Heterocedasticidade. Prof. José Francisco Moreira Pessanha

Heterocedasticidade

Prof. José Francisco Moreira Pessanha

professorjfmp@hotmail.com

Hipóteses do modelo de regressão linear múltipla

H

₀

: Relação linear entre a variável dependente (Y) e as variáveis

independentes (X) – Notação do Gujarati, Econometria Básica, 4ª ed.

n

i

u

X

X

X

Y

_i





₁





₂

₂

_,

_i





₃

₃

_,

_i









_k

_k

_,

_i



_i



1

,



,

em notação vetorial



























n

y

y

y



2

1

y



























n

u

u

u



2

1

u



























n

k

n

k

k

X

X

X

X

X

X

,

,

2

2

,

2

,

2

1

,

1

,

2

1

1

1















X



























k









2

1

β

u

Xβ

y





onde

Vetor de erros

(Vetor aleatório)

Vetor de coeficientes

de regressão

Matriz das variáveis

explicativas

Vetor da variável

Hipóteses do modelo de regressão linear múltipla

H

₁

: E(u)=0

 

 

 

 





















































0

0

0

2

1





n

u

E

u

E

u

E

E u

H

₂

: Var(u

_i

)=



2

_{para i=1,...,n (erros com variância constante igual a}



2

_ou

homocedasticidade)

 



 

2





 



2



 

2





2

i

i

i

i

E

u

E

u

E

u

u

Var

H

₃

: Cov(u

_i

, u

_j

)=0 para todo i



j (erros não autocorrelacionados)



u

_i

,

u

_j

 



E

u

_i



u

_j





E

 

u

_i



E

  

u

_j



E

u

_i



u

_j





0

Cov

= 0 (hipótese H

₁

)

Hipóteses do modelo de regressão linear múltipla

Hipóteses H

₂

e H

₃

são resumidas na matriz de covariâncias do vetor de erros u

 





























































































2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

n

n

n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

E

u

u

u

u

u

u

E

E



















T

u

uu

Pela hipótese H

₂

Var

 

u

_i



E

 

u

_i

2





2

Pela hipótese H

₃



_,

 









₀

j

i

j

i

u

E

u

u

u

Cov

I

Σ

_u

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

0

0

0

0



































































































n

n

n

n

n

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

E

Variâncias na diagonal principal

Covariâncias fora da diagonal principal

I é a matriz

identidade

de ordem n

Hipóteses do modelo de regressão linear múltipla

H

₄

: A matriz X é não aleatória

H

₅

: A matriz X tem posto k < n (k é o nº de variáveis explicativas e n o número

de observações). Isto significa que não pode haver combinações lineares entre

as variáveis explicativas,

H

₆

: Cada erro u

_i

~N(0,



2

_{) para i=1,...,n, logo o vetor de erros u tem distribuição}

normal multivariada (n-variada) com vetor média nulo e matriz de covariâncias



_u











































































































2

2

2

2

1

0

0

0

0

0

0

,

0

0

0

~

























n

n

N

u

u

u

u

Estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO)

  



 





 



















 

 

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ











































_

_



β

β

β

β

X

X

Σ

T

T

β

































k

k

k

k

k

Var

Cov

Cov

Cov

Var

Cov

Cov

Cov

Var

E















 

X

X

X

y

β

2

T

1

T

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

_

































k









Estimador MQO

Matriz de covariâncias do estimador MQO

Vetor aleatório

Matriz de

covariâncias do

Estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO)

 

_βˆ

k

k

2

1

Σ

β,

N

~

ˆ

ˆ

ˆ

βˆ







































Teorema de Gauss-Markov

Sob as hipóteses H

₀

até H

₅

(inclusive a hipótese H

₂

de

homocedasticidade do erro) o estimador MQO é o melhor

estimador linear não tendencioso, ou seja, o estimador MQO é

BLUE (Best Linear Unbiased Estimator)

 

β

ˆ



β

E

 

1

2





X

X

Σ

T

β



Não tendencioso

As variâncias na diagonal da matriz

são mínimas e por isso o MQO é o melhor estimador linear não

tendencioso

Homocedasticidade

A homocedasticidade significa que o erro e a variável explicada

(Y

_i

) têm variância constantes, ou seja, Var(Y

_i

|X

_i

)= Var(u

_i

)=



2

Note que a variância é a mesma independentemente

dos valores da variável explicativa X.

