ÁLGEBRA LINEAR I

(1)

UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA

MATERIAL DE APOIO PARA O DESENVOLVIMENTO DA DISCIPLINA

ÁLGEBRA LINEAR I

UNIDADE I

MATRIZES

PROFESSORES: ANTÔNIO RODOLFO E WEYNE M. M. CARNEIRO 2º Semestre de 2011

(2)

MATRIZES

Muitas vezes, para designar com clareza certas situações, é necessário formar um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela. Essas tabelas são chamadas na Matemática de matrizes.

Exemplo:

Em uma editora, as vendas de livros de Matemática, Física e Química, no primeiro trimestre de um ano, podem ser expressas pela tabela a seguir.

Janeiro Fevereiro Março

Matemática 20.000 32.000 45.000

Física 15.000 18.000 25.000

Química 16.000 17.000 23.000

Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se matriz 3 x 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:

[ 20.000 32.000 45.000 15.000 18.000 25.000

16.000 17.000 23.000 ]

_ou

⁽ 20.000 32.000 45.000 15.000 18.000 25.000 16.000 17.000 23.000 )

Definição de Matriz

Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou ainda outras matrizes.

Uma matriz de m linhas e n colunas é representada por:

A_mxn=

[

^aij

]

mxn=

[

^.^.^.ââââ^m1²¹³¹¹¹ ^.^.^.ââââ^m¹²²²³²² ^.^.^..ââââ^m¹³²³³³³ ^{.. .}^{.. .}^{.. .}^{.. .} ^.^.^.ââââ^mn¹²³ⁿⁿⁿ

]

(3)

Representação dos Elementos da Matriz

Cada elemento da matriz A, representado por aij , está afetado de dois índices: i e j. O primeiro índice (i) indica a linha e o segundo (j) a coluna a que o elemento pertence.

Representação de uma Matriz

A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [ aij ], i variando de 1 a m (i = 1, 2, 3, ... , m) e j variando de 1 a n (j = 1, 2, 3, ... n).

A = [ aij ]mxn, com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i,j Є IN

Ordem da Matriz – Notação

Se a matriz A é de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente A(m,n). Assim, se uma matriz tiver 3 linhas e 4 colunas, escreve-se simplesmente A(3,4) e diz-se matriz de ordem 3 por 4.

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e seus elementos correspondentes são iguais.

Dadas as matrizes Amxn = [ aij ] e Bmxn = [ bij ], temos simbolicamente:

A = B ⇔ _a_ij_{= b}_ij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo:

Exercícios:

1) Determine x, y, a e b de modo que se tenha

[

²^x^x⁺−^yy ²a^a−b⁺^b

]

⁼

[

³

^√

⁸

^√

⁻⁹

^√

⁴

√

⁽⁻¹⁶²⁺¹³⁾³

]

(4)

2) Determine x, y, z e t de modo que se tenha

[

^x⁴² ²⁵^{x y}^t²

]

⁼

^[

^x^z ⁵^x^{t t}³

^]

Tipos Especiais de Matrizes

 Matriz Retangular

Uma matriz na qual m ≠ n é denominada matriz retangular.

Exemplo:

 Matriz-Coluna

A matriz de ordem n por 1 é uma matriz-coluna.

[

^.^.^.ââââ¹²³ⁿ

]

A matriz-coluna de ordem n x 1 pode representar as componentes (a1, a2, a3, ... , an) de um vetor V do espaço vetorial E de dimensão n. Por esse motivo essa matriz é denominada vetor-coluna.

 Matriz-Linha

A matriz de ordem 1 por n (1 x n)é uma matriz-linha: A = [a1 a2 a3 ... an ].

A matriz-linha é denominada vetor-linha.

(5)

 Matriz Quadrada

Quando o número de linhas é igual ao número de colunas, tem-se uma matriz quadrada de ordem n x n ou simplesmente de ordem n.

Exemplo:

Diagonal Principal

Numa matriz quadrada An = [ aij ], os elementos aij, em que i = j, constituem a diagonal principal.

Assim, a diagonal formada pelos elementos a11, a22, a33, ... , ann é a diagonal principal.

Diagonal Secundária

Numa matriz quadrada An = [ aij ], os elementos aij, em que i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária. Assim, a diagonal formada pelos elementos a1n, a2 n-1, a3 n-2, ... , an1 é a diagonal secundária.

 Matriz Diagonal

A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos é chamada de matriz diagonal.

Em uma matriz diagonal, aij = 0 para i ≠ j.

