AULA 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E OUTRAS FUNÇÕES ELEMENTARES

AULA 5 – FUNÇÃO QUADRÁTICA,

MODULAR E OUTRAS FUNÇÕES

ELEMENTARES

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

MATEMÁTICA I

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

Uma aplicação f deℜemℜrecebe o nome de função quadrática ou do segundo grau quando associa a cada x∈ ℜo elemento (ax2 + bx + c)∈ ℜ, onde a≠0. Isto é: f:ℜ→ ℜ.

x →ax2_{+ bx + c, a ≠0}

EXEMPLOS

(a)f(x) = x

_{– 3x + 2 onde a = 1, b = -3, c = 2}

(b)f(x) = 2x

_{+ 4x -3 onde a = 2, b = 4, c = -3}

(c)f(x) = x

_{– 4 onde a = 1, b = 0, c = -4}

(d)f(x) = -3x

_{onde a = -3, b = 0, c = 0}

GRÁFICO

x

y = x

_{- 1}

-3

8

-2

3

-1

0

0

-1

1

0

2

3

3

8

Construir o gráfico de y = x

_{- 1.}

(2,3) (3,8)

(1,0) (-1,0)

(0,-1) (-2,3)

(-3,8)

y

x

EXERCÍCIO 1

x

y = -x

_{+ 1}

-3

-2

-1

0

1

2

Construir o gráfico de y = -x

_{+ 1.}

y

EXERCÍCIO 1

x

y = -x

_{+ 1}

-3

-8

-2

-3

-1

0

0

1

1

0

2

-3

3

-8

Construir o gráfico de y = -x

_{+ 1.}

(2,-3)

(3,-8) (1,0)

(-1,0)

(0,1)

(-2,-3)

(-3,-8)

y

x

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

A parábola representativa da função quadrática y = ax2_{+ bx + c pode ter} a concavidade voltada para “cima” (a > 0) ou voltada para “baixo” (a < 0).

CONCAVIDADE

y = x2_{- 1}

_{a > 0}

_{a < 0}

ZEROS

Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2_{+ bx + c são os valores de x} tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau.

ax2_{+ bx + c = 0}

a ac b b x

2 4 2₋

± −

= FÓRMULA DE_BHÁSKARA EXEMPLO 1

Encontrar os zeros de y = x2_{- 1.}

Sejam a = 1, b = 0 e c = -1. Aplicando a fórmula de Bháskara:

) 1 ( * 2

) 1 ( * 1 * 4 0

0± 2− −

− =

x

ZEROS

Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2_{+ bx + c são os valores de x} tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau.

ax2_{+ bx + c = 0}

a ac b b x 2 4 2₋ ± −

= FÓRMULA DE_BHÁSKARA EXERCÍCIO 2

Encontrar os zeros de y = -x2_{+ 1.}

ZEROS

Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2_{+ bx + c são os valores de x} tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau.

ax2_{+ bx + c = 0}

a ac b b x 2 4 2₋ ± −

= FÓRMULA DE_BHÁSKARA EXERCÍCIO 2

Encontrar os zeros de y = -x2_{+ 1.}

Sejam a = -1, b = 0 e c = 1. Aplicando a fórmula de Bháskara:

) 1 ( * 2 ) 1 ( * ) 1 ( * 4 0 0 2 − − − ± − = x 1 2 2 m = − ± = x

ZEROS

Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax2_{+ bx + c são os valores de x} tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do segundo grau.

ax2_{+ bx + c = 0}

a ac b b x 2 4 2₋ ± −

= FÓRMULA DE_BHÁSKARA

POSSÍVEIS CASOS PARA RAÍZES REAIS

Caso 1:

∆

> 0

⇒

ou

Caso 2:

∆

= 0

⇒

Caso 3:

∆

< 0

⇒

não existem raízes reais

∆

= b

_{– 4ac}

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

EXERCÍCIOS

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

EXERCÍCIOS

MÁXIMO E MÍNIMO

O número y_M ∈Im(f) é o valor máximo (mínimo) da função y = f(x) se, e somente se, y_M≥y (y_M≤y) para qualquer y_M∈Im(f) e o valor de x_M∈D(f) tal que y_M= f(x_M) é chamado de ponto de máximo (mínimo) da função.

