CE-003 : Exercícios do Curso

(1)

CE-003 : Exerc´ıcios do Curso

Prof. Paulo Justiniano Ribeiro Jr

´

Ultima atualiza¸c˜

ao: 18 de novembro de 2006

1 Introdu¸

c˜

ao

No material abaixo estão indicados “exerc´ıcios semanais” que acompanham o desenvolvimento do curso além de sugestões de

(2)

2 Exerc´ıcios semanais

2.1 Semanas: 1 a 4

Assunto: estat´ıstica descritiva Referˆencias para leitura/estudo/consulta:

Magalh˜aes e Lima (6a _{ed.), Cap´ıtulo 1 e Cap´ıtulo 5 (pag 125-128, pag 134–143)}

Bussab e Morettin (5a _{ed.), Cap´ıtulos 1 – 4}

1. Os dados a seguir correspondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto vegetal. Foram

coletadas 2 amostras referentes a 2 m´etodos de produ¸c˜ao.

M´

etodo 1

0.9

2.5

9.2

3.2

3.7

1.3

1.2

2.4

3.6

8.3 M´

etodo 2

5.3

6.3

5.5

3.6

4.1

2.7

2.0

1.5

5.1

3.5

(a) Fa¸ca um histograma de todos os dados

(b) Fa¸ca um diagrama ramo-e-folhas de todos os dados

(c) calcule a média, variância e coeficiente de varia¸cão para cada método

(d) compare os m´etodos baseando-se nos resultados dos do ´ıtem anterior

Respostas:

> m1 <- c(0.9, 2.5, 9.2, 3.2, 3.7, 1.3, 1.2, 2.4, 3.6, 8.3) > m2 <- c(5.3, 6.3, 5.5, 3.6, 4.1, 2.7, 2, 1.5, 5.1, 3.5) > hist(c(m1, m2), breaks = 0:10)

> stem(c(m1, m2))

The decimal point is at the | 0 | 9235 2 | 045725667 4 | 1135 6 | 3 8 | 32 > stem(c(m1, m2), scale = 2) The decimal point is at the | 0 | 9 1 | 235 2 | 0457 3 | 25667 4 | 1 5 | 135 6 | 3 7 | 8 | 3 9 | 2 > m1m <- mean(m1) > m1v <- var(m1) > m1cv <- 100 * sd(m1)/mean(m1) > m2m <- mean(m2) > m2v <- var(m2) > m2cv <- 100 * sd(m2)/mean(m2) > res <- matrix(c(m1m, m1v, m1cv, m2m, m2v, m2cv), nr = 3)

> dimnames(res) <- list(c("média", "variância", "cv"), c("Método 1", "Método 2"))

> res

M´etodo 1 M´etodo 2

m´edia 3.63000 3.960000

vari^ancia 8.28900 2.531556

cv 79.31301 40.178947

(3)

Histogram of c(m1, m2) c(m1, m2) Frequency 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 Histogram of c(m1, m2) c(m1, m2) Frequency 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8

compara¸cão das médias compara¸cão variâncias

ceficiente da varia¸c˜ao comparando variabilidades de grupos com m´edias diferentes

Outros poss´ıveis coment´arios

assimetria

presen¸ca (ou n˜ao) de dados discrepantes

2. Foram coletados dados de uma medida de produtividade de 40 funcionários da linha de produ¸cão de 2 fábricas. A figura

abaixo mostra os “boxplot” obtidos com os dados dos dois grupos. Discuta o resultado comparando os dois grupos.

● ● ● 1 2 40 50 60 70 80

Resposta: Coment´arios “m´ınimos”:

O grupo 1 apresenta menor valor de medida de tendˆencia central (mediana) e maior variabilidade (amplitude

inter-quart´ılica), apresentando ainda uma leve assimetria. O grupo 2 é mais homogêneo, porém apresenta 3 dados at´ıpicos.

3. Os dados abaixo representam o valor das vendas semanais (em sal´arios m´ınimos) de vendedores de gˆeneros aliment´ıcios.

(a) Fa¸ca o histograma das observa¸c˜oes;

(b) Calcule a m´edia da amostra;

(4)

Vendas semanais No de vendedores [30, 35) 2 [35, 40) 10 [40, 45) 18 [45, 50) 50 [50, 55) 70 [55, 60) 30 [60, 65) 18 [65, 70) 2 Respostas: > vendas <- seq(32.5, 67.5, by = 5) > vendedores <- c(2, 10, 18, 50, 70, 30, 18, 2) > dados <- rep(vendas, vendedores)

(a) > hist(dados, breaks = seq(30, 70, by = 5), xlab = "vendas", ylab = "no. vendedores",

+ main = "") vendas no. vendedores 30 40 50 60 70 0 10 30 50 70

(b) Calcule a m´edia da amostra;

> mean(dados) [1] 51.2

> weighted.mean(vendas, vendedores) [1] 51.2

(c) Calcule o desvio padr˜ao da amostra;

> sd(dados) [1] 6.635522

4. Os dados a seguir s˜ao medidas da intensidade de insola¸c˜ao (watts/m2_{) tomadas em diferentes dias em um certo local.}

562 869 708 775 775 704 809 856 655 806 878 909 918 558 768 870 918 940 946 661 820 898 935 952 957 693 835 905 939 955 960 498 563 730 753 > insola <- c(562, 869, 708, 775, 775, 704, 809, 856, 655, 806, 878, 909, 918, + 558, 768, 870, 918, 940, 946, 661, 820, 898, 935, 952, 957, 693, 835, 905, + 939, 955, 960, 498, 563, 730, 753)

(a) construa um histograma dos dados (b) construa um box-plot

(c) comente sobre os principais aspectos da distribui¸c˜ao destes dados baseando-se nos gr´aficos do problema anterior

(d) calcule a m´edia e mediana dos dados

(e) calcule o desvio padr˜ao e amplitude interquart´ılica

(5)

Respostas: (a) (b) > par(mfrow = c(1, 2), mar = c(3, 3, 0, 0), mgp = c(2, 1, 0)) > hist(insola) > boxplot(insola)

Histogram of insola

insola Frequency 500 600 700 800 900 1000 0 2 4 6 8 500 600 700 800 900

Figura 1: Histograma (esquerda) e boxplot (direita) dos dados de insola¸c˜ao da Quest˜ao 2.

