Teoremas de comparação para o núcleo do calor de subvariedades mínimas e aplicações

(1)

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

FRANCISCO PEREIRA CHAVES

TEOREMAS DE COMPARAÇ ÃO PARA O N ÚCLEO DO CALOR DE SUBVARIEDADES MÍNIMAS E APLICAÇ ÕES

FORTALEZA

(2)

TEOREMAS DE COMPARAÇ ÃO PARA O N ÚCLEO DO CALOR DE

SUBVARIEDADES MÍNIMAS E APLICAÇ ÕES

Tese apresentada ao programa de

Pós-gradua¸cão em Matemática do Departamento

de Matem´atica da Universidade Federal do

Cear´a, como parte dos requisitos necess´arios

para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em

Ma-temática. Área de concentra¸cão: Geometria

Diferencial.

Orientador: Prof. Dr. Greg´orio Pacelli

Feitosa Bessa

FORTALEZA

(3)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Federal do Ceará

Biblioteca do Curso de Matemática

C438t Chaves, Francisco Pereira

Teoremas de comparação para o núcleo do calor de subvariedades mínimas e aplicações / Fran- cisco Pereira Chaves. – 2016.

64 f.

Tese (doutorado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2016.

Área de Concentração: Geometria Diferencial Orientação: Prof. Dr. Gregório Pacelli Feitosa Bessa.

1. Variedades riemanianas. 2. Núcleo do calor. 3. Subvariedades mínimas. I. Título.

(4)

TEOREMAS DE COMPARAÇ ÃO PARA O N ÚCLEO DO CALOR DE

SUBVARIEDADES MÍNIMAS E APLICAÇ ÕES

Tese apresentada ao programa de

Pós-gradua¸cão em Matemática do Departamento

de Matem´atica da Universidade Federal do

Cear´a, como parte dos requisitos necess´arios

para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em

Ma-temática. Área de concentra¸cão: Geometria

Diferencial.

Aprovada em: 11/02/2016.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Greg´orio Pacelli Feitosa Bessa (Orientador)

Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Diego Ribeiro Moreira

Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira

Prof. Dr. Fl´avio Fran¸ca Cruz

Universidade Regional do Cariri (URCA)

Prof. Dr. Jos´e Ederson Melo Braga

(5)

(6)

Dedico este trabalho aos meus pais queridos Antonio e Maria.

(7)

Primeiramente a Deus, pela gra¸ca que me concedeu de realizar este trabalho, por toda ajuda nos momentos dif´ıceis, mostrando sempre um caminho a seguir, e pelo reconhecimento dos meus esfor¸cos.

Aos meus pais, por todo amor, carinho e dedica¸c˜ao, pelos ensinamentos e pela for¸ca que sempre me dedicaram, tornando-me capaz de alcan¸car meus objetivos, e aos meus irm˜aos, por todo apoio, incentivo e confian¸ca em mim depositados.

A minha esposa, Regivˆania, por todo amor, carinho, companheirismo e com-preens˜ao.

Aos meus sobrinhos, por me fazer acreditar que posso ser uma pessoa cada vez melhor, e aos demais familiares, pela presen¸ca em todos os momentos necess´arios.

Aos amigos de minha cidade querida, Miss˜ao Velha, por todo incentivo recebido durante toda minha jornada.

Ao professor Gregório Pacelli Feitosa Bessa, pela orienta¸cão, pelas palavras de incentivo e confian¸ca e por todo apoio recebido durante a realiza¸cão deste trabalho.

Aos professores Diego Moreira, Jorge Herbert, Flávio Fran¸ca e José Ederson, pelas observa¸cões e sugestões sobre este trabalo e pela disponibilidade para a participa¸cão da banca examinadora.

A todos os colegas da Pós-Gradua¸cão em Matemática da UFC, por todo apoio, conselhos e sugestões recebidos e pela contribui¸cão na realiza¸cão deste trabalho, dentre os quais posso citar Adam, Adriano, Assis, Calvi, Cleiton, Damião Junio, Davi Lustosa, Davi Ribeiro, Disson, Ednardo, Edvalter, Emanuel, Fabr´ıcio, Fagner, Flávio, Grangeiro, Halison, João Francisco, Jocel, Kelson, Kelton, Luiz Antonio, Marcos Ranieri, Nazareno, Nino, Rondinelle, Thadeu, Tiago Nogueira, Tiago Veras, Valdir, Wanderley e Wilson.

Agradecimentos especiais aos amigos Jo˜ao Vitor e Tiarlos, por todo conheci-mento compartilhado e apoio nos moconheci-mentos dif´ıceis, como tamb´em ao amigo e parceiro, Renivaldo, o baiano, com quem obtive os resultados da terceira parte deste trabalho.

`

A bibliotecária Rocilda Maria Cavalcante Sales, pela corre¸cão das referências bibliográficas e aos demais bibliotecários da biblioteca do curso de Matemática.

`

As secretárias Andréa e Jéssica, pelo aux´ılio indispensável em todos os mo-mentos em que precisei.

`

(8)

“Que os vossos esfor¸cos desafiem as impossi-bilidades, lembrai-vos de que as grandes coi-sas do homem foram conquistadas do que pa-recia imposs´ıvel.”

(9)

No presente trabalho, provaremos resultados de compara¸cão para o núcleo do calor de subvariedades m´ınimas de variedades Riemannianas com curvatura seccional limitada superiormente pela curvatura de uma variedade modelo. Em seguida, iremos obter resul-tados sobre a propriedade L1_{-Liouville de submersões Riemannianas com fibras m´ınimas.} Por último, provaremos desigualdades para o tom fundamental ponderado de subconjun-tos transversalmente folheados de variedades Riemannianas ponderadas em termos das curvaturas médias ponderadas das folhas da folhea¸cão.

(10)

In this work we will prove comparison results for the heat kernel of minimal submanifolds in Riemannian manifolds with sectional curvature bounded above by the curvature of a model manifold. Next we will obtain results about the L1_{-Liouville property of} Rieman-nian submersions with minimal fibers. Finnaly, we will prove inequalities for the weighted fundamental tone of transversally foliated subsets of weighted Riemannian manifolds in terms of the weighted mean curvatures of the leaves of the foliation.

(11)

1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 11

2 Preliminares . . . 14

2.1 Operadores diferenciais . . . 14

2.2 Curvaturas . . . 22

2.3 Variedades esfericamente sim´etricas . . . 23

2.4 Teoria espectral . . . 27

2.5 N´ucleo do calor e propriedades estoc´asticas . . . 29

2.6 Imers˜oes isom´etricas . . . 32

2.7 Submers˜oes Riemannianas . . . 33

3 Teoremas de compara¸c˜ao para o n´ucleo do calor de subvarie-dades m´ınimas . . . 36

3.1 N´ucleo do calor em variedades modelo . . . 36

3.2 Teoremas de compara¸c˜ao para o n´ucleo do calor . . . 42

4 Variedades L1_{-Liouville . . . .} ₅₁

4.1 A propriedade L1_{-Liouville . . . .} ₅₁

4.2 A propriedade L1_{-Liouville de submers˜}_{oes Riemannianas . . . .} ₅₂

5 Tom fundamental ponderado e folhea¸c˜oes ponderadas . . . 56

5.1 Variedades Riemannianas ponderadas . . . 56

5.2 Folhea¸c˜oes em variedades ponderadas . . . 59

6 CONCLUS ˜AO . . . 62

(12)

1 INTRODUC¸ ˜AO

O estudo do núcleo do calor de variedades Riemannianas tem sido de grande re-levância em Matemática nas últimas décadas, veja [25]. Entre uma mir´ıade de aplica¸cões do núcleo do calor em Matemática, podemos citar as rela¸cões geométricas do espectro do Laplaciano codificada no núcleo do calor. Essas rela¸cões se manifestam evidente na expansão assintótica do núcleo do calor em autofun¸cões e autovalores. É interessante encontrar cotas inferiores e superiores para o núcleo do calor em termos da geometria das variedades, porque estas estão relacionadas com propriedades mais sofisticadas da variedade, tais como desigualdades isoperimétricas. Na década de 1980, foram publica-dos trabalhos importantes [10, 11, 28] estabelecendo teoremas de compara¸cão do núcleo do calor. Cheeger e Yau, em [10], obtiveram teoremas de compara¸cão para o núcleo do calor, comparando as curvaturas médias das esferas geodésicas e as curvaturas de Ricci da variedade com as respectivas curvaturas de uma variedade modelo. Cheng, Li e Yau, em [11], provaram teoremas de compara¸cão para o núcleo do calor. Eles mostraram que o núcleo do calor de um dom´ınio compacto Ω com raio extr´ınseco ade uma subvariedade

Mm _{minimamente imersa em uma forma espacial de curvatura constante}_b_{, n˜ao ´e maior}

do que o n´ucleo do calor da bola geod´esica, da forma espacial de curvatura constante b

de dimensão m = dimM, de raio a centrada na origem. Em [28], Markvorsen estendeu os resultados de Cheng-Li-Yau para subvariedades minimamente imersas em espa¸cos am-biente com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante b ∈ R_{. Neste} trabalho, estendemos os resultados de Cheng-Li-Yau e Markvorsen para imersões m´ınimas em variedades com curvatura limitada superiormente por uma fun¸cão radial ₋G. Essa fun¸cão radial é associada a uma variedade modelo e provamos que o nucleo do calor de um dom´ınio compacto Ω de M é limitado pelo núcleo do calor de uma bola do modelo de um certo raio associado a Ω e à imersão. Mais precisamente, seja N uma variedade Riemanniana completa de dimensão n e seja q _∈ N um ponto distinguido. Suponha que a curvatura seccional radial de N ao longo de geodésicas partindo de q é limitada superiormente

