Introdução à holografia digital da transformada de Fourier

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE FÍSICA

BACHARELADO EM FÍSICA

INTRODUÇÃO À HOLOGRAFIA DIGITAL DA TRANSFORMADA DE FOURIER

MARIO CESAR XAVIER FLORES

NITERÓI 2019

INTRODUÇÃO À HOLOGRAFIA DIGITAL DA TRANSFORMADA DE FOURIER

Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Física - Bacharelado da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Bacharel.

Orientador: Professor Doutor Paulo Acioly Marques dos Santos

Niterói 2019

DEDICATÓRIA

Dedico esta monografia à minha esposa, Cristine Monteiro Flores

AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha esposa pela paciência e compreensão ao longo de todo o curso.

Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Paulo Acioly Marques dos Santos pelo compartilhamento de seu conhecimento.

RESUMO

Este trabalho descreve a técnica de holografia digital pela transformada de Fourier e sugere pelo menos duas possíveis aplicações. A técnica de holografia clássica e a história do desenvolvimento da holografia são apresentadas sucintamente. São então descritas as técnicas de holografia digital para gravação do holograma com uso de sensor CCD e para reconstrução numérica da imagem pela transformada de Fourier. São ainda ilustradas possíveis aplicações da holografia digital na obtenção de padrões de moiré e na interferometria holográfica de dupla exposição, que podem ser usadas para determinação do perfil de um objeto ou na medição de deformação. Os processos de gravação de hologramas e reconstrução numérica de imagens foram realizados em uma montagem típica, com uso de laser de He-Ne, sensor CCD e computador. Para ilustrar as aplicações com padrões de moiré e interferometria dupla, dois hologramas do mesmo objeto em condições distintas foram combinados para formação da imagem. As imagens dos hologramas obtidos nos experimentos demonstram as possibilidades de uso da holografia digital tanto para análise científica quanto para aplicação tecnológica.

ABSTRACT

This work describes the technique of digital holography by the Fourier transform and suggests at least two possible applications. The classical holographic technique and the history of the development of holography are briefly presented. The techniques of digital holography for recording the hologram with the use of a CCD sensor and for numerical reconstruction of the image by the Fourier transform are described. Possible applications of digital holography in obtaining moiré patterns and double exposure holographic interferometry, which can be used to determine the profile of an object or to measure deformation, are also presented. The processes of recording holograms and numerical reconstruction of images were performed in a typical assembly using He-Ne laser, CCD sensor and computer. To illustrate the applications with moiré patterns and double interferometry, two holograms of the same object under different conditions were combined for image formation. The images of the holograms obtained in the experiments demonstrate the possibilities of using digital holography for both scientific analysis and technological application.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 10

2. HOLOGRAFIA DIGITAL ... 12

3. MONTAGEM EXPERIMENTAL ... 16

4. TESTE DA MONTAGEM E POSSÍVEIS APLICAÇÕES ...19

5. RESULTADOS ... 20

6. CONCLUSÃO ... 24

Denis Gabor propôs uma técnica de reconstrução de ondas em 1948 como um método para gravação e reconstrução da amplitude e fase da onda eletromagnética [1]. O termo holografia foi proposto mais tarde, com a fusão das palavras gregas “holos” (todo, inteiro) e “graphos” (sinal, escrita).

Holograma é o registro óptico, por fotografia ou outro meio, do padrão de interferência entre uma onda refletida por um objeto e uma onda de referência de mesma frequência [2]. A informação é codificada na forma de interferência luminosa entre essas ondas. A imagem do objeto pode ser reconstruída pela iluminação do holograma pela onda de referência, de forma que o observador vê a imagem tridimensional do objeto.

O padrão de interferência decorre da natureza ondulatória da luz. Como a onda refletida pelo objeto e a onda de referência tem a mesma frequência, os caminhos óticos percorridos por cada uma fazem com que elas, nos casos extremos, se somem nos pontos em que duas cristas de ondas atingem o holograma (interferência construtiva) ou se anulem nos pontos em que a crista de uma e o vale de outra atingem o holograma (interferência destrutiva). O holograma é constituído, portanto, de pontos claros e escuros. A figura 1 ilustra uma imagem gerada por um holograma iluminado por um feixe de luz idêntico ao feixe de referência.

