Projeto de Métodos Numéricos Computacionais

Projeto de M´etodos Num´ericos Computacionais

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 3 1.1 P´agina 5 . . . 3 1.1.1 Exerc´ıcio 15 . . . 3 1.1.2 Exerc´ıcio 16 . . . 4 1.2 P´agina 9 . . . 4 1.2.1 Exerc´ıcio 12 . . . 4 1.2.2 Exerc´ıcio 13 . . . 5

2 Equa¸c˜oes Diferenciais de Primeira Ordem 7 2.1 P´agina 32 . . . 7 2.1.1 Exerc´ıcio 7 . . . 7 2.1.2 Exerc´ıcio 8 . . . 9 2.2 P´agina 33 . . . 10 2.2.1 Exerc´ıcio 15 . . . 10 2.2.2 Exerc´ıcio 18 . . . 11 2.3 P´agina 47 . . . 12 2.3.1 Exerc´ıcio 23 . . . 12

3 Equa¸c˜oes Lineares de Segunda Ordem 15 3.1 P´agina 67 . . . 15 3.1.1 Exerc´ıcio 8 . . . 15 3.1.2 Exerc´ıcio 13 . . . 15 3.2 P´agina 105 . . . 16 3.2.1 Exerc´ıcio 8 . . . 16 3.3 P´agina 107 . . . 17 3.3.1 Exerc´ıcio 29 . . . 17

4 M´etodos Num´ericos 18 4.1 P´agina 243 . . . 18

4.1.1 Exerc´ıcio 1 . . . 18

5 Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais e S´eries de Fourier 20 5.1 P´agina 314 . . . 20 5.1.1 Exerc´ıcio 13 . . . 20 5.1.2 Exerc´ıcio 18 . . . 22 5.2 P´agina 318 . . . 23 5.2.1 Exerc´ıcio 10 . . . 23 5.2.2 Exerc´ıcio 11 . . . 24 5.3 P´agina 325 . . . 25 5.3.1 Exerc´ıcio 10 . . . 25 5.3.2 Exerc´ıcio 11 . . . 26

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1

P´

agina 5

1.1.1 Exerc´ıcio 15

Um pequeno lago cont´em, inicialmente 1.000.000 de gal˜oes (aproximada-mente 4.550.000 litros) de ´agua e uma quantidade desconhecida de um pro-duto qu´ımico indesej´avel. O lago recebe ´agua contendo 0,01 grama dessa substˆancia por gal˜ao a uma taxa de 300 gal˜oes por minuto. A mistura sai `a mesma taxa, de modo que a quantidade de ´agua no lago permanece cons-tante. Suponha que o produto qu´ımico est´a distribu´ıdo uniformemente no lago.

(a) Escreva uma equa¸c˜ao diferencial cuja solu¸c˜ao ´e a quantidade de pro-duto qu´ımico no lago em um instante qualquer.

Resolu¸c˜ao

taxa efetiva = taxa de entrada − taxa de sa´ıda dq dt = 300 ∗ 0, 01 − 300 q 106 (1.1) dq dt = 300(10 −2 − 10−6q) (1.2)

(b) Qual a quantidade do produto qu´ımico que estar´a no lago ap´os um per´ıodo muito longo de tempo? Essa quantidade limite depende da quanti-dade presente inicialmente?

Ap´os um per´ıodo longo de tempo a quantidade que entra ´e igual `a que sai, de modo que

dq

dt = 0 (1.3)

300 ∗ 0, 01 = 300 ∗ 10−6q (1.4)

Chegamos ent˜ao `a quantidade final:

q = 104gramas (1.5)

1.1.2 Exerc´ıcio 16

Uma gota de chuva esf´erica evapora a uma taxa proporcional `a sua ´area de superf´ıcie. Escreva uma equa¸c˜ao diferencial para o volume de uma gota de chuva em fun¸c˜ao do tempo.

Resolu¸c˜ao S = superf´ıcie e V = volume. S = 4πr2 (1.6) V = 4₃πr3 (1.7) dV dt = cS (1.8) dV dt = 4cπr 2 _(1.9) dV dt = 3cV 2 3 (1.10) dV dt = kV 2 3 (1.11)

1.2

P´

agina 9

1.2.1 Exerc´ıcio 12

O r´adio-226 tem uma meia-vida de 1620 anos. Encontre o tempo necess´a-rio para que uma determinada quantidade desse material seja reduzida da quarta parte.

