APRENDIZAGEM DA ANÁLISE COMBINATÓRIA POR MEIO DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO PONTO DE PARTIDA
Carlos Alberto de Miranda Pinheiro, DINTER-PUC-UEPA, Prof.mirandapinheiro@gmail.com
Celina Aparecida Almeida Pereira Abar, PUCSP, abarcaap@pucsp.br
Pedro Franco de Sá, UEPA/UNAMA, pedro.franco.sa@gmail.com
RESUMO
As duas últimas décadas representaram um expressivo avanço nos estudos destinados à compreensão dos fenômenos que se apresentam nos processos de ensino e da aprendizagem da Análise Combinatória Básica. Este trabalho encontra-se inserido entre os referidos estudos. O objetivo é procurando apresentar parte dos resultados obtidos após a aplicação de uma sequência didática, elaborada com o intuito de verificar se a utilização da metodologia da resolução de problemas, como ponto de partida, proporcionava condições favoráveis para o desenvolvimento das habilidades básicas da Análise Combinatória. Os dados aqui descritos foram obtidos por meio de um pré-teste e um pós-teste, com cinco problemas, resolvidos antes (pré) e após (pós) a aplicação da sequência junto aos alunos, do ensino médio, de uma escola pública, localizada no centro de Belém do Pará. Entre os resultados podemos destacar a importância do uso do princípio fundamental da contagem para romper com o método tradicional de ensino; o pouco desenvolvimento nas habilidades da combinação simples. Pode-se dizer que, no aspecto geral a sequência didática proporcionou condições favoráveis para o desenvolvimento das habilidades básicas da combinatória no nível escolar.
PALAVRAS-CHAVE: Análise Combinatória, Educação Matemática, Sequência Didática.
ABSTRACT
The two last decades represented a significant advance in studies which aimed to understanding the phenomena that is present in the teaching and learning of Basic Combinatorial Analysis. This paper is talking about these studies. The aim is to show some results obtained after applying a didactic sequence, elaborated with the purpose of determining whether the use of the methodology of problem solving, as a starting point, provided favorable conditions for developing the basic skills of Combinatorial Analysis . The data described here was obtained from a pretest and a posttest, with five problems solved before (pre) and after (post) the implementation of the sequence with the students, in a public high school, located in the center of Belém , in Pará. Among the results we emphasize the importance of using the fundamental principle of counting to break with the traditional method of teaching; the little development of skills in simple combination. You could say, that in the general teaching sequence was provided favorable conditions for the development of basic skills in the combinatorial to school’s level.
1. INTRODUÇÃO
Do final dos anos 1990 do século passado até os dias atuais, os estudos interessados nas questões envolvendo o ensino e da aprendizagem da Análise Combinatória vem se constituindo num forte campo de investigação com a finalidade de minimizar as dificuldades encontradas por alunos e professores.
Os alunos sentem dificuldades ao se depararem com uma parte da matemática escolar que necessita de uma forma particular de raciocínio, denominada de raciocínio combinatório.
Os professores, na sua maioria, encontram-se fragilizados pela formação inicial que só considerava importante o conhecimento puro da matemática em detrimento das questões metodológicas para o ensino dos tópicos da referida disciplina ministrada na escola. Segundo Pinheiro e Sá (2007), a prática pedagógica predominante entre os professores é desenvolver um ensino de Análise combinatória apresentando a definição, seguida de exemplos e exercícios de fixação. Ou seja, o método formal para o possível desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Alguns autores (Piaget e Inhelder 1951, Fischbein et al. 1975, Batanero et al. 1997), da Psicologia e da Educação Matemática, ao perceberem a importância do raciocínio combinatório para os seres humanos, iniciaram um campo de investigação que procura conhecer como se desenvolve tal forma de raciocínio.
Seguindo esses predecessores, estudos mais recentes como os de: Esteves (2001), Pacheco (2001), Fernandes et al. (2004), Moro e Soares (2006), Correia e Fernandes (2007), Pessoa (2009), procuraram analisar o desenvolvimento do raciocínio combinatório em alunos da Educação Básica e Superior. Esses autores, com exceção de Esteves (2001), desenvolveram suas investigações apresentando, aos sujeitos investigados, problemas da análise combinatória escolar, sem o uso de uma metodologia de ensino, e a partir das soluções dos alunos eram analisados os erros, as estratégias e as dificuldades apresentada por eles ao resolverem os referidos problemas, esses pesquisadores chegaram até a classificar alguns níveis de desenvolvimento do raciocínio combinatório nos referidos sujeitos.
