Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9

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(1)setor 1107 11070409 11070409-SP. Aula 25 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) 2. Seja y = f(x) uma função definida no intervalo [1, 3] pelo gráfico:. FUNÇÃO COMPOSTA Seja f uma função de A em B e seja g uma função de B em C. Chama-se função composta de g com f a função h definida de A em C, tal que h(x) = g(f(x)) para todo x pertencente a A. Indicaremos esssa composição por gof(x). Esquema: A. B. y 3 2. C g. f. 0. h. 1. 2. 3. x. Calcule: a) f(f(1)) =. f(2) = 3. Exercícios 1. Dadas as funções em IR: f(x) = x + 1 e g(x) = 3x + 5, obtenha:. b) f(f(f(1))) =. a) f(g(2)) =. f(3) = 0. f(11) = 12 b) g(f(2)) =. 3. Sendo f(2x – 1) = x2, calcule f(5).. g(3) = 14. Temos: 2x – 1 = 5 ∴ x=3 Logo, f(5) = 32 = 9. c) f(g(x)) =. g(x) + 1 = (3x + 5) + 1 = 3x + 6 4. Dado f(x) = 2x – 3 e f(g(x)) = x2, obtenha g(x). d) f(f(x)) =. f(g(x)) = x2 2 ⋅ g(x) – 3 = x2 2 ⋅ g(x) = x2 + 3. f(x) + 1 = (x + 1) + 1 =x+2. 2 ∴ g(x) = x + 3. 2. ALFA-4 ★ 850750409. 5. ANGLO VESTIBULARES.

(2) Tarefa Complementar. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO • •. Livro 1 — Unidade III. Resolva os exercícios 2, 6 e 8, série 7. Resolva os exercícios 5 e 7, série 7.. Caderno de Exercícios — Unidade II. Tarefa Mínima • • •. Veja o exemplo 4, cap. 8. Resolva o exercício 1, série 7. Resolva os exercícios 3 e 4, série 7.. Aula 26 EXERCÍCIOS 1. Na figura, temos esboços dos gráficos das funções f e g, dadas por f(x) = ax3 e g(x) = x, em que a é uma constante. y. 2. Na figura, temos um esboço do gráfico de uma função f periódica. Para todo real x e para todo inteiro h, temos f(x + h ⋅ 3) = f(x).. f. f(x) g. –1. 2. x. g. x. III. Como as regiões I e III são equivalentes (suas áreas são iguais), podemos concluir que a área da região II + III é igual à área da região I + II. Essa área é igual a 2. ALFA-4 ★ 850750409. 4. x. c) 1º- modo: –2006 = – 2 + (– 668) ⋅ 3 f (– 2006) = f (– 2) =1 2º- modo: Na divisão euclidiana de – 2006 por 3, temos quociente – 669 e resto 1. Assim, – 2006 = 1 + (– 669) ⋅ 3 e, portanto, f(–2006) = f(1) =1. II 2. 3. b) Na divisão euclidiana de 2006 por 3, temos quociente 668 e resto 2. Assim, 2006 = 2 + 668 ⋅ 3 e, portanto, f (2006) = f (2 + 668 ⋅ 3) = f(2) = 0,5. f. I. 2. a) Para 3 x 4, temos Δy = Δx. Isto é, com 0 Δx 1, temos f(3 + Δx) = Δx. Logo, f (3,14) = 0,14. a) Como (2, 2) ∈ f, temos f(2) = 2, ou seja, a ⋅ 23 = 2 e, portanto, a = 0,25. y. 1. Dado que f(1) = 1, obtenha: a) f (3,14) b) f (2006) c) f (– 2006). a) Obtenha o valor da constante a. b) Calcule a área da região sombreada.. b). 0. 6. ANGLO VESTIBULARES.

