MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Curso das Engenharias 2 SISTEMAS LINEARES

Índice de tabelas

Sumário

CAPITULO 2...4

2 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES...4

TRANFORMAÇÕES ELEMENTARES...5 2.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS...6 2.1.1 EXERCÍCIOS...6 2.2 PIVOTAMENTO PARCIAL...13 2.2.1 Estratégias De Pivotamento...13 2.2.1.1 Pivotação parcial...13 2.3.1 Exercicios...15

2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO...17

2.4 FATORIZAÇÃO LU...20

2.4.1 EXERCICIOS...23

2.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY...28

2.5.1 Exercicios...29

2.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES...33

2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi...34

2.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi...34

2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel...37

2.6.3 Exercicios...39

2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO...39

2.7.1 Norma Matricial...40

2.7.1.1 Exercicios...41

J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA...44

L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO...45

2.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA...45

2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab...47

2.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima...47

CAPITULO 2

2 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

• Para BARROSO (1987, p.17) através de um sistema linear Sn de n equações e n

variáveis pode-se aplicar em calculo de estruturas, redes elétricas e solução de equações diferenciais, entre outras.

• Um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas:

S_n=

a₁₁x₁a₁₂x₂...a1nxn=b1

a₂₁x₁a₂₂x₂...a2nxn=b2

...

a_n1x₁a_n2x 2...annxn=bn

• Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como Ax=b, onde A é uma matriz

aumentada quadrada de ordem n, b e x são matrizes n por 1 , e aij é chamado de

coeficiente da variável xj e os bj são chamados de termos independentes.

• A matriz A é chamada matriz dos coeficientes e a matriz aumentada ou matriz completa do sistema. B=

[

a₁₁a₁₂... a_1nb₁ a₂₁a₂₂... a2nb2 ... a_n1a_n2... annbn

]

= [A:b]1

Os números x₁,  x₂,. .. ,x_n constituem uma solução do sistema linear e as equações transformam em igualdades numéricas.

A solução é escrito na forma de matriz coluna:

X =

[

x₁ x₂ ... x_n T

]

1Concatenção de matrizes

• Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao numero de soluções em compatível, quando tem solução e incompatível não tem solução.

• Os sistemas compatíveis podem ser determinados ( uma solução) ou indeterminados ( varias soluções).

TRANFORMAÇÕES ELEMENTARES

BARROSO (1987,p.17)

• trocar a ordem de duas equações do sistema

• multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula • adicionar duas equações do sistema

LEON (2011, p.13) Sistemas

sobredeterminados-• há mais equações que variáveis, são geralmente inconsistentes. LEON (2011, p.15) Sistemas Subdeterminados

• menos equações do que variáveis.

• Um sistema subdeterminado possa ser inconsistente , mas geralmente são consistentes com um numero infinito de soluções.

Métodos diretos: estes métodos determinam a solução de um sistema linear com um numero finito de operações. BARROSO(1987, p.17)

DALCIDIO( 1989,p.68), o método de Gauss é indicado para matrizes densas não simétricas de ordem até 50.

a) ELIMINAÇÃO DE GAUSS 2.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS 2.1.1 EXERCÍCIOS

1) BOLDRINI ( 1980, p.51), resolva os sistemas lineares:

a) x1+2x2-x3+3x4=1 b) x+y+z=4 c) x +y+z=4 d) x-2y+3z=0

2x+5y-2z=3 2x+5y-2z=3 2x+5y+6z=0 x+7y-7z=5

2) FRANCO (2009, p.162) aplicações práticas. Sejam x1,x2,x3,x4 o numero de quatro produtos que podem ser produzidos no decorrer de uma semana. Para a produção de cada unidade , precisa-se de tres tipos diferentes de matérias-primas A, B e C, conforme indicado na tabela 1.0:

Tabela 1- Matéria Prima e Produtos

materia-prima produtos A B C 1 1 2 4 2 2 0 1 3 4 2 3 4 3 1 2

Para produzir uma unidade de (1) precisa-se de 1 unidade de A, 2 de B e 4 de C. Se existem disponíveis 30,20 e 40 unidades de A, B, C, respectivamente , quantas unidades de cada produto pode ser produzido? Resolva o sistema linear pela eliminação de Gauss.

