Lista de exercícios propostos n.
05: Testes de
hipóteses
Exercício 1.
Uma pizzaria recebe diariamente encomendas por telefone, que se têm com-portado segundo uma lei normal. A empresa está dimensionada para uma procura média diária que não ultrapassa as 200 pizzas, admitindo um desvio padrão de 15. Uma campanha promocional realizada nos últimos 9 dias levou a uma procura média de 210 pizzas.
(a) Use um teste de hipóteses para avaliar a necessidade de reforçar a ca-pacidade média de venda, estudando se houve de facto uma alteração significativa na procura diária de pizzas. Use um nível de significância de 0, 01.
(b) Com a decisão que tomou na alínea anterior, qual é o tipo de erro que pode estar a cometer?
Exercício 2.
Os valores abaixo indicados são pontuações de um teste de QI associados a uma amostra aleatória de 10 alunos de uma dada universidade.
141; 130; 122; 119; 142;
136; 127; 120; 152; 132.
Supondo que as pontuações seguem uma distribuição normal, teste se o desvio padrão das pontuações do teste de QI é 10, considerando uma probabilidade de 5% para o erro do tipo I.
Exercício 3.
A espessura de um tipo de disco metálico segue uma distribuição normal e deverá ter uma variância inferior a 9mm2. Existe a suspeita de que esse
princípio não está a ser cumprido pelo que, para verificar se a variabilidade das espessuras é inferior a 9mm2, considerou-se uma amostra aleatória de
25desses discos e obteve-se uma estimativa para a variância de 3, 24mm2.
Com este resultado, qual seria a conclusão a respeito da variabilidade das espessuras a um nível de significância de 1%?
05 - Testes de hipóteses 1/13
Exercício 4.
O dono de uma ervanaria produz um chá que afirma ser eficaz para curar dores de cabeça em pelo menos 85% dos casos. Num inquérito feito a 250 pessoas, 198 concordaram que o chá cura de facto as dores de cabeça.
(a) Com um nível de significância de 1% poderá dizer-se que o dono da ervanaria tem razão?
(b) Na decisão que tomou, qual a probabilidade de estar a cometer um erro? Exercício 5.
Os dados seguintes representam os ganhos em peso, em quilogramas, nos pri-meiros 6 meses de vida de um grupo de crianças do sexo masculino escolhidas ao acaso:
4, 1; 4, 5; 3, 6; 2, 8; 3, 6; 3, 2; 4, 1. Admita que se pode considerar que os ganhos em peso seguem uma distribui-ção normal. Poderá afirmar-se, com um nível de significância de 5%, que o ganho médio em peso das crianças do sexo masculino é significativamente inferior a 3, 1kg?
Exercício 6.
Uma máquina está construída de forma a assegurar que a medida padrão das peças que produz tenha uma média igual a 4. Mas deseja-se também que a variabilidade dessa medida não ultrapasse uma unidade de medida (controlo pelo desvio padrão). No último controlo de qualidade, as 16 peças analisadas segundo a medida padrão revelaram uma média de 4, mas uma variabilidade de 1, 05 unidades de medida. Será a diferença na variabilidade significativa, para um nível de significância de 0, 05? Assuma que a variável em estudo se comporta de forma normal.
Exercício 7.
Sabe-se que uma empresa de lavagem a seco que opera na zona norte do país foi líder de vendas, nos últimos três anos, em 28% do total de cidades nas quais a empresa tem lojas a funcionar. Este ano, uma amostra de 49 cidades revelou uma percentagem de liderança de 25, 4% nas vendas do sector. Será que este resultado é significativamente mais baixo que o anterior, para um nível de significância de 0, 01?
Exercício 8.
O peso de cada pacote de açúcar, embalado numa determinada máquina, segue uma distribuição normal, e deverá ser em média igual a 8 gramas. Seleccionou-se uma amostra de 40 pacotes e registaram-se os seguintes resul-tados: 40 ÿ i“1 xi“ 312; 40 ÿ i“1 pxi´ xq2“ 245.
Realize um teste de hipóteses que lhe permita responder à questão colocada, ao nível de significância de 5%.