(3) Tarefa Complementar. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO. • Faça os exercícios a seguir:. Tarefa Mínima •. 1.. Obtenha os pontos de intersecção da curva y = x3 – 2x com a parábola y = x2.. 2.. Na figura, temos esboços dos gráficos das funções f e g, dadas por f(x) = ax4 e g(x) = x, em que a é uma constante.. Faça os exercícios a seguir:. 1.. Obtenha os pontos de intersecção da curva y = x2 – 2x com a reta y = – x + 2.. 2.. Na figura, cada ponto da semi-reta representa um par ordenado (t, v), com t 0 e v = 2 + 10t. Obtenha a área S do trapézio em função de t.. y f g. v (r) (t, v). x S. Obtenha o valor de a, sabendo que a área da região sombreada é igual a 1.. 3.. t. Sabe-se que, para todo valor positivo da constante k, a área da região determinada pelas retas x = k e y = 0 e a parábola y = x2 é 1 igual a k3. Obtenha a área da região determinada pela parábola 3 y = x2 e as retas y = 0, x = 1 e x = 2.. Aula 27 NÚMEROS REAIS: NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS 1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS: IN IN = {0, 1, 2, 3, …} IN* = {1, 2, 3, …}. c) 0,666 … =. 2 ∈ 3. OBSERVAÇÃO: A representação decimal de todo número racional ou é finita ou é periódica infinita.. 2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: = {…, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3,…}. Exemplos:. * = {…, – 3, – 2, –1, 1, 2, 3,…} + = {0, 1, 2, 3,…} – = {…, – 3, – 2, –1, 0}. a). 2 = 0, 4 5. c). 1 = 0, 333… 3. b). 5 = 1, 25 4. d). 150 = 1, 5151… 99. 3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: 4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Existem dízimas infinitas não periódicas; são os números irracionais. Como exemplos de números irracionais, podemos citar:. ⎧a ⎫ = ⎨ | a ∈ e b ∈ * ⎬ b ⎩ ⎭ isto é, um número x é racional se, e somente se, existirem a números inteiros a e b, b ≠ 0, tais que x = . Assim: b a). π = 3,1415926535…. 1 ∈ 3. b) 0,3 =. 2 = 1, 414213562…. 0,515511555111…. Os números irracionais não podem ser escritos na fora ma com a e b inteiros e b ≠ 0. b. 3 ∈ 10. ALFA-4 ★ 850750409. 3 = 1, 7320508075…. 7. ANGLO VESTIBULARES.

(4) 5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: IR É o conjunto união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.. Exercício O número N =. IN. . . IR. N=. 1 + 2 3 +3 3 2 + . N=. 4 + 2 3 3 2 + . N=. OBSERVAÇÃO:. (1 + 3 )2. Indicamos o conjunto dos números irracionais por IR – .. 2+ 3. é racional ou irracional?. 2 (2 + 3) = 2 (racional) 2 + 3. 6. SUBCONJUNTO DE IR Vejamos alguns subconjuntos de IR: IR* = {x ∈ IR | x ≠ 0} IR+ = {x ∈ IR | x 0} IR* = {x ∈ IR | x 0} +. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO. IR– = {x ∈ IR | x 0} IR*– = {x ∈ IR | x 0}. Livro 1 — Unidade III Tarefa Mínima. 7. OBSERVAÇÕES a) Número par Todo número da forma 2n com n ∈ é chamado número par. O conjunto dos números pares é {… , – 6, – 4, – 2, 0, 2, 4, 6, …}. •. Leia os itens 1 a 5, cap, 1.. •. Resolva os exercícios a seguir:. 1.. A = { x ∈ | 2 x 10 3 }? a) 14 b) 15 c) 16. b) Número ímpar Todo número da forma 2n + 1 com n ∈ é chamado número ímpar. O conjunto dos números ímpares é {…, – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, …} c) Números opostos (simétricos) Dois números são chamados opostos (ou simétricos) se a soma deles é zero. Assim, os números a e – a são opostos, pois a + (– a) = 0. Exemplo: 5 e – 5. inversos, pois a ⋅ Exemplo: 5 e. ALFA-4 ★ 850750409. d) 17 e) 18. 2.. Ache dois números pares e consecutivos sabendo que o dobro do menor mais o maior dá resultado 56.. 3.. Ache três números ímpares e consecutivos cuja soma seja 111.. Tarefa Complementar •. 1.. d) Números inversos (recíprocos) Dois números são chamados inversos (ou recíprocos) se o produto deles é 1. Assim, os números a (a ≠ 0) e. Quantos elementos tem o conjunto. Resolva os exercícios a seguir: (FUVEST) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) b) c) d) e). 1 são a. 1 =1 a. 2.. 1 5. 8. x ⋅ y é irracional. x ⋅ y é racional. y2 é irracional. x + y é racional. x + y é irracional.. (MACK-SP) Se a, b e c são números naturais não nulos tais que c = 5a e b + 3c = 60, os possíveis valores de c são em número de a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4. ANGLO VESTIBULARES.

