂ < · · · < jq. Podemos escreverα como:

α =X

I

dzI ∧ X

J

fIJd¯zJ

!

=X

I

dzI ∧αI,

onde αI =P

JfIJd¯zJ ∈ A^0,q(U).

Como:

∂α¯ =X

i,I,J

∂f_IJ

∂z¯i

d¯z_i∧dz_I ∧d¯z_J = (−1)^pX

I

dz_I ∧



 X

i,J

∂f_IJ

∂¯zi

d¯z_i∧d¯z_J





e as formas com multi-índices I diferentes são linearmente independentes, vale que:

∂α¯ = 0⇔∂α¯ _I = 0, ∀I, (4)

mostrando que α_I também é ∂-fechada. Temos também que:¯

α= ¯∂



 X

I,L

gILdzI ∧d¯zL



⇔αI = ¯∂ (−1)^pX

L

gILd¯zL

!

, ∀I. (5)

O interessante das relações (4) e (5) é que a demonstração do teorema é reduzida a demonstração de que para cada α_I ∂-fechada existe uma forma¯ γI ∈ A^0,q−1(Dǫ(a)) tal queαI = ¯∂γI. Devido a isso, daqui para frente, nos referiremos aα como uma forma emA^0,q(U).

Seja k ∈ {1, . . . , n} o menor inteiro positivo tal que d¯z_i não ocorre em α = P

JfJd¯zJ para i > k. Caso k seja igual a n, não existem elementos d¯z_i para i > n. Pela definição de k e estarmos utilizando um multi-índice crescente, temos qued¯z_k aparece emα comod¯z_j1∧d¯z_j2 ∧ · · · ∧d¯z_jq

−1∧d¯z_k sempre quek pertence ao muti-índiceJ. Desta maneira, podemos escrever:

α = X

[J(k∈J)]

f_Jd¯z_J+ X

[J(k6∈J)]

f_Jd¯z_J

= X

[J(k∈J)]

f_Jd¯z_J\{k}∧d¯z_k+ X

[J(k6∈J)]

f_Jd¯z_J

= ω₁∧d¯z_k+ω₂,

onde ω₁ := P

[J(k∈J)]f_Jd¯z_J\{k} e ω₂ := P

[J(k6∈J)]f_Jd¯z_J não dependem de nenhum elementod¯z_j comj ≥k.

O argumento a seguir será utilizado de maneira recursiva logo adiante e o caso em quek=n será considerado ao mesmo tempo em que o desenvol- veremos para o caso em que k < n(para utilizarmos a recursividade).

Vamos definir o operador∂¯iatuando sobre uma forma arbitráriaρperten- cente aA^0,q−1(U), dada porρ=P

Kh_Kd¯z_K, como∂¯_iρ:=P

K

∂h¯ K

∂z¯i d¯z_i∧d¯z_K, ondeK denota um multi-índice crescente: (k₁, k₂, . . . , k_q−1), comk₁ < k₂ <

· · ·< k_q−1.

Para o caso em que k < n, vale que α não depende dos elementos d¯z_k+1, . . . , d¯z_n. Portanto, como α = P

Jf_Jd¯z_J é ∂-fechada, através de¯

∂α¯ = 0 concluímos que ∂¯iα = 0 para todo i > k pois os elementos que dependem ded¯z_i são linearmente independentes com os demais na equação

∂α¯ = 0. Isso leva-nos a concluir que ^∂f¯_∂¯z^J

i = 0para i > k, ou seja, f_J é uma função holomorfa nas variáveis z_k+1, . . . , z_n. Devemos ressaltar aqui que a mesma discussão não se aplica ao caso k=n.

Denotando (z₁, . . . , z_n) por z, temos agora que, através da proposição 1.1, vale que as funções:

g_J(z) := 1 2πi

Z

B(ak,ǫk)

fJ(z₁, . . . , z_k−1, w, z_k+1, . . . , zn)

w−z_k dw∧dw

são tais que: ^∂g_∂¯^J_z^(z)

k =fJ(z)comz∈V_k, ondeV_k é o conjunto formado pelos valores das variáveis z₁, . . . , z_k−1, z_k+1, . . . , z_n em U e z_k ∈ B(ak, ǫ_k). Para o caso em que k = n temos que as funções g_J são diferenciáveis em todas as variáveis e, para o caso k < n, além da diferenciabilidade em todas as variáveis, temos também queg_J são holomorfas nas variáveisz_k+1, . . . , z_n.

