Lei de Gauss. Objetivos: Calcular o Campo Elétrico para placas infinitas isolante e conjunto de placas infinitas.

Lei de Gauss

Objetivos:

●

Calcular o Campo Elétrico para placas infinitas

Sobre a Apresentação

Todas as gravuras, senão a maioria, são dos livros:

●

Sears & Zemansky, University Physics with Modern Physics – ed.

Pearson, 13

a

_edition

●

Wolfgang Bauer and Gary D. Westfall, University Physics with

Modern Physics – ed. Mc Graw Hill, Michigan State University, 1

a

edition

Placa Isolante Infinita

Determinar o campo gerado por uma placa infinita fina, feita de material isolante, com distribuição de carga uniformemente, de densidade superficial σ.

∮

_{E d ⃗A=}

⃗

q

t

ϵ

₀

q

t

=σ

A

A superfície Gaussiana empregada é

semelhante a usada no cálculo do campo produzido pela placa condutora, exceto pelo fato da superfície atravessar a placa isolante, como ilustra a figura ao lado.

Aplicando a lei de Gauss:

∫

Sd

E dA cos 0 °+

∫

Sc

E dA cos 90 °+

∫

Se

E dA cos 0°=

σ

_ϵ

A

0

onde a carga total será: portanto:

Placa Isolante Infinita

A diferença do campo de uma placa condutora infinita fica por conta do “2” que aparece multiplicando a permissividade do vácuo, para a placa isolante. Embora tenha sido desprezado, o campo dentro do material isolante não é nulo, como no metal. Mais adiante será resolvido um problema do cálculo do campo em material isolante, onde isto será abordado novamente.

E A +0+ E A=

σ

_ϵ

A

0

⇒

2 E A=

σ

A

ϵ

₀

⇒

E= σ

_2ϵ

Placas Infinitas

Conjunto de placas são muito empregadas, principalmente em em circuitos elétricos. Neste próximo problema vou determinar o campo gerado por duas placas condutoras com densidade superficial ±σ.

Isoladamente, as cargas irão se distribuir igualmente na superfície direita e esquerda das placas.

Na figura ao lado estão dispostas as duas placas condutoras com

densidades +σ e -σ, respectivamente. Por se tratar de placas condutoras infinitas, as cargas se distribuem

homogeneamente nas faces direita e esquerda das placas. Observe que representação ao lado é de placas isoladas, ou seja supondo que as cargas da placa positiva não

interagem com as cargas da placa negativa. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -σ₊ σ₊ σ_- σ

-Placas Infinitas

Em seguida considere os campos gerados por cada placa à sua direita e à sua esquerda, isoladamente:

O Campo E₊ é o campo gerado pela

placa positiva à esquerda e à direita

desta, enquanto que o campo E_- é o

campo gerado pela placa negativa à esquerda e à direita desta. Pelas

resoluções anteriores, seus valores possuem módulos iguais a:

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -+σ +σ -σ -σ E₊ E₊ E₊ E -E -E

-E

₊

=σ

_ϵ

0

E

₋

=σ

_ϵ

0

Os campos são iguais em módulo, visto que as densidades são iguais. Em seguida basta calcular o campo em cada região (I, II e III) usando a

superposição dos campos nas respectivas regiões.

Placas Infinitas

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -+σ +σ -σ -σ E₊ E₊ E₊ E -E -E

-E

_I

=−

E

₊

+

E

₋

=− σ

_ϵ

0

+ σ

ϵ

0

=0

Campo nas regiões I, II e III:

I II III

E

_II

=

E

₊

+

E

₋

= σ

_ϵ

0

+ σ

ϵ

0

=

2σ

ϵ

₀

E

_III

=

E

₊

−

E

₋

= σ

_ϵ

0

− σ

ϵ

0

=

0

Estes campos resultantes sugerem uma nova redistribuição de cargas nas placas, o que era esperado, uma vez que as cargas da placa positiva vão interagir com as cargas da placa negativa.