(5) Aula 28 NÚMEROS REAIS: EXERCÍCIOS Sendo a e b, a b, números reais, definiremos os seguintes conjuntos chamados de intervalos: a) [a, b] = {x ∈ IR | a x b}. IR a. b. a. b. a. b. a. b. b) ]a, b[ = {x ∈ IR | a x b}. IR. c) [a, b[ = {x ∈ IR | a x b}. IR. d) ]a, b] = {x ∈ IR | a x b} e) [a, + ∞[ = {x ∈ IR | x a} f) ]a, + ∞[ = {x ∈ IR | x a} g) ]– ∞, a] = {x ∈ IR | x a} h) ]– ∞, a[ = {x ∈ IR | x a}. IR. IR a IR a IR a IR a. c) 3,515151…. Exercícios. 100x = 351,515151 … x = 3,515151… 99x = 348. a 1. Escrever na forma com a e b inteiros: b a) 0,33…. 10x = 3,33 … x = 0,33… 9x = 3 x=. –. 1 3. x=. 348 99. x=. 116 33. –. 2. Dados A = [1, 5] e B = ]3, 7[, obter: a) A ∩ B b) A ∪ B. b) 5,888…. 5. 1 A. 10x = 58,888 … x = 5,888… – 9x = 53. B 3. logo, a) A ∩ B = ]3, 5] b) A ∪ B = [1, 7[. 53 x= 9. ALFA-4 ★ 850750409. 7. 9. ANGLO VESTIBULARES.

(6) Tarefa Complementar. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO •. Livro 1 — Unidade III. 1.. Tarefa Mínima •. Resolva os exercícios a seguir:. 1.. Escreva na forma. a , com a e b inteiros e b ≠ 0, os seguintes b. números: a) 0,1 b) 0,111… c) 0,888… d) 0,898989… e) 1,2898989…. 2.. Classificar os seguintes números em rac. (racional) ou irrac. (irracional): a) 3,1416 b) π c). 4. d). 8. 2 2 f) 12,121212… e). 2.. Sendo A = [ 3, [ e B = [1, 5 [, obtenha: a) A ∩ B b) A ∪ B. Qual é o milésimo algarismo da parte periódica da dízima gerada por. Resolva os exercícios a seguir:. 15 ? 7. Aula 29 NÚMEROS COMPLEXOS — INTRODUÇÃO. Exercícios. PRODUTOS NOTÁVEIS. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 a2 – b2 = (a – b)(a + b) a2 + b2 = (a – bi)(a + bi) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2). 1. Resolver em as equações a) x2 = – 4. a) x2 = – 4 x2 = 4 (– 1) x2 = 4 i2 x2 = (2i)2 x = ± 2i Resposta: {2i, – 2i}. A equação x2 = 1 possui duas soluções reais e distintas, os números 1 e – 1. Temos que 12 = 1 e (– 1)2 = 1. A equação x2 = – 1 possui duas soluções não reais e distintas, os números i e – i Temos que i2 = – 1 e (– i)2 = – 1.. b) x2 – 2x + 2 = 0. b) x2 – 2 x + 2 = 0 = (– 2)2 – 4 (1) (2) =4–8 = – 4 ⇒ = 4i2 2 ± 2i = 2. O número i é chamado de unidade imaginária. O conjunto de todos os números da forma a + bi, com a e b reais, é o conjunto dos números complexos e será indicado por . Sendo z = a + bi, com a e b reais, dizemos que: a é a parte real de z b é a parte imaginária de z. Resposta: {1 + i, 1 – i}. Observe que z é um número real se, e somente se, b = 0. Os números complexos não reais são chamados de números imaginários. Em particular, os números da forma bi, com b ∈ IR*, são chamados de números imaginários puros.. ALFA-4 ★ 850750409. 10. ANGLO VESTIBULARES.