Heterocedasticidade

A heterocedasticidade indica que a variância de Y|X não é

constante, Var(Y

_i

|X

_i

)= Var(u

_i

)=



_i

2

_{(observe o subscrito i), ou seja, a}

hipótese H

₂

: Var(u

_i

) constante é violada.

Note que as variâncias não são as mesmas

e dependem dos valores assumidos pela

variável explicativa X

Homocedasticidade x Heterocedasticidade

Var(u

_i

)=



2

_{para i=1,...,n}

erros com variância

constante igual a



2

Var(u

_i

)=



_i

2

₌



2



i

para i=1,...,n

erros com variâncias

diferentes (note que a

variância está indexada por i )

 

uu

I

Σ

T

u

2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

















































E

 

I

Ω

Ω

uu

Σ

T

u

































2

2

1

2

0

0

0

0

0

0











n

E















Matriz de covariâncias do vetor de erros u

Matriz de covariâncias do vetor de erros u

Exemplo ilustrativo (MADDALA, 2003)

A tabela abaixo apresenta os gastos com consumo e a renda de

20 famílias.

Família Consumo (y) Renda (x) Família Consumo (y) Renda (x)

1

19,9

22,3

11

8,0

8,1

2

31,2

32,3

12

33,1

34,5

3

31,8

36,6

13

33,5

38,0

4

12,1

12,1

14

13,1

14,1

5

40,7

42,3

15

14,8

16,4

6

6,1

6,2

16

21,6

24,1

7

38,6

44,7

17

29,3

30,1

8

25,5

26,1

18

25,0

28,3

9

10,3

10,3

19

17,9

18,2

10

38,8

40,2

20

19,8

20,1

A relação entre o consumo (y) e renda (x) pode ser especificada

pela seguinte equação econométrica:

u

X

Y

_i





₁





₂

_i



Neste exemplo, os coeficientes



₁

e



₂

são estimados por MQO a

partir da amostra de 20 famílias.

Exemplo ilustrativo (MADDALA, 2003)

Estimação da equação de regressão por MQO

1

22,3

1

32,3

1

36,6

1

12,1

1

42,3

1

6,2

1

44,7

1

26,1

1

10,3

1

40,2

1

8,1

1

34,5

1

38

1

14,1

1

16,4

1

24,1

1

30,1

1

28,3

1

18,2

1

20,1

19,9

31,2

31,8

12,1

40,7

6,1

38,6

25,5

10,3

38,8

8

33,1

33,5

13,1

14,8

21,6

29,3

25

17,9

19,8

y=

X=

 

X

X

X

y

β

T

1

T

2

1

ˆ

ˆ

ˆ









































8993

,

0

8471

,

0

ˆβ

i

i

X

Y

ˆ



0

,

8471



0

,

8993

Exemplo ilustrativo (MADDALA, 2003)

Cálculo dos resíduos e da estimativa da variância do erro



_i



i

i

i

i

Y

Y

Y

X

u

ˆ





ˆ





0

,

8471



0

,

8993

-1,00199

1,30476

-1,96234

0,37112

1,81151

-0,32286

-2,44687

1,18057

0,18990

1,80010

-0,13158

1,22625

-1,52139

-0,42753

-0,79598

-0,92078

1,38328

-1,29794

0,68524

0,87652



uˆ

Estimativa da variância do erro u





72632

,

1

ˆ

2

20

87652

,

0

30476

,

1

00199

,

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

20

1

2

2









































k

n

k

n

k

n

u

n

i

i

S QResíduos

u

u

T

Resíduos =

Exemplo ilustrativo (MADDALA, 2003)

Gráfico dos resíduos

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Renda

R

e

s

íd

u

o

s

Dispersão dos resíduos cresce com a renda familiar (X), indicando que a

variância do erro não é constante, ou seja, a hipótese de homocedasticidade

do erro não é verificada.