Além dos estudos acima Sturm (1999), Rocha (2002), Pinheiro (2008) focalizaram a aprendizagem dos alunos, por meio de novas abordagens
metodológicas, para o ensino da análise combinatória, elaborando e aplicando sequencias de ensino. Os autores desses trabalhos utilizaram o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) como essencial técnica à resolução dos problemas de Arranjo Simples, Combinação Simples e Permutação sem a prévia apresentação das fórmulas.
Os resultados apontaram a importância da realização de novas pesquisas no campo da Análise Combinatória com a intenção de potencializar o P.F.C., como tática básica à solução dos problemas. Os autores utilizaram estratégias de ensino que caminharam no sentido inverso do método tradicional de ensinar (definição, aplicação, exercícios), ou melhor, partiram do problema e fizeram os alunos chegarem às definições e, também, às fórmulas.
As idéias definidas por Sturm (1999), Rocha (2002), Pinheiro (2008), apresentam como premissa que o aluno seja o principal ator na construção do conhecimento, cabendo ao professor, ser o mediador e orientador do processo de ensino e aprendizagem e, também, responsável pela institucionalização do novo conhecimento. Nessa concepção, o caminho para a aprendizagem apresenta-se em sentido contrário ao da metodologia tradicional que se baseia na transmissão formal de conhecimento e a construção de um novo conceito dar-se-ia pela apresentação de uma situação-problema.
Para Meirieu apud Macedo (2002), uma situação-problema é:
Uma situação didática na qual se propõe uma tarefa que ele (aluno) não pode realizar sem efetuar uma aprendizagem precisa. E essa aprendizagem, que constitui o verdadeiro objetivo da situação-problema, se dá ao vencer o obstáculo na realização da tarefa. Assim, a produção supõe a aquisição, uma e outra perdendo o seu objeto de avaliações distintas (p.115).
Acreditamos que, ao adotar situações-problema como caminho metodológico, o professor deverá estar consciente de que não deve propô-las, de início, para em seguida apresentar o conceito, pois assim o fazendo estará se utilizando do método formal de ensino.
Dessa forma, o professor ao propor uma situação-problema em sala de aula precisa ter a clareza do uso da metodologia da resolução de problema na sequência de ensino que ele elaborou. Nesse sentido, encontramos em Mendonça (apud Sá
2005) três interpretações da expressão resolução de problemas, a saber: como um
objetivo, um processo e um ponto de partida. Assim descritos:
9 Como objetivo, a resolução de problemas significa que se
ensina matemática para resolver problemas;
9 Como processo, a resolução de problemas significa olhar para
o desempenho/ transformação dos alunos como resolventes de problemas. Analisam-se as estratégias dos alunos;
9 Como ponto de partida, os problemas são usados como
recurso pedagógico, para iniciar o processo de construção de um determinado conhecimento específico. Entre os conteúdos, estudados na Matemática Escolar.
Para esses autores a maneira de pensar a resolução de problemas, como
objetivo, implica ser suficiente no processo de ensino da matemática, expor a teoria
e em seguida propor problemas mais ou menos engenhosos; na concepção de
processo o desenvolvimento do ensino está centrado na proposição de estratégias
de solução e como ponto de partida, o desenvolvimento do ensino é iniciado pela apresentação de um problema que permitirá desencadear o processo de aprendizagem, culminando na sistematização de conhecimentos matemáticos previamente determinados pelo professor.
Diante do que foi exposto nos encontramos dentro do grupo de pesquisadores que se mantém preocupados em conhecer os fenômenos que se apresentam no processo de ensino e aprendizagem da análise combinatória e, também, em elaborar propostas metodológicas que minimizem as dificuldades dos alunos e dos professores quando inseridos no referido processo. Diante disso, desenvolvemos um estudo que procurou responder as seguintes questões:
Uma sequência de ensino, enfatizando a resolução de problemas como ponto de partida, proporciona condições favoráveis para que sejam institucionalizados os conceitos básicos de Análise Combinatória?
E como questão derivada da primeira:
É possível a partir do ensino oferecido, que os alunos tenham desenvolvido
habilidades básicas para resolverem os problemas de Análise Combinatória?
