Matemática Financeira

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Prof. Fabio Lima - fabionl.wordpress.com

Matemática Financeira

Juros Compostos

1

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Juros Compostos

•

Considera que os juros formados em cada período

•

São acrescidos ao Capital formando o Montante do período

•

Montante = Capital + Juros

•

Este Montante passará a render juros no período seguinte formando um novo Montante, e assim por diante.

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Juros Compostos

•

Tecnicamente, o regime de Juros Compostos é superior ao de Juros Simples,

•

principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos.

•

No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data,

•

retratando, melhor que o regime linear, a realidade das operações.

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Juros Compostos - Fórmulas

•

No regime de Juros Compostos, os Juros são capitalizados,

•

Produzindo "Juros sobre Juros” periodicamente.

•

Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês.

•

Identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o valor futuro (montante).

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Juros Compostos - Fórmulas

•

Consideremos uma aplicação de $ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês.

•

Identificando-se por PV o valor presente (capital) e FV o valor futuro (montante).

5

n Capital (PV) Juros (J) Montante (FV) final do 1º mês 1.000,00 100,00 1.100,00 FV = 1000 * (1 + 0,10) final do 2º mês 1.100,00 110,00 1.210,00 FV = 1000*(1+0,10) * (1 + 0,10) final do 3º mês 1.210,00 121,00 1.331,00 FV = 1000*(1+0,10)2 * (1 + 0,10) final do enésimo mês FV = 1000 * (1+0,10) * (1+0,10)…(1+0,10) FV = 1000 * (1 + 0,10)2

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Juros Compostos - Fórmulas

•

Portanto: 6 0 n PV FV

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Juros Compostos - Fórmulas

7

•

Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro)

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Juros Compostos - Fórmulas

•

A movimentação do Capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa mediante a aplicação destes fatores,

•

Como pode ser observado abaixo:

8

PV FV

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Juros Compostos - Fórmulas

•

O Valor Monetário dos Juros (J) é apurado pela diferença entre o Montante (FV) e o Capital (PV)

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Exemplos

1. Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa

alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?

2. Qual o valor de resgate de uma aplicação de

$12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

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1º Exemplo

•

Se uma pessoa deseja obter $27.500,00 dentro de um

ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?

11 FV 27.500,00 n 1 ano 12 meses i 1,7% a.m ao mês PV ? Portanto:

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1º Exemplo

•

Considerando-se uma taxa composta de 1,7% a.m., pelo conceito do valor presente (PV) é indiferente a essa pessoa

•

Receber $ 22.463,70 (PV) hoje; ou

•

Esse valor capitalizado ao final de 12 meses ($27.500,00).

•

Efetivamente, esses valores, mesmo distribuídos em diferentes datas, são equivalentes para uma mesma

taxa de juros de 1,7% a.m.

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2º Exemplo

•

Qual o valor de resgate de uma aplicação de

$12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

13

PV 12.000,00

n 8 meses meses i 3,5% a.m ao mês FV ?

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Exemplos

3. Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.

4. Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura.

Calcular o prazo da operação.

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3º Exemplo

•

Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de $ 40.000,00 que produz um montante

de $ 43.894,63 ao final de um quadrimestre. 15 PV 40.000,00 FV 43.894,63 n 4 meses i ? ao mês i = 0,0235 ou 2,35% a.m. Portanto:

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4º Exemplo

•

Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.

16 PV 22.000,00 FV 26.596,40 i 2,4% a.m. ao mês n ? meses n = 8 meses

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Exemplos

5. Determinar o juro pago de um empréstimo de

$88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.

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5º Exemplo

•

Determinar o juro pago de um empréstimo de $88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.

18

J ?

PV 88.000,00

n 5 meses i 4,5% ao mês

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Observação - Valor Presente

•

O Valor Presente (capital) não se refere

necessariamente a um valor expresso no momento zero.

•

O Valor Presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do Valor Futuro (montante).

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Observação - PV - Exemplo

•

Deseja-se calcular quanto será pago por um

empréstimo de $ 20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês.

•

O problema envolve o cálculo do Valor Presente, ou seja, um valor atualizado a uma data anterior à do montante (mês 9)

(21)

Observação - PV - Exemplo

•

Deseja-se calcular quanto será pago por um empréstimo de $ 20.000,00 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês.

21

•

Graficamente:

0 9 _{Antecipação} 14

PV = $17.677,10 FV = $20.000,00

(22)

Observação - PV e FV c/diversos valores

•

As expressões de cálculos de PV e FV permitem capitalizações e atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou

montante.

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Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo

•

Peguemos um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos:

•

$15mil de hoje a 2 meses;

•

$40mil de hoje a 5 meses;

•

$50mil de hoje a 6 meses; e

•

$70mil de hoje a 8 meses.

•

O devedor deseja apurar o Valor Presente (na data zero) destes fluxos de pagamento,

•

pois está negociando com o banco a liquidação imediata de toda a sua dívida.

•

A Taxa de Juros considerada nesta antecipação é de 3% ao mês.

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Observação - PV e FV c/diversos valores - Exemplo

•

Solução:

24

PV

0 2 5 6 8

15mil 40mil 50mil 70mil

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Prazos não Inteiros

•

E caso o prazo não seja inteiro? Existem 2 convenções:

•

Convenção Linear

•

Convenção Exponencial

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Prazos não Inteiros

•

Convenção Linear

•

Menos adotada que a Convenção Exponencial.

•

Consiste na formação:

•

de Juros Compostos para a parte inteira do prazo; e

•

de Juros Simples para a parte fracionária.

•

Adota o mesmo regime de capitalização para todo o período.

•

Mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta

•

por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os período não inteiros.

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27

Convenção Linear vs Convenção Exponencial

0 3 6 9 12 - 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50

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Prazos não Inteiros - Fórmulas

•

Convenção Linear

28

•

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Prazos não Inteiros - Exemplo

•

Seja o capital de $ 100mil emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo utilizando-se de cada convenção.

•

Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 1 anos e 5 meses à taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da

aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final do período atinge $ 24.800,00. Resolver o problema

utilizando as convenções linear e exponencial.

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Para Estudar

•

Mathias e Gomes (2010)

•

Capítulo 3 - Juro e Montante.

•

Fazer Exercícios propostos (página 121).

•

MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.

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Bibliografia

•

Bibliografia Básica

•

MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6a ed., São Paulo: Atlas, 2010.

•

SILVA, André Luiz Carvalhal da. Matemática financeira aplicada.

Coleção Coppead de Administração. 3a ed., São Paulo: Atlas, 2010.

•

ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 12a ed., São Paulo: Atlas, 2012.

•

Bibliografia Complementar

•

BRUNI, Adriano leal. Matemática financeira com hp12c e excel. São Paulo: Atlas, 2010.

•

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C: tradicional, platinum, prestige. 3a ed., São Paulo: Atlas,

2008.