Exemplo:

Exercício:

(6)

Quais devem ser os valores de x e y para que

B = [ ² ⁵⁻ ^x−6 ^x ^x ^y ⁺ ⁺¹ ^y ]

seja uma matriz diagonal? Escreva a matriz B.

 Matriz Identidade ou Matriz Unidade

A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero é chamada de matriz identidade. Indica-se a matriz unidade por In , ou simplesmente por I.

Em uma matriz identidade, temos: aij = 1, para i = j e aij = 0, para i ≠ j.

Exemplo:

 Matriz Nula ou Matriz Zero

A matriz que tem todos os elementos iguais a zero denomina-se matriz nula. A matriz nula de ordem m x n é simbolizada por Omxn e a matriz nula de ordem n por On.

Na matriz nula de ordem m x n temos aij = 0, quaisquer que sejam i e j, com 1 ≤ i ≤ m e 1

≤ j ≤ n.

Exemplo:

 Matriz Triangular Superior

(7)

É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0 para i > j.

Exemplo:

 Matriz Triangular Inferior

É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, aij = 0 para i < j.

Exemplo:

 Matriz Transposta

Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por AT) a matriz n x m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.

Exemplo:

Dadas as matrizes

A= [ ^{−1 4} ^{2 1} ^{0 3} ]

_,

^B= [ ^{1 3} ^{3 2} ]

_e

^C ⁼ [ ¹ ² ]

, determine A^T, B^T e C^T.

Exercício:

(8)

Dada a matriz A = [ aij ]3x2, tal que aij = 2i + j, obtenha as matrizes A e A^T .

Propriedades da Matriz Transposta

I) (A + B)^T = A^T + B^T II) (A – B)^T = A^T – B^T III) (kA)^T = kA^T IV) (A^T)^T = A V) (AB)^T = B^TA^T

 Matriz Simétrica

Uma matriz quadrada S = [ aij ] é simétrica se S^T = S.

Observações:

a) Se A = [ aij ] é uma matriz simétrica, os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais, isto é, aij = aji..

b) A parte superior da matriz simétrica é um reflexo da parte inferior, em relação à diagonal principal.

Exemplo:

 Matriz Anti-simétrica

(9)

Uma matriz quadrada A= [ aij ] é anti-simétrica se A^T = – A.

Observação:

Se A = [ aij ] é uma matriz anti-simétrica, os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos.

Exemplo:

Trabalho em Grupo 1

(10)

1) Indique explicitamente os elementos da matriz A = [ aij ]3x2 em que

a

_ij

=3 i− j

.

2) Escreva a matriz B = [ bij ]3x3, em que

b

_ij

= i

j

. Quais elementos pertencem às diagonais principal e secundária de B _?

3) Determine x e y reais de modo que

2^¿−1 y⁴ y^¿ 2

righ¿

¿¿

¿ 1 1

−1 2

¿ righ

¿

¿ [¿] ¿

¿

¿ .

4) Construa a seguinte matriz A = [ aij ]3x3 , tal que

1, se i+ j=4 0, se i+ j≠4

¿

a_ij=¿^{¿ ¿ ¿

¿ .

5) Determine x, y e z de modo que a matriz

x 0 0

x−6 x− y z+4 y−2 0 y+z

righ¿

¿¿

¿ [¿^{] [}¿^]¿

¿ ¿ seja uma matriz diagonal.

Escreva a matriz obtida.

6) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = [ aij ] de ordem 4 em que

a

_ij

=i− j

_.

7) Determine x e y de modo que se tenha

2 x 3 y 3 4

¿ r ig h

¿

x+ 1 2 y 3 y + 4

¿ r ig h

¿

¿ [¿ ] ¿

¿

¿ .

8) Determine x, y, z e t de modo que se tenha:

x² 2 x y 4 5 t²

rig h¿

¿¿

¿

x x 3 z 5 t t

rig h¿

¿

¿¿ [¿ ] ¿

¿

¿ .

9) Dada a matriz A = [ aij ]3x2, tal que

a

_ij

=i + j

² , obtenha as matrizes A e A^T .

10) Determine x, y e z de modo que a matriz

x 0 0

x−6 x−y z+4 y−2 0 y+z

righ¿

¿¿

¿ [¿^{] [}¿^]¿

¿ ¿ seja uma matriz simétrica.

Escreva a matriz obtida.

(11)

Operações com Matrizes

 Adição de Matrizes

Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, a matriz C do tipo m x n na qual cada elemento é obtido adicionando os elementos correspondentes de A e B.