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

TEOREMA

A função quadrática y = ax2_{+ bx + c admite um valor máximo (mínimo)} em se, e somente se, a < 0 (a > 0).

a y

4

∆ − =

a b x

2

TEOREMA

A função quadrática y = ax2_{+ bx + c admite um valor máximo (mínimo)} em se, e somente se, a < 0 (a > 0).

a y 4 ∆ − = a b x 2 − =

y = -x2_{+ 1}

_{a < 0}

_{a > 0}

MÁXIMO MÍNIMO

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

TEOREMA

A função quadrática y = ax2_{+ bx + c admite um valor máximo (mínimo)} em se, e somente se, a < 0 (a > 0).

a y 4 ∆ − = a b x 2 − = EXEMPLO 3

Encontrar o valor de x e y para os quais a função y = x2_{– 1 é mínima.}

Sejam a = 1, b = 0 e c = -1. Então:

1 4

4

4 =−

− = ∆ − = a y 0 2 0 2 = =

− =

a b x

TEOREMA

A função quadrática y = ax2_{+ bx + c admite um valormáximo(mínimo)} em se, e somente se,a < 0(a > 0).

a y 4 ∆ − = a b x 2 − = EXERCÍCIO 3

Encontrar o valor de x e y para os quais a função y = -x2_{+ 1 é máxima.}

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

TEOREMA

A função quadrática y = ax2_{+ bx + c admite um valormáximo(mínimo)} em se, e somente se,a < 0(a > 0).

a y 4 ∆ − = a b x 2 − = EXERCÍCIO 3

Encontrar o valor de x e y para os quais a função y = -x2_{+ 1 é máxima.}

Sejam a = -1, b = 0 e c = 1. Então:

1 4 4

4 − =

− = ∆ − = a y

VÉRTICE DA PARÁBOLA

O ponto V( , ) é chamado vértice da parábola associada a função quadrática y = ax2_{+ bx + c.}

a 4 ∆ − a b 2 − 1 4 4

4 =−

− = ∆ − = a y 0 2 0 2 = =

− =

a b

x ₄ 1

4

4 − =

− = ∆ − = a y 0 2 0 2 =− =

− =

a b x

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

EXERCÍCIOS

FUNÇÃO QUADRÁTICA, MODULAR E ETC

EXERCÍCIOS

Simetrias em funções:

Se uma função f for tal que f(-x)= f(x) para todo x no seu domínio, então, f é dita função par.

Exemplo 1: Provar que a equação da parábola

dada por f(x)=x

_{é par.}

f(-x) = (-x)

_{= (-1)}

_(x)

_{= x}

_{= f(x)}

⇔

f(-x) = f(x), p/ todo x.

O significado geométrico de uma função f ser par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Y. Dessa forma, para se construir o gráfico de f basta obter os valores de f para x ≥ 0 e obter o restante do gráfico girando a parte obtida (para x ≥ 0) no valor de 180º em torno do eixo Y.

0 1

f(x) = x2

1 -1

y

x

2 4

-2

2 4

1 1

0 0

x f(x)

-2 4

-1 1

180º

Simetrias em funções:

Se uma função f for tal que f(-x)= -f(x) para todo x no seu domínio, então, f é dita função ímpar.

Exemplo 2: Provar que f(x)=x

_{é ímpar.}

f(-x) = (-x)

_{= (-1)}

_x

_{= -x}

_{= -f(x)}

⇔

f(-x) = -f(x), p/ todo x.

0

1

f(x) = x3

1 -1

y

x

2

-8 -2

2

8

1

1

0

0

x

f(x)

-2

-8

-1

-1

180º 1

-1 8

Exemplo 3: Determinar se uma função é par,

ímpar ou nenhum dos dois:

(a)f(x) = x

_{+ x}

(b)g(x) = 1 – x

(c) h(x) = 2x – x

(A) f(-x) = (-x

_{)+(-x) = (-1)}

_(x)

_-x

=-x

_-x=-(x

_+x)=-f(x)

⇔

f(-x) = -f(x) , portanto, a função f é ímpar.

(B) g(-x) = 1-((-x)

_{) = 1-((-1)}

_(x)

₎

=1-(x

_{) = 1–x}

_=g(x)

⇔

g(-x) = g(x) , portanto, a função g é par.

(c) h(-x) = (2(-x))-((-x)

_{) = -2x-((-1)}

_(x)

₎

=-2x-(x

_{) =-2x -x}

⇔

E portanto, a função h não é par (h(-x)

≠

h(x)),

nem ímpar (h(-x)

≠

-h(x)).

0 1

(c) h(x)

1

y

x

-1 1

(b) g(x)

1

y

x

0 -1

1

(a) f(x)

1

y

x

0

-1

Como criar novas funções a partir de antigas:

Aplicando certas transformações aos gráficos de uma função conhecida outras funções relacionadas podem ser obtidas de modo que é facilitado o esboço de funções cujo gráfico é desconhecido.

y

y=f(x)

Translações y=f(x)+c

y=f(x-c) y=f(x+c)

y=f(x)-c

y

x

y=f(x)

Expansão e Reflexão

y=c*f(x)

y=f(-x)

y=1/c *f(x)

0

Considerando c > 1

y=-f(x)

Exemplo 4: Dado o gráfico de , para x

≥

0,

use transformações para obter o gráfico de:

x

x

f

(

)

=

2

)