(c) Resp: comentar sobre medida(s) de posi¸c˜ao, dispers˜ao, assimetria e presen¸ca de dados discrepantes

(d) > mean(insola) [1] 807.9429 > median(insola) [1] 835 (e) > sd(insola) [1] 132.4044 > diff(fivenum(insola)[c(2, 4)]) [1] 199 (f) > 100 * sd(insola)/mean(insola) [1] 16.38785 > diff(range(insola)) [1] 462

5. Exerc´ıcios recomendados de Magalh˜aes e Lima (6a _edi¸_c˜_ao)

(a) Cap´ıtulo 1, Pag 19–21: 1, 2, 3, 4 e 5

(b) Cap´ıtulo 1, Pag 23–36: 2, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 20, 21, 22 (c) Cap´ıtulo 5, Pag 152–153: 1, 2, 3

(d) Cap´ıtulo 5, Pag 154–164: 1 a 11

6. Exerc´ıcios recomendados de Bussab e Morettin (5a _ed.)

(a) Cap´ıtulo 2, pag 15: 2

(b) Cap´ıtulo 2, pag 22: 4, 5, 6 e 7

(c) Cap´ıtulo 2, pag 26–34: 9, 10, 11, 12, 13 (d) Cap´ıtulo 3, pag 40: 1, 2, 3, 6

(e) Cap´ıtulo 3, pag 51: 11

(f) Cap´ıtulo 3, pag 58–68: 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 33, 34, 35 (g) Cap´ıtulo 4, pag 73: 1, 2

(h) Cap´ıtulo 4, pag 76: 6 (i) Cap´ıtulo 4, pag 80: 9

(j) Cap´ıtulo 4, pag 90–91: 10, 11, 13

(6)

2.2 Semanas: 5 e 6

Assunto: probabilidades Referˆencias para leitura/estudo/consulta:

Magalh˜aes e Lima (6a _{ed.), Cap´ıtulo 2}

Bussab e Morettin (5a _{ed.), Cap´ıtulo 5}

Nota: os exerc´ıcios abaixo foram retirados de Dantas, C.A.B. Probabilidade: um curso introdut´orio. Edusp, 2000.

(2a ed).

1. Defina o espa¸co amostral para cada um dos experimentos aleat´orios:

(a) lan¸ca-se dois dados e anota-se a configura¸c˜ao obtida

(b) conta-se o n´umero de pe¸cas defeituosas, o intervalo de uma hora, de uma linha de produ¸c˜ao

(c) investigam-se fam´ılias de quatro crian¸cas e anota-se a configura¸c˜ao obtida, segundo o sexo

(d) numa entrevista telefônica com dez assinantes, pergunta-se se o proprietário tem ou não máquiona de secar roupa

(e) de um fichário com seis nomes, sendo três de mulheres e três de homens, seleciona-se ficha após ficha até que o

´

ultimo nome de mulher seja selecionado

2. Uma moeda é lan¸cada três vezes. Descreva o espa¸co amostral. Considere os eventos Ai: cara no i-ésimo lan¸camento,

para i = 1, 2, 3. Determine os seguintes eventos: (a) Ac₁∩ A2 ; (b) Ac1∪ A2; (c) (Ac1∩ A

c 2)

c _{; (d) A}

1∩ (A2∪ A3)

3. Suponha que o espa¸co amostral ´e o intervalo [0, 1] dos reais. Considere os eventos A = [x : 1/4 ≤ x ≤ 5/8] e

B = [x : 1/2 ≤ x ≤ 7/8]. Determine os eventos: (a) Ac ; (b) A ∩ Bc ; (c) (A ∪ B)c ; (d) Ac∪ B.

4. (Dantas, 2000) A, B e C s˜ao trˆes eventos de um mesmo espa¸co amostral, tais que: P (B) = 0, 5, P (C) = 0, 3, P (B|C) =

0, 4, P (A|(B ∩ C)) = 0, 5. Calcule P (A ∩ B ∩ C).

5. Sejam A e B dois eventos de um mesmo espa¸co de probabilidades. Sabendo-se que P (A) = 0, 7 e P (B) = 0, 6, determine

o valor m´aximo e m´ınimo de P (A ∩ B).

6. Uma urna cont´em duas bolas brancas e duas bolas pretas. As bolas s˜ao retiradas ao acaso, sucessivamente e sem

reposi¸c˜ao.

(a) qual a probabilidade de sair uma bola preta na primeira retirada?

(b) qual a probabilidade de que aprimeira bola preta apare¸ca apenas da quarta retirada?

(c) qual a probabilidade de que a segunda bola preta apare¸ca logo na segunda retirada? qual a probabilidade de que

a segunda bola preta apare¸ca apenas na quarta retirada?

7. Em média, 5% dos produtos vendidos por uma loja são devolvidos. Qual a probabilidade de que, nas quatro próximas

unidades vendidas deste produto, duas sejam devolvidas?

8. Uma cidade tem 30.000 habitantes e três jornais, A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que 12.000 lêem A; 8.000

lêem B; 7.000 lêem A e B; 6.000 lêem C; 4.500 lêem A e C; 1.000 lêem B e B; 500 lêem A, B e C. Selecionamos ao

acaso um habitante dessa cidade. Qual a probabilidade de que ele leia: (a) pelo menos um jornal? (b) somente um jornal?

9. A probabilidade de que a porta de uma casa esteja trancada `a chave ´e 3/5. Um chaveiro possui 25 chaves das quais

trˆes abrem a porta. Qual a probabilidade de que um indiv´ıduo entre na casa, se ele puder escolher, ao acaso, somente

uma chave do chaveiro?

10. Três máquinas A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de pe¸cas de uma fábrica. As

porcen-tagens de produ¸cão defeituaos destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma pe¸ca é selecionada aleatoriamente, ache a

probabilidade de ela ser defeituosa. Se a pe¸ca selecionada ´e defeituosa, encontre a probabilidade de ter sido produzida

pela m´aquina C.

11. A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um exame de múltipla escolha ép. Há m respostas

poss´ıveis para cada questão, das quais apenas uma é correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão,

ele escolhe ao acaso uma das m respostas poss´ıveis. (a) qual ´e a probabilidade de o aluno responder corretamente uma

quest˜ao? (b) se o aluno respondeu corretamente uma quest˜ao, qual a probabilidade de ele ter “chutado” a resposta?

(a) Cap´ıtulo 2, Pag 40–41: 1 a 5 (b) Cap´ıtulo 2, Pag 48–49: 1 a 6

(c) Cap´ıtulo 2, Pag 49–56: 1 a 5, 7-23, 25, 26, 28, 29

(7)

(a) Cap´ıtulo 5, pag 105–106: 1 a 5 (b) Cap´ıtulo 5, pag 110: 7 a 11

(c) Cap´ıtulo 5, pag 115: 15–22 (d) Cap´ıtulo 5, pag 120: 23

(e) Cap´ıtulo 5, pag 112–64: 26 a 41, 57, 64

2.3 Semana: 7

Assunto: vari´aveis aleat´orias

1. Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade 1/3 ou 2/3 respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por R$50.000,00 (com probabilidade

1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total das vendas di´arias desse vendedor:

(a) escreva a fun¸c˜ao de probabilidade de Y e fa¸ca seu gr´afico

(b) calcule o valor esperado de vendas di´arias

(c) calcule a variˆancia de Y

(d) obtenha o fun¸c˜ao de probabilidade (acumulada) e fa¸ca seu gr´afico.

2. Cinco m´aquinas trabalham de forma independente executando certas tarefas. A probabilidade de que uma delas

precise de manuten¸cão durante o per´ıodo de uma semana é de 0.15. Considere o número de máquinas que vão requerer

manuten¸c˜ao durante uma semana:

(a) monte a distribui¸cão de probabilidade da variável em questão,

(b) qual a probabilidade de que alguma m´aquina precise de manuten¸c˜ao,

(c) qual a probabilidade de que no máximo duas máquinas precisem de manutne¸cão,

(d) calcule o valor esperado e interprete este valor dizendo o que ele representa,

(e) calcule a variˆancia e interprete este valor dizendo o que ele representa.