Exemplo ilustrativo (MADDALA, 2003)

Gráfico dos resíduos

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Renda

R

e

s

íd

u

o

s

A elevada dispersão reflete a maior

variabilidade entre os consumos das

famílias de maior renda, em função

da maior incerteza na parcela da

renda que é destinada ao consumo.

A pequena dispersão reflete a menor

variabilidade entre os consumos das

famílias de menor renda, onde a maior

parte da renda é consumida (não é

poupada) e as composições das

despesas são parecidas.

Exemplo ilustrativo (MADDALA, 2003)

Erro–padrão dos estimadores MQO

1

22,3

1

32,3

1

36,6

1

12,1

1

42,3

1

6,2

1

44,7

1

26,1

1

10,3

1

40,2

1

8,1

1

34,5

1

38

1

14,1

1

16,4

1

24,1

1

30,1

1

28,3

1

18,2

1

20,1

X=

 

1

2

ˆ

ˆ

ˆ

_

_X

_X



Σ

T

β





















00064

,

0

01617

,

0

01617

,

0

49471

,

0

ˆ

ˆβ

Σ

70336

,

0

49471

,

0

2

1

ˆ







s

02531

,

0

00064

,

0

2

2

ˆ







s

Erro-padrão de

1

ˆ



Erro-padrão de

2

ˆ



Resultados obtidos sob a hipótese de homocedasticidade H

₂

.

Como

veremos

mais

adiante,

estas

estimativas

são

tendenciosas, pois neste caso o erro é heterocedástico.

Natureza da heterocedasticidade

A heterocedasticidade ocorre com freqüência quando trabalhamos com dados

em corte transversal ou cross-section (HILL et al, 2003).

O termo dados em corte transversal se refere aos dados sobre diversas

unidades econômicas, tais como firmas, famílias, municípios, estados ou

países em um dado ponto no tempo, por exemplo, um ano.

Os dados em corte transversal invariavelmente envolvem observações sobre

unidades econômicas de vários tamanhos:

 Dados sobre famílias envolvem famílias com diferentes números de membros e

diferentes níveis de renda, tais como famílias de baixa, média ou alta renda

 Dados sobre firmas envolvem firmas de tamanhos diferentes, com distintos volumes

de produção, tais como pequenos, médios e grandes firmas.

Em geral, a medida que aumenta o tamanho da unidade econômica, há maior

incerteza associada aos resultados da variável dependente, conforme

apresentado no exemplo ilustrativo da relação entre renda e consumo. Para

que o modelo econométrico descreva o processo de geração de dados com

essa propriedade, a variância do erro deve ser tanto maior quanto maior for o

tamanho da unidade econômica, ou seja o erro deve ser heterocedástico.

Natureza da heterocedasticidade

A heterocedasticidade não se restringe aos dados em corte transversal, mas

também pode ser observada em dados de séries temporais (HILL et al, 2003).

Uma série temporal é formada por observações de uma unidade econômica ao

longo do tempo, sendo possível que a variância do se modifique. Isso acontece

quando um choque ou variação externa cria maior ou menor incerteza sobre a

variável dependente.

Uma classe de modelos para o tratamento da heterocedasticidade em séries

temporais, em particular na análise de risco de ativos financeiros, são os

modelos

ARCH-GARCH

(Generalized

Autoregressive

Conditional

Heterocedasticity) para previsão da volatilidade (MORETTIN, 2008), tais

modelos estão fora do escopo do curso.

