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Derivada: Introdução
Equação da reta
Observe que para o ponto (x,y) pertencer à reta, o ângulo deve satisfazer à condição:
tg = 0
0
y y x x
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Usaremos a equação na forma: y – yo = a(x – xo) , que é o mesmo que:
y – f(xo) = a(x – xo) , onde a é o coeficiente angular da reta
(a = tg = ) .
2) Reta tangente ao gráfico de uma função
Seja f(x) uma função definida em (a,b) e contínua em xo (a,b):
00 y y x x
Reta tangente
Reta secante ao gráfico de uma função
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Podemos calcular o coeficiente angular da reta secante (as) ao gráfico de f, passando pelo ponto P(xo,yo) e pelo ponto Q(x,y):
as = tg = 0 0 f(x) f(x )
x x
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at = , se esse limite existe e é finito; ou seja:
ou ainda: , onde x = x – xo
Definição:
Seja f(x) uma função definida num intervalo (a,b) e contínua em xo (a,b). Chamamos reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto P(xo,f(xo)), a reta que passa por P e satisfaz a uma das condições dadas a seguir:
s
Qlim aP 0
0 t
x x
0 f(x) f(x ) a lim x x 0 0 t x 0
f(x x) f(x ) a lim x
(i) possui coeficiente angular,
se esse limite existe e é finito;
(ii) possui equação x = xo (reta vertical) se
é infinito. 0 0
t x 0
f(x x) f(x )
a lim
x
0 0
x 0
f(x x) f(x )
lim
x
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Seja f(x) = x2 – 1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em cada item a seguir:
a) xo = 1
b) xo = 0
Exemplos
Considere agora a função horária do deslocamento de uma partícula em movimento uniformemente variado (M.U.V. – aceleração constante):
onde So é a posição inicial, Vo é a velocidade inicial e a, a aceleração.
2 0 0
at
S(t) S V t
2
Vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função horária para um instante qualquer, t = to.
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t t t t t
0 0
2 2
0 0 0
0 0 0
t t t t
0 0
0 0 0 0
t t
at
at
S
V t
S
V t
2
2
S(t) S(t )
a
lim
lim
t t
t t
a
a
(t t ) V
(t t )
V (t t )
(t
t )
2
2
lim
lim
t t
t t
a
lim V
(t t )
V
at
2
Que é a equação conhecida (V = Vo + at) da velocidade instantânea da partícula no instante to, ou seja, a inclinação da tangente ao gráfico de S(t) no ponto t = to é a velocidade instantânea desta partícula neste instante.
Este limite aparece em vários outros ramos da Matemática e da Física e, devido à sua grande importância, daremos o nome de DERIVADA da função f no ponto x = xo, quando esse limite existir e for finito.
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Denotaremos por:
f '(xo) ou entre outras notações.
Então: , se esse limite existe e é finito.
Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de uma função f, no ponto (xo,f(xo)) é da forma:
t: y – f(xo) = f '(xo)(x – xo).
Obs: a razão é chamada
razão incremental.
0
0
0 x x
0 f(x) f(x ) f '(x ) lim
x x
0 0
f(x) f(x ) f(x x) f(x) ou
x x x
0
dy
(x x ) dx
Quando a informação sobre o problema vem de dados discretos (que não são contínuos e não formam uma vizinhança) ainda é possível aproximar um valor para a derivada
Existem diversas aproximações possíveis. A linear (utilizando a reta secante) é
uma das mais conhecidas e utilizadas em problemas reais ou simulações
Exemplo
Um ciclista realizou uma viagem entre duas cidades que distam 40km uma
da outra. A tabela abaixo mostra os instantes que o ciclista passou pelas marcações da estrada.
A partir dos dados, calcule um valor aproximado para a velocidade média
e para a velocidade instantânea em alguns pontos.
Derivada Discreta
(aprox. linear)
t (s) 0,72 1 1,34 2,02 2,36 3 3,14 3,34
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3) Reta Normal ao gráfico de uma função
A reta normal ao gráfico de uma função f(x), definida no intervalo (a,b) e contínua em xo (a,b) é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de f neste ponto e que passa no mesmo ponto (xo,f(xo)). Então, lembrando a relação entre os coeficientes angulares de retas paralelas e perpendiculares, temos:
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s r
s r
a a , quando r // s 1
a ,quando r s
a
Assim, a equação da reta normal ao gráfico de f, no ponto (xo,f(xo)) é da forma:
n: 0 0
0
1
y
f(x )
(x
x )
f '(x )
Equação da reta normal
Calcule a derivada no ponto x = xo das funções a seguir:
a) f(x) = 3x – 5 (xo = 2) b) f(x) = x2– 2x (x
o = 0)
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4) Função Derivada
Considere, por exemplo, a função f(x) = x2 – 2x. Podemos calcular sua derivada em xo = 1:
Se substituirmos na sentença acima, 1, por a obtemos:
2 2 2
x 1 x 1 x 1
x 2x (1 2.1) x 2x 1
f '(1) lim lim lim(x 1) 0
x 1 x 1
Função Derivada
2 2 2 2
x a x a
x a
x 2x (a 2.a) x a 2(x a)
f '(a) lim lim
x a x a
(x a) 2
lim(x a) 2a 2
x a
A função de a, f '(a) = 2a – 2 , ou f '(x) = 2x – 2 é chamada função derivada de f.
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Ex: Calcular a função derivada de f(x) = ex .
4.1) Derivadas laterais
Considere o limite da razão incremental:
Se este limite só existe quando x xo+, dizemos que f é derivável à direita de xo e escreveremos:
0
0 x x
0
f(x) f(x ) lim x x 0 0 0 x x 0
f(x) f(x )
f '(x )
lim
x
x
Derivadas laterais
0 0 0 x x 0f(x) f(x ) f '(x ) lim
x x
A função f é derivável em xo quando as derivadas laterais existem e são iguais
(f+'(xo) = f–'(xo) = f '(xo)).
Ex: Calcule as derivadas laterais de f(x) = |x|, no ponto xo = 0. (Conclua sobre a derivabilidade da função y = |x| ).
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Teorema
Se uma função f: I IR é derivável em xo I, então f é contínua em xo
A condição de derivável é “mais forte” que a condição de
contínua, “exige” mais da função
D]
Sendo f derivável em 𝑥0, existe 𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0 . Assim:
𝑥→𝑥0lim( 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 ) = lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥0𝑥−𝑥0 𝑥 − 𝑥0 = = lim𝑥→𝑥0 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0 ∙ lim𝑥→𝑥0( 𝑥 − 𝑥0) = lim𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0 ∙ 0 = 0
Com lim
𝑥→𝑥0( 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 ) = 0 ⇒ lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 − lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥0 = 0 ⇒ lim𝑥→𝑥0𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0