3. Mostre que as fun¸cões abaixo são fun¸cões de densidade de probabilidade e determine o valor de k.

(a) f (x) = kx2_{para 0 < x < 4}

(b) f (x) = k(1 + 2x) para 0 < x < 2

(c) f (x) = ke−xpara x > 0

4. Considere a f.d.p. no segundo ´ıtem do problema anterior. (a) Calcule P [X > 1, 5]

(b) Calcule P [0, 7 < X < 1, 2] (c) Calcule o valor esperado de X

(d) Calcule a variˆancia de X

(e) Calcule a mediana de X

(f) Calcule os quartis da distribui¸c˜ao de X

5. A fun¸cão de distribui¸cão acumulada de uma certa variável aleatória é:

f (x) =    0 x < −2 0, 25x + 0, 5 −2 ≥ x < 2 1x ≥ 2 (a) Determine P [X < 1, 8] (b) Determine P [X > −1, 5] (c) Determine P [X < −2] (d) Determine P [−1 < X < 1]

(e) Determine a m´edia e mediana de X

6. Exerc´ıcios recomendados de Magalh˜aes e Lima (6a edi¸c˜ao)

(a) Cap´ıtulo 3, Pag 67–68: 1, 3, 4, 5, 6 (b) Cap´ıtulo 6, Pag 175–177: 1, 2, 3, 5

(a) Cap´ıtulo 6, pag 135: 1 a 6 (b) Cap´ıtulo 6, pag 136: 7 e 8 (c) Cap´ıtulo 6, pag 1: 15–22 (d) Cap´ıtulo 7, pag 166: 1 a 4

(8)

> plot(x, px, ty = "h")

0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 x px

(d) > plot(x, cumsum(px), type = "S")

0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05

0.85 0.90 0.95 1.00 x cumsum(px) Respostas 1. > x <- c(0, 1, 2) * 50000 > x

[1] 0e+00 5e+04 1e+05

(a) > px0 <- (1/3) * (9/10) + (2/3) * (9/10) * (9/10) > px1 <- (1/3) * (1/10) + 2 * (2/3) * (9/10) * (1/10) > px2 <- (2/3) * (1/10) * (1/10) > px <- c(px0, px1, px2) > names(px) <- x > px 0 50000 1e+05 0.840000000 0.153333333 0.006666667 > sum(px) [1] 1 (b) > sum(x * px) [1] 8333.333 (c) > sum(x^2 * px) - (sum(x * px))^2 [1] 380555556

(9)

[1] 0.4437053125 0.3915046875 0.1381781250 0.0243843750 0.0021515625 0.0000759375 (b) > 1 - dbinom(0, size = 5, prob = 0.15)

[1] 0.5562947

(c) > sum(dbinom(0:2, size = 5, prob = 0.15)) [1] 0.9733881

(d) > sum((0:5) * dbinom(0:5, size = 5, prob = 0.15)) [1] 0.75

(e) > sum(((0:5)^2) * dbinom(0:5, size = 5, prob = 0.15)) - (sum((0:5) * dbinom(0:5,

+ size = 5, prob = 0.15)))^2

[1] 0.6375

3. (a) f (x) ≥ 0 para todo 0 < x < 4)

> f1 <- function(x, kk) ifelse((x > 0 & x < 4), kk * (x^2), 0)

> achaK <- function(k) (integrate(f1, low = 0, upp = 4, kk = k)$value - 1)^2 > k1 <- optimize(achaK, c(-10, 10))$min

> k1

[1] 0.046875

> integrate(f1, low = 0, up = 4, kk = k1) 1 with absolute error < 1.1e-14

(b) f (x) ≥ 0 para todo 0 < x < 4)

> f2 <- function(x, kk) ifelse((x > 0 & x < 2), kk * (1 + 2 * x), 0)

> achaK <- function(k) (integrate(f2, low = 0, upp = 2, kk = k)$value - 1)^2 > k2 <- optimize(achaK, c(-10, 10))$min

> k2

[1] 0.1666667

> integrate(f2, low = 0, up = 2, kk = k2) 1 with absolute error < 1.1e-14

(c) f (x) ≥ 0 para todo 0 < x < 4)

> f3 <- function(x, kk) ifelse(x > 0, kk * exp(-x), 0)

> achaK <- function(k) (integrate(f3, low = 0, upp = Inf, kk = k)$value - 1)^2 > k3 <- optimize(achaK, c(0, 10))$min

> k3 [1] 1

> integrate(f3, low = 0, up = +Inf, kk = k3) 1 with absolute error < 5.7e-05

4. (a) > integrate(f2, low = 1.5, up = 2, kk = k2)

0.375 with absolute error < 4.2e-15

(b) > integrate(f2, low = 0.7, up = 1.2, kk = k2) 0.2416667 with absolute error < 2.7e-15 (c) > ef2 <- function(x) x * f2(x, kk = k2)

> EX <- integrate(ef2, low = 0, up = 2, k = k2)$value > EX

[1] 1.222222

(d) > vf2 <- function(x) ((x - EX)^2) * f2(x, kk = k2) > VX <- integrate(vf2, low = 0, up = 2, k = k2)$value > VX

[1] 0.2839506

(e) > md.f <- function(md) (integrate(f2, low = 0, up = md, kk = k2)$value - 0.5)^2 > optimize(md.f, low = 0, up = 2)$min

[1] 1.302774

(f) > q1.f <- function(md) (integrate(f2, low = 0, up = md, kk = k2)$value - 0.25)^2 > optimize(q1.f, low = 0, up = 2)$min

[1] 0.8228739

> q3.f <- function(md) (integrate(f2, low = 0, up = md, kk = k2)$value - 0.75)^2 > optimize(q3.f, low = 0, up = 2)$min

(10)

2.4 Semana: 8

Assunto: distribui¸c˜oes de probabilidade e distribui¸c˜oes discretas

1. De acordo com certo instituto 25% das televis˜oes s˜ao sintonizadas em uma novela chamada Os Mensaleiros do Apocalipse

quando esta é exibida. Calcule as probabilidades de, durante a exibi¸cão da novela, tomando-se televisões escolhidas

aleatoriamente:

(a) 5 entre 15 estejam sintonizadas na novela

(b) ao menos 5 entre 15 estejam sintonizadas na novela

(c) no m´aximo 5 entre 10 esteja sintonizadas na novela

(d) nenhuma entre 6 estar sintonizada

2. Um f´abrica tem uma m´edia semanal de 0,5 acidentes de trabalho. Determine a probabilidade de que em uma semana

qualquer se tenha: (a) 0 acidentes (b) 1 acidente

(c) 2 acidentes (d) algum acidente

3. Um estudo sobre fitas magn´eticas de armazenagem de dados de computador mostrou que a incidˆencia de defeitos

´e de 2,0 defeitos para cada 500 metros de fita. Tomando-se 100 metros de fita selecionados aleatoriamente, qual a

probabilidade de n˜ao se obter nenhum defeito?