Resolu¸c˜ao τ = meia-vida (1.12) rτ = _{ln |2|} (1.13) dQ dt = −rQ (1.14) Z dQ Q = Z −rdt (1.15) ln |Q| = −(rt + rc) (1.16) Q = e−rte−rc (1.17) Q = ke−rt (1.18) Q = Q0e−rt (1.19) Q = 3Q₄0 (1.20) 3 4 = e −rt _(1.21) ln |3 4| = −rt ⇒ rt = ln | 4 3| (1.22) t = (ln |4₃|)1_r ⇒ t = (ln |4₃|) τ ln |2| (1.23) t = _{(ln |}4 3|) 1620 ln |2| (1.24) t = 672, 3 anos (1.25) 1.2.2 Exerc´ıcio 13

Considere o circuito el´etrico contendo um capacitor, um resistor e uma ba-teria; veja a Figura 1.2.3. A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equa¸c˜ao

RdQ_dt +Q

C = V (1.26)

onde R ´e a resistˆencia, C ´e a capacitˆancia e V a voltagem constante fornecida pela bateria.

(a) Se Q(t) = 0, encontre Q(t) em qualquer instante t e esboce o gr´afico de Q em fun¸c˜ao de t.

Resolu¸c˜ao µ(t) = eRCt (1.27) eRCt dQ dt + e t RC Q RC = e t RC V R (1.28) Z _d(eRCt Q) dt = Z eRCt V R (1.29) QeRCt = V R(RCe t RC + k) (1.30) Q(t) = VC + keRC−t (1.31) 0 = VC + keRC0 (1.32) k = −VC (1.33) Q(t) = VC(1 − eRC−t) (1.34)

(b) Encontre o valor limite QLpara onde Q(t) tende ap´os um longo per´ıodo

de tempo. Resolu¸c˜ao

t → ∞ ⇒ Q(t) = VC(1 − 0) = QL (1.35)

QL = VC (1.36)

(c) Suponha que Q(t1) = QL e que a bateria ´e removida do circuito no

instante t = t1. Encontre Q(t) para t > t1 e esboce seu gr´afico.

Resolu¸c˜ao Q(t1) = QL (1.37) dQ dt + Q RC = 0 (1.38) dQ dt = − Q RC (1.39) Z dQ Q = − 1 RC Z dt (1.40) ln |Q| = − 1 RC(t + c) (1.41) Q(t) = keRC−t (1.42) Q(t) = QLe −t RC (1.43)

Cap´ıtulo 2

Equa¸

c˜

oes Diferenciais de

Primeira Ordem

2.1

P´

agina 32

2.1.1 Exerc´ıcio 7

Um jovem, sem capital inicial, investe k reais por ano a uma taxa anual de rendimento r. Suponha que os investimentos s˜ao feitos continuamente e que o rendimento ´e composto continuamente.

Resolu¸c˜ao dS dt = k + rS (2.1) dS dt − rS = k (2.2) µ(t) = e−rt (2.3) Z _e−rt dS dt = Z ke−rt (2.4) Se−rt = k(e −rt −r + c) (2.5) S(t) = −k_r + cert (2.6) S(0) = 0 ⇒ 0 = −k r + c (2.7) c = k r (2.8) S(t) = k_r(ert_{− 1)} (2.9)

(b) Se r = 7, 5%, determine k de modo que esteja dispon´ıvel R$ 1 milh˜ao para a aposentadoria ap´os 40 anos.

Resolu¸c˜ao 106 = k 0, 075(e 0,075∗40_{− 1) (2.10)} k = 10 6_{∗ 0, 075} e0,075∗40_{− 1} (2.11) k ' R$ 3929, 68 (2.12)

(c) Se k = R$ 2000/ano, determine a taxa r que precisa ser aplicada para se ter R$ 1 milh˜ao ap´os 40 anos.