Soluções:
Exercício 1.(a) Seja a variável aleatória X - “encomendas diárias de pizzas por tele-fone”. Então:
– Parâmetro a testar: µ; – Formulação das hipóteses:
$ & %
H0: µď 200
(teste unilateral à direita) H1: µą 200
;
– Tipo de população: normal; – Nível de significância: α“ 0, 01; – Dimensão da amostra: n“ 9; – Estatística de teste: Z0“X´µ 0 σ ?n „ N p0; 1q; – Outros dados: x“ 210, σ “ 15;
– Determinação da região crítica e da região de aceitação:
α 1−α 0 1−α Z Não rejeição 0 de H
com Z1´α“ Z0,99“ 2, 3263. Obtemos assim as regiões, R.A. “
s´8; 2, 3263r e R.C. “ r2, 3263; `8r;
– Cálculo do valor da estatística de teste: Z0“210´20015 ?
9 “ 2;
– Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z0“ 2
pertence à região de aceitação não se deve rejeitar H0, ao nível de
significância de 1%, ou seja, conclui-se que a procura média diária é no máximo de 200 pizzas, pelo que a campanha de promoção não teve efeito na procura de pizzas.
O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0, isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´value “ P rZ ě 2s “ 1´P rZ ă 2s “ 1´Φ p2q “ 1´0, 9772 “ 0, 0228. (b) Como a decisão tomada foi de não rejeitar H0, podemos estar a cometer
um erro tipo II.
Exercício 2. Seja a variável aleatória X - “pontuações de um teste de QI”. Então:
• Parâmetro a testar: σ; • Formulação das hipóteses:
$ & % H0: σ“ 10 (teste bilateral) H1: σ‰ 10 ;
• Tipo de população: normal; • Nível de significância: α“ 0, 05; • Dimensão da amostra: n“ 10; • Estatística de teste: Q0“pn´1qS 2 σ2 0 „ χ 2 n´1; • Outros dados: x “ ř10 i“1xi 10 “ 1321 10 “ 132, 1, s 2 “ ř 10 i“1x 2 i´10ˆx 2 9 “ 175543´10ˆ132,12 9 “ 115, 433 e s “ 10, 744;
• Determinação da região crítica e da região de aceitação:
α/2 1−α n−1;1−α/2 χ α/2 2 n−1;α/2 χ2 Não rejeição 0 de H com χ2 n´1;α 2 “ χ 2 9;0,025“ 2, 7004 e χ2n´1;1´α 2 “ χ 2 9;0,975“ 19, 0228.
Ob-temos assim as regiões, R.C.“ r0; 2, 7004s Y r19, 0228; `8r e R.A. “ s2, 7004; 19, 0228r.
• Cálculo do valor da estatística de teste: Q0“9ˆ115,433100 “ 10, 389;
• Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q0“ 10, 389
pertence à região de aceitação não se deve rejeitar H0, ao nível de
significância de 5%, ou seja, não existe evidência estatística suficiente para rejeitar que o desvio padrão das pontuações de QI é 10. O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0,
isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´ value “ 2 min␣P“χ2 ď V.E.T.‰; P“χ2 ě V.E.T.‰(“ “ 2 min␣P“χ2 9ď 10, 389 ‰ ; P“χ2 9ě 10, 389 ‰( » » 2 min t0, 625; 1 ´ 0, 625u “ “ 2 ˆ 0, 375 “ “ 0, 75.
Exercício 3. Seja a variável aleatória X - “espessura de um tipo de disco metálico”. Então:
• Parâmetro a testar: σ2; • Formulação das hipóteses:
$ & %
H0: σ2ě 9
(teste unilateral à esquerda) H1: σ2ă 9
;
• Tipo de população: normal; • Nível de significância: α“ 0, 01; • Dimensão da amostra: n“ 25; • Estatística de teste: Q0“pn´1qS 2 σ2 0 „ χ 2 n´1; • Outros dados: s2“ 3, 24;
• Determinação da região crítica e da região de aceitação: 1−α α n−1;α χ2 Não rejeição 0 de H com χ2
n´1;α“ χ224;0,01“ 10, 8564. Obtemos assim as regiões, R.C. “
r0; 10, 8564s e R.A. “ s10, 8564; `8r.