4. Um fabricante de pe¸cas de automóveis garante que, uma caixa de suas pe¸cas conterá, no máximo, dias defeituosas.

Se a caixa contém 18 pe¸cas, e a experiência tem demonstrado que este processo de fabrica¸cão produz 5% das pe¸cas

defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfa¸ca a garantia?

5. Uma fábrica produz válvulas, das quais 20% são defeituosas. As válvulas são vendidas em caixas com 10 pe¸cas. Se a

caixa não tiver nenhuma defeituosa, seu pre¸co de venda é de 10 u.m (u.m. = unidade monetária); tendo uma, o pre¸co

é de 8 u.m.; duas ou três, o pro¸co é de 6 u.m. e mais de três, o pre¸co é de 2 u.m. Qual o pre¸co médio de uma caixa?

6. Um teste m´ultipla escolha tem 25 quest˜oes, cada uma com 4 alternativas. Assuma que um estudante simplesmente

“chute” a resposta em cada quest˜ao.

(a) qual a probabilidade de que o estudante responda mais que 20 quest˜oes corretamente?

(b) qual a probabilidade de que um estudante responda menos que 5 quest˜oes corretamente?

7. A probabilide de sucesso no alinhamento óptico num conjunto de prudutos ópticos de armazenagem de dados é de 0,8.

Assumindo independentes,

(a) qual a probabilidade de que o primeiro sucesso no alinhamento requeira exatamente quatro tentativas?

(b) qual a probabilidade de que o primeiro sucesso no alinhamento requeira no m´aximo quatro tentativas?

(c) qual a probabilidade de que o primeiro sucesso no alinhamento requeira pelo menos quatro tentativas?

8. Assuma que cada tentativa de chamada que voce faz para um programa de uma r´adio tenha probabilidade de 0,02 de

ser atendida, isto é, não obter um sinal de ocupado. Assuma também que as chamadas são independentes.

(a) Qual a probabilidade de que sua primeira chamada aceita seja na d´ecima tentativa?

(b) Qual a probabilidade de voce precisar fazer mais que cinco chamadas para conseguir ser atendido?

(c) Qual o número médio de chamadas necessárias para conseguir ser atendido?

(d) Voce gostaria de ser atendido duas vezes. Qual a probabilidade de ter que tentar 6 vezes para conseguir ser atendido duas vezes.

(e) Qual a probabilidade de precisar ligar ao menos seis vezes para ser atendido duas vezes?

9. Um sistema tolerante a falhas ue processa transa¸c˜oes para firmas de servi¸cos financeiros usa trˆes computadores

separa-dos. Se o sistema operacional de um deles falha, um dos demais ´e colocado online automaticamente e ap´os um segundo

falhar, o último entra online automaticamente. Assuma que a probabilidade de falha em uma transa¸cão é de 10−6 e

que as transa¸c˜oes podem ser consideradas eventos independentes.

(a) qual o n´umero esperado de transa¸c˜oes feitas antes que todos os computadores falhem?

(b) qual a variância do número esperado de transa¸cões feitas antes que todos os computadores falhem?

10. Um lote de 75 máquinas de lavar contém cinco em que a variabilidade da espessura ao redor do cilindro é inaceitável.

Uma amostra de 10 máquinas é selecionada ao acaso, sem reposi¸cão.

(11)

(b) Qual a probabilidade de que pelo menos uma das inaceit´aveis esteja na amostra?

(c) Qual a probabilidade de que exatamente uma das inaceit´aveis esteja na amostra?

(d) Qual o número médio de inaceitáveis em amostras deste tamanho?

11. Efetividade de inspe¸c˜ao Suspeita-se que materiais qu´ımicos adquiridos de certo fornecedor estejam com n´ıvel de

umidade acima do aceit´avel. Amostras de 30 unidades s˜ao testadas verificando-se o n´ıvel de umidade. Detemine a

propor¸c˜ao de unidades do fornecedor que ultrapassa a umidade aceit´avel de forma que a probabilidade seja de 90 de

que ao menos uma unidade na amostra de 30 falhe no teste (i.e. tenha conte´udo de umidade acima do aceit´avel).

(a) Cap´ıtulo 3, Pag 76–77: 1 a 7 (b) Cap´ıtulo 3, Pag 83-84: 1 a 6

(c) Cap´ıtulo 3, Pag 85–92: 1 a 7, 10 a 12, 16 a 27

13. Exerc´ıcios recomendados de Bussab e Morettin (5a ed.)

(a) Cap´ıtulo 6, pag 151–152: 20, 22 a 27 (b) Cap´ıtulo 6, pag 157–161: 29 a 37, 39, 40, 56 Respostas

1. (a) > dbinom(5, size = 15, prob = 0.25)

[1] 0.1651460

(b) > 1 - sum(dbinom(0:4, size = 15, prob = 0.25)) [1] 0.3135141

(c) > sum(dbinom(0:5, size = 10, prob = 0.25)) [1] 0.9802723

(d) > dbinom(0, size = 6, prob = 0.25) [1] 0.1779785

2. (a) > dpois(0, lambda = 0.5)

[1] 0.6065307 (b) > dpois(1, lambda = 0.5) [1] 0.3032653 (c) > dpois(2, lambda = 0.5) [1] 0.07581633 (d) > 1 - dpois(0, lambda = 0.5) [1] 0.3934693 3. X ∼ P oisson(λ = 0.4) (a) P[X=0] = > dpois(0, lam = 0.4) [1] 0.67032

2.5 Semana: 8 (cont.)

Assunto: distribui¸c˜oes de probabilidade e distribui¸c˜oes cont´ınuas

1. O intervalo entre chamadas a um servi¸co de suporte técnico é distribuido exponencialmente com tempo médio entre

chamadas de 15 minutos.

(a) Qual a probabilidade de n˜ao haver chamadas em um intervalo da 30 minutos?

(b) Qual a probabilidade de se ter ao menos uma chamada em um intervalo de 10 minutos?

(c) Qual a probabilidade que a primeira chamada chegue entre 5 a 10 minutos ap´os a abertura do servi¸co?

(d) Determine to intervalo de tempo para o qual a probabilidade de haver ao menos uma chamada no intervalo seja de 0,90.

(e) Qual o tempo esperado entre a chegada da terceira e quarta chamada?

2. Pesquise sobre a propriedade de falta de mem´oria de distribui¸c˜ao exponencial. Enuncie o teorema, verifique a prova, e

(12)

3. Seja X uma v.a. com distribui¸cão Gaussiana de média 10 e desvio padrão de 2 unidades. Determine: (a) P [X < 13]

(b) P [X > 9] (c) P [6 < X < 14] (d) P [5 < X < 9]

4. O tempo de rea¸cão de motoristas a um est´ımulo visual é distribuido segundo uma distribui¸cão normal de média 0,4

segundos e desvio padr˜ao de 0.05 segundos.

(a) Qual a probabilidade de uma rea¸c˜ao demore mais que 0,5 segundos?