Resolu¸c˜ao 106= 2000 r (e 40r − 1) ⇒ 103 = 2 r(e 40r − 1) (2.13) 103r = 2e40r_{− 2} (2.14) 2 = 2e40r_{− 1000r} (2.15) 1 = e40r_{− 500r} (2.16) 1 + 500r = e40r (2.17) r = 9, 77% (2.18)

2.1.2 Exerc´ıcio 8

A pessoa A abre uma conta PREV com 25 anos, contribui R$ 2000/ano durante 10 anos, mas n˜ao contribui mais da´ı para a frente. A pessoa B espera completar 35 anos, para abrir uma conta PREV e contribui R$ 2000/ano durante 30 anos. N˜ao existe investimento inicial em ambos os casos. (a) Supondo uma taxa de rendimento de 8% ao ano, qual o saldo em cada PREV aos 65 anos do benefici´ario?

Resolu¸c˜ao dS dt = 2000 + 5 ∗ 0, 08 (2.19) S0− 0, 085 = 2000(e−8t100) (2.20) Z (Se−8t100)0 = Z 2000e−8t100 (2.21) Se−8t100 = −2000 ∗ 100 8 e −8t 100 + c (2.22) S = −25000 + ce−8t100 (2.23) −25000 + c = 0 (2.24) c = 25000 (2.25) S = 25000(e−8t100 − 1) (2.26) B ⇒ S(30) = 25000(e8100∗30 − 1) (2.27) S(30) = 250579, 41 (2.28) A ⇒ S(10) = 25000(e8100∗10 − 1) (2.29) S(10) = 30638, 52 (2.30) dS dt = 85 100 (2.31) Z dS S = Z 8 100dt (2.32) ln |S| = ₁₀₀8t + c (2.33) S = ce1008t (2.34) S(0) = 30638, 52 (2.35) c = 30638, 52 (2.36) S(t) = 30638, 52e1008t (2.37) S(30) = 30638, 52e8100∗30 (2.38) S(30) = 337733, 81 (2.39)

(b) Para uma taxa de rendimento r constante, mas n˜ao especificada, deter-mine o saldo em cada PREV aos 65 anos do benefici´ario.

Resolu¸c˜ao

Saldo com dep´ositos regulares:

S1(t) = S0ert+ (

k r)(e

rt

− 1) (2.40)

Saldo sem dep´ositos regulares:

S2(t) = S0ert (2.41) C´alculo: A ⇒ S1(10) = 0 + ( 2000 r )(e 10r_{− 1) (2.42)} S2(30) = S1(10)e30r (2.43) S2(30) = 2000 r (e 10r_{− 1)e}30r _(2.44) S2(30) = 2000 r (e 40r_{− e}30r_{) (2.45)} B ⇒ S2(30) = 2000 r (e 30r_{− 1) (2.46)} Saldos: SA(r) = 2000 r (e 40r_{− e}30r_{) (2.47)} SB(r) = 2000 r (e 30r_{− 1) (2.48)}

(c) Desenhe um gr´afico com as diferen¸cas dos saldos em (b) para 0 ≤ r ≤ 0, 10.

(d) Determine a taxa de rendimento para a qual as duas contas PREV tˆem o mesmo saldo aos 65 anos do benefici´ario.

2.2

P´

agina 33

2.2.1 Exerc´ıcio 15

A popula¸c˜ao de mosquitos em determinada ´area cresce a uma raz˜ao pro-porcional `a popula¸c˜ao atual e, na ausˆencia de outros fatores, a popula¸c˜ao dobra a cada semana. Existem, inicialmente, 200.000 mosquitos na ´area e os predadores (p´assaros etc.) comem 20.000 mosquitos/dia. Determine a

popula¸c˜ao de mosquitos na ´area em qualquer instante t. Resolu¸c˜ao (Considerando t em semanas)

Crescimento sem fatores externos

P(t) = P02t (2.49)

Crescimento com predadores (v ´e a taxa de mortes devido a predadores)

P(t) = P02t− vt (2.50)

Logo

P(t) = (2 ∗ 105) ∗ 2t− (1, 4 ∗ 105) ∗ t (2.51)

2.2.2 Exerc´ıcio 18

A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda a uma taxa proporcional `a diferen¸ca entre sua temperatura e a do ambiente que o rodeia. Suponha que a temperatura de uma x´ıcara de caf´e obedece `a lei do resfriamento de Newton. Se o caf´e estava a uma temperatura de 200oF (cerca de 93oC) ao ser colocado na x´ıcara e, 1 minuto depois esfriou para 190o_{F em uma sala a 70}o_{F, determine quando o caf´e atinge a temperatura}