Para encontrar a nova distribuição de cargas, recorra à aplicação da Lei de Gauss nas superfícies das placas novamente.

Placas Infinitas

Para uma discussão mais completa separei as superfícies cilíndricas 1, 2, 3, 4, 5 e 6, ilustradas nas figuras ao lado. Os campos nas regiões I, II e III são os calculados

anteriormente:

E

_II

=

2σ

_ϵ

0

E

_I

=

E

_III

=

0

Aplicando a Lei de Gauss na superfície 1:

σ_1d σ_1e σ_2e σ_2d E_II I II III 1 2 3 5 4 6 E_I = 0 E_III = 0

0=

q

_ϵ

t 0

⇒

q

t

=0 ⇒ σ

1 e

=0

∮

S1

⃗

E d ⃗A=

_ϵ

q

t 0

Como o campo na região I é nulo e o campo no metal também é nulo, a integral à esquerda será nula:

Placas Infinitas

O mesmo ocorre na superfície 4, onde o campo na região III é nulo.

Na superfície 2, temos: σ_1d σ_1e σ_2e σ_2d E_II I II III 1 2 3 5 4 6 E_I = 0 E_III = 0

0=

q

_ϵ

t 0

⇒

q

t

=0 ⇒ σ

2 d

=0

∮

S2

⃗

E d ⃗A=

_ϵ

q

t 0

∮

S4

⃗

E d ⃗A=

_ϵ

q

t 0

q

_t

=σ

_1d

A

∫

S_{2 i}

⃗

E

_i



d ⃗A+

∫

S_2c

⃗

E

_II



d ⃗A+

∫

S_2e

⃗

E

_II



d ⃗A=

σ

1 d

_ϵ

A

0

0+0+

∫

S_2e

E

_II

dA cos 0 °=

σ

1 d

_ϵ

A

0

Placas Infinitas

Como antes, a primeira integral é nula pois o campo no condutor é nulo, a

segunda é nula pois o campo E_II é ortogonal ao elemento de área do corpo

do cilindro, restando apenas a última integral que resulta em:

E

_II

A=

σ

1d

_ϵ

A

0

⇒

E

II

=

σ

_{1 d}

ϵ

₀

Comparando com o campo E_II, encontrado anteriormente encontramos a

densidade de carga na face interna da placa 1:

2 σ

ϵ

₀

=

σ

ϵ

1 d₀

⇒ σ

1 d

=2 σ

O mesmo raciocínio cabe à superfície 3, com uma única diferença, na face interna o campo e o elemento de área são antiparalelos.

0+0+

∫

S2d

E

_II

dA cos180 °=

σ

2 e

_ϵ

A

0

⇒

E

II

=−

σ

_{2 e}

ϵ

₀

2 σ

ϵ

₀

=−

σ

ϵ

2 e₀

⇒ σ

2 e

=−2 σ

Placas Infinitas

Portanto as cargas se deslocarão para o interior das placas,

deixando a parte esterna sem cargas.

Para a superfície 5 as integrais de fluxo serão nulas pois as faces da superfície Gaussiana estão dentro do condutor, onde o campo é nulo, e na lateral da superfície o campo

E_II é ortogonal aos elementos de

área da superfície.

Portanto a carga total dentro da superfície é nula. Isto é esperado pois as densidades de carga nas superfícies internas são iguais em módulos, mas de sinais opostos, totalizando uma carga total nula. A superfície 6 dá a mesma previsão, visto que os campos nas regiões I e III são nulos.

2σ -2σ E_II I II III 5 6 E_I = 0 E_III = 0

∮

S5

⃗

E d ⃗A=

_ϵ

q

t 0

⇒

q

t

=0

-+ + + + + + + + + + + + + + +

Três Placas Infinitas

Apenas para estender a aplicação, considere três placas infinitas

condutoras de densidades 5μC/m², -10μC/m² e -3μC/m². Determine o campo em todo o espaço e a

distribuição de cargas nas superfícies das placas.