Figura 1 - Imagem gerada por um holograma clássico.

No método original de Gabor, os feixes da onda de referência e do objeto ficavam alinhados, em um eixo normal ao plano do filme fotográfico na chamada configuração em linha ("on axis"). As imagens reconstruídas por esse método apresentavam superposição com

o feixe de reconstrução, com baixa qualidade na imagem do objeto, fazendo com que pesquisadores abandonassem a holografia no final da década de 1950.

No começo dos anos 1960, Leith e Upatnieks desenvolveram uma nova configuração, na qual o feixe de referência e o feixe objeto tinham direções diferentes. Essa configuração foi chamada de fora de linha (“off-axis”). No entanto, devido à pouca intensidade e à coerência limitada da sua fonte de luz, uma lâmpada de descarga de mercúrio, a imagem ainda tinha baixa qualidade. Com o advento do laser (“Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation”) na década de 1960, a holografia ganhou novo impulso. Em 1964, o laser gasoso de He-Ne, emitindo no vermelho, foi acoplado à configuração “off-axis”, produzindo imagens de qualidade muito superior às anteriores. Esse resultado é obtido porque o laser é uma fonte de luz com intensidade e propriedades de coerência muito superior à fonte de luz convencional.

A Figura 2 apresenta esquematicamente uma montagem usual para a chamada holografia clássica. Um feixe coerente é dividido em dois por um divisor (“beam spliter”). Um feixe ilumina o objeto e é refletido para o meio de gravação. O feixe de referência incide diretamente sobre o meio de gravação. O padrão de interferência gravado é o holograma.

Figura 2 - Esquema de gravação de holograma

A Figura 3 apresenta a montagem para reconstrução da imagem. O holograma é iluminado pelo feixe de referência, gerando uma imagem virtual para o observador.

Divisor BS1 Holograma Espelho M1 Espelho M2 Espelho M3 Laser Lente L1 Lente L2 Objeto

Figura 3- Esquema de reconstrução de holograma.

A reconstrução numérica de hologramas foi iniciada por Yaroslavskii e outros [3] no início dos anos 1970 ainda com hologramas sintetizados por computador. Um grande passo foi a gravação de hologramas utilizando o sensor CCD (“charge coupled device”) como meio holográfico por Schnars and Jüpner [4]. Esse método permite a gravação digital e a reprodução numérica do holograma sem uso de filme fotográfico, simplificando muito o processo de reprodução da imagem e introduzindo novas potencialidades às técnicas holográficas.

Desde os anos 1990, diversas aplicações da holografia digital vêm sendo desenvolvidas, incluindo a medição de deformação e perfis de objetos. Atualmente os métodos de holografia são aplicados em nosso cotidiano. A holografia em geral está presente em hologramas de reflexão impressos em cartão de crédito, detecção de distorções micrométricas em objetos sujeitos a tensões ou aquecimento, inspeções de rotina em motores e redução de ruídos nos sistemas de transmissão em automóveis.

2. HOLOGRAFIA DIGITAL

A holografia clássica, com uso de laser e filme fotográfico de alta resolução, permite a geração de hologramas e imagens de alta qualidade. No entanto, o processo de geração do holograma requer tempo e esforço consideráveis, em geral num processo químico-fotográfico. Por outro lado, a holografia digital, com uso de laser, CCD e computador, torna o processo de gravação de hologramas simples e rápido. A reconstrução numérica gera imagens

Divisor BS1 Holograma Observador Imagem virtual Espelho M2 Lente L1

digitalizadas no computador, que podem ser processadas de diversas formas, para gerar os resultados desejados. Dessa forma, a holografia digital abre espaço para diversas aplicações, que seriam difíceis de viabilizar na holografia clássica.