(b) Qual a probabilidade de que a rea¸c˜ao demore entra 0,4 e 0,5 segundos?

(c) Qual o tempo de rea¸c˜ao que ´e excedido em 90% das vezes?

(a) Cap´ıtulo 7, pag 182–183: 13 a 21 (b) Cap´ıtulo 7, pag 194–199: 31, 33 a 39 Respostas

1. X ∼ exp(1/15)

(a) > 1 - pexp(30, rate = 1/15) [1] 0.1353353 (b) > pexp(10, rate = 1/15) [1] 0.4865829 (c) > qexp(0.9, rate = 1/15) [1] 34.53878 (d) 15 minutos 2. sem resposta

3. (a) > pnorm(13, mean = 10, sd = 2)

[1] 0.9331928

(b) > 1 - pnorm(9, mean = 10, sd = 2) [1] 0.6914625

(c) > pnorm(14, mean = 10, sd = 2) - pnorm(6, mean = 10, sd = 2) [1] 0.9544997

(d) > pnorm(9, mean = 10, sd = 2) - pnorm(5, mean = 10, sd = 2) [1] 0.3023279

4. (a) > 1 - pnorm(0.5, mean = 0.4, sd = 0.05)

[1] 0.02275013

(b) > pnorm(0.5, mean = 0.4, sd = 0.05) - pnorm(0.4, mean = 0.4, sd = 0.05) [1] 0.4772499

(c) > qnorm(0.1, mean = 0.4, sd = 0.05) [1] 0.3359224

(13)

2.6 Semana: 02-06/10

Assunto: aproxima¸c˜ao da binomial e Poisson pela normal

1. Se X ∼ Bin(n = 16, p = 0.5) use a distribuui¸c˜ao normal para calcular, aproximadamente, a probabilidade P [12 ≤ X ≤

15]. Compare a resposta com o valor exato calculado pela distribui¸c˜ao Binomial.

2. Em um canal de comunica¸c˜ao digital, assuma que o n´umero de bits recebidos com erro possa ser modelado com uma

variável aleatória com distribui¸cão Binomial, e assuma que a probabilidade de um bit ser recebido com erro seja de

1 × 10−5. Se 16 milh˜oes de bits s˜ao transmitidos, qual a probabilidade de que mais de 150 erros ocorram? Indique

como seria encontrada a solu¸c˜ao pela Binomial e resolva usando a aproxima¸c˜ao pela normal.

3. Considere o problema do exemplo anterior. Para ver qu˜ao bem a aproxima¸c˜ao funciona, assuma que apenas 50 bits

ser˜ao transmitidos e que a probabilidade de erro seja 0.1. Calcule a probabilidade exata de que no m´aximo 2 erros

ocorram e obtenha o mesmo valor usando a aproxima¸cão pela normal. Mostre em um gráfico as f.d.p. da variável

Binomial e normal.

4. Assuma que o número de part´ıculas em um cent´ımetro quadrado de poeira segue uma distribui¸cão Poisson com média

1000. Se um cent´ımetro quadrado ´e analisado, qual a probabilidade de que menos de 950 part´ıculas sejam encontradas?

(indique como seria a solu¸c˜ao pela Poisson e resolva usando a aprovima¸c˜ao pela normal). Qual a probabilidade de que

em 10 cm de poeira seja encontradas mais que 10.000 part´ıculas?

(a) Cap´ıtulo 6, Pag 203: 31 Respostas

1. > pN <- pnorm(15.5, mean = 16 * 0.5, sd = sqrt(16 * 0.5 * (1 - 0.5))) - pnorm(11.5,

+ mean = 16 * 0.5, sd = sqrt(16 * 0.5 * (1 - 0.5)))

> pN

[1] 0.03997074

> pB <- pbinom(15, size = 16, prob = 0.5) - pbinom(11, size = 16, prob = 0.5) > pB [1] 0.03839111 2. X : n´umero de bits X B(16.000.000, 10−5) X ≈ N (160, 160) P (X > 150) = ?

> pnorm(150.5, mean = 160, sd = sqrt(160), low = F) [1] 0.773686 3. X : n´umero de bits X B(50, 0.1) X ≈ N (5, 0.5) P (X ≤ 2) = ?

> pbinom(2, size = 50, prob = 0.1) [1] 0.1117288

> pnorm(2.5, mean = 5, sd = sqrt(0.5)) [1] 0.000203476

4.

X : n´umero de paticulas porcm2

X P oi(1000)

X ≈ N (1000, 1000)

(14)

> pnorm(949.5, mean = 1000, sd = sqrt(1000)) [1] 0.0551384

> pnorm(10000.5, mean = 10000, sd = sqrt(10000), low = F) [1] 0.4980053

2.7 Semana: 02-06/10

Assunto: outras distribui¸c˜oes cont´ınuas

1. Seja uma v.a. X com f.d.p. X ∼ χ2_{(ν = 7)}

(a) encontre o valor k tal que P[X < k] = 0,05 (b) encontre o valor k tal que P[X > k] = 0,80 (c) encontre o valor k tal que P[X > k] = 0,50 (d) encontre P [X < 5]

(e) encontre P [3, 5 ≤ X ≤ 15, 3] (f) encontre P [X ≥ 19, 2]

(g) encontre P [X < 4, 5|X > 16, 3] 2. Seja uma v.a. X com f.d.p. X ∼ t(ν = 15)

(a) encontre o valor k tal que P[X < k] = 0,025 (b) encontre o valor k tal que P[X > k] = 0,90

(c) encontre o valor k tal que P[X > k] = 0,10 (d) encontre P [X < 2]

(e) encontre P [−1, 5 ≤ X ≤ 1, 5] (f) encontre P [X ≥ −1]

(g) encontre P [X < −2.5|X > 2.5]

3. Seja uma v.a. X com f.d.p. X ∼ F (ν1= 5, ν2= 8)

(a) encontre o valor k tal que P[X > k] = 0,025 (b) encontre o valor k tal que P[X < k] = 0,90

(c) encontre o valor k tal que P[X > k] = 0,10 (d) encontre P [X > 4.5] (e) encontre P [X < 3.2] (f) encontre P [0.2 ≤ X ≤ 4] (g) encontre P [X < 0.25|X > 5] Respostas 1. > qchisq(0.05, df = 7) [1] 2.16735 > qchisq(0.2, df = 7) [1] 3.822322 > qchisq(0.5, df = 7) [1] 6.345811 > pchisq(5, df = 7) [1] 0.3400368 > pchisq(15.3, df = 7) - pchisq(3.5, df = 7) [1] 0.802885 > pchisq(19.2, df = 7, lower = F)

(15)

[1] 0.007583373

> pchisq(4.5, df = 7) + pchisq(16.3, df = 7, lower = F) [1] 0.3017952 2. > qt(0.025, df = 15) [1] -2.131450 > qt(0.1, df = 15) [1] -1.340606 > qt(0.9, df = 15) [1] 1.340606 > pt(2, df = 15) [1] 0.9680275 > pt(1.5, df = 15) - pt(1.5, df = 15) [1] 0 > pt(-1, df = 15, lower = F) [1] 0.833415 > pt(-2.5, df = 15) + pt(2.5, df = 15) [1] 1 3. > qf(0.025, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) [1] 4.817276 > qf(0.9, df1 = 5, df2 = 8) [1] 2.726447 > qf(0.1, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) [1] 2.726447 > pf(4.5, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) [1] 0.03003188 > pf(3.2, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) [1] 0.07010112 > pf(4, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) - pf(0.2, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) [1] -0.9127496 > pf(0.25, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) + pf(5, df1 = 5, df2 = 8, lower = F) [1] 0.950879

(16)

2.8 Semana: 09-13/10 e 16-19/10

Assunto: distribui¸c˜oes amostrais

1. A resistência de um concreto tem média de 2500 psi e desvio padrão de 50 psi. Encontre a probabilidade de que uma

amostra aleatória de n = 5 corpos de prova possua um diâmetro médio amostral que esteja no intervalo de 2499 a 2510.