Natureza da heterocedasticidade

A heterocedasticidade também surge quando estamos trabalhando com médias de

dados ou dados per capita de algum grupo ou região geográfica, em vez dos dados

individuais (WOOLDRIDGE, 2006). Por exemplo, considere a equação de regressão

linear múltipla, onde i denota a empresa e e o empregado desta empresa:

ie

e

,

i

4

e

,

i

3

e

,

i

2

1

e

,

i

ganhos

idade

taxcon

u

contrib



















contrib

_ie

= contribuição anual do empregado e que trabalha na empresa i

ganhos

_ie

= ganho anual do empregado e

idade

_ie

= idade do empregado e

taxcont

_ie

= montante que a empresa i deposita na conta do empregado e para cada real pago em

contribuição pelo empregado

u

_ie

= termo aleatório

Se as hipoteses H

₀

-H

₅

são satisfeitas podemos estimar a equação a partir dos dados

individuais por empregado entre vários empregadores.

Porém, se dispomos apenas dos valores médios por empresa (os dados individuais não

são disponíveis) temos o seguinte modelo de regressão linear múltipla estimado a partir

dos valores médios das variáveis por empresa:

i

i

4

i

3

i

2

1

i

ganhos

idade

taxcon

u

contrib



















Se o erro na equação com dados individuais for homocedástico, o erro na equação com

dados médios por empresa será heterocedastico e a variância diminuirá com o

tamanho da empresa.

i

u

Conseqüências da heterocedasticidade para o estimador MQO

Na presença da heterocedasticidade, o estimador MQO

permanece não tendencioso, consistente e assintoticamente

normal, porém o estimador MQO torna-se ineficiente, ou seja, não

tem variância mínima.

Na presença da heterocedasticidade o estimador MQO não é

mais BLUE.

Além disso, o estimador da matriz de covariância

fornece estimativas incorretas (tendenciosas) dos erros-padrão

dos estimadores MQO (raiz quadrada da variância na diagonal da

matriz), pois este estimador assume o pressuposto de

homocedasticidade do erro.

 

X

X

X

y

β

ˆ



T



1

T

 

1

2

ˆ

ˆ

ˆ

_

_X

_X



Σ

T

β



Estimador MQO

Conseqüências da heterocedasticidade para o estimador MQO

Não tendenciosidade do Estimador MQO quando

erro heterocedástico:

 

X

X

X

y

β

ˆ



T



1

T

 



 





 









 



 

β

β

 

X

X

X

 

u

β

u

X

X

X

β

u

Xβ

X

X

X

y

X

X

X

β

T

1

T

T

1

T

T

1

T

T

1

T

























E

E

E

E

E

E

ˆ

ˆ

u

Xβ

y





X é não aleatório H

4

=0 H

₁

 

β

ˆ



β

E

Note que para provar a não tendenciosidade não foi necessário

assumir a hipótese H

₂

sobre a variância do erro, logo a

heterocedasticidade não afeta esta propriedade do estimador

MQO.

Conseqüências da heterocedasticidade para o estimador MQO

Matriz de covariância dos estimadores MQO

  

_







_

_



T

β

β

β

β

β

Σ

_ˆ

E

ˆ

ˆ

 

 





 

X

X

X

u

β

β

 

X

X

X

u

β

β

u

Xβ

X

X

X

y

X

X

X

β

T

1

T

T

1

T

T

1

T

T

1

T

























ˆ

ˆ

ˆ

 

 



_T

1

_T

_T

_T

1



β

X

X

X

uu

X

X

X

Σ

_ˆ



E





 

_T

1

_T

 

_T

 

_T

1

β

X

X

X

uu

X

X

X

Σ

_ˆ





E



Desvio do estimador em

relação a sua média

Valor esperado dos

quadrados dos

desvios em notação

matricial

Substituindo o resultado na matriz tem-se:

β

ˆ



β



 

X

T

X



1

X

T

u

X é não aleatório H

₄

Conseqüências da heterocedasticidade para o estimador MQO

 

_T

1

_T

 

_T

 

_T

1

β

X

X

X

uu

X

X

X

Σ

_ˆ





E



 

_T

1

_T

 

_T

1

β

X

X

X

ΩX

X

X

Σ



2





ˆ



 

uu

I

Σ

T

u

2







E

Caso homocedástico

 

_T

1

_T

 

_T

1

β

X

X

X

IX

X

X

Σ



2





ˆ



 

_T

1

_T

 