X =

[

6 −x₄+8 2 −x₄+8 2 x4

]

3) BOLDRINI ( 1980, p.54)Faça o balanceamento das reações: a)HF + SiO2 →SiF4+H2O ( dissolução do vidro em HF)

SOLUÇÃO :

xHF + ySiO2 →zSiF4+tH2O

equações do balanceamento da reação química H: x =2t

F: x=4z Si: y =z O: 2y =t

4) LEON (2011, p.17) FLUXO DE TRÁFEGO. Em uma regiao central de certa cidade, dois conjuntos de ruas mão única se interceptam conforme figura seguir . O volume de trafego

* em cada intersecção, o numero de automóveis entrando deve ser o mesmo que o numero saindo. x1+450=x2+610 ( intersecção A) x2+520=x3+480 ( intersecção B) x3+390=x4+600 ( intersecção C) 450 310 A D 610 x1 640 x4 x2 520 B x3 C 600 520 x3 480 390

x4+640=x1+310 ( intersecção D)

• em seguida resolver o sistema linear. • RESPOSTA: [k+330;k+170;k+210;k]T

5) LEON (2011, p.24) FLUXO DE TRÁFEGO.Em uma regiao central de certa cidade, dois conjuntos de ruas mao única se interceptam conforme figura seguir . O volume de tráfego:

resposta: x1=280 x2=230 x3=350 x4=590 LEIS DE KIRCHHOF

LEON(2011, p.18)

1. em qualquer nó , a soma das correntes entrando é igual a soma das correntes saindo.

2. Ao longo de qualquer malha fechada, a soma algebrica de todos os ganhos de tensão deve ser igual a soma algebrica de todas as quedas de tensão.

380 x4 430 A x1 D 450 x2 420 400 540 B x3 C 420 470

6)LEON(2011, p.18)

As quedas de tensao E cada resistor são dadas pela lei de Ohm, E=iR onde i representa a corrente em ampéres e R a resistencia em ohms.

Solução : primeira lei i1+i3=i2 ( nó A) i2=i1+i3 ( nó B)

segunda lei 4i1 +2i2=8 malha superior 2i2 +(2+3)i3=9 malha inferior resposta: i1=1 i2=2 i3=1

7) LEON( 2011, p.25)

a) solução : (nó A) i1+i3=i2 ( nó B) i2=i1+i3 2i1 +2i2=16

2i2 +3i3=0 resposta:[ 5;3;-2] b) solução ( no A) i2=i1+i3

( no B) i2=i1+i3 2i1+ 4i2=20 4i2+2i3=20

c) solução : (nó A) i1+i3==i2 ( nó B) i1+i4=i2 ( nó C) i3+i6=i5 ( nó D) i5=i4+i6 malha superior 2i2+4i1=8 malha 2i2+4i5=0 malha inferior 4i5 +5i6=10 resposta: (2,0,-2,-2,0,2)

8) BARROSO(1987, p.37), determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do método de Eliminação de Gauss: 4 casas

a)

2x13x2x3−x4=6,9 −x1 x2−4x3x4=−6,6

x1 x2x3x4=10,2 4x1−5x2x3−2x4=−12,3

solução exata do sistema

[

−1 1 −4 1 −6,6 2 3 1 −1 6,9 1 1 1 1 10,2 4 −5 1 −2 −12,3

]

pivo:-1 operações: 2L1+L2 ; 1*L1+L3 ; 4L1+ L4

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 5 −7 1 −6,3 0 2 −3 2 3,6 0 −1 −15 2 −38,7

]

permutando L2 e L4

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 −1 −15 2 −38,7 0 2 −3 2 3,6 0 5 −7 1 −6,3