(

x

=

x

−

f

1

1

y

x

0

x

x

f

(

)

=

1

1

y

x

0

(a)

2 3

Exemplo 4: Dado o gráfico de , para x

≥

0,

use transformações para obter o gráfico de:

x

x

f

(

)

=

2

)

(

x

=

x

−

f

x

x

f

(

)

=

0 1 y x -2 (b)

2 3 4

Exemplo 4: Dado o gráfico de , para x

≥

0,

use transformações para obter o gráfico de:

x

x

f

(

)

=

x

x

f

(

)

=

−

1 1 y x 0

x

x

f

(

)

=

0 1 y x -1 (c)

2 3 4

-2

Combinações de funções:

Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f+g, f-g, f*g e f/g de forma similar às operações realizadas com números reais. As funções soma e diferença são assim definidas:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f - g)(x) = f(x) – g(x)

Se o domínio de f é A e o domínio de g é B, então, o domínio de (f+g) é a intersecção A∩B, pois tanto f(x) quanto g(x) devem estar definidas. Por exemplo, o domínio de é A = [0, +∞) e o domínio de

é (-∞, 2] de modo que o domínio de é A∩B = [0, 2].

x

x

f

(

)

=

x

x

g

(

)

=

2

−

x

x

g

f

+

)

=

+

2

−

(

Combinações de funções:

Analogamente, as funções produto e quociente são definidas por:

(f *g)(x) = f(x) * g(x)

(f /g)(x) = f(x) / g(x)

Se o domínio de f*g é a intersecção A∩B, mas não se pode dividir por zero, e assim, o domínio de f/g é {x ∈ A∩B | g(x) ≠ 0}. Por exemplo, se f(x) = x2 _{e g(x) =}

x – 1, então, o domínio da função racional (f/g)(x) x2_{/(x-1) é {x | x ≠ 1} ou (-∞,1)∪(1,+ ∞).}

Combinações de funções:

Outra forma de combinar duas funções para se obter uma nova é a composição. Neste caso, f é função de u e u, por sua vez, é função de x. Por exemplo:

y = f(u) =

√

u

e g(x) = x

_{+ 1}

Assim: y = f(u) = f(g(x)) = f(x

_{+ 1) =}

√

_(x

_{+ 1)}

Dadas duas funções f e g, a função composta fog (também chamada de composição de fog) é definida por:

(fog)(x) = f(g(x))

Exemplo 5: Seja f(x) = x

_{e g(x) = x – 3 encontrar}

as funções compostas f o g e g o f.

(f o g)(x) = f(g(x)) = f((x-3)) = (x-3)

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x

_{) = x}

_{- 3}

Observações Importantes:

(1)Como observado no Exemplo 5, em geral f o g ≠ g o f.

(2)Cuidado: f o g significa primeiro aplicar a função g e depois aplicar f.

Funções Inversas:

Suponha que um biólogo possui um experimento que monitora o crescimento de uma

colônia de bactérias. Ou seja:

N = f(t)

Se ele quiser determinar O tempo necessário para a

população atingir um certo nível, então, será necessário obter a função inversa de f, isto é:

t =f-1_(N)

Cuidado, pois nem todas as funções possuem inversas. Para que uma função tenha inversa é necessário que f seja tal que f(x₁) ≠ f(x₂), se x₁ ≠ x₂. Funções que satisfazem essa propriedade são denominadas de INJETORAS.

t (horas)

0

1

2

3

4

N = f(t)

100

168

259

358

445 f

N = f(t)

0

1

2

3

4 t (horas)

100

168

259

358

445 f-1

4 10

3 7

A f B

1 ₂

f é injetora _{4 10}

3 4

A g C

1

g não é injetora

f(x1) ≠ f(x2)

se x1 ≠ x2

f(3) = f(1)

-1 1

g(x)=1-x2

1

y

x

0 -1

1

f(x)=x3

1

y

x

0

-1

f é injetora

f(x1) ≠ f(x2)

se x1 ≠ x2

Funções Inversas:

Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B. Então, sua função inversa f-1 _{tem domínio B e imagem}

A e é dada por:

f

_{(y) = x}

⇔

_{f(x) = y para todo y em B.}

Para encontrar a função inversa f-1 _{de uma função f}

injetora é necessário seguir os seguintes passos:

PASSO 1: Escreva y=f(x).

PASSO 2: Isole x nesta equação e escreva em termos de y (se for possível).

PASSO 3: Para expressar f-1 _{como função de x, troque}

x por y. A equação resultante é y = f-1_(x).

Exemplo 6: Encontrar a função inversa de

f(x) = x

_{+ 2.}

Passo 1: y = x

_{+ 2}

Passo 2: x

_{= y – 2}

⇒

x = (y – 2)

Passo 3: y = (x-2)

_{e f}

_{(x) = (x-2)}

REFERÊNCIAS