2. Uma popula¸cão normal tem média 100 e variância 25. Qual deveria ser o tamanho de uma amostra de tal forma que

o erro padr˜ao da m´edia amostral fosse de 1,5 ?

3. O tempo que um passageiro gasta esperando para fazer um ckeck-in em um aeroporto é uma variável aleatória com

média 8,2 minutos e desvio padrão de 1,5 minutos. Suponha que uma amostra aleatória de n = 49 passageiros é

observada. Encontre a probabilidade de que o tempo m´edio de espera na fila desta amostra seja:

(a) menos que 10 minutos (b) entre 5 e 10 minutos

(c) menos que 6 minutos

(a) Cap´ıtulo 7, Pag 227-228: 1, 4, 5, 6 e 7

(a) Cap´ıtulo 10, pag 274–277: 7 a 13 (b) Cap´ıtulo 10: pag 281: 17 e 18 (c) Cap´ıtulo 10: pag 283–288: 21, 22, 24 a 29, 33, 34 Respostas 1. > diff(pnorm(c(2499, 2510), mean = 2500, sd = 50/sqrt(5))) [1] 0.1904749 2. > ceiling(25/(1.5^2)) [1] 12 3. (a) > pnorm(10, m = 8.2, sd = 1.5/7) [1] 1 (b) > diff(pnorm(c(5, 10), m = 8.2, sd = 1.5/7)) [1] 1 (c) > pnorm(6, m = 8.2, sd = 1.5/7) [1] 4.979314e-25

2.9 Semana: 22-26/10

Assunto: distribui¸c˜oes amostrais (cont.)

1. Uma amostra aleat´oria de 50 capacetes usados por motociclistas e pilotos de corridas foi submetida a um teste de

impacto. Em 18 destes capacetes foi observado algum dano.

(a) encontre um intervalo de confian¸ca de 95% para a propor¸c˜ao p de capacetes deste tipo que mostrariam danos para

este teste.

(b) idem para um intervalo de confian¸ca a 99%.

(c) usando a estimativa pontual de p obtida da amostra preliminar de 50 capacetes, encontre o n´umero de capacetes

que deveria ser testado para que no intervalo de confian¸ca (95%) a margem de erro obtida na estima¸c˜ao fosse

menor que 0,02.

(d) Qual deveria ser o tamanho da amostra caso quis´essemos, com 95% de confian¸ca, que o erro em estimar p fosse

menor que 0,02, independentemente do valor de p.

2. De 1000 casos selecionados ao acaso de cˆancer de pulm˜ao, 823 resultaram em morte.

(a) Qual a margem de erro a 90, 95 e 99% associada `a estimativa da taxa de morte?

(17)

3. Uma indústria produz anéis para pistons de ve´ıculos automotores. É sabido que o diâmetro do anel é distribu´ıdo

aproximadamente segundo uma distribui¸cão normal com desvio padrão de 0,001 mm. Uma amostra aleatória de 15

anéis tem um diâmetro médio de 74,036 mm. Construa um intervalo de confian¸ca de 99% para o diâmetro médio do

piston.

> 74.036 + qnorm(c(0.005, 0.995)) * 0.001/15 [1] 74.03583 74.03617

4. Um produtor de detergente l´ıquido est´a interessado na uniformidade da m´aquina usada para encher as embalagens.

Para verificar isto foi tomada uma amostra de 20 garrafas para as quais foi medido o volume de l´ıquido. A variˆancia

amostral foi de S2_{= 0.0153 unidades}2_{. Assumindo que a distribui¸}_c˜_{ao dos volumes ´}_{e aproximadamente normal N (µ, σ}2_).

(i)obtenha um intervalo de confian¸ca de 95% para a variˆancia da popula¸c˜ao.

(ii)deseja-se que o desvio padr˜ao σ do processo de enchimento seja inferior a 0.15 para evitar que uma quantidade

consider´avel de garrafas tenha baixo volume. Baseando-se no intervalo de confian¸ca pode-se dizer que o desvio

padrão está dentro da especifica¸cão desejada?

> c((20 - 1) * 0.0153/qchisq(0.975, df = 19), (20 - 1) * 0.0153/qchisq(0.025,

+ df = 19))

[1] 0.008848688 0.032639023

5. Um sistema operacional para um computador pessoal foi estudado extensivamente e se sabe que o desvio padr˜ao do

tempo de resposta a um particular comando é de σ = 8 milisegundos. Uma nova versão do sistema operacional é

instalada e desejamos tomar uma amostra para estimar o tempo de resposta m´edio para o novo sistema, assegurando

que o comprimento do intervalo de confian¸ca para µ seja de no m´aximo 5 milisegundos. Se assumirmos que o tempo de

resposta no novo sistema operacional tem distribui¸c˜ao normal e assumindo que σ = 8 milisegundos permanece v´alido

para o novo sistema, qual o tamanho de amostra ´e recomendado?

Vamos assumir IC de 95%:

> n <- (2 * qnorm(0.975) * 8/5)^2 > n

[1] 39.33654

(a) Cap´ıtulo 7, Pag 234–235: 1 a 5

(b) Cap´ıtulo 7. Pag 235–242: 5, 9 a 18, 20 a 2933, 34

(a) Cap´ıtulo 10, pag 274–277: 7 a 13 (b) Cap´ıtulo 10: pag 281: 17 e 18 Respostas

1. (a) intervalo assint´otico:

> phat <- 18/50

> ica <- phat + qnorm(c(0.025, 0.975)) * sqrt(phat * (1 - phat)/50) > ica

[1] 0.2269532 0.4930468 intervalo conservador

> icc <- phat + qnorm(c(0.025, 0.975)) * sqrt(1/(4 * 50)) > icc

[1] 0.2214096 0.4985904

(b) intervalo assint´otico:

> phat <- 18/50

> ica <- phat + qnorm(c(0.005, 0.995)) * sqrt(phat * (1 - phat)/50) > ica

[1] 0.1851469 0.5348531 intervalo conservador

> icc <- phat + qnorm(c(0.005, 0.995)) * sqrt(1/(4 * 50)) > icc

(18)