]

pivo: -1 operações: 2L2+L3 ; 5*L2+L4

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 −1 −15 2 −38,7 0 0 −33 6 −73,8 0 0 −82 11 −199,8

]

pivo : -33 -2,4848*L3+ L4

[

−1 1 −4 1 −6,6 0 −1 −15 2 −38,7 0 0 −33 6 −73,8 0 0 0 −3,9088 −16,4218

]

x4=4,2012 x3=3,0002 x2=2,0994 x1=0,8998 ̃b=

[

6,8968 −6,6 10,2006 −12,3

]

resíduo=

[

0,0032 0 −0,0006 0

]

* todos os resíduos menores que 10-2

b) PIVOTAMENTO PARCIAL 2.2 PIVOTAMENTO PARCIAL

2.2.1 Estratégias De Pivotamento 2.2.1.1 Pivotação parcial

▪ CLAUDIO(1989, p.76-79) , é o mesmo que algoritmo de Gauss, com um troca de linhas sistemáticas, de modo a minimizar os erros de arredondamento. ▪ A escolha dos pivôs é feita da seguinte maneira:

1. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 1

2. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 2 da matriz-resto. * outra variante técnica do pivotamento parcial é tornar os pivos unitários visando diminuir o erro de arredondamento.

2.2.1.2 GILAT ( 2008, p. 124) Potenciais dificuldades encontradas com a aplicação do método de eliminação de Gaus

a) o elemento pivo é igual a zero

• se o valor do pivo for igual a zero pode ser corrigido com a mudança da ordem das linhas ( outro pivo diferente de zero) chamado de pivotação.

b)o elemento pivo é pequeno em relação aos demais termos da linha pivo. • Ocorre erros de arredondamento significativos.

9) Seja o sistema linear SPF( 10,4,-10,10) : 0,0003x1 + 12,34x2=12,343 0,4321x1 +x2=5,321 soluçao exata: X =

[

10 1

]

solução:

[

0,0003 12,34 12,343 0,4321 1 5,321

]

* usando notação de ponto flutuante o numero 12,343= 0,12343*102_{= 0,1234*10}2_=12,34

[

0,0003 12,34 12,34 0,4321 1 5,321]

usando a eliminação de Gauss. m1=-0,4321/0,0003=-1440,3333=0,14403333*104 _{=-1440 ( SPF(10,4,-10,10)} • -1440*12,34+1=-17768,6=-0,177686*105=0,1777*105=-17770 • -1440*12,34+5,321=-17764,279=-0,1776*105=-17760

[

0,0003 12,34 12,34 0 −17770 −17760

]

x2=0,9994 operação realizada :m1*L1+L2 primeira linha 0,0003*x1+12,34*x2=12,34 0,0003*x1+12,34*0,9994=12,34 0,0003*x1+12,33=12,34 x1=33,33

Aplicando o pivotamento parcial

[

0,4321 1 5,321

0,0003 12,34 12,34

]

m1=0,0003/0,4321=0,0006943=0,6943*10-3

[

0,4321 1 5,321

0 12,34 12,34] x2=1 x1=10

10) FRANCO( 2009, p.146-147) Através do método de eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:

0,0001x1+ x2=1 x1+x2=2

usando em todas as operações com tres digitos significativos. X=[0;1] solução :

[

0,0001 1 1 1 1 2

]

[

0,0001 1 1 0 −9999 −9998

]

m1=-10000

x2=1 e x1=0

11) Resolver pelo pivoteamento parcial resposta: x=[1;1]

[

1 1 2 0,0001 1 1

]

m1=-0,0001

[

1 1 2 0 1 1] x1=1 x2=1 2.3.1 Exercicios

12) CLAUDIO (1987, p.89) Resolva o sistema linear com pivoteamento parcial usando 5 casas após a virgula:

2,4759 x1 +1,6235x2+4,6231x3=0,0647 1,4725 x1+ 0,9589x2-1,3253x3=1,0473 2,6951x1+2,8965x2-1,4794x3=-0,6789