Resolu¸c˜ao Q = temperatura (2.52) dQ dt = k(Q − Qamb) (2.53) dQ dt − kQ = −kQamb (2.54) µ(t) = e−kt (2.55) Qe−kt = −kQamb Z e−kt (2.56) Qe−kt = −kQamb(− 1 k)e −kt_{+ c (2.57)} Qe−kt = Qambe−kt+ c (2.58) Q = Qamb+ cekt (2.59) Q(0) = 200oF (2.60) 200 = Qamb+ 1c (2.61) c = 200 − Qamb= 130 (2.62) 190 = 70 + 130e60k (2.63) ln |120₁₃₀| = 60k (2.64) k = −1, 33 ∗ 10−3 (2.65) 150 = 70 + 130e−1,33∗10−3t (2.66) ln | 8 13| = −1, 33 ∗ 10 −3 _(2.67) t ' 365s (2.68)

2.3

P´

agina 47

2.3.1 Exerc´ıcio 23

Algumas doen¸cas (como o tifo) s˜ao disseminadas basicamente por portado-res indiv´ıduos que podem transmitir a doen¸ca, mas que n˜ao exibem seus sintomas. Denote por x e y, respectivamente, a propor¸c˜ao de suscet´ıveis e portadores na popula¸c˜ao . Suponha que os portadores s˜ao identificados e removidos da popula¸c˜ao a uma taxa β, de modo que

dy

Suponha, tamb´em, que a doen¸ca se propaga a uma taxa proporcional ao produto de x e y; assim,

dx

dt = αxy (2.70)

(a) Determine y em qualquer instante t resolvendo 2.69 sujeita `a condi¸c˜ao inicial y(0) = y0 Resolu¸c˜ao y(0) = y0 (2.71) y0+ βy = 0 (2.72) µ(t) = eβt (2.73) y = ce−βt (2.74) y = y0e−βt (2.75)

(b) Use o resultado do item (a) para encontrar x em qualquer instante t resolvento 2.70 sujeita `a condi¸c˜ao inicial x(0) = x0. Resolu¸c˜ao

dx x = αydt (2.76) 1 xdx = αy0e −βt_{dt (2.77)} Z ₁ xdx = αy0 Z e−βtdt (2.78) ln |x| = αy0[e −βt −β + c] (2.79) x = eαy0(c−_β1e−βt) (2.80) x = eαy0c e−αy0β e−βt _(2.81) x0 = eαy0ce− αy0 β (2.82) ln |x0| = αy0c − αy0 β (2.83) c = ln |x0| + αy0 β αy0 (2.84) c = ln |x0| αy0 + 1 β (2.85) x = eαy0( ln_|x0| αy0 + 1 β)_e− αy0 β e −βt (2.86) x = eln |x0|_e αy0 β _e− αy0 β e−βt _(2.87) x = x0e αy0 β (1−e−βt) _(2.88)

(c) Encontre a propor¸c˜ao da popula¸c˜ao que escapa `a epidemia encontrando o valor limite de x quando t → ∞.

Resolu¸c˜ao

x = x0e

αy0

Cap´ıtulo 3

Equa¸

c˜

oes Lineares de

Segunda Ordem

3.1

P´

agina 67

3.1.1 Exerc´ıcio 8

Um investidor deposita R$ 1000 em uma conta que rende juros de 8% ao ano compostos mensalmente e faz, tamb´em, dep´ositos adicionais de R$ 25 por mˆes. Encontre o saldo na conta ap´os 3 anos.