O esquema usual para gravação na holografia digital é semelhante ao esquema da figura 2, com uma câmera CCD no lugar do filme fotográfico, como ilustrado na figura 4. O holograma resultante é gravado eletronicamente.

Figura 4 - Gravação de imagem na holografia digital.

Na reconstrução, a imagem virtual aparece na posição original do objeto e uma imagem real é formada na mesma distância, mas no lado oposto do holograma, como ilustrado na figura 5.

Figura 5 - Reconstrução de imagem holográfica digital.

A reconstrução numérica da imagem a partir de um holograma digital é realizada por uma transformada de Fourier. Para chegar à expressão usada nessa reconstrução, partimos integral de Fresnel-Kirchhoff, apresentada a seguir, que descreve a difração de uma onda de luz por uma abertura em um plano perpendicular ao feixe incidente.

CCD Feixe de referência d Holograma Feixe de referência d Imagem

virtual Imagem _real

d Holograma

𝐻(𝜉, 𝜂) = 𝑖 𝜆 ℎ(𝑥, 𝑦)𝑅(𝑥, 𝑦) exp −𝑖2𝜋_𝜆 𝜌 𝜌 1 2+ 1 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 (1) Onde 𝜌 = (𝑥 − 𝜉) + (𝑦 − 𝜂) + 𝑑 (2) Na reconstrução numérica, no lugar da abertura temos o holograma.

A figura 6 ilustra os planos do holograma e da imagem reconstruída, onde a função h(x,y), chamada função holograma, representa a amplitude no plano do holograma. A distância ρ é a distância entre um ponto no plano do holograma e o ponto correspondente no plano da imagem. A função 𝐻(𝜉, 𝜂) representa a amplitude no plano da imagem.

O ângulo θ é formado entre a reta ρ e o eixo z. A expressão + cosθ é conhecida como fator de obliquidade. R(x,y) é a função da amplitude do feixe de referência no plano xy e λ é o comprimento de onda usado.

Figura 6 - Sistema de coordenadas para reconstrução numérica na holografia digital.

Na montagem usual de holografia, podem ser feitas aproximações que simplificam a integral de Fresnel-Kirchhoff. Os planos da figura 6 são pequenos comparados com a distância entre eles, de forma que o ângulo θ é pequeno e o fator de obliquidade é aproximadamente 1. Além disso, a expressão da distância ρ pode ser substituída pelos primeiros termos da série de Taylor:

𝜌 ≅ 𝑑 +(𝜉 − 𝑥) 2𝑑 + (𝜂 − 𝑦) 2𝑑 (3)

.

.

Com essas simplificações, chegamos à “aproximação de Fresnel”, apresentada abaixo, que permite a reconstrução do holograma no plano da imagem.

𝐻(𝜉, 𝜂) = exp −𝑖 𝑑 exp −𝑖 (𝜉 + 𝜂 ) 𝑅(𝑥, 𝑦)ℎ(𝑥, 𝑦) exp −𝑖 (𝑥 +

+𝑦 ) exp 𝑖 (𝜉𝑥 + 𝜂𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 (4) A intensidade da luz é calculada elevando-se o módulo dessa expressão ao quadrado:

𝐼(𝜉, 𝜂) = |𝐻(𝜉, 𝜂)| (5) A fase é o arco cuja tangente é a razão entre a parte real e a parte imaginária de (4).

𝜑(𝜉, 𝜂) = arctan 𝐼𝑚[𝐻(𝜉, 𝜂)]

𝑅𝑒[𝐻(𝜉, 𝜂)] (6) O termo exp −𝑖 (𝑥 + 𝑦 ) da expressão (4) pode ser eliminado pelo uso de uma lente numérica, que gera uma onda de referência esférica com a mesma curvatura média do plano do objeto. Com a inserção dessa lente numérica, a onda de referência passa então a ter a seguinte amplitude:

𝑅(𝑥, 𝑦) = 𝑅 exp 𝑖 (𝑥 + 𝑦 ) , onde R é uma constante.