Observe que vou utilizar as densidades de carga fornecidas como módulos. O mesmo para o campo gerado por cada densidade de carga:

σ

₁

=5μC /m

2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -σ₁ σ₁ -σ₂ -σ₂ I II III --σ₃ -σ₃ IV

σ

₂

=10μ C /m

2

σ

₃

=3μ C /m

2

E

₁

=

σ

_ϵ

1 0

=

5μ

ϵ

₀

E

2

=

σ

₂

ϵ

₀

=

10μ

ϵ

₀

E

3

=

σ

₃

ϵ

₀

=

3μ

ϵ

₀

Três Placas Infinitas

Como antes, coloque o campo

gerado por cada placa nas regiões I a IV, como se estas estivessem sozinhas no espaço:

Em seguida faça a superposição do campo nas regiões:

Observe que os campos nas regiões III e IV apontam para esquerda, os demais todos estão orientados para direita.

E

_I

=−

E

₁

+

E

₂

+

E

₃

=

8μ

_ϵ

0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + -σ₁ σ₁ -σ₂ -σ₂ I II III --σ₃ -σ₃ IV E₁ E₁ E₁ E₁ E₂ E₂ E₂ E₂ E₃ E₃ E₃ E₃

E

_II

=

E

₁

+

E

₂

+

E

₃

=

18μ

_ϵ

0

E

_III

=

E

₁

−

E

₂

+

E

₃

=−

2μ

_ϵ

0

E

_IV

=

E

₁

−

E

₂

−

E

₃

=−

8μ

_ϵ

0

Três Placas Infinitas

Representando os campo nas regiões I a IV, as densidades de carga nas superfícies podem ser facilmente encontradas

comparando a expressão do campo de uma placa condutora como os campo encontrados nas regiões:

● Para a densidade na superfície

esquerda da placa 1, veja que o

campo elétrico gerado, E_I, está

entrando na placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa:

E= σ

_ϵ

0 σ_1d σ_1e σ_2e σ_2d I II III σ_3e σ_3d IV E_II E_I E_III E_IV

σ

_{1 e}

=−8μ C /m

2

● Para a densidade na superfície

direita da placa 1, veja que o

campo elétrico gerado E_II está

saindo da placa e portanto a densidade de carga deve ser positiva:

Três Placas Infinitas

● a densidade na superfície esquerda

da placa 2 é a mesma da superfície direita da placa 1, pois gera o mesmo campo, no entanto com sinal oposto,

pois o campo E_II está entrando na

placa:

σ

_{2 e}

=−18μ C /m

2

● Para a densidade na superfície

direita da placa 2, veja que o

campo elétrico gerado E_III está

entrando na placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa:

σ

_{2 d}

=−2μ C /m

2

σ

_{3 e}

=

2μ C /m

2

● Para a densidade na superfície

direita da placa 3, veja que o

campo elétrico gerado E_IV está

entrando da placa e portanto a densidade de carga deve ser negativa:

σ

_{3 d}

=−8μ C /m

2

● a densidade na superfície esquerda

da placa 3 é a mesma da superfície direita da placa 2, pois gera o mesmo campo, no entanto com sinal oposto,

pois o campo E_III está saindo da

Três Placas Infinitas

Em resumo:

E

_I

=

8μ

_ϵ

0

⇒ σ

1 e

=−8μ C /m

2

E

II

=

18μ

ϵ

₀

⇒

{

σ

1d

=18μ C /m

2

σ

_{2 e}

=−18μ C /m

2

E

_III

=−

2μ

_ϵ

0

⇒

{

σ

_{2 d}

=−2μ C /m

2

σ

_{3 e}

=2μ C /m

2

E

IV

=−

8μ

ϵ

₀

⇒ σ

3 d

=−8μ C /m

2

Observe que a densidade total de cargas nas placas se conserva:

σ

_{1 e}

+σ

_{1 d}

=10μ C /m

2

=

2σ

₁

σ

_{2 e}

+σ

_{2 d}

=−20μ C /m

2

=

2σ

₂