[1] 0.1778614 0.5421386

(c) > ceiling(phat * (1 - phat) * (qnorm(0.975)^2)/(0.02^2)) [1] 2213

2. (a) > phat <- 823/1000

> me90 <- qnorm(0.95) * sqrt(phat * (1 - phat)/1000) > me90

[1] 0.01985244

[1] 0.02365564

[1] 0.03108878

(b) > ceiling(phat * (1 - phat) * (qnorm(0.975)^2))/(0.03^2) [1] 1111.111

> ceiling(phat * (1 - phat) * (qnorm(0.975)^2))/(0.005^2) [1] 40000

2.10 Semana: 29/10 - 02/11

Assunto: Testes de Hip´oteses Referˆencias para leitura/estudo/consulta:

Magalh˜aes e Lima (6a _{ed.), Cap´ıtulo 8}

1. Defina os termos:

(a) hip´otese estat´ıstica

(b) erro tipo I (c) erro tipo II

(d) hip´otese unilateral

(e) hip´otese bilateral

(f) n´ıvel de significˆancia (tamanho do teste)

(g) poder do teste

(h) região de rejei¸cão da hipótese nula H0 (região cr´ıtica)

2. Um fabricante de fibras texteis está investigando uma nova formula¸cão na composi¸cão do material que o fornecedor

garante que tem uma medida de elasticidade com m´edia de 12 kg com desvio padr˜ao de 0,5 kg. O fabricante deseja

testar a hip´otese H0: µ = 12 versus H1: µ < 12 usando uma amostra aleat´oria de 4 unidades.

(a) qual a probabilidade do erro tipo I se a regi˜ao cr´ıtica ´e definida como ¯x < 11, 5 kg?

(b) Encontre a probabilidade do erro tipo II para o caso do valor verdadeiro da elasticidade m´edia ser de 11,25 kg.

3. O calor (em calorias por grama) em uma mixtura de cimento tem distribui¸c˜ao aproximadamente normal onde assume-se

que a média é de 100 e o desvio padrão de 2. Desejamos testar H0: µ = 100 versus H1: µ 6= 100 com uma amostra de

9 unidades.

(a) Encontre a probabilidade α do erro tipo I quando a região de não rejei¸cão da hipótese nula é definida como sendo

98, 5 ≤ ¯x ≤ 101.5.

(b) Encontre a probabilidade β do erro tipo II caso a verdadeira m´edia seja de 103.

(c) Encontre a probabilidade β do erro tipo II caso a verdadeira m´edia seja de 105. O valor de β aqui ´e maior ou

menor do que no ´ıtem anterior? Por que?

4. Um engenheiro pesquisador de um fabricante de pneus est´a investigando a vida dos pneus com um novo componente

de borracha. Ele produziu 16 pneus com este novo componente e os testou anotando a kilometragem de vida ´util em

um teste de estrada. Os dados em km s˜ao mostrados abaixo.

60.613 59.784 60.545 69.947 59.836 60.221 60.257 60.135

(19)

(a) O engenheiro gostaria de demonstrar que o tempo m´edio de vida dos novos pneus excede 60.000 km. Formule as

hip´oteses e proceda um teste adequado tirando conclus˜oes com α = 0, 05.

(b) Suponha que o tempo m´edio de vida com a nova formula¸c˜ao seja de 61.000 km. O engenheiro gostaria de detectar

esta diferen¸ca com probabilidade de ao menos 0,90. O tamanho de amostra usado de n = 16 foi adequado? (para

fazer os cálculos e tirar conclusões use a variância amostral S como uma estimativa de σ).

5. A fra¸cão de circuitos integrados defeituosos produzidos num processo fotolitográfico está sendo estudada. Tomou-se

uma amostra aleat´oria de 300 circuitos que foram testados, dos quais 13 revelaram-se defeituosos. Use estes dados para

testar a hip´otese a respeito da propor¸c˜ao p da defeituosos H0: p = 0, 05 versus H1: p 6= 0, 05.

(a) Cap´ıtulo 12, pag 329–330: 1, 2, 4 e 5 (b) Cap´ıtulo 12, pag 334: 6 a 9

(c) Cap´ıtulo 12, pag 337: 10 a 13 (d) Cap´ıtulo 12, pag 341: 14

(e) Cap´ıtulo 12, pag 343-334: 16 e 17 Respostas 1. 2. > pnorm(11.5, m = 12, sd = 0.5/sqrt(4)) [1] 0.02275013 > pnorm(11.5, m = 11.25, sd = 0.5/sqrt(4), lower = F) [1] 0.1586553 3. > pnorm(98.5, m = 100, sd = 2/sqrt(9)) + pnorm(101.5, m = 100, sd = 0.5/sqrt(9), + lower = F) [1] 0.01222447 > pnorm(101.5, m = 103, sd = 2/sqrt(9)) - pnorm(98.5, m = 103, sd = 2/sqrt(9)) [1] 0.01222447 > pnorm(101.5, m = 105, sd = 2/sqrt(9)) - pnorm(98.5, m = 105, sd = 2/sqrt(9)) [1] 7.60496e-08 4. > km <- c(60613, 59784, 60545, 69947, 59836, 60221, 60257, 60135, 59554, 60311, + 60000, 60220, 60252, 50040, 59997, 60523)

> t.test(km, alt = "greater", mu = 60000) One Sample t-test

data: km

t = 0.1533, df = 15, p-value = 0.4401

alternative hypothesis: true mean is greater than 60000 95 percent confidence interval:

58541.81 Inf sample estimates: mean of x 60139.69 > vc <- qnorm(0.95, m = 60000, sd = sqrt(var(km)/16)) > P <- pnorm(vc, m = 61000, sd = sqrt(var(km)/16)) > { + if (P < 0.9)

+ cat("tamanho de amostra n=16 insuficiente para detectar diferen¸ca\n")

+ else cat("tamanho de amostra n=16 suficiente para detectar diferen¸ca\n")

(20)

tamanho de amostra n=16 insuficiente para detectar diferen¸ca

5. > prop.test(13, 300, p = 0.05, alt = "two.sided", conf = 0.95, cor = F) 1-sample proportions test without continuity correction

data: 13 out of 300, null probability 0.05

X-squared = 0.2807, df = 1, p-value = 0.5962

alternative hypothesis: true p is not equal to 0.05 95 percent confidence interval:

0.02549645 0.07271747 sample estimates:

p 0.04333333

2.11 Semanas: 6 a 10/11, 13 a 18/11

Assunto: Testes de Hip´oteses (cont.) Referˆencias para leitura/estudo/consulta:

Magalh˜aes e Lima (6a _{ed.), Cap´ıtulo 9, at´}_{e p´}_{agina 321}

1. O conteúdo de a¸cucar da calda de pessêgos enlatados tem distribui¸cão normal, e pensa-se que a variância é de σ2= 18

(mg2). Testar a hip´otese H0: σ = 18 versus H1: σ 6= 18 sabendo que uma amostra aleat´oria de n = 10 latas produziu

um desvio padr˜ao amostral de S = 4.8 mg, usando α = 0, 05. Encontre o valor-P deste teste.

