Funções de Várias Variáveis
Versão preliminar e não necessariamente corrigidaIgor Leite Freire
19 de abril de 2020
Sumário
1 Polinômio de Taylor 3
Índice Remissivo 10
Lista de Figuras
1.1 Superposição dos gráficos da função f (x, y) = ex+y2(em laranja) e seus respec-tivos polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem (em azul e verde, respectivamente). . . 6
1 Polinômio de Taylor
Seja f : D → R uma função diferenciável, v = (v1, v2) um vetor e γ(t) = x0+ tv, em que
x0 = (a, b). Como f e γ são funções diferenciáveis, então a função composta g(t) = f (γ(t)), também é diferenciável.
Note que a função g é uma função real e, portanto, podemos escrever
g(t) = g(0) + g0(0)t + r(t2). (1.1) Por outro lado, temos que g0(0) = dtd f ((γ(t))) = ∇f (γ(0)) · γ0(0) = fx(x0, y0)v1+ fy(x0, y0)v2. Como g(t) = f (γ(t)) = f (x0+ tv) = f (a + tv1, b + tv2), então g(0) = f (a, b) e, então, se negligen-ciarmos termos quadráticos (a parte r(t2) em (1.1)), temos uma aproximação para a função
f , em torno do ponto x0= (a, b): f (a + tv1, b + tv2) ≈ f (a, b) + fx(x0, y0)v1+ fy(x0, y0)v2. Fazendo t = 1, obtemos: f (a + v1, b + v2) ≈ f (a, b) + ∂f ∂x(x0)v1+ ∂f ∂y(x0)v2. (1.2)
Polinômio de Taylor de 1ª ordem
O polinômio de 1º grau em (u, v), p1(u, v) = f (a, b) + fx(a, b)u + fy(a, b)v, é chamado
polinômio de Taylor de 1ª ordem da função f no ponto (a, b).
Muitas vezes estamos interessados em aproximações com termos de ordem quadrática. Supondo que as derivadas segundas de f existam, podemos definir a seguinte matriz:
Matriz Hessiana
A matriz Hessiana de uma função f , no ponto x0, denotada por Hf(x0), é definida por
Hf(x0) = fxx(x0) fxy(x0) fyx(x0) fyy(x0) . 3
CAPÍTULO 1. POLINÔMIO DE TAYLOR 4
Supondo que as derivadas segundas de f sejam contínuas (e neste caso dizemos que f é uma função de classe C2), então fxy(x0) = fyx(x0), o que implica que a matriz Hessiana de
f no ponto x0 é simétrica. Neste caso, podemos aproximar a função f , em torno do ponto
x0= (a, b), por um polinômio quadrático, dado pela seguinte expressão
f (a + v1, b + v2) ≈ Ordem 1 z }| { f (a, b) |{z} Ordem 0 +fx(x0) fy(x0) v1 v2 + 1 2 v1 v2 fxx(x0) fxy(x0) fyx(x0) fyy(x0) v1 v2 . (1.3)
Neste caso, precisamos que f seja uma função possuindo derivadas segundas e que estas sejam contínuas. Se esta condição é satisfeita, a expressão (1.3) é equivalente a
f (a + v1, b + v2) ≈ Ordem 1 z }| { f (a, b) |{z} Ordem 0 +∂f ∂x(a, b)v1+ ∂f ∂y(a, b)v2 + 1 2 fxx(a, b)v12+ fyy(a, b)v22 + fxy(a, b)v1v2. (1.4)
Polinômio de Taylor de 2ª ordem
O polinômio de 2ª grau em (u, v),
p2(u, v) = p1(u, v) + 1 2
fxx(a, b)u2+ fyy(a, b)v2
+ fxy(a, b)uv,
é chamadopolinômio de Taylor de 2ª ordem da função f no ponto (a, b).
Notemos que a aproximação de segunda ordem é bem mais precisa que aquela de pri-meira. Cabe lembrar, ainda, que temos a aproximação de ordem 0 da função, em torno do ponto x0= (a, b), por f (x0), que é uma aproximação constante. Note que há uma hierarquia entre essas aproximações, no sentido de que quanto maior ela é, tanto mais precisamente ela retrata a função f em torno do ponto x0. Observe, no entanto, que estas aproximações, por melhores que sejam, podem não ser satisfatórias. Tudo depende da precisão desejada para a descrição da função ou, dito de outra forma, qual o tamanho do erro podemos tolerar.