_T

1

β

X

X

X

X

X

X

Σ



2





ˆ



 

_T

1

β

X

X

Σ



2



ˆ



Caso heterocedástico

 

uu

Ω

Ω

I

Σ

T

u





,



2



E

 

_T

1

 

_T

1

_T

 

_T

1

X

X

ΩX

X

X

X

X

X





2





2

ˆ

ˆ





O uso do estimador implica em perda de validade da inferência quando o erro é heterocedástico



ˆ

2

 

X

T

X



1

Matriz de covariância dos estimadores MQO

As variâncias na diagonal da matriz não são

mínimas, por isso o estimador MQO não é

eficiente na presença da heterocedasticidade

Na presença da heterocedasticidade, os quadrados dos resíduos na região

com erros mais voláteis (maior variância) são maiores que os quadrados dos

resíduos na região com erros menos voláteis (menor variância).























n

i

i

k

k

i

i

i

X

X

X

Y

Min

k

₁

2

,

,

3

3

,

2

2

1

,

,

,

,

₂

₃

1





















O MQO ajusta a equação de regressão de maneira a minimizar a soma dos

quadrados dos resíduos, ou seja, define os



’s como sendo a solução ótima do

seguinte problema de otimização:

Conseqüências da heterocedasticidade para o estimador MQO

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Renda

R

e

s

íd

u

o

s

Maior

volatilidade

Menor

volatilidade

Na presença da heterocedasticidade, os quadrados dos resíduos na região de

maior variabilidade do erro dominam a soma dos quadrados dos resíduos.

Para minimizar a soma dos quadrados dos resíduos, o MQO faz um bom

ajustamento da equação de regressão às observações na região de maior

variabilidade do erro, pois é nesta região que se encontram os maiores

resíduos.

Ou seja, a definição dos



’s é orientada no sentido de minimizar a soma dos

quadrados dos resíduos na região de maior variabilidade do erro.

Portanto, a heterocedasticidade impõe uma ponderação implícita (PYNDICK &

RUBINFELD, 2004), em que os quadrados dos resíduos da região mais volátil

recebem “pesos” maiores que àqueles na região menos volátil.

Esta ponderação implícita torna o estimador MQO ineficiente, ou seja, o

estimador MQO perde a propriedade de variância mínima e, portanto não é

mais BLUE, embora continue sendo não tendencioso e consistente.

Conseqüências da heterocedasticidade para o estimador MQO

A

uˆ

uˆ

_B

C

uˆ

X

Y

A

B

C

Soma dos quadrados dos resíduos a ser

minimizada pelo estimador MQO:

X

Y

ˆ





ˆ

₁





ˆ

₂

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

_A

u

_B

u

_C

u





Note que o resíduo da observação C

domina a soma dos quadrados dos

resíduos e por esta razão o MQO vai

orientar a definição dos



’s no sentido de

minimizar . Este é o efeito da ponderação

implícita.

Esta estratégia não é correta, pois atribui

maior importância ás observações distantes

da média, representada pela reta de

regressão,

e

menor

importância

às

observações junto a média.

2

ˆ

_C























n

i

i

k

k

i

i

i

i

X

X

X

Y

Min

k

₁

2

,

,

3

3

,

2

2

1

2

,

,

,

,

1

3

2

1























Admitindo que as variâncias dos erros

Var(u

_i

)=



_i

2

, i=1,...,n

sejam conhecidas, a

ponderação implícita no MQO, provocada pela heterocedasticidade, é

compensada pela consideração de um sistema de pesos, em que o quadrado

de cada resíduo é ponderado pelo inverso da respectiva variância do erro:

Note a diferença entre a nova função objetivo a ser minimizada e a função

considerada pelo estimador MQO.

Note que as observações amplamente distantes da média (reta de regressão),

na região de maior variância do erro, recebem pesos menores, enquanto as

observações junto a média, nas regiões com menor variabilidade do erro,

recebem pesos maiores.

O novo estimador obtido é conhecido como estimador de mínimos quadrados

ponderados

(MQP)

um

caso

particular

do

mínimos

quadrados

generalizados (MQG).