K_Nrad(z)≤ −G(rq(z)),

onde rq(z) = distN(q, z) e G: [0,∞) → R ´e uma fun¸c˜ao suave. Seja σ: [0, R0) → R a

´

unica solu¸c˜ao do seguinte problema de Cauchy

(

σ′′

−Gσ = 0,

σ(0) = 0, σ′_{(0) = 1}_, (1)

onde R ´e o maior real tal que σ|(0,R0) >0. O modelo M

m

σ associado ´e o espa¸co quociente

Mm

σ = [0, R0)×Sm

(13)

onde

(t, θ)_∼(s, α)_⇔

(

t =s = 0

t =s 6= 0, θ =α

A origem o de Mm

σ ´e a classe [(0, θ)] = {0} ×Sm−1/∼. Seja Bσ(R) a bola geod´esica de

Mm

σ com centro na origem e de raio R. Os n´ucleos do calor HσR(o, y, t) = HσR(|o−y|, t),

Kσ

R(o, y, t) =KσR(|o−y|, t) deBσ(R) com dados de Dirichlet e Neumann, respectivamente,

dependem somente da distˆancia _|o₋y_| e de t.

Teorema 1.1. Sejam M e N variedades Riemannianas completas de dimens˜ao m e n

respectivamente, e seja ϕ: M ֒→ N uma imers˜ao isom´etrica m´ınima. Seja Ω ⊂ M um dom´ınio compacto com bordo suave ∂Ω6=∅. Para qualquer p∈Ω com q=ϕ(p), seja

a= sup

y∈Ω

distN(q, ϕ(y))

o raio extr´ınseco de Ω em p. Suponha que a ≤injN(q) e que a curvatura seccional radial

de N ao longo de geod´esicas partindo de q satisfaz

K_Nrad(z)≤ −G(rq(z))

onde G´e uma fun¸c˜ao suave par na origem e G′

≤0 em [0, a). 1. Se a solu¸c˜ao σ de (1) satisfaz σ′

>0 em [0, a), e a ´e tal que

a≤ π

2p_kG−kL∞_([0_,a₎₎

ent˜ao

HΩ(p, y, t)≤Heσ

a(rp(ϕ(y)), t)

para todo y_∈Ω e todo t_∈[0,_∞).

2. Se a imersão ϕ é própria e Ω = Dp(a) é a bola extr´ınseca com centro em p e raio

a, isto ´e, a componente conexa de ϕ−1₍_BN₍_a₎₎ _contendo_p_{, ent˜ao}

KΩ(p, y, t)_≤_Keσ_a(rp(ϕ(y)), t)

para todo y_∈ Ω e todo t _∈[0,_∞). Onde _HΩ(p, y, t) e KΩ(p, y, t) s˜ao os n´ucleos do

calor de Ω centrados em p, com dados de Dirichlet e Neumann respectivamente.

Uma variedade Riemanniana M é chamada Liouville quando toda fun¸cão harmônica limitada em M deve ser constante. Essa defini¸cão é motivada pelo Teorema de Liouville que diz que o espa¸co EuclidianoRn_{é Liouville. Mais geralmente dizemos que}

uma variedade Riemanniana éLp_{-Liouville se toda fun¸cão harmônica}_u_∈_Lp₍_M_{) deve ser}

constante. Pode-se considerar uma no¸c˜ao de variedades Lp _{mais geral. Em vez de fun¸c˜oes}

(14)

estudaremos as propriedades L1_{-Liouville em uma importante classe de variedades} Rie-mannianas, estudadas inicialmente por O’Neil, em [29] e [30], e Gray, em [17], a saber, as submersões Riemannianas. Nós provamos que há uma rela¸cão estreita entre as proprie-dades L1_{-Liouville da base e do espa¸co total de submersões Riemannianas se as fibras são} m´ınimas ou m´ınimas e compactas. Para contextualizar esse resultado, ressaltamos que existem exemplos de variedades Liouville, M eK com a variedadeK compacta tal que o produto M ×K não é Liouville, veja [20, p.209]. Nós provamos o resultado a seguir. Teorema 1.2. SejamM eN variedades Riemannianas completas e sejaπ: M _→N uma submersão Riemanniana com fibras m´ınimas Fp =π−1(p), p∈N. Se M é L1-Liouville,

então N é L1_{-Liouville. Se, além da minimalidade, as fibras} _Fp _{são compactas então} _M

´e L1_{-Liouville se, e somente se,} _N _´e _L1_-Liouville.

Na ´ultima parte desta tese, iremos considerar o espectro Spec(_−△f) do

opera-dor Laplaciano ponderado −△f de uma variedade Riemanniana ponderada Mf. Obtemos

limites inferiores para o tom fundamental ponderado λ∗

f(−△f) := infSpec(−△f) de

sub-conjuntos abertos admitindo uma folhea¸cão transversalmente orientada F, em termos das curvaturas médias ponderadas das folhasF _{∈ F}. Nossos resultados são extensões das de-sigualdades do tipo Chern-Heiz para folhea¸cões, obtidas por Barbosa, Bessa e Montenegro, em [1]. Nosso resultado é o seguinte.

Teorema 1.3. Seja _F uma folhea¸c˜ao de classe C2 _{transversalmente orientada de}

codi-mens˜ao 1 de um conjunto aberto conexo Ω de uma variedade Riemanniana ponderada

(n+ 1)-dimensional Mf. Ent˜ao

2qλ∗

f(Ω)≥ inf

F∈Fxinf∈F|H F f (x)|,

onde HF

f significa a curvatura m´edia ponderada da folha F.

(15)

2 Preliminares

Neste cap´ıtulo, faremos uma breve apresenta¸cão de alguns fatos básicos de geometria Riemanniana que serão utilizados no decorrer do texto. Indicamos como leitura complementar as referências [16], [21] e [33].

2.1 Operadores diferenciais

Seja Mm _{uma variedade Riemanniana} _m_{-dimensional suave com m´etrica} g = _h·,_·i e conex˜ao de Levi-Civita _∇. Em todo o texto, suave signfica de classe C∞_.

O elemento de volume Riemanniano da m´etrica g ser´a denotado por dν. Denotaremos por C∞

(M) o anel das fun¸c˜oes reais suaves em M e por X(M) o espa¸co dos campos vetoriais suaves em M.

Defini¸cão 2.1. Sejaf: Mm _→_R_{uma fun¸cão suave. O} _gradiente_de_f _{é o campo vetorial}

suave gradf, definido em M por

hgradf, X_i=df(X),

para todo X ∈ X(M).

Decorre da defini¸c˜ao que se f, g _∈C∞₍_M_{), ent˜ao:}

1. grad (f +g) = gradf + gradg; 2. grad (f g) =ggradf +fgradg.

Proposi¸cão 2.1. Se f: Mm _→ _R _{é uma fun¸cão suave e} _U _⊂ _M _{é uma vizinhan¸ca}

coordenada, com campos coordenados _∂x∂1, . . . , _∂x∂m, ent˜ao o gradiente de f ´e dado em U

por

gradf =

m

X

k,l=1

gkl ∂f ∂xk

∂ ∂xl.

Em particular,

|gradf_|2 ₌

m

X

k,l=1

gkl ∂f ∂xk

∂f ∂xl.

Demonstra¸c˜ao. Se gradf =Pm_l₌₁al_∂x∂l, ent˜ao

∂f ∂xk =

grad f, ∂ ∂xk

=

* _m

X

j=1

aj ∂ ∂xj,

∂ ∂xk

+

=

m

X

j=1

aj

∂ ∂xj,

∂ ∂xk

=

m

X

j=1

(16)

de modo que

gkl ∂f ∂xk =

m

X

j=1

ajgjkgkl =

m

X

j=1

ajδjl=al.

Para o que falta, temos

|gradf|2 ₌

* _m

X

k,l=1

gkl ∂f ∂xk

∂ ∂xl,

m

X

i,j=1

gij ∂f ∂xi ∂ ∂xj + = X i,j,k,l

gklgijglj ∂f ∂xk

∂f ∂xi

= X

j,k,l

gklδil ∂f ∂xk

∂f ∂xi

= X

k,l

gkl∂f ∂xk

∂f ∂xl.

Proposi¸cão 2.2. Seja f: Mm _→ _R _{uma fun¸cão suave. Dados} _p _∈ _M _e _v _∈ _Tp_M_{, seja} γ: (₋ǫ, ǫ)_→M uma curva suave tal que γ(0) =p e γ′_{(0) =}_v_{. Então}

hgradf, vip = d

dt(f◦γ)(t)

t=0 .

Em particular, se p é ponto de máximo ou de m´ınimo local para f, então gradf(p) = 0.

Demonstra¸c˜ao. Para a primeira parte basta observar que, seX for uma extens˜ao local de

γ′_{, ent˜ao}

hgradf, vip =dfp(X) = d

dt(f ◦γ)(t)

t=0 .