O exemplo abaixo ilustra os pontos mencionados.
gradi-CAPÍTULO 1. POLINÔMIO DE TAYLOR 5
ente de f ∇f (x, y) = (ex+y2, 2yex+y2)e sua respectiva matriz Hessiana, num ponto (x, y) arbitrário, são: Hf(x, y) =
ex+y2 2yex+y2
2yex+y2 (2 + 4y2)ex+y2 .
No ponto x0= (0, 0), temos, respectivamente,
f (0, 0) = 1, ∇f (0, 0) = (1, 0), Hf(0, 0) = 1 0 0 2 .
Com isso, temos as seguintes aproximações para a função f , em torno do ponto (0, 0).
Tabela 1.1: Exemplo da aproximação por polinômios de Taylor. A primeira coluna apre-senta alguns pontos e a segunda coluna a sua imagem. A terceira, quarta e quinta colunas apresentam as aproximações de Taylor de 0, 1ª e 2ª ordens.
Ponto Função Ordem 0 1ª ordem 2ª ordem
(x, y) ex+y2 1 1 + x 1 + x +x 2 2 + y 2 (0.1, 0.1) 1.11628 1 1.1 1.115 (0.15, 0.15) 1.18827 1 1.15 1.18375 (0.1, 0.2) 1.15027 1 1.1 1.45 (0.2, 0.1) 1.23368 1 1.2 1.23 (0.2, 0.2) 1.27125 1 1.2 1.26 (0.5, 0.5) 2.117 1 1.5 1.875 (1, 1) 7.3890 1 2 3.5
Da Tabela 1.2 observamos claramente os seguintes fatos:
• O erro diminui ao usarmos uma aproximação de ordem mais alta, de modo que a aproxi-mação de 2ª ordem é sempre melhor do que a de 0 e 1ª ordens. Isso significa que, para cada ponto fixado, a aproximação de ordem mais alta aumenta a precisão do resultado.
• O erro aumenta à medida que a distância do ponto em que avaliamos a função é mais distante em relação ao ponto inicial, não importando a aproximação de Taylor utilizada.
Observação:Embora a ênfase acima tenha sido para funções de apenas 2 variáveis, pode-mos aplicar as mesmas ideias para funções de mais variáveis. Supondo que f = f (x1, · · · , xn)
CAPÍTULO 1. POLINÔMIO DE TAYLOR 6
Tabela 1.2: Erro no uso da aproximação dos polinômios de Taylor. A primeira coluna elenca os pontos em que as aproximações na Tabela 1.1 foram calculadas. A segunda coluna mostra a distância do ponto à origem. As três últimas colunas medem os erros de aproximação ao se usar as aproximações de 1, 1ª e 2ª ordens, respectivamente.
Ponto Distância até (0, 0) Erro ordem 0 Erro 1ª ordem Erro 2ª ordem
(0, 0) 0 1 1 1 (0.1, 0.1) 0.141421 0.11628 0.0162781 0.00127807 (0.15, 0.15) 0.212132 0.18827 0.0382718 0.00452182 (0.1, 0.2) 0.223607 0.15027 0.0502738 0.0052738 (0.2, 0.1) 0.223607 0.23368 0.0336781 0.00367806 (0.2, 0.2) 0.282843 0.27125 0.0712492 0.0112492 (0.5, 0.5) 0.707107 1.117 0.617 0.242 (1, 1) 1.4142 6.3890 5.3890 3.8890 In[92]:= gráfico 3D Plot3D[{ número E
E^{x + y^2}, 1 + x, 1 + x + x^2 / 2 + y^2}, {x, 0, 0.8}, {y, 0, 0.8},
legenda do gráfico
PlotLegends → "Expressions",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z}] Out[92]= ⅇx+y2 1 + x 1 + x + x22+ y2 4 fvv.nb
Figura 1.1: Superposição dos gráficos da função f (x, y) = ex+y2(em laranja) e seus respectivos polinômios de Taylor de primeira e segunda ordem (em azul e verde, respectivamente).
seja uma função de n variáveis, tais que suas derivadas parciais de ordem 2 sejam contínuas, seu campo gradiente e sua matriz Hessiana no ponto x0 são, respectivamente, dados por
∇f (x0) =fx 1(x0), · · · , fxn(x0) , Hf(x0) = fx1x1(x0) · · · fx1xn(x0) .. . · · · ... fxnx1(x0) · · · fxnxn(x0). .
CAPÍTULO 1. POLINÔMIO DE TAYLOR 7
Se v = (v1, · · · , vn), podemos generalizar a expressão em (1.3) para
f (x0+ v) ≈ f (x0) + fx1(x0) · · · fxn(x0) v1 .. . vn | {z } Aproximação de 1ª ordem + 1 2 v1 · · · vn fx1x1(x0) · · · fx1xn(x0) .. . · · · ... fxnx1(x0) · · · fxnxn(x0). v1 .. . vn . (1.5)
Note que a parte quadrática (a que envolve a Hessiana) de (1.5) deve ser negligenciada caso queiramos apenas a aproximação linear da função, que se encontra destacada em (1.5).