[

2,6951 2,8965 −1,4794 −0,6789 0 −0,62363 −0,51702 1,41822 0 −1,03743 5,98218 0,68839

]

m1=-0,54636 m2=-0,91867 m1*L1+L2 m2*L1+L3

[

2,6951 2,8965 −1,4794 −0,6789 0 −1,03743 5,98218 0,68839 0 0 −4,11309 1,00441

]

m3=-0,60113 m3*L2+L3

X =

[

−2,071691,84056 −0,24420

]

̃b=

[

0,064691,04732 −0,67889

]

b−̃b=resíduo=r=

[

−0,000020,00001 −0,00001

]

para calcular ̃b faz-se a substituição do X no sistema de equações.

13) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do método da Pivotação parcial. * 4 casas após a virgula

a)

2x13x2x3−x4=6,9 −x1 x2−4x3x4=−6,6

x1 x2x3x4=10,2 4x1−5x2x3−2x4=−12,3

c) PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO 2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO

• Em sistema linear escolhe o elemento de maior módulo e não pertencente à coluna dos termos independentes.

• Quando ocorre um pivo nulo deve-se efetuar uma troca de linhas para escolher um pivo não nulo.

• Outra maneira de se evitar o pivo nulo é usar o método da pivotação completa.

• Esta pivotação minimiza a ampliação dos erros de arredondamento durante as eliminação, sendo recomendado na resolução de sistemas lineares de maior porte. BARROSO(1987, p.40).

14) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do método da Pivotação Completa : 4 casas após a virgula

a) 2x1+3x2+ x3− x4=6,9 −x1+x2−4x3+ x4=−6,6 x1+ x2+ x3+x4=10,2 4x1−5x2+ x3−2x4=−12,3 SOLUÇAO: permutou a L1 com L4 4 −5 1 −2 −12,3 −1 1 −4 1 −6,6 1 1 1 1 10,2 2 3 1 −1 6,9 pivo: -5 0,2*L1+L2 0,2*L1+L3 0,6*L1+L4

4 −5 1 −2 −12,3 −0,2 0 −3,8 0,6 −9,06 1,8 0 1,2 0,6 7,74 4,4 0 1,6 −2,2 −0,48 pivo: 4,4 permutou a L4 com L2 4 −5 1 −2 −12,3 4,4 0 1,6 −2,2 −0,48 1,8 0 1,2 0,6 7,74 −0,2 0 −3,8 0,6 −9,06 operações L2 ~ L3 ; L2~L4 -0,4091*L2+L3 0,0455*L2+L4 4 −5 1 −2 −12,3 4,4 0 1,6 −2,2 −0,48 0 0 0,5454 1,5 7,9364 0 0 −3,7272 0,5 −9,0818 pivo: -3,7272 0,1463*L3+L4 permutar L4 ~L3 1,5731 x4=6,6077 VETOR SOLUÇAO: X =

[

0,9002 2,1 3 4,2004

]

̃b=

[

6,9 −6,5998 10,2005 −12,3

]

resíduo=

[

0 −0,0002 −0,0005 0

]

b) 4x13x22x3 x4=10 x12x23x34x4=5 x1−x2−x3−x4=−1 x1x2x3 x4=3 4 3 2 1 10 0 1,25 2,5 3,75 2,5 0 -1,75 -1,5 -1,25 -3,5 0 0,25 0,5 0,75 0,5 Pivo: 4 4 3 2 1 10 0 1,25 2,5 3,75 2,5 0 -1,3333 -0,6667 0 -2,6667 0 0 0 0 0 Pivo:3,75 Pivo: -0,6667 primeira equação : 4*x1+3*x2+2*x3+1*x4=10 isolando a variável do pivo