Denotando

Inserindo a variância



_i

2

dentro do termo quadrático obtém-se:

Estimador de mínimos quadrados generalizados



















































n

i

i

i

k

k

i

i

i

i

i

i

i

X

X

X

Y

Min

k

₁

2

,

,

3

3

,

2

2

1

,

,

,

,

1

3

2

1





















































n

i

i

k

k

i

i

i

i

X

X

X

X

Y

Min

k

₁

2

*

,

*

,

3

3

*

,

2

2

*

,

1

1

*

,

,

,

,

₂

₃

1





















i

i

k

i

k

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

X

X

X

X

X

X

X

;

Y

Y











,

*

,

,

3

*

,

3

,

2

*

,

2

*

,

1

*

;

;

;

;

1













Obtém-se uma função objetivo semelhante a considerada pelo

MQO, porém escrita com as variáveis transformadas.

Variáveis

Estimador de mínimos quadrados generalizados

Isto significa que para aplicar o MQP basta dividir a equação de regressão por



_i

, o desvio-padrão de u

_i

, e aplicar o estimador MQO para obter as estimativas

dos coeficientes



’s.

Note que dividindo a equação de regressão por



_i

n

i

u

X

X

X

Y

i

i

i

i

k

k

i

i

i

i

i

i

i

,

,

1

1

1

3

,

,

3

,

2

2

1







































Obtém-se uma equação de regressão com erro homocedástico:

Erro da equação

transformada

 

u

,

i

n

Var

u

Var

_i

i

i

i

i

i

,

,

1

1

1

1

1

2

2

2































Dado que os erros do modelo com variáveis transformadas são

homocedásticos, os coeficientes de regressão do modelo transformado podem

ser estimados por MQO.

n

i

u

X

X

X

Y

_i





₁





₂

₂

_,

_i





₃

₃

_,

_i









_k

_k

_,

_i



_i



1

,



,

i



1

Lembrando que

n

i

,

i

i

1

,

,

2

2













A constante



2

_{pode ser suprimida e a ponderação pode ser}

expressa em termos de



_i

A solução deste problema de minimização produz o estimador de

MQP, um caso particular do estimador de MQG, apresentado a

seguir em notação matricial:



X

Ω

X



X

Ω

y

β



T



1



1

T



1































k

2

1

MQG

β

β

β

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

























n

i

i

k

k

i

i

i

i

X

X

X

Y

Min

k

1

2

,

,

3

3

,

2

2

1

,

,

,

,

1

3

2

1

















































n

ω

ω

ω















0

0

0

0

0

0

2

1

Ω

Estimador de mínimos quadrados generalizados



























n

ω

ω

ω















0

0

0

0

0

0

2

1

Ω

Estimador de mínimos quadrados generalizados





































n

ω

ω

ω

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

1















1

Ω







































 n

ω

ω

ω

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2 1















2 1

Ω





































n

ω

ω

ω

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

1















1

Ω

2

1

2

1









Ω



Ω

Ω

1





y

Ω

Ω

X

X

Ω

Ω

X

β

y

Ω

X

X

Ω

X

β

2

1

2

1

T

1

2

1

2

1

T

1

T

1

1

T





































MQG

MQG

ˆ

ˆ

Estimador de mínimos quadrados generalizados

y

Ω

y

X

Ω

X

2

1

*

2

1

*









Fazendo



*

T

*



1

*

T

*

y

X

X

X

β

ˆ

_MQG





Variáveis

transformadas

Em suma o MQG é o MQO aplicado nas variáveis transformadas

e a inferência pode ser feita da maneira usual pelos testes t e F.

i

i

k

i

k

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

X

X

;

X

X

;

X

X

X

;

Y

Y











,

*

,

,

3

*

,

3

,

2

*

,

2

*

,

1

*

;

;

1













Semelhante ao MQO

β

ˆ



 