Resumo
• Os polinômios de Taylor servem para aproximar a função por um polinômio. • Uma função n−vezes diferenciável, com derivadas de ordem n contínuas pode
ser sempre aproximada por um polinômio de grau n. • As aproximações mais usuais são as de 1ª e 2ª ordem.
• A aproximação é tanto mais precisa quanto mais próximos do ponto original estivermos.
• Aproximação de ordem 0 e aproximação constante são sinônimos.
• Aproximação de ordem 1, aproximação de 1ª ordem, aproximação tangente e aproximação linear são sinônimos.
• Aproximação de ordem 2, aproximação de 2ª ordem e aproximação quadrática são sinônimos.
Exercício Resolvido 1.1. Usemos a aproximação de Taylor de 1ª ordem para calcularmos o valor de
√
3.12+ 3.982+ 0.12.
Resolução: Note que se definirmos f (x, y, z) = px2+ y2+ z2, então √
CAPÍTULO 1. POLINÔMIO DE TAYLOR 8
nada mais é que a imagem do ponto (3.1, 3.98, 0.1) pela função f , ou seja, queremos encon-trar a aproximação de f (3.1, 3.98, 0.1). Notemos ainda que 3.1 = 3 + 0.1, 3.98 = 4 − 0.02 e 0.1 = 0+0.1. Chamemos x0= 3, y0= 4 e z0 = 0. Então, consideremos f (x0+v1, y0+v2, z0+v3). Usaremos aqui a aproximação de Taylor de 1ª ordem para uma função com três variáveis. Notemos que ∇f (x, y, z) = x px2+ y2+ z2, y px2+ y2+ z2, z px2+ y2+ z2 . Então f (3, 4, 0) = 5, ∇f (3, 4, 0) = 3 5, 4 5, 0 . Da expressão (1.5), obtemos q (3 + v1)2+ (4 + v2)2+ v23≈5 + 3 5v1+ 4 5v2. Tomando v1= 0.1, v2= −0.02 e v3 = 0.1 obtemos √ 3.12+ 3.982+ 0.12 ≈5.044. Para efeito de comparação, com 5 casas de precisão, temos
√
3.12+ 3.982= 5.04583.
Exercícios
Exercício 1.1. Encontre os polinômios de Taylor de 1ª e 2ª ordem das seguintes funções em torno do ponto P0dado:
a) f (x, y) = ln (x + y) e P0= (1/2, 1/2).
b) f (x, y) = ex+5y e P0= (0, 0).
c) f (x, y) = sin (3x + 4y) e P0= (0, 0).
d) f (x, y) = x sin y e P0= (0, 0).
Exercício 1.2. Seja f : D → R, em que D ⊆ R2 é um aberto, uma função de classe C2, isto é, possui todas as derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Sejam (x0, y0) ∈ D e v = (h, k) tal
que (x0+ h, y0+ k) ∈ D. Mostre que
f (x0+ h, y0+ k) = f (x0, y0) + ∇f (x0) · (h, k) + E(h, k),
em que
E(h, k) =1
2
fxx(x, y)h2+ 2fxy(x, y)hk + fyy(x, y)k2
CAPÍTULO 1. POLINÔMIO DE TAYLOR 9
em que (x, y) é um ponto interno ao segmento de R2com extremidades (x0, y0)e (x0+ h, y0+ k). A
função E(h, k) é o erro na aproximação de Taylor de 1ª ordem.
Sugestão: Use o fato que se g : R → R é uma função tal que g0 e g00 existem e são contínuas, então
g(1) = g(0) + g0(0) +1 2g
00
(t), t ∈ (0, 1). Exercício 1.3. Prove que se x + y > 1, então
ln (x + y )−p1(x, y) < 1 2(x + y − 1) 2 ,
em que p1(x, y) é o polinômio de Taylor de 1ª ordem de f (x, y) = ln (x + y).
Exercício 1.4. Sejam f (x, y) = ex+5y e p1(x, y) o polinômio de Taylor de 1ª ordem. Prove que se
x + 5y < 1, então f (x + y )−p1(x, y) < 3 2(x + 5y) 2 .
Exercício 1.5. Encontre a aproximação de 2ª ordem da função do Exercício Resolvido 1.1 no ponto P0= (3, 4, 0).