Suponha agora que p é ponto de máximo local para f (o outro caso é análogo). Então existe um conjunto aberto U _⊂ M contendo p tal que f(p) _≥ f(q) para todo q _∈ U. Se v _∈ TpM e γ: (₋ǫ, ǫ) _→ U é como no enunciado, então f _◦γ: (₋ǫ, ǫ) _→ R _{tem um} máximo local em 0, donde

hgradf, v_ip = d

dt(f ◦γ)(t)

t=0 = 0.

Como v _∈TpM ´e arbitr´ario, segue que gradf(p) = 0.

Defini¸cão 2.2. Seja f: Mm _→ _R _{uma fun¸cão suave. Dizemos que} _p _∈ _M _{é um} _ponto

(17)

Corol´ario 2.1. Seja Ω um subconjunto aberto conexo de uma variedade Riemanniana

M. Se f: M _→R_{é uma fun¸cão suave com} _grad_f _{= 0} _em _Ω_{, então} _f _{é constante em}_Ω_.

Demonstra¸cão. Fixado um ponto p _∈ Ω, seja A = _{q _∈ Ω; f(q) = f(p)_}. Então A ₆=_∅ (pois p _∈ A). A continuidade de f garante que A é fechado em Ω. Afirmamos que A é aberto em Ω. De fato, seja q ∈ A e consideremos uma vizinhan¸ca coordenada conexa U

de q. Dado q′

∈U, existe uma curva suave γ: [0,1]→U, com γ(0) =q e γ(1) =q′

. Pela Proposi¸c˜ao 2.2, temos que

d

dt(f◦γ)(t) =

gradf,dγ dt

γ(t) = 0.

Logo a fun¸c˜ao t 7→(f ◦γ)(t) ´e constante em [0,1]. Em particular,

f(p) = f(q) = (f◦γ)(0) = (f◦γ)(1) =f(q′

),

e assim q′

∈A. Desde que q′

∈U é arbitrário, conclu´ımos que U _⊂A. Logo, Aé aberto. Como Ω é conexo, conclu´ımos que A= Ω e portanto f é constante em Ω.

Corolário 2.2. Se f: Mm _→_A_⊂_R _e _F_: _A_→_R _{são fun¸cões suaves, então}

grad (F ◦f) =F′

(f) gradf.

Demonstra¸c˜ao. Sep∈M,v ∈TpM eγ: (−ǫ, ǫ)→M ´e uma curva suave tal que γ(0) =p

e γ′

(0) =v, ent˜ao segue da Proposi¸c˜ao 2.2 que

hgrad (F _◦f), v_ip = d

dt(F ◦f◦γ)(t)

t=0 = F′(f(p)) d

dt(f ◦γ)(t)

t=0 = F′

(f(p))_hgradf, v_ip.

Defini¸cão 2.3. Seja X um campo vetorial suave em M. A divergência de X é a fun¸cão suave divX:M _→R_{, dada para} _p_∈_M _por

(divX)(p) = tr_{v _7→(_∇vX) (p)},

onde v ∈TpM e trdenota o tra¸co do operador linear.

Decorre da defini¸c˜ao que se X, Y _{∈ X}(M) e f _∈C∞₍_M_{), ent˜ao}

(18)

Proposi¸c˜ao 2.3. SejaX _{∈ X}(M)e sejaU _⊂M uma vizinhan¸ca coordenada com campos coordenados ∂

∂x1, . . . ,_∂x∂m. Se X for dado emU por X =

Pm

i=1ai∂x∂i, ent˜ao a divergˆencia

de X ´e dada em U por

divX =

m

X

i,j=1

∂ai ∂xi +aiΓ

j ij

,

onde os Γk

ij s˜ao os s´ımbolos de Christoffel da m´etrica de M em U.

Demonstra¸c˜ao. Notamos primeiro que

∇ ∂ ∂xi

X = _∇ ∂

∂xi m X k=1 ak ∂ ∂xk ! = m X k=1 ∂ak ∂xi ∂

∂xk +ak∇_∂xi∂ ∂ ∂xk = m X j,k=1 ∂ak ∂xi ∂

∂xk +akΓ j ik ∂ ∂xj = m X j,k=1 ∂ak ∂xi ∂

∂xk +ajΓ k ij ∂ ∂xk = m X j,k=1 ∂ak

∂xi +ajΓ k ij

∂ ∂xk.

Portanto, como o tra¸co de um operador linear ´e o tra¸co da matriz que o representa em qualquer base, segue que

divX =

m X i=1 ∇ ∂ ∂xiX, ∂ ∂xi = m X i,j=1 ∂ai

∂xi +ajΓ i ij = m X i,j=1 ∂ai

∂xi +aiΓ j ji = m X i,j=1 ∂ai

∂xi +aiΓ j ij

.

Proposi¸c˜ao 2.4. SejaX ∈ X(M)e sejaU ⊂M uma vizinhan¸ca coordenada com campos coordenados _∂x∂1, . . . ,_∂x∂m. Se X for dado emU por X =

Pm

i=1ai∂x∂i, ent˜ao a divergˆencia

de X ´e dada em U por

divX = √1

G m

X

i=1

∂ ∂xi(ai

√

G), (2)

onde G= det(gij).

Demonstra¸c˜ao. Temos que

Γj_ij = 1 2 m X k=1 ∂gjk ∂xi +

∂gik ∂xj −

∂gij ∂xk gjk = 1 2 m X k=1 ∂gjk ∂xi g

kj₊ ∂gij ∂xkg

jk

−∂gij

∂xkg kj = 1 2 m X k=1 ∂gjk ∂xi g

(19)

Afirmamos agora que

∂gjk ∂xi g

jk ₌ 1 G

∂G ∂xi.

Para provar a rela¸c˜ao acima, seja (gk₎

i a matriz obtida de (gij) derivando as entradas de

sua k-ésima coluna na dire¸cão de _∂x∂i, isto é,

(gk)i =

     

g11 · · · ∂g_∂x1ik · · · g1n g21 · · · ∂g_∂x2ik · · · g2n

· · · ·

gn1 · · · ∂g_∂xnki · · · gnn

     .

Desde que G= det(gij) ´e uma fun¸c˜ao linear de cada uma de suas colunas, temos

1

G ∂G

∂xi = det(gij)

−1_det((_gk₎

i) = det(g−1(gk)i).

Segue agora, desde que g−1_g ₌_Id_{, que}

g−1₍_gk₎ i =             

1 _{· · ·} 0 A1k 0 · · · 0

· · · ·

0 _{· · ·} 1 A(k−1)k 0 · · · 0

0 _{· · ·} 0 Akk 0 _{· · ·} 0

0 · · · 0 A(k+1)k 1 · · · 0

· · · ·

0 · · · 0 Ank 0 · · · 1

             ,

onde Alk=glj ∂gjk

∂xi. Portanto,

1

G ∂G

∂xi = det(g

−1₍_gk₎

i) = Akk =gkj ∂gjk

∂xi ,

como afirmado. Segue ent˜ao da´ı e da Proposi¸c˜ao 2.3 que

divX =

m

X

i,j=1

∂ai ∂xi +aiΓ

j ij = m X i=1 ∂ai ∂xi +

ai 2G ∂G ∂xi = m X i=1 " ∂ai ∂xi +

ai

√

G ∂√G

∂xi

#

= _√1

G m X i=1 " √

G∂ai ∂xi +ai

∂√G ∂xi

#

= √1

G m

X

i=1

∂ ∂xi(ai

√

(20)

Defini¸cão 2.4. Seja f: Mm _→ _R _{uma fun¸cão suave. O} _Laplaciano _de _f _{é a fun¸cão}

suave _△f: M _→R _{dada por}

△f = div_◦gradf.

Usando as propriedades do gradiente e da divergˆencia, temos, para quaisquer

f, g _∈C∞₍_M_{), que}

1. _△(f +g) = _△f+_△g.

2. _△(f g) =g_△f +f_△g+ 2_hgradf,gradg_i.

Proposi¸cão 2.5. Se f: Mm _→ _R _{é uma fun¸cão suave e} _U _⊂ _M _{é uma vizinhan¸ca}

coordenada com campos coordenados _∂x∂1, . . . ,_∂x∂m, ent˜ao o Laplaciano de f ´e dado em U

por

△f = √1

G m

X

i=1

∂ ∂xi

gij√G∂f ∂xj

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 2.1, temos

△f = div_◦gradf

= div

m

X

i=1

ai ∂ ∂xi

!

,

onde ai =Pmj=1gij ∂f∂xj. Assim, pela Proposi¸c˜ao 2.4, temos

△f = √1

G m

X

i=1

∂ ∂xi(ai

√

G) = √1

G m

X

i,j=1

∂ ∂xi

gij√G∂f ∂xj

.

Proposi¸cão 2.6. Se f: M _→A_⊂R _e _F_: _A_→R _{são fun¸cões suaves, então}

△(F _◦f) =F′′

(f)_|gradf_|2+F′

(f)_△f.

Demonstra¸cão. Usando a defini¸cão do Laplaciano, as propriedades da divergência e o Corolário 2.2, temos que

△(F ◦f) = div (grad (F ◦f)) = div (F′(f) gradf) = hgradF′

(f),gradfi+F′

(f) div (gradf)

= F′′

(f)_hgradf,gradf_i+F′

(f)_△f

= F′′(f)|gradf|2₊_F′

(21)

Defini¸cão 2.5. Seja f: Mm _→ _R _{uma fun¸cão suave. O} _Hessiano _de _f _em _p _∈ _M _{é o}

operador linear Hessf: TpM _→TpM, definido por

Hessf(v) = _∇vgradf, v ∈TpM.

