Sistemas Dinâmicos. Ferramentas e Aplicações

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Sistemas Dinâmicos

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Sistemas Lineares

Este sistema é linear ?

S

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14

• Definição: um sistema é linear se

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 u S u S u u S t y u S u S t y         Principio de superposição S u(t) y(t)=S(u)

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16

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17

Exemplos de equações diferenciais ordinárias (EDO)

Considere o crescimento populacional População no tempo inicial t0 é N0

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18

Considere o crescimento populacional a) População no inicial t0 é N0

b) No instante seguinte a população cresce de sorte que cada indivíduo gera r outros indivíduos.

(19)

19

Qual foi a variação da população?

∆= 𝑁₁ − 𝑁₀ 𝑁₁ = 𝑁₀ + 𝑟𝑁₀ 𝑁₁= 𝑁₀(1 + r)

(20)

20

Este processo é dinâmico e continua... • Se a população agora é 𝑁₁então • Se a população é 𝑁₂

• De forma geral, para uma população d tamanho N, então

∆= 𝑟𝑁₂ ∆= 𝑟𝑁₁

(21)

21

Podemos propor a seguinte equações diferenciais ordinárias (EDO)

𝑑𝑁

𝑑𝑡 = 𝑟𝑁

(22)

22

• Representação por equações diferenciais ordinárias (EDO)

)

(

)

(

)

(

)

(

t

b

y

t

a

y

t

u

t

y













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23

• Representação por Variáveis de estado

             2 1 2 1 x x A x x   0 ; 1 0           u b a A onde Sistemas Lineares

• Representação por Variáveis de estado

y x y x    2 1 Definindo u x b x a x x x      2 1 2 2 1  

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24 Sistemas Lineares Noção de Equilíbrio Sistemas Lineares x A x dt dx x      0

Derivadas iguais a zero

• 1 único equilíbrio

• global estável ou instável

• Não Existe outro comportamento dinâmico

0

  A x x

(25)

25

Análise de Sistemas Lineares

• Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A

a-valores de A definem a estabilidade do sistema

Determinação dos a-valores de A

Exemplo: onde          b a A 0 1 0   A I  0   A I  2 ba 0 ) ( ) ( . A T b A Det a r    2 1  

(26)

26

Análise de Sistemas Lineares

26 a-valores de A 2 4 2 2 2 1 a b b _     2 ) .( 4 )) ( ( 2 ) ( 2 2 1 A Det A T A T_r _  _r      0 ) (  _e  _i 0   A I  0 ) (  _e  _i 0   A I  0 ) (  _e  _i 0   A I  Sistema instável Sistema estável

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27 27 Sistemas Lineares 0 ) ( 0 ) ( 2 1     e e R R 0 0 2 1    

• a-valores complexos conjugados

• a-valores reais - mesmo sinal

0 ) ( 0 ) ( 2 1     e e R R 0 0 2 1     Nó estável Nó instável

(28)

28 28

• a-valores reais - sinais opostos

• a-valores imaginários puros

Observação: Sistemas lineares não podem apresentar oscilações isoladas, comportamentos periódicos

assinto-ticamente estáveis Centro

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29

• Sistema não linear

Sistema Autônomo f(x) não depende de t explicitamente 0 ) 0 (t x x  

 

t t

e

x

t

x















1 )

(

0 0 2





_n



n

x







₁

,

₂

,

₃

,



,

Sistemas Não-Lineares ) (x f dt dx x   Exemplo:

Solução: x(t) que satisfaz à Equação diferencial e à condição inicial x₀

Condição inicial

• Ideal: obter expressões analíticas da solução - informação quantitativa

• Realidade: na maioria dos casos não é possível conformarmos com obter uma informação qualitativa

(30)

30

1 único Equilíbrio (estável ou instável)

. Sistemas Não-Lineares

• Sistemas Lineares

• Sistemas Não Lineares

- Múltiplos Equilíbrios

- Oscilações periódicas (ciclos limites) - Atratores estranhos (“caóticos”)

(31)

31 • Pendulo simples 2 1 2 2 1

)

(

x

b

x

sen

a

x







Sistemas Não-Lineares

0 )

(









b 

a

sen



_





₂ 1

; x

x

θ L 0  b Diagrama de Espaço de Estados 1 x 2 x 0  b 2 x 1 x equilíbrios

(32)

32

• Oscilador de Van der Pol





2 2 1 1 2 2 1

1 x

x











2 1



0 2 2     x dt dx x dt x d _ Sistemas Não-Lineares

x

₁



;

₂





1 x 2 x ) ( 1 t x ) ( 2 t x ] [seg t

Equilíbrio (foco instável)

Ciclo limite Estável

(33)

33

• Linearização: se df(x)/dx ≠0 então as soluções do sistema não linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se como as do sistema Linear







x x



dx x df x x x dx x df x f x x f x        ) ( ) ( ) ( ) (     Desprezar termos de ordem superior Desenvolvimento serie de Taylor Aproximação linear 0 ) (  dx x df _{Aproximação linear} válida

(34)

34 • Exemplo 3 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x x x x x x          0 0 2 3 2 2 1 2 1 2 1        x x x x x x x



_,

     

₀_,₀ _, ₀_,₁ _, ₀_, ₁



2 1 x   x              ₂ 2 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 2 ) , ( x x x x x x x Df Matriz da linearização (Jacobiano) Equilíbrios 2 2 2 2 0 2 ) 1 , 0 ( 2 2 2 0 0 2 ) 1 , 0 ( 1 0 1 1 0 0 ) 0 , 0 ( 2 1 2 1 2 1                                              Df Df

Df Não posso concluir nada

Nó assintoticamente estável Ponto de sela (instável)

(35)

35 • Caso Geral • Jacobiano







x x



x Df x x x x Df x f x x x f x n          ) ( ) ( ) ( ; ) (                                            n n n n n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f x Df        2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ) ( Sistema linearizado

(36)

36

DINÂMICA DE POPULAÇÕES

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MODELO DISCRETO

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EXEMPLOS

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41

Figure 35.9B

RAPID GROWTH Kenya

Male Female

Percent of population Percent of population Percent of population SLOW GROWTH United States Male Female ZERO GROWTH/DECREASE Italy Male Female Ages 45+ Ages 15–44 Under 15 Under 15 Ages 45+ Ages 15–44

Also reveals social conditions, status of women

• The age structure of a population is the proportion

of individuals in different age-groups

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MODELO LOGISTICO

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MODELO LOGISTICO

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MODELO LOGISTICO

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47 DUAS FACES DO MODELO LOGISTICO

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66 MODELO DE COMPETIÇÃO

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81 PRINCIPIO DA EXCLUSAO COMPETITIVA

Princípio de Gause ou Princípio

da Exclusão Competitiva

• A competição entre duas espécies que

exploram o mesmo nicho ecológico pode

levar a três diferentes situações:

• A) uma das espécies se extinguir;

• B) uma ou ambas espécies ser expulsa do

território;

• C) uma ou ambas espécies adaptarem seus

nichos ecológicos em função da competição

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