(7) 2. Obter as soluções não reais da equação x3 = 8.. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO. x3 – 8 = 0 x3 – 23 = 0 (x – 2) (x2 + 2x + 4) = 0 x–2=0⇒x=2 x2 + 2x + 4 = 0 = 4 – 4 (1) (4) = 4 – 16 = – 12 = 12i2 x=. Livro 1 — Unidade IV Caderno de Exercícios — Unidade III. Tarefa Mínima • •. Leia os itens 1 a 5, cap. 13. Faça o exercício 2(a, b, c, d), série 11.. Tarefa Complementar •. – 2 ± 2 i . 3 2. Faça o exercício 2(e, f, g, h), série 11.. Resposta: – 1 + i . 3 e – 1 – i . 3. Aula 30 NÚMEROS COMPLEXOS — IGUALDADE E CONJUGADO 2. Obter todos os pares ordenados (x, y), com x ∈ IR e y ∈ IR, de modo que x2 – y2 + (y – 1) i = 4. . IGUALDADE DE COMPLEXOS Sendo a, b, c e d números reais, temos que a=c a + bi = c + di ⇔ b=d. x2 – y2 + (y – 1) i = 4 + 0i . x2 – y2 = 4 (1) y–1=0 (2). Exercícios 1. Obter os reais x e y tais que: a) x + 3 + (y – 4) i = 5 + 7i b) 2x + y + (x – y) i = 4 – i. De (2) temos: y = 1 Substituindo em (1): x2 – 1 = 4 x2 = 5 ∴ x = ± . 5. a) x + 3 = 5 e y – 4 = 7 Resposta: x = 2, y = 11 2x + y = 4 x–y=–1. . b). Resposta: ( . 5 , 1 ) e (– . 5 , 1). (1) (2). Somando membro a membro, temos 3x = 3 ∴x=1 Substituindo em (2) temos 1 – y = – 1 ∴y=2 Resposta: x = 1, y = 2. ALFA-4 ★ 850750409. 11. ANGLO VESTIBULARES.

(8) CONJUGADO COMPLEXO Dado o número complexo z = a + bi, com a e b reais, chamase de conjugado complexo de z ao número –z = a – bi Exemplos – z = 2 + 3i ⇒ z = 2 – 3i – z=5–i ⇒ z=5+i ⇒ –z = – 4i z = 4i ⇒ –z = 10 z = 10. Exercício 3. Resolver em : 2z + i –z = 7 + 8i. Sendo z = a + bi, com a e b reais, segue que 2 (a + bi) + i (a – bi) = 7 + 8i 2a + 2bi + ai – bi2 = 7 + 8i 2a + 2bi + ai + b = 7 + 8i (2a + b) + (a + 2b) i = 7 + 8i . 2a + b = 7 a + 2b = 8. 4a + 2b = 14 – a – 2b = – 8. + ∴ a=2 3a =6 a + 2b = 8 2 + 2b = 8 2b = 6 ∴ b = 3 Logo, z = 2 + 3i Resposta: {2 + 3i}. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO. Livro 1 — Unidade IV Caderno de Exercícios — Unidade III. Tarefa Mínima • • •. Leia o item 7, cap. 13. Faça o exercício 1, série 11. Faça o exercício 3(a, b, c), série 11.. Tarefa Complementar • •. ALFA-4 ★ 850750409. 12. Faça o exercício 8, série 11. Faça o exercício 3(d, e), série 11.. ANGLO VESTIBULARES.

(9) Aula 31 NÚMEROS COMPLEXOS: DIVISÃO E POTÊNCIAS NATURAIS DA UNIDADE e) i5. Exercícios. i4 ⋅ i = i. 1. Obtenha a forma algébrica de:. a). 2 + 11 i. ⋅. 3 + 4i. f) i6. b) 6 + 4i 1– i. a) 2 + 11i 3 + 4i. 3 – 4i 3 – 4i. i4 ⋅ i2 = – 1 g) i7. =. i4 ⋅ i3 = – i. 6 – 8 i + 33 i – 44 i2 = 9 – 16 i2 (6 + 44) + (33 – 8) i 9 + 16. h) i8. i4 ⋅ i4 = 1. = 3. Seja n um número inteiro e seja r o resto da divisão de n por 4. Mostre que in = ir.. 50 + 25 i 25. demonstração n = 4q + r, onde q é o quociente da divisão de n por 4. i n = i 4q + r = i 4q ⋅ i r = (i4)q ⋅ i r = (1)q ⋅ i r = 1 ⋅ ir = ir (c. q. d). Resposta: 2 + i b). 6 + 4i 1–i. ⋅. 1+i = 1+i. 6 + 6 i + 4 i + 4 i2 1 – i2. =. (6 – 4) + (6 + 4) i = 1+1 2 + 10 i 2. 4. Simplificar. Resposta: 1 + 5 i. a) i1996 b) (1 + i)96. 2. Simplificar a) i1. a) 1996 4 39 499. i b). 36 0 1996 ∴ i = i0 Resposta: 1. i2. –1 c) i3. b) (1 + i)96 = [(1 + i)2]48 = (2i)48 = 248 ⋅ i48 = 248 ⋅ i0 Resposta: 248. i2 ⋅ i = – i d) i4. i2 ⋅ i2 = 1. ALFA-4 ★ 850750409. 13. ANGLO VESTIBULARES.