Além disso, o termo constante exp [−𝑖 𝑑] da expressão (4) pode ser desconsiderado. A expressão (4) torna-se então:

𝐻(𝜉, 𝜂) =𝑖|𝑅| 𝜆𝑑 exp −𝑖 𝜋 𝜆𝑑(𝜉 + 𝜂 ) ℎ(𝑥, 𝑦) exp 𝑖 2𝜋 𝜆𝑑(𝜉𝑥 + 𝜂𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 (7) Essa expressão corresponde a uma transformada de Fourier inversa [5] da função h(x,y). O cálculo para reconstrução da imagem pode então ser realizado por uma transformada rápida de Fourier (FFT). Essa é a base da holografia digital da transformada de Fourier. A exponencial fora da integral pode ser desconsiderada porque a intensidade, conforme a expressão (5), é o quadrado do módulo da amplitude.

numericamente pela expressão: 𝐻(𝑚, 𝑛) = 𝑖 𝜆𝑧|𝑅| ℎ(𝑘, 𝑙) exp −𝑖2𝜋 𝑘𝑚 𝑁 + 𝑙𝑛 𝑁 (8) onde m e n são os índices de cada pixel da imagem discretizada.

Exemplificando, a figura 7 apresenta o holograma digital de um pequeno dado e sua reconstituição pela operação de FFT do aplicativo ImageJ. Pode-se notar no holograma os pontos claros e escuros resultantes da interferência da onda refletida pelo objeto com o feixe de referência. A reconstrução numérica gera duas imagens do mesmo objeto correspondendo a natureza típica da transformação de Fourier, que desta forma apresenta duas imagens, uma simétrica e a outra antissimétrica.

Figura 7 - Holograma gerado e as imagens do objeto reconstruídas numericamente.

3. MONTAGEM EXPERIMENTAL

Para execução dos experimentos, foi usada uma montagem clássica para holografia digital pela transformada de Fourier, ilustrada na figura 8, onde o feixe de referência incidente na câmera e a onda difratada pelo objeto estão alinhados. O espelho M3 dispunha de um mecanismo de ajuste angular. As figuras 9 e 10 apresentam fotos dessa montagem.

Nessa montagem, a necessidade de um plano contendo tanto o objeto como a fonte do feixe de referência à mesma distância da câmera, como consta da montagem ilustrada na figura 2, é substituída por uma luz de referência virtual originada da lente L1, que expande o feixe.

As imagens digitalizadas foram gravadas em um computador, para sua reconstrução numérica. O processamento foi realizado por meio do aplicativo de processamento de imagens ImageJ.

Figura 8 - Esquema da montagem experimental.

Figura 9 - Fotografia mostrando detalhes da montagem experimental. M2 BS1 L1 M1 CCD BS2 M3 L2 Objeto Divisor BS1 Espelho M1 Espelho M3 Laser CCD Divisor BS2 Espelho M2 Objeto Lente L1 Lente L2

Figura 10 – Fotografia da montagem experimental com computador.

Os principais componentes utilizados foram um laser de He-Ne de 6mW com =0,633m, espelhos, lentes objetivas expansoras, divisores de feixe (“beam spliter”) e um sensor CCD (ver figura 8).

Como objetos, foram usados um dado, uma placa metálica lisa, uma placa metálica com um semicilindro incrustrado e uma placa metálica deformável.

Figura 11 - Fotografias da placa com semicilindro e da placa metálica deformável

A montagem e os experimentos foram realizados no Laboratório de Holografia e Óptica Aplicada do Instituto de Física da Universidade Federal Fluminense, em Niterói-RJ.

4. TESTE DA MONTAGEM E POSSÍVEIS APLICAÇÕES

Foram realizados experimentos de gravação e reconstrução de imagens holográficas digitais pela técnica de holografia digital da transformada de Fourier, usando a montagem experimental descrita. Para ilustrar o processo, foram realizados experimentos com um pequeno dado como objeto. A figura 7 apresenta um dos hologramas gerados nos experimentos e sua imagem reconstituída. Foram gerados outros hologramas, com o objeto em posições diferentes, com resultados semelhantes.