Podemos considerar Hessf como um (0,2)-tensor em M tal que, para cada par de campos X, Y _{∈ X}(M),

Hessf(X, Y) = _hHessf(X), Y_i=_h∇Xgradf, Yi.

Proposi¸cão 2.7. Se f: Mm _→ _R _{é uma fun¸cão suave e} _p _∈_M_{, então o Hessiano de} _f

em p ´e um operador linear auto-adjunto.

Demonstra¸cão. Sejam v, w _∈ TpM e sejam V, W, respectivamente, extensões de v e w a campos definidos em uma vizinhan¸ca de pem M, então

hHessf(v), w_i = _h∇Vgradf, Wi

= Vhgradf, Wi − hgradf,∇VWi

= V(W f)_{− h}gradf,_∇WV + [V, W]i

= W(V f) + [V, W]f _{− h}gradf,_∇WV + [V, W]i

= W(V f)− hgradf,∇WVi

= _hHessf(w), v_i.

Proposi¸cão 2.8. Se f: Mm _→_R_{é uma fun¸cão suave, então}

△f = tr_{Hessf_}.

Demonstra¸c˜ao. Seja p _∈ M e seja U _⊂ M uma vizinhan¸ca de p onde esteja definido um referencial ortonormal m´ovel _{E1, . . . , Em}, isto significa que os campos vetoriais

E1, . . . , Em ∈ X(M) s˜ao ortonormais em cada ponto de U. Ent˜ao

tr{Hessf}(p) =

m

X

i=1

hHessf(Ei), Eiip

=

m

X

i=1

h∇Eigradf, Eiip

= div (gradf)(p)

(22)

Agora vamos enunciar uma f´ormula integral, conhecida como Teorema da Di-vergˆencia ou Teorema de Green.

Teorema 2.1 (Teorema da Divergˆencia). 1. Seja X um campo vetorial de classe C1

com suporte compacto em uma variedade Riemanniana M. Ent˜ao

Z

M

divX dν = 0.

2. Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo ∂M, e denote por dA o elemento de volume Riemanniano em ∂M com respeito `a m´etrica induzida. Seja η

o campo vetorial normal unit´ario exterior em ∂M. Ent˜ao, para um campo vetorial

X de classe C1 _em _M_{, temos}

Z

M

divX dν =

Z

∂Mh

X, η_idA.

Para uma demonstra¸c˜ao, veja Sakai [33].

Corol´ario 2.3 (F´ormulas de Green). 1. Seja M uma variedade Riemanniana e sejam

h: M _→ R _e _f_: _M _→ R _{fun¸c˜oes de classe} _C1 _e _C2_{, respectivamente. Se} _h_grad_f

tem suporte compacto em M, ent˜ao

Z

M{h

gradh,gradfi −h△f}dν= 0.

Se, além disso, h é de classe C2 _e _f_grad_h _{tem suporte compacto em} _M_{, então}

Z

M{

h△f −f△h}dν = 0.

Em particular, se f tem suporte compacto, ent˜ao R_M△f dν = 0.

2. Seja M uma variedade Riemanniana compacta com bordo ∂M e sejam h: M → R

e f: M →R _{fun¸c˜oes de classe} _C1 _e _C2_{, respectivamente. Se} _η _{for o campo vetorial}

normal unit´ario exterior em ∂M, ent˜ao

Z

M{h

gradh,gradf_{i −}h_△f_}dν =

Z

∂M

h(ηf)dA.

Em particular, R_M_△f dν =₋R_∂Mηf dA e

Z

M

{h(ηf)−f(ηh)}dA= 0.

(23)

2.2 Curvaturas

Nesta se¸cão, relembramos defini¸cões e propriedades básicas das curvaturas seccional e de Ricci e da curvatura escalar.

Defini¸c˜ao 2.6. Seja M uma variedade Riemanniana. O tensor curvatura de Riemann ´e o (1,3)-tensor Rm: _X3₍_M₎_{→ X}₍_M₎ _{dado para} _{X, Y, Z} _{∈ X}₍_M₎ _por

Rm(X, Y)Z =_∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X,Y]Z,

Podemos interpretar o tensor curvatura de Riemann como um (0,4)-tensor,

Rm: _X4₍_M₎_→_C∞₍_M_{), definido por}

Rm(X, Y, Z, W) =_hRm(X, Y)Z, W_i.

Proposi¸c˜ao 2.9. O tensor curvatura de Riemann satisfaz as seguintes propriedades 1. Rm(X, Y)Z =₋Rm(Y, X)Z;

2. Primeira identidade de Bianchi:

Rm(X, Y)Z+Rm(Y, Z)X+Rm(Z, X)Y = 0;

3. Rm(X, Y, Z, W) +Rm(X, Y, W, Z) = 0; 4. Rm(X, Y, Z, W) = Rm(Z, W, X, Y); 5. Segunda identidade de Bianchi:

(_∇XRm)(Y, Z)U + (∇YRm)(Z, X)U+ (∇ZRm)(X, Y)U = 0.

Para uma demonstra¸c˜ao, veja Sakai [33].

Defini¸c˜ao 2.7. Sejamp_∈M e π um subespa¸co bidimensional do espa¸co tangente TpM. A curvatura seccional Kπ de π ´e dada por

Kπ = hRm(X, Y)Y, Zi

|X_|2_|_Y_|2_{− h}_{X, Y}_i2 (:= K(X, Y)),

onde X, Y ∈π são dois vetores linearmente independentes de TpM. Lembramos que esta defini¸cão não depende da escolha dos vetores (veja [33]).

Note que se {e1, e2} for uma base ortonormal de π, ent˜ao

Kπ =hRm(e1, e2)e2, e1i.

Seja Mm _{uma variedade Riemanniana} _m_{-dimensional. Para um ponto} _p_∈_M

(24)

x_∈M_\(cut(p)_∪{p_}), podemos associar um raio polarr= distM(p, x) e um “ângulo”polar θ _∈Sm−1 _{tal que a geodésica minimizante ligando} _p_a_x _{parte de}_p _{na dire¸cão}_θ _em _TpM_. Aqui estamos identificando TpM com Rm_{, de modo que}_θ _{pode ser considerado como um}

ponto de Sm−1_{. Se cut(}_p_{) =} _∅_{, dizemos que} _M _{é uma} _{variedade com um pólo}_{. Neste} caso, dizemos que p é um pólo de M. Observamos que se M é uma variedade com um pólo p, então podemos definir as coordenadas polares em M \ {p}. Se, além disso, M é geodesicamente completa, então M é difeomorfa aRm_.

Defini¸cão 2.8. Para qualquer x_∈M_{\ {}p_} tal que x /_∈cut(p), dizemos que um subespa¸co bidimensional π de TxM é radial se π admite uma base {_∂r∂ , X}, onde X é um vetor

unit´ario ortogonal a ∂

∂r. Acurvatura seccional radialdeM ao longo de geod´esicas partindo

de p, denotada por Krad _{´e definida por}

Krad = sup_{Kπ; π ´e radial_}.

Defini¸c˜ao 2.9. O tensor curvatura de Ricci ´e o (0,2)-tensor Ric : _X2₍_M₎ _→ _C∞₍_M₎ dado para X, Y _{∈ X}(M) por

Ric(X, Y) = tr_{Z _7→Rm(Z, X)Y_}.

Note que Ric(X, Y) ´e sim´etrico com respeito aX eY. De fato, se_{e1, . . . , em}

for uma base ortonormal de TpM, ent˜ao

Ric(X, Y) =

m

X

i=1

hRm(ei, X)Y, eii= m

X

i=1

hRm(ei, Y)X, eii= Ric(Y, X).

Assim, o tensor de Ricci pode ser considerado como o (1,1)-tensor sim´etrico Ric : _X(M)_→C∞₍_M_{), definido por}

Ric(v) = Ric(v, v) =

m

X

i=1

hRm(ei, v)v, eii.

Defini¸cão 2.10. A curvatura escalar de uma variedade (M, g) é a fun¸cão S: M _→ R

definida por

S = tr_{Ric_}.

2.3 Variedades esfericamente sim´etricas

Seja Mm _{uma variedade Riemanniana} _m_{-dimensional suave com m´etrica} _g_.

(25)

a m´etrica g em M_\(cut(o)_{∪ {}o_}) tem a forma

g =dr2₊_A

ijdθidθj,

onde (θ1_{, . . . , θ}m−1_{) s˜ao coordenadas em} _Sm−1 _e _A

ij(r, θ) ´e uma matriz positiva definida.

Seja Sr :=∂BM(r)\cut(o), onde BM(r) denota a bola geod´esica deM com centro em o

e raio r. O operador Laplaciano em M em coordenadas polares tem a forma

△= √1

A ∂ ∂r

_√

A ∂ ∂r

+△Sr

onde A = detAij e△Sr ´e o operador Laplaciano na subvariedade Sr.

Defini¸c˜ao 2.11. Dizemos que uma variedade Riemanniana m-dimensional(M, g)´e uma

variedade esfericamente simétrica ou variedade modelo se valem as seguintes condi¸cões: 1. Existe uma carta Φ : M _→ B(r0), onde B(r0) := {x ∈ Rm; |x| < r0} é a bola em

Rm _{com centro na origem e raio} _r

0 ∈(0,∞].