(10) Tarefa Complementar. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO • •. Livro 1 — Unidade IV. Faça o exercício 6(d, e), série 11. Faça os exercícios 5 e 7, série 11.. Caderno de Exercícios — Unidade III. Tarefa Mínima • Leia o item 6, cap. 13. • Faça o exercício 6(a, b, c), série 11. • Faça o exercício 4, série 11.. Aula 32 NÚMEROS COMPLEXOS: PLANO DE ARGAND-GAUSS, MÓDULO •. • Até este ponto, usamos, para representar um número complexo a expressão a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Com a, b, c e d reais, temos que: a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) ⋅ (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. módulo de z ao número real não negativo |z| =. a2 + b2 .. Note que, no plano de Argand-Gauss, o módulo de z é à distância da origem a seu afixo. Im(z) P. b. Podemos representar cada número complexo simplesmente por um par ordenado (a, b), com a e b reais. Assim, temos, por exemplo: 3 + 4i = (3, 4) 4 + 3i = (4, 3) i = (1, 0) i = (0, 1). |z|. a. •. Desse modo, o conjunto dos números complexos pode ser descrito como sendo um conjunto de pares ordenados de números reais, tais que: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) ⋅ (c, d) = (ac – bd, ad + bc) •. Dado o complexo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de. Re(z). Propriedades Para quaisquer números complexos z e w, temos |z| 0 |z|2 = z ⋅ –z |z ⋅ w| = |z| ⋅ |w| z |z| = w |w|. (w ≠ 0). |z + w| |z| + |w| |z – w| ||z| – |w||. O plano de Argand-Gauss é uma representação gráfica do conjunto ; nele, cada número complexo (a, b), ou seja a + bi, com a e b reais, é representado pelo ponto P de abscissa a e ordenada b. O ponto P é chamado de afixo do número complexo. Im(z) P. b. a. ALFA-4 ★ 850750409. Re(z). 14. ANGLO VESTIBULARES.

(11) 2. Represente, no plano de Argand-Gauss, o conjunto {z ∈ : z = –z + 2i}. Exercícios 1. Sejam z = 3 + 4i e w = iz. Represente z e w no plano de Argand-Gauss e calcule |z|, |w| e |z + w|.. Im(z). Im(z). 1 (Z). 4 (W). 3 Re(z) 3. –4. Sendo z = x + yi, com x e y reais, temos: x + yi = x – yi + 2i 2yi = 2i y=1. Re(z). w = i(3 + 4i) ∴ w = – 4 + 3i 32. + 42 = 5 |z| = 2 . |w| = (–4) + 32 = 5 z + w = (3 + 4i) + (– 4 + 3i) z + w = – 1 + 7i 2 . |z + w| = (–1) + 72 = 50. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO. Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13) Caderno de Exercícios — Unidade III. |z + w| = 5 2 Note que |z + w| |z| + |w|. Tarefa Mínima •. Faça o exercício 9, série 11.. Tarefa Complementar •. Faça os exercícios 15 a 18, série 11.. Aula 33 NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA, OPERAÇÕES •. Dado o complexo não nulo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de argumento de z ao número real θ, 0 θ 2π, a b tal que cos θ = e sen θ = , com ρ = |z|. ρ. •. Im(z). ρ. b. Do item anterior, temos a = ρ ⋅ cos θ e b = ρ ⋅ sen θ. Logo, a + bi = ρ ⋅ cos θ + i ⋅ ρ ⋅ sen θ. Assim, nessas condições, temos que, todo complexo não nulo z = a + bi pode ser representado pela expressão ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), em que ρ e θ são, nessa ordem, o módulo e o argumento de z. Essa representação é chamada de forma trigonométrica (ou forma polar) de z.. ALFA-4 ★ 850750409. ρ θ a. 15. Re(z). ANGLO VESTIBULARES.