Resolu¸c˜ao qn = saldo mensal (3.1) b = dep´osito mensal (3.2) ρ = taxa (3.3) qn+1 = ρqn+ bn (3.4) qn = ρnq0+1 − ρ n 1 − ρ b (3.5) Aplicando n = 36 em (3.5): q36 = (1 + 0, 08 12 ) 36 ∗ 103∗1 − (1 + 0,08 12 )36 1 − 1 +0,0812 ) ∗ 25 (3.6) q36 = R$ 2283, 64 (3.7) 3.1.2 Exerc´ıcio 13

Um comprador gostaria de comprar um im´ovel com financiamentos de R$ 95.000 pag´avel durante 20 anos. Qual a maior taxa de juros que o comprador

pode pagar se os pagamentos mensais n˜ao podem exceder R$ 900? Resolu¸c˜ao Q = R$ 95.000, 00 (3.8) t = 240 meses (3.9) bmax = R$ 900, 00 (3.10) q0 = 0 (3.11)

Substituindo esses valores em (3.5)

Q = q240 (3.12) Q = 1 − ρ 240 1 − ρ b (3.13)

3.2

P´

agina 105

3.2.1 Exerc´ıcio 8

Um circuito em s´erie tem um capacitor de 0, 25 ∗ 10−6farad e um indutor de 1 henry. Se a carga inicial no capacitor ´e de 10−6_{coulomb e n˜ao h´a corrente}

inicial, encontre a carga Q no capacitor em qualquer instante t. Resolu¸c˜ao t0 = 0s (3.14) Q(t0) = 10−6C (3.15) i0 = 0A = Q0(t0) (3.16) Q(t) = ? (3.17) ε(t) = LQ00+ RQ0+ 1 CQ (3.18) ε(t) = Q00+ Q 0, 25 ∗ 10−6 (3.19) 0 = Q00_{+ 4 ∗ 10}6Q(Homogˆenea associada) (3.20) Q = A cos(2 ∗ 103t) + B sin(2 ∗ 103t) (3.21) Q(0) = A cos(0) + B sin(0) = 10−6 (3.22) A = 10−6 (3.23) Q0_{(0) = −2 ∗ 10}3_{A sin(0) + 2 ∗ 10}3B cos(0) = 0 (3.24) B = 0 (3.25) Q(t) = 10−6_{cos(2 ∗ 10}3t) C (3.26)

3.3

P´

agina 107

3.3.1 Exerc´ıcio 29

A posi¸c˜ao de determinado sistema massa-mola satisfaz o problema de valor inicial

u00+ 1 4u

0_{+ 2u = 0, u(0) = 0, u}0_{(0) = 2 (3.27)}

(a) Encontre a solu¸c˜ao desse problema de valor inicial. Resolu¸c˜ao r2+ 1 4r + 2 = 0 (3.28) ∆ = −127₁₆ (3.29) r = 1 8 ± i √ 127 8 (3.30) u = Ae−t8cos( √ 127 8 t) + Be −t 8 sin( √ 127 8 t) (3.31)

u(0) = A cos(0) + B sin(0) = 0 (3.32)

u0(0) = √ 127 8 B cos(0) = 2 (3.33) B = _√16 127 (3.34) u = _√16 127e −8t sin( √ 127 8 t) (3.35)

(b) Fa¸ca os gr´aficos de u e u0 em fun¸c˜ao de t no mesmo par de eixos. (c) Fa¸ca o gr´afico de u’ em fun¸c˜ao de u no plano de fase. Identifique diver-sos pontos correspondentes nas curvas dos itens (b) e (c). Qual o sentido do movimento no plano de fase quando t aumenta?

Cap´ıtulo 4

M´

etodos Num´

ericos

4.1

P´

agina 243

4.1.1 Exerc´ıcio 1

Para obter alguma id´eia dos perigos poss´ıveis de pequenos erros nas condic-¸c˜oes iniciais, tais como os devidos a arredondamentos, considere o problema de valor inicial

y0 _{= t + y − 3,} y(0) = 2 (4.1)

(a) Mostre que a solu¸c˜ao ´e y = φ1(t) = 2 − t.

Resolu¸c˜ao y0 _{= t − 3} (4.2) µ(t) = e−t (4.3) ye−t = Z (t − 3e−t)dt (4.4) y = 2 − t + cet (4.5) y(0) = 2 ⇒ c = 0 (4.6) y = 2 − t = φ1 (4.7)

(b) Suponha que ´e feito um erro na condi¸c˜ao inicial e ´e utilizado o valor 2, 001 em vez de 2. Determine a solu¸c˜ao y = φ2(t) nesse caso e compare a

diferen¸ca φ2(t) − φ1(t) em t = 1 e quando t → ∞.