Os resultados obtidos mostram a versatilidade do método. Feita a montagem do equipamento, podemos gerar com facilidade vários hologramas modificando-se a posição do objeto ou o próprio objeto. A gravação dos hologramas no computador foi realizada com uso do aplicativo de domínio público ImageJ [7].

Uma vez gravados os hologramas no computador, os arquivos com os dados digitalizados são transferidos para o aplicativo de processamento de imagens e reconstruídos pela transformada rápida de Fourier para obtenção das imagens holográficas do objeto.

Como ilustração de possíveis aplicações interessantes da holografia digital da transformada de Fourier, apresentamos a obtenção de padrões de moiré para determinação do perfil de um objeto [8] e a interferometria de dupla exposição para determinação da deformação de um objeto [9].

Padrões de moiré são imagens geradas por estruturas periódicas superpostas em posições diferentes, resultando na formação de franjas claras e escuras, denominadas franjas de moiré. A figura 12 ilustra essas franjas formadas por estruturas periódicas distintas. Quando essa superposição forma um ângulo pequeno, um pequeno deslocamento entre as duas estruturas provoca um grande deslocamento nas franjas de moiré. Dessa forma, os padrões de moiré podem ser usados na amplificação do movimento relativo das estruturas. As franjas de moiré são úteis, portanto, na medição de deformações e relevos de objetos.

Figura 12: Franjas de moiré geradas por estruturas periódicas superpostas

5. RESULTADOS

Inicialmente foram obtidas franjas de moiré usando a placa metálica lisa como objeto. Para começar, foi gravado um holograma de referência. Em seguida, o espelho M3 da figura 8 foi girado levemente em relação ao seu eixo vertical. Dessa forma a onda de luz refletida pelo objeto sofreu uma pequena variação. Foi então gerado um holograma adicional. Esse processo foi repetido algumas vezes, sempre aumentando ligeiramente o ângulo do espelho, para gerar novos hologramas. Os dados digitalizados de cada holograma foram gravados no computador. Usando o aplicativo de processamento de imagens, os dados de cada holograma adicional foram subtraídos dos dados do holograma de referência. Essa operação gera um novo holograma, que contém a sobreposição dos dois hologramas originais. Assim, dispondo-se de, por exemplo, um holograma de referência e três hologramas adicionais, obtemos três hologramas com padrões de moiré. A figura 13 apresenta um desses hologramas. Como se poderia esperar, esse holograma tem mais pontos claros que escuros, uma vez que representa a diferença entre os dois hologramas originais.

Figura 13 - Holograma diferença que gera o padrão de moiré após a transformação de Fourier. A reconstrução numérica é feita pela transformada de Fourier dos hologramas com padrões de moiré, resultantes da diferença entre cada holograma e o holograma de referência, em sequência, variando-se o ângulo θ de incidência do feixe de referência. A figura 14 mostra as imagens dos padrões de moiré obtidos dessa forma nos experimentos. Pode-se notar que as franjas se tornavam mais estreitas à medida que o ângulo do espelho M3 aumentava.

Figura 14 - Franjas de moiré obtidas com variações no ângulo do espelho (θ3 > θ2 > θ1). θ1

θ2

simples e eficiente. A variação do ângulo do espelho M3 (ver figura 8) determina a espessura e a periodicidade das franjas. A reconstrução da imagem é realizada pela transformada de Fourier do holograma obtido pela sobreposição de dois hologramas gravados com diferentes ângulos do espelho. Naturalmente o ângulo do espelho pode ser controlado, de forma a se gerar padrões precisos e adequados a cada aplicação.

Esse procedimento pode ser usado em um objeto com relevo, como a placa metálica com semicilindro incrustrado. As imagens geradas com padrões de moiré podem então ser processadas para obtenção do perfil do objeto [10] revelando detalhes de sua topografia. A figura 15 ilustra alguns padrões de moiré obtidos, variando-se o ângulo do espelho M3 (ver figura 8).