(12) 2. Sendo α e β números reais, mostre que. Exercícios. (cos α + i sen α)(cos β + i sen β) = cos(α + β) + i sen(α + β). 1. Obtenha a forma trigonométrica de cada um dos complexos a seguir: a) z = 1 + i. (cos α + i sen α)(cos β + i sen β) = = cos α ⋅ cos β + i cos α ⋅ sen β + + i sen α ⋅ cos β + i2 ⋅ sen α sen β = cos α cos β – sen α sen β + + i(sen α cos β + sen β cos α) = cos(α + β) + i sen (α + β). Im(z) 1 — √2. π/4 1. Re(z). ⎛ π π⎞ z = 2 ⎜cos + i sen ⎟ 4 4⎠ ⎝. 1 3 +i 2 2. b) z =. Im(z) √3 2 1. π/3 1 2. ⎛. π. ⎝. 3. z = 1 ⎜ cos. + isen. Re(z). π ⎞ ⎟. 3 ⎠. c) z = – 3i Im(z). ORIENTAÇÃO DE ESTUDO Re(z). Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13) Caderno de Exercícios — Unidade III. –3. |z| = 3. Tarefa Mínima. ⎛ z = 3 ⎜ cos 3π + i sen 3π ⎞⎟ 2 2 ⎠ ⎝. •. Faça o exercício 11, série 11.. Tarefa Complementar •. ALFA-4 ★ 850750409. 16. Faça o exercício 13, série 11.. ANGLO VESTIBULARES.

(13) Aula 34 NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA — OPERAÇÕES • Dados, pelas suas formas trigonométricas, os números complexos z = r(cos α + i ⋅ sen α) e w = s(cos β + i ⋅ sen β), temos:. c). z 2 = [cos(45º – 15º) + i ⋅ sen(45º – 15º)] w 1 = 2 (cos 30º + i ⋅ sen 30º). z ⋅ w = r ⋅ s[(cos(α + β) + i ⋅ sen(α + β)] z r = [cos(α – β) + i ⋅ sen(α – β)] w s. ⎛ 1⎞ = 2 ⎜ 3 + i ⎟ ⎝ 2⎠ 2. zn = rn [cos(n α) + i ⋅ sen(n α)], com n ∈ . = 3 +i. • Sendo |z| = r e |w| = s, temos: |z ⋅ w| = r ⋅ s = |z| ⋅ |w| z r |z| = = w s |w| 2. Sendo z = 3 + i, determine:. |zn| = rn = |z|n. a) o módulo de z10. b) o menor inteiro positivo n, tal que zn seja um número real.. • Também são importantes as propriedades: z ⋅ –z = |z| 2. a) |z| =. |z + w| |z| + |w|. 3 )2 + 12 (. |z|10 = 210. |z| = 2 |z|10 = |z10| = 1024. b) z = 2(cos 30º + i ⋅ sen 30º) zn = 2n[cos (n ⋅ 30º) + i ⋅ sen (n ⋅ 30º)]. Exercícios. zn ∈ IR ⇔ sen(n ⋅ 30º) = 0 Nessas condições, o menor valor inteiro positivo de n é 6.. 1. Dado que z = 2(cos 45º + i ⋅ sen 45º) e que w = cos 15º + i ⋅ sen 15º, obtenha a forma algébrica de: a) z ⋅ w b) z3 z c) w. a) z ⋅ w = 2 ⋅ 1[cos(45º + 15º) + i ⋅ sen(45º + 15º)] = 2(cos 60º + i ⋅ sen 60º) ⎛1 3 ⎞ =2⎜ +i ⎟ 2 ⎠ ⎝2. = 1 + i 3 b) z3 = 23[cos(3 ⋅ 45º) + i ⋅ sen(3 ⋅ 45º)] = 8(cos 135º + i ⋅ sen 135º) ⎛ 2 ⎞ = 8 ⎜ –2 + i ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2. = – 4 2 + 4i 2. ALFA-4 ★ 850750409. 17. ANGLO VESTIBULARES.