Usando (4.5) e fazendo y(0) = 2, 001: 2 − 0 + c = 0, 001 (4.8) c = 10−3 (4.9) y = _{2 − t + 10}−3et= φ2 (4.10) φ2(t) − φ1(t) = 10−3et (4.11) φ2(1) − φ1(1) = 0, 0027 (4.12) t → ∞ ⇒ φ2(t) − φ1(t) → ∞ (4.13)

Cap´ıtulo 5

Equa¸

c˜

oes Diferenciais

Parciais e S´

eries de Fourier

5.1

P´

agina 314

5.1.1 Exerc´ıcio 13

Considere uma barra de 40cm de comprimento cujas as extremidades s˜ao mantidas `a temperatura de 0oC para todo t > 0 e

u(x, 0) = 50, 0 < x < 40 (5.1)

Para t = 5 e x = 20, determine quantos termos s˜ao necess´arios para encon-trar a solu¸c˜ao correta at´e trˆes casas decimais. Um modo razo´avel de fazer isso ´e encontrar n tal que a inclus˜ao de mais um termo n˜ao muda as trˆes primeiras casas decimais de u(20, 5). Repita para t = 20 e t = 80. Chegue a alguma conclus˜ao sobre a velocidade de convergˆencia da s´erie que representa u(x, t).

Resolu¸c˜ao L = 40cm (5.2) u(0, t) = u(L, t) = 0oC, t > 0 (5.3) α2 = 1 (5.4) u(x, 0) = 50oC, 0 < x < L (5.5) u(x, t) = ∞ X n=1 cne−n 2 π2 α2 t/L2 sin(nπx L ) (5.6) cn = 2 L Z L 0 f (x) sin(nπx L )dx (5.7) cn = 1 20 Z 40 0 50 sin(nπx 40 )dx (5.8) cn = 100 nπ(1 − cos nπ) (5.9) cn = ( 0 n par, 200 nπ n ´ımpar (5.10) u(x, t) = ∞ X n=1,3,5... 200 nπe −n2_π2_α2_t/L2 sin(nπx 40 ) (5.11) u(x, t) = 200 π ∞ X n=1,3,5... 1 ne −n2 π2 t/1600_sin(nπx 40 ) (5.12) Fazendo x = 20 e t = 5 u(20, 5) = 200 π ∞ X n=1,3,5... 1 ne −n2_π2_/320 sin(nπ 2 ) (5.13) n = 1 ⇒ u1(20, 5) = 61, 728 (5.14) n = 3 ⇒ u3(20, 5) = u1− 16, 077 = 45, 651 (5.15) n = 5 ⇒ u5(20, 5) = u3+ 5, 889 = 51, 540 (5.16) n = 7 ⇒ u7(20, 5) = u5− 2, 006 = 49, 534 (5.17) n = 9 ⇒ u9(20, 5) = u7+ 0, 581 = 50, 115 (5.18) n = 11 ⇒ u11(20, 5) = u9− 0, 138 = 49, 977 (5.19) n = 13 ⇒ u13(20, 5) = u11+ 0, 026 = 50, 003 (5.20) n = 15 ⇒ u15(20, 5) = u13− 0, 004 = 49, 999 (5.21) n = 17 ⇒ u17(20, 5) = u15+ 0, 001 = 50, 000 (5.22) n = 19 ⇒ u18(20, 5) = u17− 0, 000 = 50, 000 (5.23)

Fazendo x = 20 e t = 20 u(20, 5) = 200 π ∞ X n=1,3,5... 1 ne −n2 π2 /80_sin(nπ 2 ) (5.24) n = 1 ⇒ u1(20, 20) = 56, 273 (5.25) n = 3 ⇒ u3(20, 20) = u1− 6, 991 = 49, 282 (5.26) n = 5 ⇒ u5(20, 20) = u3+ 0, 582 = 49, 864 (5.27) n = 7 ⇒ u7(20, 20) = u5− 0, 021 = 49, 843 (5.28) n = 9 ⇒ u9(20, 20) = u7+ 0, 000 = 49, 843 (5.29) Fazendo x = 20 e t = 80 u(20, 5) = 200 π ∞ X n=1,3,5... 1 ne −n2 π2 /20_sin(nπ 2 ) (5.30) n = 1 ⇒ u1(20, 80) = 38, 865 (5.31) n = 3 ⇒ u3(20, 80) = u1− 0, 250 = 38, 615 (5.32) n = 5 ⇒ u5(20, 80) = u3+ 0, 000 = 38, 615 (5.33)

Com o passar do tempo, o expoente negativo de e aumenta em m´odulo, fazendo com que as parcelas da soma convirjam mais rapidamente para 0, aumentando a precis˜ao da f´ormula para um mesmo n.

