PROPOSTA DE RESOLUÇÃO

Prova de Avaliação Global

MATEMÁTICA

Versão 1

Duração da Prova: 90 minutos | Junho de 2011

9.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 6/2011, de 18 de janeiro

1.

Na empresa onde trabalha o pai do Felipe foram efetuadas análises ao sangue a fim de serem conhecidos os grupos sanguíneos dos seus colaboradores.

O resultado do estudo encontra-se na Tabela 1. Tabela 1

Grupo sanguíneo

A

B

AB

O

Número de colaboradores 350 116 22 512

1.1. Escolhido ao acaso um colaborador da empresa, qual é a probabilidade dele pertencer ao grupo sanguíneo B?

Apresenta o resultado na forma de uma dízima.

Resolução:

Número de casos favoráveis (colaboradores do grupo sanguíneo B) =116

Número de casos possíveis (total de colaboradores) = 350 116 22 512 1000   

P = 116 0,116 1000 

Resposta: A probabilidade de escolher ao acaso um colaborador do grupo sanguíneo B é de

0,116

.

1.2. Qual é a moda da distribuição dos grupos sanguíneos dos colaboradores da empresa onde trabalha o pai do Felipe?

Resposta: A moda corresponde ao grupo sanguíneo O (é o grupo ao qual pertencem mais colaboradores).

2.

A mãe da Catarina trabalha numa empresa onde são fabricadas baterias para telemóveis. Numa série constituída por 15000 baterias, a probabilidade de se encontrar uma bateria com defeito é de

1,5 10



3.

Quantas baterias sem defeito, se espera encontrar numa das séries indicadas?

Resolução:

3

15000 1,5 10









15000 0,0015





22,5

23

Resposta: Espera-se encontrar cerca de 23baterias com defeito.

3.

Considera o conjunto

X

 



_

5 ; 3



_





2,2 ; 5



.

Considera Z, o conjunto dos números inteiros relativos.

3.1. Escreve o conjunto X na forma de um único intervalo de números reais.

Resposta:

X

 



2,2 ; 3



3.2. Escreve todos os números do conjunto Z pertencentes ao conjunto X.

4.

Na Tabela 2 encontram-se representados alguns termos de uma sequência numérica. Essa sequência segue a lei de formação sugerida na tabela.

Tabela 2

Ordem do termo 1 2 3 ...

n

Termo 2 5 10 ... 2 ₁

n 

4.1. Qual é o termo de ordem 8?

Resolução:

2

8  1 64 1 65 

Resposta: O termo de ordem 8 é igual a 65. 4.2. Verifica se existe algum termo que seja igual a 143.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução:

2 2 2

1 143

143 1

142

142

142

n

 



n



 

n



 

n

  

n

14211,916... N (

N

é o conjunto dos números naturais).

Resposta: Como

142

não é um número natural, então não existe nenhum termo igual a 143.

4.3. Determina os dois termos consecutivos desta sequência cuja diferença seja igual a 31.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolução:





2



₂



_{2 2}

1

1

1

31

2

1 1

1 31

2

30

30

15

2

n

n

n

n

n

n

n

n



 

 





  

 







 

 

2 15  1 225 1 226  e 162 1 256 1 257  257 226 31

Resposta: Os termos são 226(termo de ordem 15) e 257(termo de ordem 16).

5.

A professora de Matemática da Catarina aconselhou-a a resolver o seguinte sistema:

2 1 1 1 2 x y x y         

A Catarina, depois de o resolver, chegou à seguinte solução: 1, 5 3 3

_{ } 

 

 .

5.1. Mostra que a Catarina chegou à solução correta do sistema.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução: 2 1 1 1 1 4 1 3 1 1 2 3 2 2 5 1 2 2 5 2 1 1 1 ₃ 3 3 3 3 1 3 x y x x x x x x y x y y y y y x            _{     }  _ _{  } _  _{ }   _   _{ }  _{ }  _{ }           _{ } _{ } _{  } _{  }  _{  }          _{  } _ _ _ _ _{  } _{  } _{  } _{  }  _{ }  _

Resposta: A solução do sistema é o par ordenado 1, 5

3 3

_{ } 

 

5.2. As retas que representam as duas equações do sistema são concorrentes. Quais são as coordenadas do ponto de concorrências das retas representadas pelas duas equações do sistema?

Resposta: O ponto de concorrência tem por coordenadas 1, 5

3 3

_{ } 

 

 .

6.

Para a viagem de finalistas do 9.º ano, o Felipe e a Catarina fizeram um sorteio com rifas que venderam aos elementos da comunidade educativa.

O número de rifas vendido (r), em função do número de dias da venda (

n

), é dado pela expressão:





2

9

1

r



n



n



6.1. Quantas rifas foram vendidas até ao 3.º dia de venda?

Resolução:





2 ₂

9 3 3 1 27 2 27 4 31

r         

Assinala com um X a opção correta.

(A)

37

(B)

31

X

(C)

34

_(D)

27

6.2. Qual das seguintes expressões é equivalente à expressão que representa o número rifas vendido (r)?

Resolução:





2 _{2 2}

9 1 9 2 1 7 1

r  n n  nn  n n  n

Assinala com um X a opção correta.

(A)

2

11

1

r



n



n



(B)

r



n

2



7

n



1

(C)

2

7

1

r



n



n



(D)

r



n

2



7

n



1

X

7.

A SIC Notícias lançou um concurso para jovens estudantes do 9.º ano. Neste concurso, a Escola onde o Felipe estuda participou da seguinte forma:

 Levou a concurso 20 jovens estudantes de duas turmas do 9.º ano, A e B;

 O número de alunos da turma B excedeu em 4 o número de alunos da turma A.