Visando responder a primeira questão realizamos um estudo em que aplicamos como metodologia, uma seqüência para o ensino dos conceitos básicos
da análise combinatória à luz da teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1996) e da metodologia da resolução de problemas como ponto de partida Sá (2005) e, objetivando responder a segunda indagação, elaboramos e aplicamos um pré-teste e um pós-teste – cinco problemas resolvidos com lápis e papel
Neste trabalho nos deteremos em apresentar os resultados que ajudaram a apontar caminhos para responder a questão derivada. Sendo assim, a seguir apresentamos alguns aspectos da sequencia didática, os problemas utilizados no pré-teste e no pós-teste e seus resultados.
2. MÉTODO
A sequência didática foi desenvolvida em uma escola pública estadual da rede de ensino médio, localizada na região central de Belém do Pará. Trata-se de uma escola que sofre com acentuados problemas de infraestrutura, como, por exemplo: banheiros quebrados, salas de aulas sem portas, ventiladores com defeitos e outros problemas, reflexos do descaso do poder público.
A escolha pelo referido lócus se deu por dois motivos: em primeiro lugar, nossa prioridade em realizar pesquisas que venham contribuir para a melhoria do ensino público; em segundo lugar, não pertencíamos à rede pública de ensino e tivemos que contar com a boa vontade da professora de Matemática da escola que, gentilmente, cedeu seus horários de aulas numa turma da segunda série do Ensino Médio, do turno da tarde. Sendo assim, desenvolvemos a sequência didática como parte do conteúdo do ano letivo, pois a Análise Combinatória e a Probabilidade são os conteúdos matemáticos da segunda série do Ensino Médio da Secretaria de Educação do Estado do Pará.
A escola retornava de um período de 40 dias de greve dos professores da rede pública. Tivemos apenas duas semanas para desenvolver o trabalho, pois os alunos entrariam em período de férias escolar. Com o pouco tempo disponível, foi necessário rever o planejamento da sequência e solicitar aos alunos sua participação em alguns horários de aula que não fossem os da professora de matemática. É importante ressaltarmos que os próprios alunos nos apontavam os horários que comumente apresentavam falta de professores. Utilizamos três desses horários, dois para as aulas e um, para aplicação do pós-teste.
Quanto ao planejamento da sequência didática, tivemos que suspender as aulas destinadas aos exercícios, reduzindo o período previsto de 20 aulas pela metade.
Sendo assim, nessa fase foi aplicado o pré-teste, desenvolvida a sequência didática e aplicado um pós-teste1, nessa ordem, junto a 15 (quinze) alunos da turma 202, no período de 17/06/2008 a 30/06/2008.
O quadro abaixo apresenta o que denominamos “Encontros da experimentação”, a data de cada encontro, a atividade do dia e a hora que iniciou e terminou a atividade.
Quadro 01: Sequência Didática de análise combinatória usada na pesquisa.
ENCONTRO DA
EXPERIMENTAÇÃO DATA ATIVIDADE DO DIA HORA
Início: 15:00h Primeiro encontro 17/06/2008 Aplicação do pré-teste
Fim: 15:45h Início: 17:00h Segundo encontro 18/06/2008 Aula para institucionalizar o P.F.C.
Fim: 18:30h Início: 16:45h
Terceiro encontro 19/06/2008 Aula para institucionalizar a
Permutação e a ideia do fatorial
Fim: 18:15h Início: 14:15h Quarto encontro 24/06/2008 Aula da diferença entre arranjo e
combinação simples Fim: 17:45h
Início: 15:15h Quinto encontro
25/06/2008 Aula para fazer os alunos construírem a fórmula do Arranjo simples
Fim: 16:45h Início: 15:45h Sexto encontro 26/06/2008 Aula para fazer os alunos construírem a
fórmula da combinação simples
Fim: 17:15h Início: 15:00h Sétimo encontro 30/06/2008 Aplicação do pós-teste
Fim: 16:00h
Podemos observar no quadro acima que não tivemos nenhuma aula para resolver problemas que possibilitassem um aprimoramento nas habilidades que acreditamos terem sido desenvolvidas pelos alunos. Este fato poderá ser observado com os resultados apresentados abaixo.
1
O pré-teste foi elaborado com o objetivo de sabermos se os alunos conseguiriam resolver problemas que envolvessem as habilidades básicas do ensino de Análise Combinatória.
