SEM-5828 Sistemas de Controle Lista 4 Resolução. Adriano Almeida Gonçalves Siqueira

(1)

SEM-5828 – Sistemas de Controle

Lista 4 – Resolução

Adriano Almeida Gonçalves Siqueira

1) Considere os seguintes sistemas dados pelas funções de transferência:

) 10 )( 5 ( ) 1 ( 10 ) ( 1     s s s s g

)

10 )(

5 (

)

1 (

10 )

(

2







s

g

)

10 )(

5 (

)

1 (

10 )

(

3









s

g

a) Quais sistemas são de fase mínima?

b) Desenhe os diagrmas de Bode (ganho) para os 3 sistemas num único gráfico. c) Trace os diagrams de Bode (fase) para os 3 sistemas num único gráfico. d) Plote as respostas a degrau de g1(s) e g2(s) num mesmo gráfico.

e) Tente achar uma justificativa para a denominação "sistema de fase mínima"

Resolução: a) Um sistema de fase não mínima é aquele que apresenta zeros ou pólos no

semiplano direito aberto do plano complexo. Os zeros e pólos dos sistemas acima são: g1(s) : z = -1, p1 = -5 e p2 = -10

g2(s) : z = 1, p1 = -5 e p2 = -10

g3(s) : z = -1, p1 = -5 e p2 = 10

Portanto, os sistemas g2 e g3 são de fase não mínima e o sistema g1 é considerado de

fase mínima.

b) Os diagrmas de Bode para os três sistemas apresentam as mesmas características, (Fig. 1.1) pois estes sistemas possuem o mesmo tipo de função de transferência com valores iguais a menos dos sinais.

(2)

10-1 100 101 102 10-2

10-1 100

frequê ncia (rad/s)

g a n h o ( d B ) g1 g2 g3 Fig. 1.1

c) Os diagramas de fase são mostrados na figura abaixo:

10-1 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

frequê ncia (rad/s)

fa s e ( g ra u s ) g1 g2 g3 Fig. 1.2

d) As respostas ao degrau de g1(s) e g2(s) são mostradas na Fig. 1.3 abaixo. O sistema

(3)

Time (sec.) A m p lit u d e Step Response 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 g1g2 Fig. 1.3

e) Um sistema de fase mínima apresenta a mínima variação do ângulo de fase entre os sistemas equivalentes (com mesma estrutura) a ele (Ogata). Esta característica pode ser observada na Fig. 1.2, na qual o sistema g1(s) (fase mínima) possui menor variação do

ângulo de fase em relaçào aos demais.

2) Um modelo de estados do helicóptero CH-47 é:

u x x                                   0 0 009 . 0 35 . 0 6 . 8 36 . 0 12 . 0 14 . 0 0 1 0 0 2 . 1 6 018 . 0 0 30 3 . 1 44 . 0 014 . 0 32 4 . 2 005 . 0 02 . 0  x y _       3 . 57 0 0 0 0 0 1 0

a) Determine a lei de realimentação de estados

)

(

)

(

t

Gx

t

u





de maneira que os pólos do sistema em malha fechada seja {-3  j3; -3; -4}. É possível alocar os pólos do sistema em malha fechada arbitrariamente no plano complexo?Por que?

b) Calcule a resposta livre do sistema em malha fechada para a condição inicial x(0) = [0 1 0 30]' e plote y1(t) e y2(t) num mesmo gráfico.

(4)

c) Projete um observador de estados para o helicóptero com o seguinte conjunto de pólos:

{-15  j15; -15; -20}.

É possível alocar os pólos do observador arbitrariamente no plano complexo?Por que? d) Considere agora o observador seguido em cascata pela realimetação de estados, isto é:

)

(

ˆ

)

(

t

G

x

t

u





onde G é a matriz de ganhos do item a) exˆ é a estimativa do estado gerada pelo observador projetado no item c). Sejam y1(t) e  y2(t) as variáveis de saída da resposta

livre do sitema com condição inicial x(0) = [0 1 0 30]' e xˆ(0) = [0 0 0 0]'. Plote y1(t)

e  y2(t) no mesmo gráfico que você obteve no item b).

e) Os resultados obtidos estão de acordo com o esperado? Por que?