Figura 15 - Franjas de moiré sobre a superfície do semicilindro metálico ilustrado na figura 11 (θ3 > θ2 > θ1).

θ1

θ2

Na interferometria de dupla exposição é gerado um holograma de referência do objeto sem deformação. Em seguida são introduzidas deformações no objeto e gravados os hologramas gerados em cada situação. Da mesma forma que nos padrões de moiré, os dados de cada holograma adicional foram subtraídos dos dados do holograma de referência com uso do aplicativo de processamento de imagens. Essa operação gera um novo holograma, que contém a sobreposição dos hologramas originais.

A reconstrução numérica é feita pela transformada de Fourier dos hologramas resultantes da diferença entre cada holograma e o holograma de referência. A figura 16 mostra as imagens obtidas dessa forma nos experimentos. Essas imagens podem então ser processadas para análise da deformação D do objeto [11]. Pode-se notar a variação nos padrões gerados, à medida que a deformação aumentava.

Figura 16: Padrões gerados na deformação de uma placa metálica com espelho fixo (D3 >D2 >D1)

D1

D2

Neste trabalho estudamos e analisamos o método de holografia digital da transformada de Fourier. Uma vez definida a montagem experimental adequada, os hologramas digitais foram gerados com eficiência e gravados no computador. As imagens, por serem de natureza digital, podem ser processadas matematicamente abrindo possibilidade para diversas aplicações e novos processos de testes não destrutivos.

Os experimentos de obtenção de padrões de moiré e interferometria de dupla exposição ilustram duas possíveis aplicações da técnica de holografia digital da transformada de Fourier respectivamente para determinação do perfil e para análise de deformação de um objeto. O trabalho teve como objetivo estudar e entender esta técnica holográfica que representa o estado de arte da holografia na atualidade, com grande diversidade de aplicações científicas e tecnológicas na atualidade, o que pode ser verificado pelo grande número de artigos científicos e tecnológicos publicados nos principais jornais e revistas científicas especializadas. Apresentamos o método da holografia digital da transformada de Fourier e ilustramos duas possíveis aplicações, acreditando ter atingido satisfatoriamente o objetivo deste trabalho de fim de curso de bacharelado em Física.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Schnars, U. and Jueptner, W P.O. 2002. “Digital recording and numerical reconstruction of holograms”. Measurement Science and Technology 13, R85–R101.

[2] Schnars, U. and Jueptner, W P.O. “Digital Holography.” Springer 2005.

[3] Yaroslavskii, I.P. and Merzlyakov, N.S. “Method of digital holography.” New York: Consultants Bureau, Chap.1 (1980), p.9-15.

[4] Schnars, U. and Jueptner, W.P.O. 1994. “Direct recording of holograms by a CCD target and numerical reconstruction.” Applied Optics. Vol.33, No 2.

[5] Hecht, Eugene. “Optics”. Addison Wesley, 4th edition.

[6] Xu, Lei et al. “Imaging analysis of digital holography.” Optics Express, Vol.13, No.7 (2005), p 2444-2452.

[7] National Institutes of Health. Disponível em https://imagej.nih.gov/ij/. Acessado em abril de 2019.

[8] Oliveira, G.N., Oliveira, M.E., Rocha Freire Jr, R.B. e Santos, P.A.M. “Digital

holographic moiré-like patterns and an application to Fourier transform profilometry. Optics Communicatios 354 (2015), p 84-88.

[9] G.N. Oliveira, D.M.C. Rodrigues, L.C.S. Nunes, P.A.M. dos Santos, “Digital Fourier Transform Holography applied to investigate mechanical deformation in polymers”. Optics and Laser in Engineering 50 (2012) 1798-1803

[10] Wang, W.H.; Wong, Y.S.; Hong, G.S. “3D measurement of crater wear by phase shifting method.” Wear 261 (2006), p.164-171.

[11] Takeda, M.; Ina, H.; Kobayashi, S. “Fourier-transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry.” Optical Society of America, Vol.72,