x 1=10−x 4−2∗x 3−3∗x 2 4

segunda equação

1,25*x2+2,5*x3+3,75*x4=2,5 isolando a variável do pivo

x 4=2,5−1,25∗x 2−2,5∗x 3 3,75

terceira equação

-1,3333*x2-0,6667*x3=-2,6667 isolando a variável do pivo

x 2=−2,6667+0,6667∗x 3 −1,3333

quarta equação

0x3=0 (variável livre- aparece em todas as equações) x 3=λ

15) BARROSO( 1987, p.41) Resolver o sistema linear , usando 5 casas após a vírgula: 0,8754 x1+3,0081 x2+0,9358 x3+1,1083 x4=0,8472 2,4579 x₁−0,8758 x₂+1,1516 x₃−4,5148 x₄=1,1221 5,2350 x1−0,8473 x2−2,3582 x3+1,1419 x4=2,5078 2,1015 x₁+8,1083 x₂−1,3232 x₃+2,1548 x₄=−6,4984 resposta: X=[1;-1;2;1]T

i) pivotamento total ii) pivotamento parcial iii) eliminação de Gauss

d) FATORIZAÇÃO LU 2.4 FATORIZAÇÃO LU

• Para KOLMAN (1999, p.443), uma matriz é decomposta como um produto de uma matriz triangular inferior com uma matriz triangular superior.

• Esta decomposição leva o algoritmo para resolver um sistema linear Ax=b.

• A popularidade deste método faz com que forneça uma maneira mais “ barata” de resolver um sistema linear quando se faz uma mudança no vetor b de Ax=b.

• A decomposição para resolver o sistema linear , onde U e´ a matriz triangular superior e L e´ uma matriz triangular inferior.

• A matriz U e´ resolvida sem colocar a matriz aumentada [ U: b], e possuem todos os elementos diagonais diferentes de zero.

• A solução é obtida de baixo para cima. Para a construção da matriz L, coloca-se na diagonal principal iguais a 1.

• Colocar na primeira coluna L1 , respectiva os multiplicadores com sinal trocado e assim por diante.

• Suponha que uma matriz A n x n pode ser escrita com um produto de uma matriz triangular inferior L com uma matriz triangular superior U, ou seja : A=LU.

• Entåo diz-se que A tem uma fatorização LU ou decomposição LU.

• Substituindo A=LU, no sistema Ax=b, escreve-se (LU)x=b. Fazendo Ux=z , então essa equação matricial fica escrita Lz=b.

Segundo BURDEN (2003, p.339-341), esta fatoração e´ chamada de método de Doolitle e requer que valores iguais a 1 estejam na diagonal de L.

Então as matrizes L e U podem ser escritas:

Para LAY (1999, p.125) , existem matrizes unidades triangulares inferiores E1...Ep tais que:

E_p... E₁∗A=U

A=(Ep... E3. E2. E1)−1∗U ou L=E−11 ∗E2−1∗E−13 ... E−1P A=L*U

O método de Crout requer valores iguais a 1 estejam na diagonal de U Seja Ax=b

fonte:http://www.monografias.com/trabajos92/factorizacion-matrices/image023.png • A=Lc*Uc

• A matriz Lc (matriz triangular inferior) possui diagonal principal diferente de zero e

diferente de 1 e é obtida da seguinte maneira:

• Lc=L*D ( as matrizes L e D são obtidas da fatoração LU, onde D é matriz diagonal

da matriz U) , esta matriz Lc é triangular inferior.

• Para obter a matriz triangular superior UC do método de Crout , divide cada linha

matriz U ( fatoração LU ) pelos elementos da diagonal principal. • Então pode- se escrever :A=Lc*Uc

• A=L*D*Uc= Lc*UC

• L= matriz triangular inferior com diagonal igual a 1 da fatoração LU • D= matriz diagonal de U

• UC= matriz triangular superior com diagonal principal igual a 1.

O esforço computacional

CUNHA(2009, p.34) , em um sistema triangular requer n2 _operações.

• Para eliminação de Gauss requer 2n

3 3 + 3n2 2 − 7n 6 e para n grande 2n 3 3 • Na fatoração LU tem dois sistemas triangulares portanto requer 2n2 operações.