Resolução: a) Os pólos do sistema só poderão ser alocados arbitrariamente se o par

(A,B) for controlável. Para se verificar a controlabilidade do par (A,B) deve-se determinar o posto da matriz de controlabilidade C dada por:



B

AB

A

B

A

B



C



2 3

Portanto, para A e B dadas acima, temos:

















1953

.

1 9757

.

12 2088

.

0 0935

.

2

009 .

0

35 .

0

0 4524

.

7 5093

.

80 1953

.

1 9757

.

12 2088

.

0 0935

.

2

009 .

0

35 .

0 9876

.

3 6791

.

42 6677

.

1 9215

.

7 7940

.

3 2986

.

0

6 .

8

36 .

0 5582

.

9 4197

.

98 8177

.

0 2427

.

16

019 .

0

839 .

0

12 .

0

14 .

0 C

cujo posto linha é 4, portanto, o par (A,B) é controlável. Os pólos do sistema são inicialmente:

p1 = -0.0127 p2 = 0.3179 + 0.2583i p3 = 0.3179 - 0.2583i p4 = -6.2031

(5)

Os pólos do sistema devem ser alocados para {-3  j3; -3; -4} de modo que o sistema torne-se estável. A determinação de G utiliza-se a função place(A,B,P) do MatLab, sendo P o vetor contendo os novos pólos. A matriz de ganho G encontrada foi:

















7953

.

9

567 .

0 4552

.

0 2281

.

0 9716

.

135 5627

.

11 4297

.

0 2086

.

5 G

b) A resposta livre do sistema em malha fechada para a condição inicial pedida pode ser calculada utilizando a função lsim(ss,u,t,x0), sendo ss o sistema realimentado sendo Ã=A-BG. A figura abaixo mostra o resultado obtido.

Time (sec.) A m p lit u d e

Linear Simulation Results

-10 0 10 20 30 T o : Y 1 0 2 4 6 8 10 -500 0 500 1000 1500 T o : Y 2

c) Os pólos do observador só poderão ser alocados arbitrariamente se o par (C,A) for observável. Para se verificar a observabilidade do par (C,A) deve-se determinar o posto da matriz de observabilidade O dada por:















3 2

CA

C

O

(6)

















502 .

443

2 .

2130

7346

.

5 0144

.

0 2825

.

32

3 .

122 3357

.

0 0023

.

0

76 .

68

8 .

343 0314

.

1

0

312 .

14

8 .

22 1701

.

0 0059

.

0

3 .

57

0

30

3 .

1

44 .

0

014 .

0

3 .

57

0

1

0 O

cujo posto coluna é 4, portanto, o par (C,A) é observável.

A determinação do ganho do observador H utiliza-se novamente a função place, sendo agora as entradas A’, C’ e o vetor contendo os pólos desejados. A matriz de ganho H encontrada foi:

















2264

.

0 3041

.

13 2555

.

0 6584

.

118 8321

.

0 4480

.

46 4072

.

542 55920

H

d) A dinâmica do controlador obtido com o observador seguido em cascata pela realimentação é dada por:

K(s) = G(sI-A+BG+HC)-1H

O ramo direto do sistema é dado por G(s)K(s), sendo G(s) = C(sI-A)-1B. A realimentação gera a malha fechada dada por (pag. 106 do livro Controle Robusto Multivariável, José J. da Cruz):

C(s) = C(sI-A+BG)-1BG(sI-A+HC)-1H

A resposta do sistema em malha fechada foi obtido de acordo com o seguinte programa: S1=ss(A-B*G,B,C,D); S5=ss(A-H*C,H,G,D); S6=series(S5,S1); figure; t=0:0.1:10; u1=0*t; u2=0*t; u=[u1;u2]; xo=[0; 1; 0; 30;0;0;0;0]; lsim(S6,u,t,xo);

(7)

Time (sec.) A m p lit u d e

Linear Simulation Results

-10 0 10 20 30 T o : Y 1 0 2 4 6 8 10 -500 0 500 1000 1500 T o : Y 2

e) Os resultados obtidos são idênticos como era esperado.