5.1.2 Exerc´ıcio 18

Considere uma barra met´alica de 20cm de comprimento aquecida a uma temperatura uniforme de 100oC. Suponha que, em t = 0, as extremidades da barra s˜ao mergulhadas em um banho gelado a 0oC e, depois, mantidas a essa temperatura, mas n˜ao ´e permitido escapar calor pela superf´ıcie lateral. Encontre uma express˜ao para a temperatura em qualquer ponto da barra em um instante posterior. Determine a temperatura no centro da barra no instante t = 30s se a barra ´e feita de (a) prata, (b) alum´ınio, ou (c) ferro fundido.

Resolu¸c˜ao

L = 20cm (5.34)

u(0, t) = u(L, t) = 0oC, t > 0 (5.35)

Usando (5.6) e (5.7): cn = 1 10 Z 0 20100 sin(nπx 20 )dx (5.37) cn = 200 nπ(1 − cos nπ) (5.38) cn = ( 0 n par, 400 nπ n ´ımpar (5.39) u(x, t) = 400 π ∞ X 1,3,5... 1 ne −n2_π2_α2_t/400 sin(nπx 20 ) (5.40)

Para calcular o valor da temperatura para cada material, basta substituir o α2 pelo valor correspondente ao material.

5.2

P´

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5.2.1 Exerc´ıcio 10

(a) Suponha que as extremidades de uma barra de cobre com 100cm de com-primento s˜ao mantidas a 0o_{C. Suponha que o centro da barra ´e aquecido a}

100oC por uma fonte externa de calor e que essa situa¸c˜ao ´e mantida at´e resultar em um estado estacion´ario. Encontre essa distribui¸c˜ao de tempera-tura no estado estacion´ario.

Resolu¸c˜ao Usando f (x) = v(x) = (T2− T1) x L + T1 (5.41) Temos, para 0 < x ≤ 50 f (x) = (100 − 0)₅₀x + 0 = 2x (5.42) E para 50 < x < 100 f (x) = (0 − 100)x 50 + 100 = 100 − 2x (5.43)

A equa¸c˜ao logo acima ´e v´alida considerando x = 0 como sendo o meio da barra. Para torn´a-la v´alida considerando o meio da barra como x = 50, basta somar 100 (ficando da forma 200 − 2x.

f (x) = (

2x _{0 < x ≤ 50}

(b) Em um instante t = 0 [depois de atingido o estado estacion´ario do item (a)], suponha que a fonte externa ´e removida. No mesmo instante, suponha que a extremidade x = 0 ´e colocada em contato com um reservat´orio a 20oC e que a outra extremidade permanece a 0oC. Encontre a temperatura em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao e do tempo.

Resolu¸c˜ao u(x, t) = v(x) + w(x, t) (5.45) v(x) = (T2− T1) x L+ T1 (5.46) v(x) = 20 −x₅ (5.47) w(x, t) = ∞ X n=1 cne−1,14n 2 π2 t/L_sinnπx L (5.48) cn = 2 L Z L 0 [f (x) − (T2− T1 )x L − T1] sin nπx L dx (5.49) cn = 1 50 Z 100 0 [f (x) +x 5 − 20] sin nπx 100dx (5.50) (5.51) Onde f (x) ´e a fun¸c˜ao (5.44) encontrada em (a). Integrando, temos

cn= 800 n2_π2 sin nπ 2 + 40 nπ (5.52) Logo u(x, t) = 20 − x₅ + ∞ X n=1 cne−1,14n 2 π2 t/1002 sinnπx 100 (5.53)

(c) Fa¸ca o gr´afico de u em fun¸c˜ao de x para diversos valores de t. Fa¸ca, tamb´em, o gr´afico de u em fun¸c˜ao de t para diversos valores de x.