Se Amxn = [ aij ] e Bmxn = [ bij ], a soma A + B é a matriz Cmxn = [cij] tal que: cij = aij + bij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo:

 Diferença de Matrizes

Sendo A e B duas matrizes do tipo m x n, denomina-se diferença entre A e B, representada por A – B, a soma da matriz A com a matriz oposta de B.

A – B = A + (– B ) Podemos também definir A – B assim:

Dadas as matrizes Amxn = [ aij ] e Bmxn = [ bij ], A – B é a matriz Cmxn = [cij] tal que: cij = aij – bij , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Exemplo:

Propriedades da Adição de Matrizes

I) A + (B + C) = (A + B) + C

II) A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem III) A + (– A) = (– A) + A = 0

IV) A + B = B + A

(12)

 Produto de uma Matriz por um Escalar

Se A = [ aij ] é uma matriz m x n e k é um numero real, então kA é uma matriz m x n cujos elementos são k.aij

Exemplo:

Dada a matriz

A

_3×3 _{tal que}

0, se i= j 1, se i> j ,

−1, se i< j

¿

a_ij=¿^{¿^{¿ ¿ ¿

¿ , calcule

2 A − A

^t

+3 I

₃

 Multiplicação de Matrizes

Dada uma matriz A(m,n) = [ aij ] e uma matriz B(n,p) = [ bij ], o produto da matriz A pela matriz B (AB) é uma matriz Cmxp = [ cij ] tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos.

O produto C = AB é uma matriz de ordem (m,p), uma vez que na expressão que define o elemento cij , o índice i varia de 1 a m, e o índice j varia de 1 a p.

A(m,n) x B(n,p) = C(m,p)

O produto AB de duas matrizes só é definido quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, condição indispensável para se efetuar o produto AB. O produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B.

Observação: O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta A^T é uma matriz simétrica.

Exemplo:

Dadas as matrizes

1 −2 0 3

¿ righ

¿¿

¿ [¿]¿ A=¿ ¿

¿ e

1 −1 2 3

¿ righ

¿¿

¿ [¿]¿ B=¿ ¿

¿ , calcule A.B _e B.A _.

(13)

Exercícios:

1) Sendo

2 1 3 −1

righ¿

¿¿

¿ [¿]¿ A=¿ ¿

¿ e

0 4 −2 1 − 3 5

righ¿

¿¿

¿ [¿]¿ B=¿ ¿

¿ , calcule A.B _e B.A _.

2) Resolva a equação matricial AX=B _{, em que}

2 3 5 1 rig h¿

¿¿

¿ [¿^]¿ A=¿ ¿

¿ e

14 9 righ¿

¿¿

¿ [¿^]¿ B=¿ ¿

¿ .

3) Sendo

2 0 1 3 2 1 0 0 3

righ¿

¿¿

¿ [¿] [¿]¿ A=¿ ¿

¿ , calcule A . A^T.

(14)

Comutatividade da Multiplicação de Duas Matrizes

Em geral, a existência do produto AB não implica a existência do produto BA. Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos são, em geral, diferentes.

Ainda que A e B fossem matrizes quadradas de ordem n, os produtos AB e BA seriam matrizes quadradas de ordem n, e ainda assim, em geral, difeririam.

A multiplicação de duas matrizes não é comutativa.

Existem matrizes A e B tais que AB = BA, porém essa não é a regra.

Dadas duas matrizes A e I, de mesma ordem n, a multiplicação dessas matrizes é comutativa e a matriz produto é igual a matriz A, ou seja:

AI = IA = A

Propriedades da Multiplicação de Matrizes

I) Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (n,p) e (p,r), respectivamente, tem-se: (AB)C = A(BC)

II) Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (m,n) e (n,p), respectivamente, tem-se: (A+B)C = AC + BC

III) Dadas as matrizes A, B, C de ordem (n,p), (n,p) e (m,n), respectivamente, tem-se: C(A +B) = CA + CB

IV) Se A(m,n), tem-se: ImA = AIn = A

V) Dadas as matrizes A e B de ordem (m,n) e (n,p), respectivamente, tem-se para todo numero k:

(kA)B = A(Kb) = k(AB)

VI) A multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa.

VII) Dadas duas matrizes A e B, se o produto delas for a matriz zero [0], não é necessário que A ou B sejam matrizes zero. Entretanto, se AB = 0 qualquer que seja B, então A = 0. Do mesmo modo, se AB = 0 qualquer que seja A, então B = 0.