2. A m´etrica g em coordenadas polares (r, θ) na carta acima tem a forma

g =dr2 +σ2(r)dθ2, (3)

onde dθ2 _{é a métrica canônica em} _Sm−1 _e _σ₍_r₎ _{é uma fun¸cão suave positiva em} (0, r0), chamada a fun¸cão ”warping” do modelo.

Denotaremos porMm

σ a variedade modelom-dimensional com a m´etricagdada

em coordenadas polares por (3).

Dada uma fun¸cão suave positiva σ(r) em (0, r0), uma condi¸cão necessária e suficiente para que exista uma variedade modelo Mm

σ com fun¸c˜ao warping σ ´e

σ(0) = 0, σ′

(0) = 1 e σ(2k)(0) = 0 para todo k = 1,2, . . . . (4)

A hipótese (4) assegura que a métrica g em (0, r0)_×Sm−1_{, dada em coordenadas polares} por (3), pode ser estendida suavemente à origem r= 0 (veja [18] e [26]).

Lema 2.1. SejaMm

σ uma variedade modelom-dimensional. Ent˜ao, o elemento de volume

Riemanniano dν de Mm

σ ´e dado em coordenadas polares por

dν =σm−1(r)drdθ, (5)

e o operador Laplaciano em Mm

σ tem a forma

△= ∂ 2

∂r2 + (m−1)

σ′

σ ∂ ∂r +

1

σ2₍_r₎△Sm−1.

(26)

Exemplo 2.1. Enumeramos a seguir alguns exemplos de variedades modelo. 1. Rm _{´e uma variedade modelo com} _r

0 = ∞ e σ(r) = r. O elemento de volume

Riemannino ´e dado por

dν =rm−1_drdθ

e

△Rm =

∂2

∂r2 +

m₋1

r ∂ ∂r +

1

r2△Sm.

2. Sm _{sem um p´olo ´e uma variedade modelo com} _r

0 = π e σ(r) = senr. O elemento

de volume Riemannino ´e dado por

dν= senm−1r drdθ

e

△Sm = ∂ 2

∂r2 + (m−1)cotgr

∂ ∂r +

1

sen2_r△Sm−1.

3. Hm _{´e uma variedade modelo com} _r

0 = ∞ e σ(r) = senhr. O elemento de volume

Riemannino ´e dado por

dν = senhm−1r drdθ

e

△Hm = ∂ 2

∂r2 + (m−1)cotghr

∂ ∂r +

1

senh2r△Sm −1.

Seja Bσ(R) a bola geod´esica de Mm

σ com centro na origem o ∈ Mmσ e raio R.

Denote por ωm o volume de Sm−1_{, isto ´e,}

ωm =

Z

Sm−1 dθ.

Então, para qualquer R∈(0, r0), a área S(R) da esfera geodésica ∂Bσ(R) é dada por

S(R) =ωmσm−1(R),

e o volume V(R) da bola geod´esica Bσ(R) ´e dado por

V(R) =

Z R

0

S(r)dr =ωm

Z R

0

(27)

Para qualquerx_∈Mm

σ \{o}tal quex /∈cut(o), sejaKrad a curvatura seccional

radial de Mm

σ ao longo de geod´esicas partindo de o, e seja Rico(x) a curvatura de Ricci

Mm

σ em x, na dire¸c˜ao ∂r∂. ´E um fato bem conhecido que a curvatura seccional radial K rad

deMm

σ ao longo de geod´esicas partindo deo depende apenas do raio polar r e ´e dada por

(veja [7])

Krad(r) =₋σ

′′

σ (r). (6)

A curvatura de Ricci Rico tamb´em depende apenas de r e ´e dada por

Rico(r) =−(m−1) σ′′

σ (r). (7)

Segue da rela¸c˜ao (6) que uma variedade modeloMm

σ pode ser equivalentemente

especificada prescrevendo a curvatura seccional radial ₋G _∈ C∞_([0_,

∞)), onde a fun¸c˜ao

G ´e par na origem, e recuperandoσ como a solu¸c˜ao do problema de Cauchy em [0, r0)

(

σ′′

−Gσ= 0, σ(0) = 0, σ′

(0) = 1

no intervalo maximal (0, r0) onde σ ´e positiva.

O teorema seguinte descreve para o ambiente de modelos, uma extensão de resultados de compara¸cão do Hessiano clássicos (veja [18] e [32]).

Teorema 2.2. Seja(M, g)uma variedade Riemannianam-dimensional. Fixado um ponto

p _∈ M, seja r(x) = distM(p, x) a distˆancia de p, e seja Dp =M \cut(p) o dom´ınio das

coordenadas geod´esicas normais centradas em p. Dada uma fun¸c˜ao G_∈ C∞_([0_,

∞)) par na origem, seja σ a solu¸c˜ao do problema de Cauchy

(

σ′′

−Gσ= 0,

σ(0) = 0, σ′_{(0) = 1}_,

e sejaI = (0, r0)⊂(0,∞)o intervalo maximal ondeσ ´e positiva. Se a curvatura seccional

radial de M ao longo de geod´esicas partindo de p satisfaz

K_Mrad(x)_{≥ −}G(r(x)) (resp. _≤)

em BM(r0), a bola geod´esica de M com centro em p e raio r0, ent˜ao

Hessr(x)_≤ σ

′

σ(r(x)){h·,·i −dr⊗dr} (resp. ≥)

em (Dp_{\ {}p_})_∩BM(r0), no sentido das formas quadr´aticas.

(28)

2.4 Teoria espectral

Seja M uma variadade Riemanniana m-dimensional com bordo suave ∂M

(possivelmente vazio) e seja C∞

0 (M) o espa¸co das fun¸c˜oes suaves com suporte compacto em M. Denotaremos por W1₍_M_{) e} _W1

0(M), respectivamente, os fechos de C∞(M) e

C∞

0 (M), com respeito `a norma

kuk2 1 =

Z

M

u2dν+

Z

M|

gradu|2_dν.

QuandoM ´e geodesicamente completa, o Laplaciano△´e um operador essenci-almente auto-adjunto em C∞

0 (M). Assim, ele admite uma única extensão a um operador auto-adjunto ilimitado, também denotado por △ (veja [13], [14] e [37]), cujo dom´ınio é o conjunto W02(M) = {f ∈W01(M); △f ∈L2(M)}.

Quando M não é geodesicamente completa, consideraremos sempre a extensão de Friedrichs de _△ inicialmente definido em C∞

0 (M). Se ∂M 6= ∅, devemos especificar algumas condi¸c˜oes sobre o bordo a fim de que _△ seja auto-adjunto. Usaremos dois tipos de condi¸c˜oes.

1. Condi¸c˜oes de bordo de Dirichlet:

Neste caso, o dom´ınio de △´e o conjunto W1 0(M). 2. Condi¸c˜oes de bordo de Neumann:

Agora o dom´ınio de △´e o conjunto W1₍_M_).

Defini¸cão 2.12. SejaΩum dom´ınio compacto com bordo suave∂Ω₆=_∅de uma variedade RiemannianaM. Dizemos que um númeroλé um autovalordeΩcom condi¸cões de bordo de Dirichlet (resp. Neumann), se existir uma fun¸cão 0 ₆= u _∈ C2_(Ω)_∩_C0_(Ω)_{, chamada}

de autofun¸c˜ao de Ω associada a λ, tal que

  

△u+λu= 0 em Ω, u_|_∂_Ω = 0 (resp. ∂u_∂η

∂Ω= 0),

onde η ´e o vetor normal exterior em ∂Ω.

O conjunto Eλ de todas as autofun¸cões associadas a um autovalor λ é um espa¸co vetorial de dimensão finita, chamado de autoespa¸co associado a λ. É um fato bem conhecido que o conjunto de todos os autovalores de Ω (com condi¸cões de bordo de Dirichlet ou Neumann) consiste de uma sequência

0≤λ1(Ω)< λ2(Ω) <· · · → ∞.

(29)

primeiro autovalor tem a seguinte caracteriza¸c˜ao variacional

λ1(Ω) = inf

R

Ω|gradφ| 2_dν

R

Ωφ2dν

; φ_∈H_{\ {}0_}

, (8)

ondeH=W1

0(Ω), para a condi¸c˜ao de bordo de Dirichlet eH={φ∈W1(Ω);

R

Ωφ dν = 0}, para a condi¸c˜ao de bordo de Neumann. A igualdade ´e satisfeita em (8) se, e somente se,

φ ´e uma primeira autofun¸c˜ao.

Seja Ω⊂M um conjunto aberto ilimitado. Então Ω pode não ter autovalores. Contudo, o lado direito de (8) ainda faz sentido e é chamado o tom fundamental de Ω, denotado por λ∗_{(Ω). Em outras palavras, quando Ω é um dom´ınio compacto com bordo}

∂Ω ₆= _∅, o tom fundamental ´e o primeiro autovalor λ∗_{(Ω) =} _λ_{1(Ω) com condi¸c˜oes de}

bordo de Dirichlet. Quando Ω = M ´e uma variedade geodesicamente completa, o tom fundamental λ∗₍_M_{) coincide com a base do espectro} _Spec₍_M₎

⊂ [0,_∞) de _−△ em M, isto ´e, λ∗₍_M_{) = inf}_Spec₍_M_{). O tom fundamental}_λ∗₍_M_{) de uma variedade Riemanniana}

completa M pode tamb´em ser dado por λ∗

(M) = limk→∞λ1(Ωk), onde {Ωk} ´e uma

sequˆencia de exaust˜ao de M por conjuntos abertos limitados.