Os resultados, obtidos na pesquisa de Pinheiro e Sá (2007), nos ajudaram a perceber que os problemas que deveríamos usar no referido instrumento seriam aqueles apontados pelos professores, consultados pelos autores, como os mais fáceis. A quantidade de questões também poderia influenciar na vontade dos alunos. Sendo assim, optamos por elaborar cinco problemas que envolvessem as habilidades básicas de Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.), Permutação Simples, Arranjo Simples e Combinação Simples.
Eis os cinco problemas:
1. Anagramas são palavras formadas pela reordenação das letras de outra palavra. Sendo assim, calcule o número de anagramas da palavra AMOR?
2. Quantos números, de dois algarismos distintos, podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?
3. Entre 8 (oito) professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice-diretor e supervisor pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita?
4. De quantas maneiras diferentes podem se sentar cinco pessoas em um banco com cinco lugares?
5. De quantas maneiras diferentes podemos sortear três passagens aéreas para Fortaleza entre os sete funcionários de melhor desempenho, no ano de 2007, de uma empresa?
3. RESULTADOS
No dia da realização do pré-teste, solicitamos a cada aluno que criasse um pseudônimo. Nossa preocupação era não expor os verdadeiros nomes dos alunos, pois acreditamos que essa postura deixa o aluno mais à vontade.
A seguir, apresentamos o resultado do pré-teste por questão, categorizando as respostas como: (A) acertou, (E) errou e (N) não fez. E o quadro geral da quantidade de acertos, erros e não fez por questão. Com isso, consideramos que:
9 Acertou: quando houvesse uma resolução para questão e o resultado
obtido estava correto.
9 Errou: quando houvesse uma resolução para questão e o resultado obtido
estava incorreto.
Quadro 02: Acertou (A), Errou (E) e Não Fez (N) do pré-teste QUESTÕES Alunos Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Anjinhah N A E A A Isa N N N N N Ferreira E E E E E Tatá N N N N N Adri N N N N N Eli N N N N N 2791 N E E N N Drica N N N N N Tazz N E E E N MYKlove N E N N N Sndo N N N N N Sedeia N E N N N Juju N N N N N Brunilda N N N N N Peteca N N N N N
A seguir, apresentamos o gráfico 01, que permite uma melhor visualização dos dados apresentados nos quadros 02.
Gráfico 01: Número de alunos por questões no pré-teste.
0 3 6 9 12 15 número de alunos Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 TOTAL Questões
número de alunos por questão pré-teste
Acertos Erros Não Fez
Observando o gráfico, podemos afirmar que a maioria dos sujeitos da pesquisa não fez as questões do pré-teste. A média de erros ficou aproximadamente em três alunos, ou seja, um quinto dos alunos procurou fazer as questões, mas errou.
Esses resultados vão além dos que foram encontrados em Fichbein e Gazit
apud Batanero (1996), em suas pesquisas. Segundo os autores, na realização do
pré-teste, antes do ensino, os alunos apresentavam acentuados erros nos problemas que envolveram as operações de permutação e arranjos repetidos, seguidos dos erros de arranjo sem repetição e as combinações. Dizemos que os
resultados que encontramos vão além porque a maioria dos alunos não apresentou erros nas questões e, antes, não fez as questões.
Utilizando o mesmo procedimento do tratamento dos dados pré-teste, apresentamos a seguir os resultados do pós-teste por questão, categorizando as respostas como: (A) acertou, (E) errou e (N) não fez.
Quadro 03: Acertou (A), Errou (E) e Não Fez(N) do pós-teste QUESTÕES Alunos Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Anjinhah A A A A E Isa A A A A E Ferreira A A A A E Tatá E N E E E Adri E E E A E Eli E E E N N 2791 A A A A E Drica A E E A E Tazz A E A A A MYKlove A A A A A Sndo E A E A A Sedeia A A A A E Juju A A A A E Brunilda E A A E E Peteca A A E A E
Apresentamos o gráfico 02, que proporciona uma melhor visualização dos dados apresentados no quadro 03.
Gráfico02: Número de alunos por questões no pós-teste
0 3 6 9 12 15 Número de alunos Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total Questões
número de alunos por questões no pós-teste
Acertos Erros Não fez
No gráfico, podemos observar que o número de alunos que não fizeram as questões é muito pequeno, isso implica que houve mais intenção em acertar as
questões por parte dos alunos. Comparando o número de acertos com o de erros, podemos observar que os alunos acertaram mais do que erraram.