7.1. Escreve o sistema de duas equações a duas incógnitas que traduz o problema, identificando pela letra

" "

a

o número de alunos da turma A e pela letra

" "

b

o número de alunos da turma B.

Não resolvas o sistema.

Resposta: 20 4 a b b a     _{ } 

7.2. Qual é, no contexto da situação apresentada, o significado da expressão

"

a b

 

20"

?

Resposta: A expressão

"

a b

 

20"

representa o número de alunos das turmas A e B do 9.º ano que participaram no concurso.

8.

Foi proposta á Catarina a resolução de uma equação do segundo grau. A equação foi a seguinte, na qual a letra

c

representa um número real.

2

5 2

2

x

 x  k

Determina na forma de intervalo de números reais, os valores do parâmetro

k

de modo a que a equação dada tenha duas raízes reais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução:

2 _{5 2} 2 _{5 2 0}

2

x

 x  k 

2

x

 x k  (Forma canónica da equação do 2.º grau)

Para que a equação tenha duas raízes reais o binómio discriminante tem de ser maior do que zero. Logo,  b24ac0 2 5 2 0 2 ; 5 ; 2

2

x k a b c k

x

      

 

2

5

4 2 2

0

25 16

0

16

25

16

25

25

16

k

k

k

k

k



  









 

 











Resposta: O valor de

k

tem de pertencer ao intervalo ,25 16

_ 

 

 .

9.

Resolve, no conjunto dos números reais, a seguinte equação do 2.º grau.



2



3 x 9 36 Resolução:



2



2 36 2 2 2 3 9 36 9 9 12 12 9 21 3 21 x x x x x x                  Conjunto solução:

S

 



21 , 21



10.

A Catarina observou o gráfico da Figura 1.

Figura 1

10.1. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

O produto de quaisquer pares correspondentes é

8

e nenhuma das grandezas toma o valor zero.

Assinala com um X a opção correta.

(A) A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade direta de razão 2.

(B) A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade inversa de razão 2.

(C) A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade direta de razão 8.

(D)

A representação gráfica refere-se a uma função de proporcionalidade inversa de razão 8.

X

10.2. Determina o valor de

x

quando

y for

igual a 18. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução: 8 8 4 18 18 8 18 9 x x x x        Resposta: O valor de

x

é 4 9.

11.

Na Figura 2 abaixo encontra-se representada uma situação que a Catarina viu na Internet, denominada “Teorema de Tales”.

Figura 2

11.1. Mostra que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes.

Resposta: Os dois triângulos têm um ângulo em comum (ângulo de vértice em A) e, de um para o outro, têm os ângulos correspondentes B e D geometricamente iguais. Pelo critério AA, os dois triângulos são semelhantes ([ABC] ~ [ADE]).

11.2. Qual é a razão de semelhança na ampliação do triângulo [ABC] para o triângulo [ADE]?

AD

5 1,5

6,5

AB

5

6,5

1,3

5

r

 









Assinala com um X a opção correta.

(A)

1,3

X

(B)

1,5

11.3. Determina DE.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução:

Se dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondentes são diretamente proporcionais. Logo:

5

6

7,5 6

45

9

7,5

x

x

5

x

5

x

















Resposta:

DE



9

cm.

12.

O Felipe desenhou a Figura 3 que representa uma circunferência de centro em O. Os pontos B, C, D, E e F pertencem à circunferência de centro no ponto O.

Relativamente à figura sabe-se que:

 ABBO

Figura 3

12.1. Sendo COB43º, qual é a amplitude do ângulo BEC? Apresenta os caculos que efetuares.

Resolução:

COBé um ângulo ao centro. O arco menor que é correspondente a esse ângulo ao centro é o arco CB. Logo, CB43º(A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do seu arco correspondente e vice versa).

O arco menor CB é o arco compreendido nos lados do ângulo inscrito BEC. Logo,

43º

BEC 21,5º

2

  (A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido nos seus lados).

12.2. Justifica que o triângulo [ABO] é retângulo em B.

Resposta: A reta AB é tangente à circunferência no ponto B. Logo, essa reta é perpendicular ao raio que está contido na reta BO. Por isso, o ângulo ABO tem uma amplitude de 90º, sendo o triângulo [ABO] retângulo em B.

12.3. Sendo

DOE



19º

, determina

CE

. Não justifiques a tua resposta.

13.

A Catarina falou com um técnico da ANA – Aeroportos e Navegação Aérea.

Disseram à Catarina, que um avião vindo de Londres, deveria ter a rota indicada na Figura 3, para se aproximar e aterrar no Aeroporto Internacional de Lisboa.

Figura 3

13.1. A que altitude (

h

), em metros – m – o avião acionou o trem de aterragem, de modo a que tocasse na pista no ponto A?

Apresenta os caculos que efetuares e o resultado arredondado às unidades.

Resolução: tan23º 1200 tan23º 509 (0 c.d.) 1200 h h h     

Resposta: O avião acionou o trem de aterragem aos 509metros de altura.

13.2. Se o avião estivesse a uma altura (

h

) de 500 m, qual era a amplitude, em grau, do ângulo (y) de aproximação à pista de aterragem [VA]?

Apresenta todos os cálculos que efetuares e dá a resposta aproximada às décimas. Resolução: 500 tan tan 0,41(6) 22,6º (1 c.d.) 1200



 



 



Resposta: O ângulo de aproximação à pista de seria de cerca de

22,6º

.

FIM