A caracteriza¸cão variacional (8) permite-nos obter limites superiores para o primeiro autovalor λ1(Ω) de Ω (com condi¸cões de bordo de Dirichlet ou Neumann). O resultado a seguir fornece um método simples para obter limites inferiores e superiores para o primeiro autovalor de Dirichlet de dom´ınios compactos em variedades Riemannianas (veja [2] e [9]).

Teorema 2.3 (Barta). Seja Ωum dom´ınio compacto com bordo suave por partes ∂Ω₆=_∅

de uma variedade Riemanniana M. Seja f ∈ C2_(Ω)_∩_C0_(Ω) _com _f_|

Ω >0 e f|∂Ω = 0, e

seja λ1(Ω), o primeiro autovalor de Dirichlet de Ω. Ent˜ao

sup Ω

(−△f /f)≥λ1(Ω)≥inf

Ω (−△f /f). (9)

A igualdade em (9) é válida se, e somente se, f é uma autofun¸cão deΩassociada aλ1(Ω). Para uma demonstra¸cão, veja Chavel [9].

O resultado a seguir descreve o comportamento dos autoespa¸cos em pontos próximos à origem em variedades esfericamente simétricas.

Teorema 2.4. Seja M uma variedade com bordo. Suponha que existe um ponto o _∈ M

tal que a métrica de M é invariante sob rota¸cões em torno de o e queM pode ser escrita como a bola de raio a em torno de o com respeito à métrica rotacionalmente simétrica. Então, para cada autoespa¸co

Eλ ={φ; △φ =−λφ}

(30)

1. φ(o) = 0 para toda φ _∈Eλ (a menos de m´ultiplo escalar), ou

2. existe uma única φ _∈ Eλ (a menos de múltiplo escalar) que é rotacionalmente simétrica, isto é, φ pode ser escrita como uma fun¸cão de ro(y) = distM(o, y). Em

particular, se exigirmos que φ(o)_≥0 e R_Mφ2_dν _{= 1}_{, então} _φ _{é ´}_{unica em} _Eλ_. Para uma demonstra¸cão, veja Cheng-Li-Yau [11].

2.5 N´ucleo do calor e propriedades estoc´asticas

Nesta se¸cão, apresentaremos alguns fatos sobre o núcleo do calor de uma variedade Riemanniana. Indicamos ao leitor as referências [21] e [35] para uma leitura complementar.

SejaM uma variedade Riemannianam-dimensional com bordo suave∂M (pos-sivelmente vazio). Denotaremos por _△D e △N os Laplacianos em M com condi¸c˜oes de

bordo de Dirichlet e Neumann, respectivamente. SeM for uma variedade geodesicamente completa, ent˜ao_△D =△N =△. O operador△(ou△D,△N) ´e auto-adjunto, logo define

um semigrupo do calor {Pt}t≥0, isto ´e, uma fam´ılia de operadores limitados, positivos

definidos e auto-adjuntos em L2₍_M_{), tais que se} _u

0 ∈L2(M), ent˜ao a fun¸c˜ao

u(x, t) :=Ptu0(x)∈C∞

(M ×(0,∞))

é solu¸cão do problema de Cauchy para a equa¸cão do calor

  

∂

∂tu(x, t) = △(x, t)

u(x, t)_−→L2 u0(x) quando t→0+.

Al´em disso, existe uma fun¸c˜ao suave p ∈ C∞

(M ×M ×(0,∞)), chamada o n´ucleo do calor de M, tal que

Ptu(x) =

Z

M

p(x, y, t)u(y)dν(y).

Proposi¸c˜ao 2.10. O n´ucleo do calor satisfaz as propriedades a seguir: 1. Simetria: p(x, y, t)_≡p(y, x, t) para todos x, y _∈M e t >0.

2. p(x, y, t)_≥0 para todos x, y _∈M e t >0, e, para todo x_∈M e t >0

Z

M

p(x, y, t)dν(y)≤1.

3. A identidade de semigrupo: para todos x, y _∈M e t, s >0,

p(x, y, t+s) =

Z

M

(31)

4. Para qualquer x_∈M, a fun¸c˜ao u(y, t) :=p(x, y, t) satisfaz a equa¸c˜ao do calor

∂u

∂t =△u.

5. Para qualquer fun¸c˜ao f _∈C∞

0 (M),

Z

M

p(x, y, t)f(y)dν(y)−→C

∞

f(x) quando t→0+.

Teorema 2.5. Seja M uma variedade Riemanniana m-dimensional compacta com bordo

∂M (possivelmente vazio). Seja _{φi_}∞

i=1 uma base ortonormal de L2(M) consistindo de

autofun¸c˜oes com autovalores correspondentes λi. Ent˜ao

p(x, y, t) =

∞

X

i=1

e−λit_φi₍_x₎_φi₍_y₎_,

em particular,

∞

X

i=1

e−λit₌

Z

M

p(x, y, t)dν(x),

e quando t →0

p(x, y, t)_∼ 1

(4πt)m/2 exp

−d2₍_{x, y}₎ 4t

_X∞

i=0

ai(x, y)ti

!

, (10)

onde ai s˜ao fun¸c˜oes suaves com ai(y, y) = 1.

Para uma demonstra¸c˜ao, veja Grigor’yan [21].

Exemplo 2.2. Enunciamos aqui algumas f´ormulas expl´ıcitas conhecidas para o n´ucleo do calor.

1. O núcleo do calor de Rm _{é dado pela} _{fun¸cão de Gauss-Weierstrass}_:

p(x, y, t) = 1

(4πt)m/2 exp

−|x−y|

2 4t

.

2. O n´ucleo do calor de H3 _{´e dado por}

p(x, y, t) = 1

(4πt)3/2 exp

−r

2 4t −t

r

senhr,

onde r = dist(x, y)é a distância geodésica entre x, y _∈H3_.

(32)

se o n´ucleo do calor p(x, y, t) de M satisfaz a identidade

Z

M

p(x, y, t)dν(y) = 1,

para todo x_∈M e t >0. Caso contr´ario, M ´e chamada estocasticamente incompleta.

Teorema 2.6. As seguintes propriedades s˜ao equivalentes. 1. M ´e uma variedade estocasticamente completa.

2. Para todo λ >0, a única solu¸cão suave limitada não negativa da equa¸cão_△u_≥λu

em M ´e a fun¸c˜ao u≡0.

3. Para todo λ >0, a única solu¸cão suave limitada não negativa da equa¸cão △u=λu

em M ´e a fun¸c˜ao u≡0.

4. Para todo T >0, a ´unica solu¸c˜ao limitada em M_×(0, T) do problema de Cauchy

(

∂u

∂t =△u

u_|t=0+ = 0 no sentido L1_loc(M),

(11)

´e a fun¸c˜ao u≡0.

5. Para toda fun¸c˜ao u_∈C2₍_M₎ _com _u∗ _{= sup}

M u <∞, e para todo γ < u∗,

inf

Ωγ △u≤0,

onde Ωγ ={x∈M; u(x)> γ}.

6. Para toda fun¸c˜ao u ∈ C2₍_M₎ _com _u∗

= sup_Mu < ∞, existe uma sequˆencia {xk},

k = 1,2, . . ., tal que, para todo k,

u(xk)> u∗

−1/k e △u(xk)<1/k.

Para uma demonstra¸c˜ao, veja Grigor’yan [20]. Exemplo 2.3. S˜ao variedades estocasticamente completas:

a. Rm_, _Sm _e _Hm _{para todo} _m _{(veja [20]).}

b. Variedades de Cartan-Hadamard (veja [31]).

Defini¸cão 2.14. Uma variedade Riemanniana M é chamada parabólica se toda fun¸cão superharmônica positiva em M é constante.

Teorema 2.7. As seguintes propriedades são equivalentes. 1. M é parabólica.

2. A fun¸c˜ao de Green G(x, y) definida em M _×M por

G(x, y) :=

Z ∞

0

p(x, y, t)dt

(33)

3. Para toda fun¸c˜ao q(x) _∈ C∞

0 (M), que é não negativa e não identicamente nula, a

´

unica solu¸cão suave limitada não nula da equa¸cão _△u = q(x)u em M é a fun¸cão

u_≡0.

Para uma demonstra¸c˜ao, veja Grigor’yan [20]. Exemplo 2.4. Com respeito `a parabolicidade, temos.

a. Qualquer variedade compacta é parabólica, pelo princ´ıpio do máximo. Em particular,

Sm _{´e parab´olica para todo} _m_.

b. Rm _{´e parab´olico se, e somente se,} _{m <}₃ _{(veja [20]).}

c. Hm _{não é parabólico (veja [20]).}

2.6 Imers˜oes isom´etricas

Seja ϕ: M ֒_→ N uma imers˜ao isom´etrica de uma m-variedade Riemanniana

M em uma n-variedade Riemanniana N. Considere uma fun¸cão suave g: N _→ R e a composi¸cão f = g_◦ϕ: M _→R. Identificando, como é usual, X com dϕq(X), temos em

q ∈M e para todo X ∈TqM que

hgradf, X_i=df(X) =dg(X) = _hgradg, X_i.