 Matriz Inversa

Dada uma matriz quadrada A, chama-se inversa de A a matriz A^-1 tal que AA^-1= A^-1A = In

Dadas duas matrizes quadradas A e B, para saber se uma é inversa da outra basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matriz In. Nesse caso dir-se-á que B é inversa de A e se representa por A^-1 (ou que A é inversa de B e se representa por B^-1).

Se uma matriz A admite inversa, esta é única.

(15)

Exemplo:

Dada a matriz

1 0 2 2 righ¿

¿¿

¿ [¿^]¿ A=¿ ¿

¿ , determine

A

⁻¹

.

Exercícios:

1. Dada a matriz

1 3 2 7 righ¿

¿¿

¿ [¿^]¿ A=¿ ¿

¿ , determine

A

⁻¹ _.

2. Dada a matriz

2 0 1 3 2 1 0 0 3

righ¿

¿¿

¿ [¿] [¿] ¿ A=¿ ¿

¿ , determine

A

⁻¹ _.

(16)

 Potência de uma Matriz

Uma matriz quadrada A= [ aij ] pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas n operações, e que se representa por Aⁿ, é chamada potência n da matriz A.

Exemplo:

Se

A = [ ¹ ⁴ ⁻³ ² ]

, determine A².

(17)

Trabalho em Grupo 2

1) Sejam

1 2 3 2 1 −1

righ¿

¿¿

¿ [¿^]¿ A=¿ ¿

¿ ,

−2 0 1 3 0 1

rig h¿

¿¿

¿ [¿^]¿ B=¿ ¿

¿ ,

−1 24 righ¿

¿¿

¿ [¿^{] [}¿^]¿ C=¿ ¿

¿ e

D= [ 2 −1 ]

_.

Encontre:

a) A+B b) BC c) DA d) −A

2) Se

2 x² 2x−1 0

¿ righ

¿¿

¿

[¿]¿

A=¿ ¿

¿ . Se

A

^t

= A

, então qual o valor de x?

3) Calcule a soma

C = [ ^c

ij

]

3×3 das matrizes

A = [ ^a

ij

]

3×3 e

B = [ ^b

ij

]

3×3 tais que

a

_ij

=i

²

− j

_e

b

_ij

=i− j

_.

4) Dadas as matrizes:

1 2 2 3 rig h¿

¿

¿¿ [¿] ¿ A=¿ ¿

¿ ,

0 5 7 6 righ¿

¿

¿¿ [¿]¿ B=¿ ¿

¿ e

−1 7 5 −2

righ¿

¿

¿¿

[ ¿] ¿

C=¿ ¿

¿ , determine a

matriz X tal que X + A = B – C.

5) Resolva a equação matricial:

a b

c d

¿

r ig h

¿

¿ [ ]

¿

3 1

−2 2

¿

r ig h

¿

5 7

−5 9

¿

r ig h

¿

[ ¿ ] ¿

¿

6) Se

1 2

4 −3 rig h¿

¿¿

¿ [¿^]¿ A=¿ ¿

¿ , determine

A

²

+ 2 A−11. I

_{, em que}

1 0 0 1 righ¿

¿¿

¿ [¿^]¿ I=¿ ¿

¿ .

7) Sejam

A= [ ^a

^ij

]

4×3 e

B = [ ^b

^ij

]

3×4 duas matrizes definidas por

a

_ij

=i + j

_e

b

_ij

=2 i+ j

, respectivamente. Se A×B=C , então qual é o elemento

C

₃₂ da matriz

C _?

8) Sendo

1 2

−3 4 righ¿

¿

¿¿ [¿]¿ A=¿ ¿

¿ e

0 1 4 3

−2 5 righ¿

¿¿

¿ [¿] [¿] ¿ B=¿ ¿

¿ , resolva a equação

A

^t

×C =B

^t

9) Sabendo que dada uma matriz A, chamamos inversa de A a matriz

A

⁻¹ (que é única) tal que

AA

⁻¹

=A

⁻¹

A = I

_n , determine a inversa da matriz

3 7 5 11

rig h¿

¿¿

¿ [¿^] ¿ A=¿ ¿

¿ .

(18)

10) Sendo

2 1 x x righ¿

¿

¿¿ [¿]¿ A=¿ ¿

¿ , determine os valores x tais que:

3 0 0 3

¿ righ

¿¿

¿ [¿^]¿ A+A⁻¹=¿ ¿

¿ .

EXERCICIOS DE REVISÃO

1) Calcular os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais.