(14) • Observações importantes Nas condições anteriores, considerando a equação zn = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), temos: – há exatamente n raízes distintas;. LEITURA COMPLEMENTAR • Consideremos as equações, na incógnita z, da forma zn = k, em que n é uma constante inteira positiva e k é uma constante complexa não nula. Como, por exemplo, z3 = 8i e z5 = 32.. n – todas as raízes tem módulo igual a ρ ; – os afixos das n raízes pertencem à circunferência λ, de. Sendo ρ(cos θ + i ⋅ sen θ) a forma trigonométrica de k, podemos resolver essas equações do seguinte modo: Como k não é nulo, podemos concluir que z ≠ 0 e, portanto, z também tem uma forma trigonométrica. Suponhamos então que z = r(cos α + i ⋅ sen α). De zn = k, temos [r(cos α + i ⋅ sen α)]n = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ) rn[cos (nα) + i ⋅ sen (nα)] = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ) Essa igualdade ocorre se, e somente se rn = ρ, cos (nα) = cos θ e sen (nα) = sen θ. Devemos ter r =. θ. nρ. raio ρ e centro (0, 0); – os argumentos das raízes, tomados em ordem crescente, 2π θ formam uma PA de primeiro termo e razão ; n n – os afixos das raízes ‘dividem’ a circunferência λ em n par2π tes ‘iguais’ a . n n. • Os afixos das raízes cúbicas de 8i:. e n α = θ + 2h π , ou seja,. Im(z). 2π , com h ∈ . n n Note que com h n, temos α 2π e, com h 0, temos α 0, pois 0 θ 2π. Assim, 0 h n.. α=. + h⋅. 8i. Resumindo, de zn = ρ(cos θ + i ⋅ sen θ), temos z = r(cos α + i ⋅ sen α), com r= nρ. α=. θ n. e +h. – . 3+i. 2π , h ∈ {0, 1, 2, ..., n – 1} n. [r(cos α + i ⋅ sen α)]3 = 8(cos. π 2. + i ⋅ sen. r3[cos (3α) + i ⋅ sen (3α)] = 8(cos r3 = 8 e 3α =. π 2. Re(z) – 2i. • Exemplo: De z3 = 8i, temos:. π 2. π 2. ). + i ⋅ sen. π 2. Exercício Resolvido. ). Represente no plano de Argand-Gauss as raízes quintas da unidade imaginária.. + h ⋅ 2π, h ∈ {0, 1, 2}. z5 = i [r(cos α + i sen α)]5 = 1(cos 90º + i sen 90º) r5 = 1 ∴ r = 1 5 α = 90º + h ⋅ 360º α = 18º + h ⋅ 72º, h ∈ {0, 1, 2, 3, 4}. π. 2π r = 8 e α = + h⋅ , h ∈ {0, 1, 2} 6 3 3. π 5π 3π , } r=2eα∈{ , 6 6 2 Logo, z = 2(cos z = 2(cos z = 2(cos. . 3+i. 5π 6. 3π 2. π 6. + i ⋅ sen. + i ⋅ sen + i ⋅ sen. 5π 6. 3π 2. π 6. ), ou Z1. ), ou Z2. Z0. ).. Na forma algébrica, temos: z=. Z3. 3 + i, ou z = – 3 + i, ou z = –2i. Z4. Esses três números são chamados de raízes cúbicas de 8i.. ALFA-4 ★ 850750409. 18. ANGLO VESTIBULARES.

(15) z0, z1, z2, z3 e z4. Aula 28 z5. São as raízes da equação = i z0 = cos 18º + i sen 18º z1 = cos 90º + i sen 90º = i z2 = cos 162º + i sen 162º z3 = cos 234º + i sen 234º z4 = cos 306º + i sen 306º. 1.. a) b) c) d) e). 2.. 1 10 1 9 8 9 89 99 1277 990. 8. ORIENTAÇÃO DE ESTUDO. Respostas das Tarefas Complementares. Livro 1 — Unidade IV (Cap. 13) Caderno de Exercícios — Unidade III. Aula 26 1.. Tarefa Mínima •. 2.. Faça o exercício 12, série 11. 3.. Tarefa Complementar •. Faça os exercícios 19 e 20, série 11.. (0, 0), (2, 4) e (–1, 1) 2 4 7 3. Aula 27. Respostas das Tarefas Mínimas. 1.. E. 2.. B. Aula 26. Aula 28. 1.. (– 1, 3) e (2, 0). 1.. 2.. 2t + 5t2. a) b) c) d) e) f). 2.. a) [3, 5[ b) [1, +∞[. Aula 27 1.. C. 2.. 18 e 20. 3.. 35, 37 e 39. ALFA-4 ★ 850750409. 19. rac irrac rac irrac irrac rac. ANGLO VESTIBULARES.

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