• Cálculo do valor da estatística de teste: Q0“24ˆ3,249 “ 8, 64;
• Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q0 “ 8, 64
pertence à região crítica deve-se rejeitar H0, ao nível de significância
de 1%, ou seja, existe evidência estatística suficiente para concluir que a variância é inferior a 9mm2.
O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0,
isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´ value “ P“χ2
ď 8, 64‰“ 0, 005. Exercício 4.
(a) Seja a variável aleatória X - “número de pessoas que concordam que o chá cura as dores de cabeça”. Então:
–Parâmetro a testar: p; –Formulação das hipóteses:
$ & %
H0: pě 0, 85
(teste unilateral à esquerda) H1: pă 0, 85
;
–Tipo de população: Bernoulli; –Nível de significância: α“ 0, 01; –Dimensão da amostra: n“ 250; –Estatística de teste: Z0“ P´pp 0 c p0p1´p0q n 9 „N p0; 1q; –Outros dados: pp“198 250“ 0, 792;
– Determinação da região crítica e da região de aceitação:
α 1−α 0 1−α −Z Não rejeição 0 de H
com´Z1´α “ ´Z0,99 “ ´2, 3263. Obtemos assim as regiões,
R.C.“ s´8; ´2, 3263s e R.A. “ s´2, 3263; `8r; – Cálculo do valor da estatística de teste:Z0“?0,792´0,850,85ˆ0,15
250 “ ´2, 568;
– Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z0 “
´2, 568 pertence à região critica deve-se rejeitar H0, ao nível de
significância de 1%, ou seja, conclui-se que o dono da ervanaria não tem razão.
O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0, isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´ value “ P rZ ď ´2, 568s “ Φ p´2, 568q “ 0, 0051. (b) Como a decisão tomada foi de rejeitar H0, podemos estar a cometer
um erro tipo I. Assim
Prerro tipo Is “ P rrejeitar H0| H0verdadeiras ď 0, 01.
Exercício 5. Seja a variável aleatória X - “ganho em peso, em quilogramas, nos primeiros 6 meses de vida de crianças do sexo masculino”. Então:
• Parâmetro a testar: µ; • Formulação das hipóteses:
$ & %
H0: µě 3, 1
(teste unilateral à esquerda) H1: µă 3, 1
;
• Tipo de população: normal; • Nível de significância: α“ 0, 05;
• Dimensão da amostra: n“ 7; • Estatística de teste: T0“X´µ?S 0 n „ tn´1 ; • Outros dados: x“ ř7 i“1xi 7 “ 25,9 7 “ 3, 7, s 2“ ř7i“1x 2 i´7ˆx 2 6 “ 0, 34 e s“ 0, 5831;
• Determinação da região crítica e da região de aceitação:
α 1−α 0 n−1;1−α −t Não rejeição 0 de H
com´tn´1;1´α“ ´t6;0,95“ ´1, 9432. Obtemos assim as regiões, R.A. “
s´1, 9432; `8r e R.C. “ s´8; ´1, 9432s;
• Cálculo do valor da estatística de teste: T0“3,7´3,10,5831 ?
7 “ 2, 7224;
• Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste T0“ 2, 7224
pertence à região de aceitação não se deve rejeitar H0, ao nível de
signi-ficância de 5%, ou seja, não existe evidência estatística suficiente para concluir que o ganho médio em peso das crianças do sexo masculino é significativamente inferior a 3, 1kg.
O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0,
isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´ value “ P rT ď 2, 7224s » 0, 985.
Exercício 6. Seja a variável aleatória X - “medida padrão das peças”. En-tão:
• Parâmetro a testar: σ; • Formulação das hipóteses:
$ & %
H0: σď 1
(teste unilateral à direita) H1: σą 1
;
• Tipo de população: normal; • Nível de significância: α“ 0, 05; • Dimensão da amostra: n“ 16; • Estatística de teste: Q0“pn´1qS 2 σ2 0 „ χ 2 n´1; • Outros dados: x“ 4 e s “ 1, 05;
• Determinação da região crítica e da região de aceitação:
α 1−α n−1;1−α χ2 Não rejeição 0 de H com χ2
n´1;1´α “ χ215;0,95 “ 25. Obtemos assim as regiões, R.C. “
r25; `8r e R.A. “ r0; 25r.