Ent˜ao escrevemos

gradg = gradf + (gradg)⊥

,

onde (gradg)⊥ _{´e perpendicular a}_T

qM. Sejam∇M e∇N as conex˜oes Riemannianas de M

e N, respectivamente, e sejam _S(q)(X, Y) e Hessf(q)(X, Y), respectivamente, a segunda forma fundamental da imers˜ao ϕ e o Hessiano def em q_∈M, com X, Y _∈TqM. Ent˜ao, temos em q_∈M e para quaisquerX, Y _∈TqM que

HessMf(q)(X, Y) = ∇MXgradf, Y

q

= D _∇N_Xgradg⊤ , YE

ϕ(q)−

D

∇NX(gradg)

⊥⊤ , YE

ϕ(q) = X_hgradg, Y_iϕ(q)−

D

gradg, _∇N_XY⊤E ϕ(q) = X_hgradg, Y_iϕ(q)−

gradg,_∇N_XY ϕ(q)+

D

gradg, _∇N_XY⊥E ϕ(q) =

∇NXgradg, Y

ϕ(q)+

D

gradg, _∇N_XY⊥E ϕ(q).

Portanto,

(34)

para todos X, Y _∈TqM. Tomando o tra¸co em (12), com respeito a uma base ortonormal

{e1, . . . , em} deTqM, temos que

△f(q) =

m

X

i=1

Hessf(q)(ei, ei)

=

m

X

i=1

Hessg(ϕ(q))(ei, ei) +_hgradg,₋H~_i,

onde H~ =−Pmi=1S(ei, ei) denota o vetor curvatura m´edia da imers˜ao ϕ (veja [24]).

2.7 Submers˜oes Riemannianas

Sejam M eN variedades suaves. Uma aplica¸c˜ao suave sobrejetivaπ: M →N

é uma submersão se a diferencial dπq tem posto máximo para todo q∈ M. A variedade

M é chamada o espa¸co total da submersão, N é a base e, para todo p _∈ N, a imagem inversa Fp =π−1₍_p_{) é uma subvariedade mergulhada de} _M_{, chamada a} _fibra _de_π _em _p_. Defini¸cão 2.15. Sejam M e N variedades Riemannianas. Uma submersão π: M _→ N

é chamada submersão Riemanniana se para todop_∈N e todo q_∈Fp, a restri¸cão de dπq

ao subespa¸co ortogonal (TqFp)⊥ _{´e uma isometria sobre} _Tp_N_.

Dados p∈N eq∈Fp =π−1₍_p_{), um vetor tangente}_ξ _∈_TqM _{é dito}_vertical _se ele é tangente à fibra Fp, e horizontal se ele pertence ao espa¸co ortogonal (TqFp)⊥

. Dado

ξ ∈ T M, suas componentes horizontal e vertical s˜ao denotadas por ξh e ξv, respectiva-mente. Denotemos por _D = (T F)⊥

⊂ T M a distribui¸cão suave de posto k = m₋n, em M consistindo dos vetores horizontais. A segunda forma fundamental das fibras é o (1,2)-tensor simétrico _SF_: _D⊥

× D⊥

→ D, definido por

SF(v, w) = (_∇M_v W)h,

onde W é uma extensão vertical de w e _∇M _{é a conexão de Levi-Civita de} _M_{. Observe}

que as fibras da submers˜ao s˜ao subvariedades totalmente geodesicas de M exatamente quando _SF _{= 0.}

Para qualquer campo vetorial X _{∈ X}(N), existe um ´unico campo horizontal

e

X _{∈ X}(M), chamado o levantamento horizontal de X, que é π-relacionado a X, isto é, para quaisquer p ∈ N e q ∈ Fp, dπq(Xqe ) = Xp. Um campo horizontal Xe ∈ X(M) é chamado básico se ele forπ-relacionado a algum campo vetorial X ∈ X(N).

Se Xe eYe são campos vetoriais básicos, então valem as seguintes rela¸cões: 1. gM(X,e Ye) = gN(X, Y)◦π,

2. [X,e Ye]h _{´e b´asico e} _π_{-relacionado a [}_{X, Y}_],

3. (_∇M

e

XYe)

h _{´e b´asico e}_π_{-relacionado a} _∇N XY,

(35)

O vetor curvatura m´edia da fibra F ´e o campo horizontal H~1 _{definido por}

~

H(q) =₋

k

X

i=1

SF(q)(ei, ei) = ₋

k

X

i=1

(_∇M_e_iei)h,

onde _{ei_}k

i=1 é um referencial ortonormal local para a fibra em uma vizinhan¸ca de q. Observe que H~ não é básico em geral. Por exemplo, quando as fibras são hipersuperf´ıcies de M, entãoH~ é básico se, e somente se, todas as fibras têm curvatura média constante. As fibras são subvariedades m´ınimas deM quando H~ ≡0.

Exemplo 2.5. Destacamos os seguintes exemplos de submers˜oes Riemannianas com fibras m´ınimas.

a. Sejam (M, gM) e (N, gN) variedades Riemannianas. O produto Riemanniano de (M, gM) e (M, gN) é a variedade produto W = M ×N dotada com a métrica pro-duto gW = gM +gN. As proje¸cões πM: M × N → M e πN: M ×N → N são

submers˜oes Riemannianas com fibras totalmente geod´esicas e difeomorfas a N eM, respectivamente.

b. Sejam (M, gM) e (N, gN) variedades Riemannianas e seja f: M → R uma fun¸c˜ao

suave positiva em M. A variedade produto W = M ×N dotada com a m´etrica

gW =gM+f 2_g

N é chamada o produto warped deM eN, com fun¸cão warping f, e é

denotada porM_×fN. A proje¸cãoπM: M×fN →M é uma submersão Riemanniana

com fibras totalmente geodésicas, enquanto que a proje¸cão πN: M×f N →N não é

(a menos que f _≡1).

c. Aplica¸cões de recobrimento π: Mf_→ M são submersões Riemannianas com fibras m´ınimas.

d. Seja G um grupo de Lie dotado com uma m´etrica bi-invariante e seja K ⊂ G

um subgrupo compacto, então a proje¸cão natural π: G → G/K é uma submersão Riemanniana com fibras totalmente geodésicas compactas difeomorfas a K.

A divergência de um campo vetorial básico Xe _{∈ X}(M) e a divergência de um campo X _{∈ X}(N),π-relacionado a Xe, são relacionadas pela fórmula a seguir.

Lema 2.2. Seja Xe _{∈ X}(M) um campo vetorial b´asico, π-relacionado a X _{∈ X}(N). Ent˜ao, para todo p_∈N e todo q_∈Fp,

divM(Xe)q = divN(X)p+gM(Xq, ~e Hq) (13)

= divN(X)p+gN(dπq(Xqe ), dπq(Hq~ )).

Em particular, se as fibras s˜ao m´ınimas, ent˜ao divM(Xe) = divN(X).

Para uma demonstra¸c˜ao, veja Bessa-Montenegro-Piccione [5].

Dada uma fun¸c˜ao suave f: N _→ R_{, chamamos a fun¸c˜ao} _f_e₌ _f _◦_π_: _M _→ R

1_{As vezes, o vetor curvatura m´edia ´e definido por}` _H~₍_q_{) =}Pk

i₌₁S

F

(36)

o levantamento de f a M. Denotando por Xe o levantamento horizontal de um campo vetorial X _{∈ X}(N), é imediato que grad_Mfe= grad^_Nf, isto é, o gradiente grad_Mfedo levantamento de f é o levantamento horizontal do gradiente grad_Nf def.

O Laplaciano em N de uma fun¸cão suave f:N _→R e o Laplaciano emM de seu levantamento fe=f◦π são relacionados pela fórmula a seguir.

Lema 2.3. Seja f:N →R _{uma fun¸c˜ao suave e seja} _f_e₌_f_◦_π _{seu levantamento. Ent˜ao,}

para todo p∈N e todo q∈Fp

(△M_f_e₎

q = (△Nf)p+gM((gradMfe)q, ~Hq) (14) = (_△Nf)p+gN((gradNf)p, dπq(Hq~ )).

Em particular, se as fibras s˜ao m´ınimas, ent˜ao (_△M_fe₎

q = (△Nf)p.

(37)

3 Teoremas de compara¸c˜ao para o n´ucleo do calor de subvariedades m´ınimas

Neste cap´ıtulo iremos provar teoremas de compara¸cão para o núcleo do calor. Nossos resultados são extensões de teoremas de compara¸cão obtidos por Cheng, Li e Yau, em [11], e Markvorsen, em [28].

3.1 N´ucleo do calor em variedades modelo

Seja Mm

σ a variedade modelo m-dimensional com curvatura seccional radial

−G(r), onde G _∈ C∞_([0_,

∞)) é uma fun¸cão par na origem. Assuma que a solu¸cão σ do problema de Cauchy

(

σ′′

−Gσ= 0, σ(0) = 0, σ′

(0) = 1 (15)

´e positiva em (0, R). Denote por Bσ(R) _⊂ Mm

σ a bola geod´esica de raio R centrada na

origem o _∈Mm

σ e seja ro(y) = dist(o, y) a fun¸cão distância de o em Mmσ. É um fato bem

conhecido que os n´ucleos do calor de Bσ(R) centrados em o dependem apenas de ro e t

(veja [10]). Podemos ent˜ao denotar com Heσ

R(ro(y), t) eKeσR(ro(y), t), os núcleos do calor de Bσ(R) centrados emo, com condi¸cões de bordo de Dirichlet e Neumann, respectivamente. O resultado a seguir é devido a Cheeger e Yau (veja [10, Lema 2.3]).