Seja γ_k := −(−1)^q−1P

[J(k∈J)]g_Jd¯z_J\{k}, temos que γ_k ∈ A^0,q−1(Vk).

Para o caso em quek < ntomando i > k, vale que:

∂¯_iγ_k(z) =−(−1)^q−1 X

[J(k∈J)]

∂g_J(z)

∂z¯_i d¯z_i∧d¯z_J\{k} = 0, z ∈V_k, (6) poisg_J são holomorfas nessas variáveis. Para o caso k=n não há o que se constatar. Para ambos os casos, temos que:

∂¯_kγ_k(z) = −(−1)^q−1 X

[J(k∈J)]

∂gJ(z)

∂z¯_k d¯z_k∧d¯z_J\{k}

= −(−1)^q−1 X

[J(k∈J)]

f_J(−1)^q−1d¯z_J\{k}∧d¯z_k

= −ω₁∧d¯z_k. (7)

Definindo-se βk := α+ ¯∂γk, temos que βk ∈ A^0,q(Vk). Vale também que β_k é uma forma ∂-fechada, pois¯ α o é e ∂¯² = 0. Além disso, temos que

β_k = ω₁ ∧d¯z_k +ω₂ +P

i∂¯_iγ_k, que através de (6) e (7) resulta em β_k = ω₂+P

i<k∂¯_iγ_k. Através desta última igualdade, vemos queβ_k não depende de d¯z_l paral≥k. Para o caso k=n, concluímos que β_k =βn não depende ded¯z_n.

É importante ressaltar que o procedimento realizado acima partindo de αlevou à construção do elementoβ_kque, pela arbitrariedade deα, pode não depender de d¯z_l para l ≥ k^′ com k^′ < k, ou seja, para um caso específico, poderíamos obterβ_knão dependente ded¯z_lparal≥k−4, por exemplo. Mas no caso mais geral possível, em que α depende dos elementos d¯z₁, . . . , d¯zk, temos a garantia de queβ_k depende somente de d¯z₁, . . . , d¯z_k−1.

O procedimento supracitado pode ser realizado novamente partido da formaβke assim obtermos uma formaβ_k−1 =βk+ ¯∂γ_k−1 =α+ ¯∂γk+ ¯∂γ_k−1 ∈ A^0,q(V_k−1)que também será∂-fechada e não dependerá de¯ d¯z_lparal≥k−1, no caso mais geral possível. Podemos realizar esse processo quantas vezes quisermos. No entanto, temos que lembrar que após a realização de um número m de vezes partindo de α, teremos obtido, para o caso mais geral possível, um objetoβ_(k−m)que dependerá dos elementos d¯z₁, . . . , d¯z_k−m−1 e quandok−m−1 =q, teremos que β_q+1 será da forma:

β_q+1(z) =h(z)d¯z₁∧ · · · ∧d¯zq.

Realizando o procedimento pela última vez, temos que, definindo g(z) := 1

2πi Z

B(aq,ǫq)

h(z₁, . . . , z_q−1, w, z_q+1, . . . , zn)

w−z_q dw∧dw,

vale que, pela proposição 1.1, ^∂g(z)_∂¯z

q =h(z) comz∈V_q ondeV_q é definido de maneira análoga à anterior.

Teremos queγq:=−(−1)^q−1gd¯z₁∧· · ·∧d¯z_q−1e analogamente a (6), para i > q, vale: ∂¯_iγ_q(z) = 0. Para esta última aplicação do procedimento, temos que, para i < q, vale:

∂¯_iγ_q(z) =−(−1)^q−1∂g

∂¯zi

(z)d¯z_i∧d¯z₁∧ · · · ∧d¯z_q−1 = 0, pois1≤i≤q−1. E, analogamente a (7), temos que:

∂¯_qγ_q(z) = −(−1)^q−1 ∂g

∂z¯q

(z)d¯z_q∧d¯z₁∧ · · · ∧d¯z_q−1

= −(−1)^q−1h(z)(−1)^q−1d¯z₁∧ · · · ∧d¯z_q−1∧d¯zq

= −β_q+1.

Por fim, temos que βq := β_q+1+ ¯∂γq = 0 e como recursivamente temos queβ_l =β_l+1+ ¯∂γ_l, vale que:

βq=α+

k

X

i=q

∂γ¯ i = 0,

e, portanto, segue queα= ¯∂γ, na qualγ =− Pk

i=qγ_i

eγ ∈ A^0,q−1(Dǫ(a)), como queríamos demonstrar.