2. Duas m´aquinas s˜ao usadas para encher garrafas com volume l´ıquido desejado de 16 on¸cas. Pode-se assumir que o

volume segue uma distribui¸c˜ao normal, com desvio padr˜ao σ1 = 0, 020 e σ2 = 0, 025 on¸cas. Um membro do time

de controle de qualidade suspeita que ambas m´aquinas enchem as garrafas com o mesmo volume, independente deste

volume ser ou não igual a 16 on¸cas. Uma amostra aleatória de 10 garrafas foi tomada de cada máquina e so volumes

anotados conforme a tabela a seguir.

M´aquina 1 16,03 16,04 16,05 16,05 16,02 16,01 15,96 15,98 16,02 15,99

M´aquina 2 16,02 15,97 15,96 16,01 15,99 16,03 16,04 16,02 16,01 16,00

(a) teste para cada máquina individualmente, usando α = 0, 05 a hipótese de que o volume está dentro da especifica¸cão.

Encontre o valor-P destes testes.

(b) Voce acha que a suspeita do engenheiro est´a correta? Fa¸ca um teste adequado utilizando α = 0, 05. Encontre o

valor-P deste teste.

(c) Qual o poder deste teste caso a verdadeira diferen¸ca de m´edias seja de 0,08?

(d) suponha que as variâncias das duas máquinas não são conhecidas. Utilizando os dados da amostra, teste a hipótese

de que as variˆancias dos volumes s˜ao diferentes.

(e) repita o teste de compara¸cão dos volumes médios, assumindo agora que as variâncias das máquinas são

desconhe-cidas.

3. Dois munic´ıpios A e B s˜ao conectados por uma avenida para a qual est´a se discutindo o limite de velocidade. Uma

amostra aleat´oria de 500 indiv´ıduos do munic´ıpio A mostrou que 385 estavam a favor do aumento do limite de velocidade

para 80 km/h. J´a no munic´ıpio B uma amostra de 400 adultos mostrou que 267 estavam a favor de tal aumento. Fa¸ca

um teste de hipótese (α = 0, 05) para verificar se as propor¸cões de habitantes favoráveis ao aumento de velocidade nos

dois munic´ıpios s˜ao iguais. Encontre o valor-P deste teste.

4. (Magalhães e Lima, pg 257, exerc´ıcio 4) O consumo médio de gasolina num certo tipo de automóvel é de 15 km/litro,

segundo informa¸c˜oes da montadora. Uma revista espacializada verificou o consumo em 25 desses ve´ıculos, escolhidos

ao acaso, e constatou consumo m´edio de 14,3 km/litro. Admita que o consumo siga o modelo Normal com variˆancia

igual a 9 (km/litro)2_.

Teste, ao n´ıvel de significância de 6%, a afirma¸cão da montadora de que a média de consumo é igual a 15 km/litro, contra a alternativa de ser igual a 14 km/litro.

Determine a probabilidade do erro tipo II.

(a) Cap´ıtulo 9, Pag 312–313: 1 a 6 (b) Cap´ıtulo 9, Pag 320–321: 2, 3 e 4

(c) Cap´ıtulo 9, Pag 341–348: 1 a 19

(21)

(a) Cap´ıtulo 13, pag 361: 1 a 3 (b) Cap´ıtulo 13, pag 365–366: 4 a 9

(c) Cap´ıtulo 13, pag 384–388: 20 a 22, 24 a 26, 29 a 34 (d) Cap´ıtulo 13, pag 341: 14

(e) Cap´ıtulo 13, pag 343-334: 16 e 17 Respostas

1. > chi2c <- (10 - 1) * (4.8^2)/18

> chi2t <- qchisq(c(0.025, 0.975), df = 9) > {

+ if (chi2c < chi2t[1] | chi2c > chi2t[2])

+ cat("rejeita-se H0\n")

+ else print("nao rejeita-se H0\n")

+ }

[1] "nao rejeita-se H0\n"

2. > m1 <- c(16.03, 16.04, 16.05, 16.05, 16.02, 16.01, 15.96, 15.98, 16.02, 15.99) > m2 <- c(16.02, 15.97, 15.96, 16.01, 15.99, 16.03, 16.04, 16.02, 16.01, 16) > valorPa1 <- 2 * pnorm(abs(mean(m1) - 16)/(0.02/sqrt(length(m1))), low = F) > valorPa1

[1] 0.01770607

> valorPa2 <- 2 * pnorm(abs(mean(m2) - 16)/(0.025/sqrt(length(m2))), low = F) > valorPa2

[1] 0.5270893

> valorPb <- 2 * pnorm(abs(mean(m1) - mean(m2))/sqrt((0.02/length(m1)) + (0.02/length(m2))),

+ low = F)

> valorPb [1] 0.874367

> vc <- qnorm(0.975, sd = sqrt((0.02/length(m1)) + (0.02/length(m2))))

> poder <- 2 * pnorm(vc, m = 0.08, sd = sqrt((0.02/length(m1)) + (0.02/length(m2))),

+ lower = F)

> poder [1] 0.4870221 > var.test(m1, m2)

F test to compare two variances

data: m1 and m2

F = 1.4103, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.6168

alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval:

0.3502877 5.6776841 sample estimates: ratio of variances

1.410256

> t.test(m1, m2, var.eq = T) Two Sample t-test

data: m1 and m2

t = 0.7989, df = 18, p-value = 0.4347

alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval:

-0.01629652 0.03629652

sample estimates: mean of x mean of y

(22)

3. > prop.test(c(385, 267), n = c(500, 400), alt = "two.sided", conf = 0.95, cor = F) 2-sample test for equality of proportions without continuity correction

data: c(385, 267) out of c(500, 400)

X-squared = 11.6956, df = 1, p-value = 0.0006265 alternative hypothesis: two.sided

95 percent confidence interval: 0.04340589 0.16159411

sample estimates: prop 1 prop 2 0.7700 0.6675

4. Solu¸c˜ao:

Seja X: o consumo em km/litro, X ∼ N (µ, σ2= 9).

Deseja-se testar H0 : µ = 15 vs Ha : µ = 14. Sabe-se que ¯X ∼ N (µ, σ2 = 9/25). Sob H0: µ = 15 e para α = 0, 06 o

valor cr´ıtico é de: Portanto se o valor obtido na amostra for menor que o valor cr´ıtico rejeita-se H0, caso contrário não

rejeita-se.

Para calcular a probabilidade do erro tipo II fazemos:

β = P [erro tipo II] = P [n˜ao rejeitarH0|H0´e falsa] = P [ ¯X > xc|µ = 14]

> xc <- qnorm(0.06, m = 15, sd = sqrt(9/25)) > xc

[1] 14.06714 > {

+ if (14.3 < xc)

+ cat("rejeita-se H0, ou seja, as dados apoiam a hipótese de que a média é 14.\n")

+ else cat("n~ao rejeita-se H0, ou seja, os dados apoiam a hipótese de que a média é 15\n")

+ }

n~ao rejeita-se H0, ou seja, os dados apoiam a hipótese de que a média é 15

> pnorm(xc, m = 14, sd = sqrt(9/25), lower = F) [1] 0.4554541