X

T

X



1

X

T

y















X

Ω

X



X

Ω

u

β

β

u

Xβ

Ω

X

X

Ω

X

β

y

Ω

X

X

Ω

X

β

1

T

1

1

T

1

T

1

1

T

1

T

1

1

T





























MQG

MQG

MQG

ˆ

ˆ

ˆ

Estimador de mínimos quadrados generalizados

Propriedades do estimador MQG



X

Ω

X



X

Ω

u

β

β





T



1



1

T



1

MQG

ˆ

 









 





 

 

β

β

u

Ω

X

X

Ω

X

β

β

u

Ω

X

X

Ω

X

β

β

1

T

1

1

T

1

T

1

1

T























MQG

MQG

MQG

E

E

E

E

E

ˆ

ˆ

ˆ

X é não aleatório H

₄

=0 H

₁

MQG é não tendencioso

Desvio do estimador em

relação a sua média











_T

₁



1

β

1

1

T

1

T

1

1

T

β

X

Ω

X

Σ

X

Ω

X

X

Ω

X

X

Ω

X

Σ



















2

ˆ

2

ˆ

σ

σ

MQG

MQG

Estimador de mínimos quadrados generalizados







_







_

_



T

β

β

β

β

β

Σ

_MQG

_MQG

MQG

E

ˆ

ˆ

ˆ











_T

₁

1

_T

₁

_T

₁

_T

₁

1



β

X

Ω

X

X

Ω

uu

Ω

X

X

Ω

X

Σ



E













MQG

ˆ



_T

₁



1

_T

₁

 

_T

₁



_T

₁



1

β

X

Ω

X

X

Ω

uu

Ω

X

X

Ω

X

Σ









E







MQG

ˆ



_T

₁



1

_T

₁

₁



_T

₁



1

β

X

Ω

X

X

Ω

ΩΩ

X

X

Ω

X

Σ



2













ˆ

σ

MQG

Propriedades do estimador MQG



X

Ω

X



X

Ω

u

β

β





T



1



1

T



1

MQG

ˆ

Matriz de covariâncias dos erros u

Σ

_u



E

 

uu

T



σ

2

Ω

,

Ω



I

MQO , MQG , homocedasticidade , heterocedasticidade

 

X

X

X

y

β



T



1

T

MQO

ˆ

 

_T

1

β

X

X

Σ



2



ˆ

σ

MQO



X

Ω

X



X

Ω

y

β



T



1



1

T



1

MQG

ˆ



_T

₁



1

β

X

Ω

X

Σ



2





ˆ

σ

MQG

 

_T

1

_T

 

_T

1

β

X

X

X

ΩX

X

X

Σ



2





ˆ

σ

MQO

I

Ω

I

Σ

_u































2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1



















I

Ω

Ω

Σ

_u































2

2

1

2

0

0

0

0

0

0











n















Estimador MQG

Matriz de covariância

do estimador MQG

homocedasticidade

heterocedasticidade

MQO é um caso

particular do MQG

O estimador MQG é eficiente e

o MQO é ineficiente.

As variâncias em são maiores que as variâncias em

MQO

β

Σ

_ˆ

MQG

β

Σ

_ˆ

Matriz de covariâncias

do MQO com erros

heterocedásticos

Na realidade as n variâncias dos erros (ou os n elementos da matriz



) não

são conhecidas e, portanto, devem ser estimadas.

No entanto, dado que a amostra tem n observações, é impossível estimar as n

variâncias e os k parâmetros da equação de regressão.

A saída é obter alguma informação adicional que permita expressar a variância

do erro como uma função dos valores de alguma variável explicativa X

_i

, está

função define a forma de heterocedasticidade, por exemplo:

 

_i

i

h

X

2

2







 

 

 



























n

X

h

X

h

X

h















0

0

0

0

0

0

ˆ

2

1

Ω

Estimador de mínimos quadrados generalizados exeqüível

A forma de heterocedasticidade reduz o nº de parâmetros a serem estimados

tornando a estimação possível. Note que ao invés de estimar as n variâncias

basta estimar apenas a constante de proporcionalidade



2

_.

Assim, tem-se o seguinte estimador para a matriz



:

A identificação da forma de heterocedasticidade