3!2!3

(1)

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2012

COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: WALTER TADEU DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______TURMA: _____

TRABALHO DE MATEMÁTICA I – 3 ª SÉRIE - REGULAR (Vale 1,5 pontos) 1) Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:

a) exatamente uma cara? b) no máximo duas caras?

Solução. Encontrando as probabilidades para os casos favoráveis considerando C (cara) e K(coroa), temos:

a) O evento pedido é CKK. Há 3

! 2

!

3  possibilidades de ocorrer. Logo a probabilidade de sair uma

cara é:

8 3 8 . 1 2 3 .1 2 .1 2 . 1 3 ) cara 1 (

P 



 



 



 



  .

Solução 2. O espaço amostral é {CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KKC, KCK, KKK} totalizando oito casos.

Destes trios somente três apresentam uma cara. Logo,

8 3 ) ( n

) E ( ) n cara 1 (

P 

  _.

b) A probabilidade envolve a união dos eventos {nenhuma cara}  {1 cara}  {duas caras}.

Observando o espaço amostral, temos:

 

8 7 8 3 8 3 8 Max 1 P

8 3 )(

n )E ) (n caras 2(P )iii

8 3 )(

n )E ) (n cara 1(P )ii

8 1 )(

n )E ) (n cara 0(P )i

Caras 2

2 1 0









 





 







 



 



 



.

b) Solução 2. O complementar de “máximo duas caras” é “três caras”. Logo, temos:

 

8 7 8 1 1 ) caras 3 ( P 1 ) caras 3 ( P Max

8 P 1 ) ( n

) E ( ) n caras 3 (

P ³   ₂_Caras      

  .

2) Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra, sem reposição. Qual é a probabilidade de sair a palavra ARARAS?

Solução 1. O número de anagramas com essas letras é: 6.5.2 60

! 2

! 3

! 3 . 4 . 5 . 6

! 2

! 3

!

P₆³^,²  6    . Só há

uma possibilidade de saírem arrumadas ARARAS. Logo,

Solução 2. Fazendo as retiradas sucessivas de cada letra temos:

60 1 720 1 12 2. .1 3 .1 4 .2 5 .2 6 3

S A R A R A



 .

3) Seja um lote com 20 peças, sendo 5 defeituosas. Escolha, aleatoriamente, 4 peças do lote (uma amostra aleatória de quatro peças). Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas defeituosas na amostra?

(2)

Solução 1. Há 5.19.3.17 4845 24

17 . 18 . 19 . 20

! 16

! 4

! 16 . 17 . 18 . 19 . 20

! 16

! 4

!

C⁴₂₀  20     de se escolher

4 peças quaisquer.

A escolha pedida são exatamente duas defeituosas dentre 5 defeituosas e duas perfeitas dentre as 15 restantes.

O número de possibilidades são:

15.7.(5.2) 1050

! 3

! 2

! 3 . 4 . .5

! 13

! 2

! 13 . 14 . 15

! 3

! 2

! . 5

! 13

! 2

! C 15

.

C₁₅² ²₅     .

A probabilidade então é:

323 70 969 210 4845 ) 1050 s defeituosa 2

(

P    .

Solução 2. Há 6

2 . 2

! 2 . 3 . 4

! 2

!

4   retiradas possíveis são DDFF. Calculando a probabilidade, temos:

323 70 17 . 19

14 . 5 17 . 14 6 . 5 19 . 4 4 . 1 17 6 . 14 18 . 15 19 . 4 20 . 5 6 ) s defeituosa 2

(

P  



 







 







 







 



 



 







 







 







 



 

4) Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?

Solução. A probabilidade de não encontrar em casa será 0,6, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1. A configuração de encontro em 5 tentativas é SNNNN, onde S significa encontrar e N, não encontrar. Essa configuração pode acontecer em 5

! 4

! 4 . 5

! 4

!

5   oportunidades. Logo a probabilidade

pedida é:

625 162 625

. 81 5 2

. 3 5 . 2 10 5

. 6 10 . 4 5 ) encontro 1

( P

4 4





 



 



 







 



 



 







 



  .

5) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?

Solução. O pastel pode ter sido pego da travessa 1 (T1) ou da travessa 2 (T2). Logo antes de pegar o pastel a pessoa deverá escolher a travessa. A possibilidade de escolher cada travessa é 1/2.

Analisando cada escolha temos:

i) Escolhe travessa 1 e escolhe pastel:

16 3 8 . 3 2 ) 1 Pastel 1

T (

P 



 







 





 .

ii) Escolhe travessa 2 e escolhe pastel:

3 1 6 2 6 . 4 2 ) 1 Pastel 2

T (

P  



 







 





 .

Logo a probabilidade final será a soma das probabilidades:

48 25 48

16 9 3 1 16 ) 3 Pastel (

P      .

Observe a árvore das probabilidades:

2