A seguir, apresentamos um quadro geral comparando os resultados do pré e pós-teste.
Quadro 04: Acertou (A), Errou (E) e Não Fez(N) do Pré/Pós-testes
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Alunos Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós Anjinhah N A A A E A A A A E Isa N A N A N A N A N E Ferreira E A E A E A E A E E Tatá N E N N N E N E N E Adri N E N E N E N A N E Eli N E N E N E N N N N 2791 N A E A E A N A N E Drica N A N E N E N A N E Tazz N A E E E A E A N A MYKlove N A E A N A N A N A Sndo N E N A N E N A N A Sedeia N A E A N A N A N E Juju N A N A N A N A N E Brunilda N E N A N A N E N E Peteca N A N A N E N A N E
Podemos observar no quadro 04 que há uma forte predominância de alunos que não fizeram as questões no pré-teste, mas, esse fato se reduz, consideravelmente no pós-teste, pois apenas a Tatá, na questão 2, e o Eli, nas questões 4 e 5, encontram-se a categoria “não fez”.
É perceptível a acentuada melhoria dos alunos nas questões 1, 2, 3 e 4, pois a quantidade de acertos supera a de erros. Acreditamos que esses resultados poderiam ter sido melhores se tivéssemos realizado as aulas de exercícios destinadas ao aprimoramento do desenvolvimento das habilidades para resolver problemas de contagem.
No que se refere à questão 05, devemos ressaltar que entre os alunos que realizaram o pós-teste, houve aqueles que apresentaram corretamente o procedimento de resolução, mas erraram o resultado final. Podemos observar no quadro a seguir os extratos dos protocolos dos alunos que acertaram o procedimento e o valor final, juntamente com os alunos que acertaram o procedimento, mas erram o valor final.
Quadro 05: Alunos que acertaram o procedimento da questão 05
No quadro acima, podemos observar que a Sedeia e a Brunilda conseguem perceber o procedimento correto de resolução da questão que envolve a combinação simples. Sendo assim, entendemos que mais dois alunos conseguiram alcançar o objetivo da questão. Com isso, o quadro que segue apresenta os resultados do pré/pós-teste com uma melhora no desempenho dos alunos, também, na questão 5.
Quadro 06: Acertou (A), Errou (E) e Não Fez(N) do Pré/Pós-testes relativos
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Apelidos Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós Anjinhah N A A A E A A A A E Isa N A N A N A N A N E Ferreira E A E A E A E A E E Tatá N E N N N E N E N E Adri N E N E N E N A N E Eli N E N E N E N N N N 2791 N A E A E A N A N E Drica N A N E N E N A N E Tazz N A E E E A E A N A MYKlove N A E A N A N A N A Sndo N E N A N E N A N A Sedeia N A E A N A N A N A Juju N A N A N A N A N E Brunilda N E N A N A N E N A Peteca N A N A N E N A N E
Entre os alunos que erraram o procedimento e o resultado final da questão 5, destacamos os que apresentaram erro de ordem Batanero et al.(1997; Correia e Fernandes (2007); Esteves (2001) e Pacheco (2001), ou seja, resolveram o problema como se fosse de arranjo quando a operação correta é de combinação (cf. quadro 07) .
Quadro 07: Alunos que trocaram o procedimento de resolução da questão 5
Acreditamos que por não ter havido a possibilidade de desenvolver as aulas destinadas aos exercícios de cada assunto ministrado, os resultados do quadro acima são bastante positivos, pois observamos que os referidos alunos apresentam condições favoráveis de um melhor desenvolvimento das habilidades para resolver os problemas de combinação simples. Esses resultados confirmam que houve um avanço considerável do pós-teste em relação ao pré-teste.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho procuramos apresentar parte dos resultados de um estudo realizado com o intuito de verificar se uma sequência didática, apoiada na metodologia da resolução de problemas como ponto de partida, proporcionava condições favoráveis para o desenvolvimento das habilidades básicas da análise combinatória escolar.
A perda das 10(dez) aulas – destinadas ao aprimoramento das habilidades – ocasionou certas falhas no desenvolvimento dos alunos, especialmente no caso da
combinação simples, contudo, o salto quantitativo e qualitativo apresentado nos resultados do pré-teste para o pós-teste indicam que a sequência apresentou condições favoráveis para o desenvolvimento das referidas habilidades, num aspecto geral.
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