A= [ ¹²⁺ ⁸ ^m ¹⁵ ³ ⁿ ]

_e

^B= [ ^{6 3} ^{8 75} ]

2) Dadas as matrizes:

A = [ ² ⁴ ⁻¹ ³ ⁻⁶ ⁸ ]

_,

^B= [ ⁵ ⁰ ⁻⁷ ⁴ ⁻⁹ ¹ ]

_e

^C ⁼ [ ^{0 9 8} ^{1 4 6} ]

Calcular:

a) A + B b) B + C c) A + C

d) A – B e) A – C f) B – C

g) X = 4A – 3B + 5C h) X = 2B – 3A – 6C i) X = 4C + 2A – 6B 3) Dadas as matrizes:

A= [ ¹ ³ ⁷ ⁵ ⁻⁴ ⁻² ¹ ⁹ ]

_,

^B= [ ^{6 2} ^{1 3} ⁻⁵ ⁻⁸ ⁻⁷ ³ ]

_,

^C= [ ^{−3 5} ² ⁴ ]

_e

D= [ ⁻³ ¹ ⁴ ⁵ ⁻¹ ⁷ ¹ ³ ⁻¹ ² ⁹ ² ⁻⁸ ⁻³ ⁻³ ⁰ ]

Calcular:

a) AB b) (AB)D c) A(BD) d) BA e) (BA)C f) B(AC) 4) Verificar se a matriz B é inversa da matriz A:

A = [ ⁻⁶ ⁴ ² ⁻¹ ⁵ ³ ⁻² ⁰ ⁰ ]

_e

^B= [ ^{−7 2 5} ^{9 3 4} ^{1 6 8} ]

5) Calcular m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.

(19)

A = [ ⁻² ^m ⁻²² ⁿ ]

_e

^B= [ ^{5 22} ^{2 9} ]

6) Determinar a transposta da matriz

A = [ ^{2 4} ¹ ⁸ ^{−7 0} ^{−9 6} ³ ⁻⁵ ⁻⁴ ⁻² ]

7) Dada a matriz

A= [ ² ^{3 4} ⁵ ^{−7 1} ^{−9 6} ² ]

, classificar:

a) A + A^T b) A.A^T c) A – A^T

8) Dadas as matrizes diagonais:

A = [ ^{2 0 0} ^{0 7 0} ^{0 0 3} ]

_e

^B= [ ^{4 0 0} ^{0 5 0} ^{0 0 6} ]

Calcular AB e classificar esse produto.

9) Dadas as matrizes triangulares superiores (A e B) e inferiores (C e D):

A = [ ^{1 2 8} ^{0 1 2} ^{0 0 4} ]

_,

^B= [ ⁰ ⁰ ² ^{−3 1} ² ⁰ ⁻¹ ³ ]

_,

^C ⁼ [ ^{−1 3 0} ⁻² ¹ ^{−1 2} ^{0 0} ]

_e

D= [ ⁻¹ ⁴ ¹ ^{−1 0} ⁻³ ⁰ ⁻² ⁰ ]

a) Calcular e classificar AB;

b) Calcular e classificar CD.

(20)

10) Sabe-se que

x 1 2 3 y 5

2 3 z righ¿

¿¿

¿ [¿^{] [}¿^]¿ A=¿ ¿

¿ ,

B = [ ^b

ij

]

é uma matriz diagonal

( b

_ij

=0 se i≠ j )

_e

2 3 10 6 12 25

4 9 20 righ¿

¿¿

¿ [¿] [¿]¿ AB=¿ ¿

¿ . Determine os valores de x, y e z.

11) Determine x e y de modo que as matrizes

1 2 1 0 righ¿

¿¿

¿ [¿^]¿ A=¿ ¿

¿ e

0 1 x y righ¿

¿¿

¿ [¿^]¿ B=¿ ¿

¿ comutem.

12) Se

1 0 0 −1

righ¿

¿

¿¿ [¿]¿ A=¿ ¿

¿ , determine

( A + A

⁻¹

)

³ _.

13) Resolva a equação matricial:

3 4 2 3

¿ r ig h

¿

−1

¿ r ig h

¿

¿ [¿ ] ¿

¿

14) Determine A tal que :

2 2 5 5

¿

righ

¿

1 2 3 5

¿

righ

¿

1 7 2 7

¿

righ

¿

[ ¿ ] ¿

¿

15) Sejam

1 2 1 4 righ¿

¿¿

¿ [¿]¿ A=¿ ¿

¿ e

2 −1 x y

righ¿

¿¿

¿ [¿]¿ B=¿ ¿

¿ duas matrizes. Se B é a inversa de A _{, calcule}

x+ y

_.

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