3) Um modelo de estados da turbina GE-21 com duas saídas é o seguinte:

p p p p p

A

x

B

u

x







p p p

C

x

y



onde:           847 . 1 597 . 0 169 . 1 488 . 3 A _       9098 . 0 0755 . 0 3839 . 4 0655 . 0 p B _       1 0 0 1 p C

a) Aumente o sistema com um integrador em cada canal de controle de forma a assegurar erro estacionário nulo para entrada degrau:

Descreva o sistema aumentado na forma de estados: turbina I/s

u up y

(8)

Bu

Ax

x







Cx

y



_{, onde:} _       p x egradores x x '(int )

b) Plote os valores singulares do sistema aumentado, i[C(sI-A)-1B], para s = j e

10-2  103.

c) Admita que um compensador, com a estrutura observador + realimentação de estados, deve ser projetado de maneira que a frequência de cross-over seja de  1 rad/Seg e que todos os valores singulares tenham aproximadamente a mesma frequência em cross-over . Utilize como matriz de ganhos do observador (H) a seguinte matriz:

               8344 . 0 0 0 90584 . 0 70226 . 0 88541 . 0 481 . 33 7488 . 4 H

Plote os valores singulares i[C(sI-A)-1H], para s = j e 10-2  103.

d) Admita que os valoes singulares i[C(sI-A)-1H] são satisfatórios e que se deseja

recuperá-los com i[G(s)K(s)],, via regulador linear quadrático (com  = 1, 10-1, 10-3 e

10-9). Plote i[C(sI-A)-1H] nos 4 casos, para s = j e 10-2   103 juntamente com a

malha objetivo num mesmo gráfico.

e) Calcule os pólos de malha aberta do sitema aumentado. Calcule também os zeros do compensador (nos 4 casos). Desenhe todos os pólos e zeros anteriores num mesmo gráfico.

f) Calcule os pólos de malha fechada (nos 4 casos) e localize-os no plano complexo. g) Apenas para  = 10-9, plote os valores singulares da F.T. de malha fechada G(s)K(s)[I+G(s)K(s)] para s = j e 10-2  103.

Resolução: a) Para assegurar erro estacionário nulo para entrada degrau, o sistema deve

ser aumentado da seguinte forma:















p p

A

B

A

0

_;

_













0 I

B

_e

_C





₀

_C

_p



(9)

















847 .

1

597 .

0 9098

.

0 0755

.

0

169 .

1

488 .

3 3839

.

4 00655

.

0

0 A

;















0

1

0

1 B

e















1

0

1

0

0 C

b) Os valores singulares do sistema aumentado, i[C(sI-A)-1B], são obtidos utilizando

a função sigma do MatLab. A figura abaixo mostra o resultado:

Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 Sistema Fig. 3.1

c) Os valores singulares da malha objetivo, i[C(sI-A)-1H], são mostrados na figura 3.2.

Note que os valores singulares são próximos, característico da malha objetivo projetada anteriormente. Na figura 3.3 são mostrado os valores singulares do sistema aumentado e da malha objetivo. O objetivo do projeto do regulador (recuperação) é aproximar a curva do sistema aumentado da curva da malha objetivo.

Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 G e Malha objetivo Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 G e Malha objetivo Fig 3.2 Fig 3.3

(10)

c) Para projetar o regulador foram seguidos os seguintes passos (para os casos em que

 = 1, 0.1 e 0.001):

 determinar as matrizes Ar, Br, Cr utilizadas na função are(). De acordo com a equação de Ricatti abaixo:

0 = -KA – A’K – C’C + (1/)KBB’K as matrizes são: Ar = A, Br = (1/)*B*B’ e Cr=C’*C.

 E, resolvendo a Ricatti, o ganho G do regulador é dado por: G = (1/)*B’*K

 a dinâmica do controlador K é dada por:

K(s) = G(Is-A+BG+HC)-1H.

 calculando G(s)K(s), plota-se os valores singulares.

Os valores singulares do sistema aumentado com o compensador projetado para  = 1,  = 0,1 e  = 0,001 são mostrados nas figuras 3.4, 3.5 e 3.6, respectivamente. Os valores singulares da malha objetivo também são mostrados.

Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -200 -150 -100 -50 0 50 GK e MO com ro=1 Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -150 -100 -50 0 GK e MO com ro=0.1

(11)

Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 GK e MO com ro=1e-3

Para  = 1e-9, foram utilizados dois procedimentos: o acima descrito e utilizando a função ltry do MatLab. Os dois métodosm apresentaram os mesmos resultados (fig. 3.7 e 3.8). Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

GK e MO com ro=1e-9 sem LTRY Singular Values

Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) 10-2 10-1 100 101 102 103 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

GK e MO com ro=1e-9 com LTRY

O programa utilizado para gerar o controlador K pelos dois procedimentos é mostrado abaixo:

%regulador com ro=1e-9 sem utilizar LTRY

ro=(1e-9); Cr=C'*C; Br=(1/ro)*B*B'; Ar=A; K=are(Ar,Br,Cr); G=(1/ro)*B'*K; A_4=A-B*G-H*C; sysK4 = ss(A_4,H,G,D); sysGK4 = series(sysK4,sysG);

%valores singulares de GK e MO num mesmo gráfico

figure;grid;sigma(sysGK4,sysMO,w); title('GK e MO com ro=1e-9 sem LTRY');

%regulador com ro=1e-9 utilizando LTRY

figure; q=[0];

(12)

[Af,Bf,Cf,Df,svl]=ltry(A,B,C,D,H,Cr,[ro 0;0 ro],q,w); hold on;

sigma(sysMO,w);

e) Determinação dos pólos da malha aberta (sistema aumentado) e zeros dos compensadores para  = 1, 0,1, 1e-3 e 1e-9 .

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

zeros com  = 1 (cyan): -2.4605 -2.9246 zeros com  = 0,1 (vermelho): -3.0805

-2.3768 zeros com  = 1e-3 (verde): -3.2646

-2.4533

zeros com  = 1e-9 (magenta): -3.2247 + 0.7863i -3.2247 - 0.7863i

pólos(azul): -2.6675 + 0.1571i -2.6675 - 0.1571i

0 0

f) Os pólos e zeros de malha fechada foram determinados para os 4 casos e são mostrados nas figuras abaixo:

(13)

 Para  = 1 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Real Axis Im a g A x is

pó los e zeros da MF com ro=1

 Para  = 0.1 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Real Axis Im a g A x is

pó los e zeros da MF com ro=0.1

 Para  = 0.001 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Real Axis Im a g A x is

(14)

 Para  = 1e-9 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 -300 -200 -100 0 100 200 300 Real Axis Im a g A x is

pó los e zeros da MF com ro=1e-9 sem LTRY

Nota-se que os pólos tendem a cancelar os zeros e deslocar para a esquerda do plano complexo.

g) Na figura abaixo são mostrados os valores singulares do sistema em malha fechada para  = 1e-9. Nota-se que os valores estam próximos e apresentam uma curva sem amplificação em baixas frequências e decaimento dentro do esperado em altas frequências. Frequency (rad/sec) S in g u la r V a lu e s ( d B ) Singular Values 10-2 10-1 100 101 102 103 -100 -80 -60 -40 -20 0