(d) A que valor limite tende a temperatura no centro da barra depois de um longo tempo? Depois de quanto tempo o centro da barra esfria, ficando a 1 grau de seu valor limite?

Resolu¸c˜ao

t → ∞ ⇒ u(50, t) → 10 (5.54)

5.2.2 Exerc´ıcio 11

Considere uma barra de 30cm de comprimento para qual α2 = 1. Suponha que a distribui¸c˜ao inicial de temperatura ´e dada por u(x, 0) = x(60 − x)/30

e que as condi¸c˜oes de contorno s˜ao u(0, t) = 30 e u(30, t) = 0.

(a) Encontre a temperatura da barra em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao e do tempo. Resolu¸c˜ao

Dada a distribui¸c˜ao inicial de calor

f (x) = x(60 − x)/30 = 2x − x

2

30 (5.55)

A distribui¸c˜ao estacion´aria de calor correspondente ´e

v(x) = 30 − x (5.56)

Logo a temperatura em fun¸c˜ao do tempo e da distˆancia do centro ´e dada por u(x, t) = 30 − x + ∞ X n=1 cnen 2 π2 t/302 sinnπx 30 (5.57)

Onde cn ´e dado por

cn= 2 30 Z 30 0 [f (x) − v(x)] sin nπx 30 dx (5.58) Integrando, cn= 60 (nπ)3[2(1 − cos nπ) − (nπ) 2_{(1 + cos nπ)] (5.59)}

(b) Fa¸ca o gr´afico de u em fun¸c˜ao de x para diversos valores de t. Fa¸ca, tamb´em, o gr´afico de u em fun¸c˜ao de t para diversos valores de x.

(c) Fa¸ca o gr´afico de u em fun¸c˜ao de t para x = 12. Observe que u inici-almente diminui, depois cresce por um tempo e, fininici-almente, diminui para alcan¸car seu valor no estado estacion´ario. Explique, fisicamente, por que ocorre esse comportamento.

5.3

P´

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5.3.1 Exerc´ıcio 10

Considere uma corda el´astica de comprimento L. A extremidade x = 0 ´e mantida fixa, enquanto a extremidade x = L est´a solta; logo as condi¸c˜oes de contorno s˜ao u(0, t) = 0 e ux(0, t) = 0. A corda ´e colocada em movimento

sem velocidade inicial a partir da posi¸c˜ao inicial u(x, 0) = f (x), onde f (x) =

(

1 L_{2 − 1 < x <} L₂ + 1 (L > 2), 0 caso contr´ario

(a) Calcule o deslocamento u(x, t). Resolu¸c˜ao

Como a corda est´a solta na extremidade x = L, calculamos u(x, t) para uma corda de comprimento 2L com ambas extremidades fixas.

u(x, t) = ∞ X n=1 cnsin nπx 2L cos nπat 2L (5.60) cn = 2 L Z 2L 0 f (x) sinnπx 2L dx (5.61) cn = 2 L Z L₂+1 L 2−1 sinnπx 2L dx (5.62) Integrando, cn = 8 nπ[sin( nπ 4 ) sin( nπ 2L)] (5.63) u(x, t) = 8 π ∞ X n=1 1 2n − 1sin nπ 4 sin nπ 2L sin nπx 2L cos nπat 2L (5.64)

(b) Com L = 10 e a = 1, fa¸ca o gr´afico de u em fun¸c˜ao de x para 0 ≤ x ≤ 10 para diversos valores de t. Preste aten¸c˜ao especial aos valores de t entre 3 e 7. Observe como a pertuba¸c˜ao inicial ´e refletida em cada extremidade da corda.

(c) Com L = 10 e a = 1, fa¸ca o gr´afico de u em fun¸c˜ao de t para diversos valores de x.

(d) Construa uma anima¸c˜ao da solu¸c˜ao no tempo por, pelo menos, um per´ıodo.

(e) Descreva o movimento da corda em algumas frases.

5.3.2 Exerc´ıcio 11

Suponha que a corda no Problema 10 come¸ca a partir da posi¸c˜ao inicial f (x) = 8x(L − x2)/L3. Siga as instru¸c˜oes no Problema 10 para esse novo problema.