• Cálculo do valor da estatística de teste: Q0“15ˆ1,05
2
1 “ 16, 5375;
• Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q0“ 16, 5375
pertence à região de aceitação não se deve rejeitar H0, ao nível de
significância de 5%, ou seja, não existe evidência estatística suficiente para concluir que a variabilidade da medida padrão não é a estipulada. O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0,
isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´ value “ P“χ2
ě 16, 5375‰“ 1 ´ P“χ2
ă 16, 5375‰“ 1 ´ 0, 681 “ 0, 319. Exercício 7. Seja a variável aleatória X - “um utilizador, escolhido ao acaso, recorrer aos serviços da empresa de lavagem a seco”. Então:
• Parâmetro a testar: p; • Formulação das hipóteses:
$ & %
H0: p“ 0, 28
(teste unilateral à esquerda) H1: pă 0, 28
• Tipo de população: Bernoulli; • Nível de significância: α“ 0, 01; • Dimensão da amostra: n“ 49; • Estatística de teste: Z0“cPp´p0 p0p1´p0q n 9 „N p0; 1q; • Outros dados: pp“ 0, 254;
• Determinação da região crítica e da região de aceitação:
α 1−α 0 1−α −Z Não rejeição 0 de H
com´Z1´α“ ´Z0,99“ ´2, 326. Obtemos assim as regiões, R.C. “
s´8; ´2, 326s e R.A. “ s´2, 326; `8r;
• Cálculo do valor da estatística de teste: Z0“?0,254´0,280,28ˆ0,72
49 “ ´0, 405;
• Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z0“ ´0, 405
pertence à região de aceitação não se deve rejeitar H0, ao nível de
significância de 1%, ou seja, não existe evidência estatística suficiente para concluir que o resultado é significativamente mais baixo do que a percentagem de mercado mantida nos últimos 3 anos.
O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0,
isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´ value “ P rZ ď ´0, 405s “ “ Φ p´0, 41q “ “ 0, 3409.
Exercício 8. Seja a variável aleatória X - “peso de cada pacote de açúcar”. Então:
• Parâmetro a testar: µ; • Formulação das hipóteses:
$ & % H0: µ“ 8 (teste bilateral) H1: µ‰ 8 ;
• Tipo de população: normal; • Nível de significância: α“ 0, 05; • Dimensão da amostra: n“ 40; • Estatística de teste: Z0“X´µ 0 σ ?n „ N p0; 1q; • Outros dados: x“ ř40 i“1xi 40 “ 312 40 “ 7, 8, s 2 “ř 40 i“1pxi´xq 2 40 “ 245 39 “ 6, 282 e s“ 2, 506;
• Determinação da região crítica e da região de aceitação:
α/2 α/2 1−α 0 1−α/2 −Z Z1−α/2 Não rejeição 0 de H com ´Z1´α 2 “ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α 2 “ Z0,975 “ 1, 96.
Obte-mos assim as regiões, R.A.“ s´1, 96; 1, 96r e R.C. “ s´8; ´1, 96s Y r1, 96; `8r;
• Cálculo do valor da estatística de teste: Z0“7,8´82,506?
40 “ ´0, 505;
• Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z0“ ´0, 505
pertence à região de aceitação não se deve rejeitar H0, ao nível de
significância de 5%, ou seja, não existe evidência estatística suficiente para rejeitar a hipótese de que o peso médio de cada pacote de açúcar seja igual a 8 gramas, concluindo-se que a máquina está a funcionar correctamente.
O p-value é menor nível de significância a partir do qual se deve rejeitar H0,
isto é, se αě p ´ value então deve-se rejeitar H0:
p´ value “ 2 ˆ P rZ ě| ´0, 505 |s “ 2 ˆ p1 ´ P rZ ă 0, 505sq “ “ 2 ˆ p1 ´ 0, 695q “ 0, 61.