Lema 3.1 (Cheeger-Yau). Suponha que a solu¸c˜ao σ de (15) ´e positiva em (0, R) e que

Bσ(R)_⊂Mm

σ \cut(o). Ent˜ao

1. ∂

∂rHe σ

R(r, t)<0, para todo r ∈(0, R) e todo t >0.

2. ∂

∂rKe σ

R(r, t)<0, para todo r∈(0, R] e todo t >0.

Agora reescrevemos _Heσ

R(ro(y), t) e KeRσ(ro(y), t) como uma fun¸c˜ao de s e t, ou

seja, _Heσ

R(ro(y), t) = He(s(r), t) = He(s, t) e KeRσ(ro(y), t) = Ke(s(r), t) = Ke(s, t), onde

s(r) =

Z r

0

σ(t)dt. (16)

Denotaremos por He′

(s, t) e He′′

(s, t), respectivamente, as derivadas primeira e segunda de

e

H(s, t) com respeito as. Usando técnicas análogas às desenvolvidas em [11], provamos os seguintes resultados que serão últeis para o desenvolvimento do nosso trabalho.

Lema 3.2. Suponha que a solu¸c˜aoσ de (15) ´e positiva eσ′ _>₀_em₍₀_{, R}₎_{, onde}_R_satisfaz

R_≤ π

2pkG−kL∞

([0,R))

, (17)

onde G−(r) = max{0,−G(r)}. Suponha tamb´em que G′ ≤ 0 em (0, R) e que Bσ(R) ⊂

Mm

σ \cut(o). Ent˜ao He

′′

(38)

Demonstra¸c˜ao. Temos que

e

Ht(s, t) = △BσHe(s, t) =σ2(r)He′′(s, t) +mσ′(r)He′(s, t). (18)

Diferenciando a equa¸c˜ao (18) duas vezes com respeito a s, obtemos

e

H′′

t(s, t) = σ2(r)He(4)(s, t) + (m+ 4)σ

′

(r)He(3)₍_{s, t}₎ ₍₁₉₎

+ 2(m+ 2)G(r)He′′

(s, t) +mG

′

(r)

σ(r)He

′

(s, t)

Defina a fun¸c˜ao f = σ _◦s−1_{. Ent˜ao} _σ₍_r_{) =} _f₍_s₍_r_)), _σ′₍_r_{) = (}_f

·f′₎₍_s₍_r_{)) e} _G₍_r_{) =}

[f_·f′′_{+ (}_f′₎2_](_s₍_r_{)), onde}_f′ _{= (}_∂/∂s₎_f_{. O Lema 3.1 implica que (}_ds/dr₎e H′

≤0 e, desde que ds/dr =σ(r)_≥0, obtemos _He′

≤0. Assim, de (19), obtemos

e

H′′

t(s, t) ≥ He(4)(s, t)f2(s) + (m+ 4)(f ·f

′

)(s)_He(3)(s, t) (20) + 2(m+ 2)[f ·f′′+ (f′)2](s)He′′

(s, t).

Pelo princ´ıpio do m´aximo, a n˜ao negatividade deHe′′

vai seguir ent˜ao da n˜ao negatividade de He′′

sobre o bordo de 0 ≤ s ≤ s(R) e t ∈ [0,∞). Quando t = 0 e s 6= 0, He(s,0) ≡ 0, logo He′′

(s,0) = 0. Quando t > 0 e s = s(R), desde que He′

≤ 0, Het|r=R = 0 e △Bσs = mσ′₍_r₎

≥0, temos para r=R que

σ2(r)He′′

(s, t) = △Bσ_He₍_{s, t}₎₋_He′₍_{s, t}₎_△Bσ_s₌_He

t(s, t)−He′(s, t)△Bσs≥0.

Assim He′′

(s, t)≥0 parat >0 e s=s(R). Resta provar que He′′

(0, t)≥0. Usando a expans˜ao de autofun¸c˜oes

e

H(o, y, t) =

∞

X

i=1

e−λit_φi₍₀₎_φi₍_y₎

e aplicando o Teorema 2.4 da Se¸c˜ao 2.4, obtemos

e

H′′

(s, t) =X

λ

e−λt_φλ₍₀₎ 1 σ2₍_r₎

−λφλ₋mσ

′₍_r₎

σ(r)

∂φλ ∂r

,

onde φλ(0) >0 e todas as φλ’s são rotacionalmente simétricas. Suprimindo o subscritoλ, afirmamos que a fun¸cão

g =λφ+mσ

′

(r)

σ(r)

∂φ ∂r

(39)

De fato, temos

lim

r→0g(r) = λφ(0) +mrlim→0

σ′₍_r₎

σ(r)

∂φ ∂r

= λφ(0) +mlim

r→0

σ′′₍_r₎

σ′₍_r₎

∂φ ∂r +

∂2_φ

∂r2

,

pela regra de L’Hospital. Por outro lado, desde que

lim

r→0m

∂2_φ

∂r2 =△

Bσ_φ₍₀₎

para m´etrica rotacionalmente sim´etrica em torno de 0, e ∂φ

∂r →0 quando r→0, obtemos

lim

r→0g(r) = λφ(0) +△

Bσ_φ_{(0) =}_λφ₍₀₎₋_λφ_{(0) = 0}_.

Tamb´em

∂g ∂r =λ

∂φ ∂r +m

("

G(r)−

σ′

(r)

σ(r)

2#

∂φ ∂r +

σ′

(r)

σ(r)

∂2φ ∂r2

)

.

Quando r_→0, isto torna-se

lim

r→0

∂g

∂r = mlimr→0

("

G(r)−

σ′

(r)

σ(r)

2#

∂φ ∂r +

σ′

(r)

σ(r)

∂2_φ

∂r2

)

(21)

= mlim

r→0

1 2

σ′′′₍_r₎

σ′₍_r₎ −G(r)

∂φ ∂r +

σ′′₍_r₎

σ′₍_r₎

∂2_φ

∂r2 + 1 2

∂3_φ

∂r3

= mlim

r→0

∂3_φ

∂r3 −lim_r_→₀

∂g ∂r,

onde a segunda igualdade ´e obtida pela regra de L’Hospital. Contudo, diferenciando a equa¸c˜ao

−λφ=_△Bσ_φ₌ ∂ 2_φ

∂r2 + (m−1)

σ′₍_r₎

σ(r)

∂φ

∂r (22)

com respeito a r, obtemos

−λ∂φ ∂r =

∂3_φ

∂r3 + (m−1)

("

G(r)₋

σ′

(r)

σ(r)

2#

∂φ ∂r +

σ′

(r)

σ(r)

∂2_φ

∂r2

)

Tomando o limite quando r →0, temos

lim

r→0

∂3_φ

∂r3 =−

(m₋1)

m rlim→0

(40)

Combinando com (21), obtemos

(m+ 1) lim

r→0

∂g ∂r = 0,

e portanto

lim

r→0

∂g ∂r = 0.

Finalmente, consideremos a fun¸c˜ao

∂2_g

∂r2 = λ

∂2_φ

∂r2 +m

("

G′(r)−2G(r)σ

′

(r)

σ(r) + 2

σ′

(r)

σ(r)

3#

∂φ ∂r

+ 2

"

G(r)₋

σ′₍_r₎

σ(r)

2#

∂2_φ

∂r2 +

σ′₍_r₎

σ(r)

∂3_φ

∂r3

)

.

Quando r_→0, isto torna-se

lim

r→0

∂2_g

∂r2 = −

λ2

mφ(0) +mrlim→0

("

G′(r)−2G(r)σ

′

(r)

σ(r) + 2

σ′

(r)

σ(r)

3#

∂φ ∂r

+ 2

"

G(r)₋

σ′₍_r₎

σ(r)

2#

∂2_φ

∂r2 +

σ′₍_r₎

σ(r)

∂3_φ

∂r3

)

= ₋λ 2

mφ(0) +mrlim→0

(

−2

"

G′

(r)₋2G(r)σ

′₍_r₎

σ(r) + 2

σ′₍_r₎

σ(r)

3#

∂φ ∂r

+ 2G(r)

σ′

(r)

σ(r) −

σ′′

(r)

σ′₍_r₎

∂φ ∂r −2

"

G(r)−

σ′

(r)

σ(r)

2#

∂2_φ

∂r2

−2

"

G(r)−

σ′

(r)

σ(r)

2#

∂2φ ∂r2 + 2

G(r)σ(r)

σ′₍_r₎−

σ′

(r)

σ(r)

∂3φ ∂r3 +

∂4φ ∂r4

)

= ₋3λ 2

mφ(0)−2λG(r)φ(0) +mlimr→0

∂4_φ

∂r4 −2

∂2_g

∂r2.

Assim

3 lim

r→0

∂2_g

∂r2 =−3

λ2

mφ(0)−2λG(r)φ(0) +mlimr→0

∂4_φ

∂r4. (23)

Por outro lado, diferenciando a equa¸c˜ao (22) duas vezes, obtemos

−λ∂

2_φ

∂r2 =

∂4_φ

∂r4 + (m−1)

("

G′

(r)₋2G(r)σ

′₍_r₎

σ(r) + 2

σ′₍_r₎

σ(r)

3#

∂φ ∂r

+

"

2G(r)₋2

σ′₍_r₎

σ(r)

2#

∂2_φ

∂r2 +

σ′₍_r₎

σ(r)

∂3_φ

∂r3

)