ALGORITMO DA FATORIZAÇÃO LU DOOLITLE

Os elementos da matriz L são os aij e os de U são os uij .

fonte: http://MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt 2 ; , , 1 1 , , 2 2 ; , , , , 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1          _                k n k j u a u n j u a j n j k u a u n k a u k i ji ik jk kk jk j j j i ji ik jk jk k k        

2.4.1 EXERCICIOS

16)BURDEN( 2003, p.340), seja o sistema linear

x₁x₂3x₄=4 2x1x2−x3x4=1 3x1−x2−x32x4=−3 −x₁2x23x3−x4=4 U=

[

1 1 0 3 0 −1 −1 −5 0 0 3 13 0 0 0 −13

]

L=

[

1 0 0 0 2 1 0 0 3 4 1 0 −1 −3 0 1

]

RESPOSTA: [ -1;2;0;1]T

17) BURDEN (2003, p.345) Resolver o seguinte sistema linear pelas seguintes fatorações: 2x1−x2+ x3=−1

3x₁+3x₂+9x₃=0 3x₁+3x₂+5x₃=0

i) Doolitle

solução 1:

passo1: eliminação de Gauss A=

[

2 −1 13 3 9 3 3 5

]

U =

[

2 −10 4,5 7,51 0 4,5 3,5

]

U =

[

2 −10 4,5 7,51 0 0 −4

]

L=

[

1,5 1 01 0 0 1,5 1 1

]

operações m1=-3/2=-1,5 m1*L1+L2 m2=-3/2=-1,5 m2*L1+L3 m3=-4,5/4,5=-1 m3*L2+L3 passo 2: Ux=z e Lz=b resposta: Z=[-1;1,5;0] X=[-1/3;1/3;0] solução 2:

L=

[

1 0 0 L₂₁ 1 0 L₃₁ L₃₂ 1

]

U =

[

u₁₁ u₁₂ u₁₃ 0 u₂₂ u₂₃ 0 0 u33

]

A=

[

2 −1 13 3 9 3 3 5

]

ii) Crout A=LDLc

a matriz Lc é obtida atraves da matriz U =

[

2 −1 1 0 4,5 7,5 0 0 −4

]

, dividindo cada linha pelo

elemento de cada diagonal, Uc=

[

2 2 −1 2 1 2 0 4,5 4,5 7,5 4,5 0 0 −4 −4

]

U_c=

[

1 −0,5 0,5 0 1 5/3 0 0 1

]

A_C=

[

1 0 0 1,5 1 0 1,5 1 1

][

2 0 0 0 4,5 0 0 0 −4

][

1 −0,5 0,5 0 1 5 /3 0 0 1

]

L*D= L=

[

1,5 1 01 0 0 1,5 1 1

][

2 0 0 0 4,5 0 0 0 −4

]

= A=

[

2 0 0 3 4,5 0 3 4.5 −4

][

1 −0,5 0,5 0 1 5 /3 0 0 1

]

A=(L*D) *Uc

iii) solução pela fatoração LU Lz=b e Ux=z

18) KOLMANN (1999, p.448) , resolver os sistemas lineares Ax=b pelas seguinte fatorações: i) Doolitle ii) Crout

a) A=[ 2 3 4;4 5 10;4 8 2] b=[6;16;2] solução i) fatoração LU - doolitle U =

[

2_{0 −1}3 4₂ 0 0 −2

]

L=

[

1₂ 0₁ 0₀ 2 −2 1

]

ii) crout L=

[

1₂ 0₁ 0₀ 2 −2 1

]

D=

[

2_{0 −1}0 0₀ 0 0 −2

]

L_c=L∗D=

[

24 −10 00 4 2 −2

]

• Na matriz Uc é obtida atraves da matriz U e para obter a diagonal principal 1 é preciso

dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal.

Uc=

[

2 2 3 2 4 2 0 −1 −1 2 −1 0 0 −2 −2

]

Uc=

[

1 3 2 2 0 1 −2 0 0 1

]

, então matriz A pode ser fatorada da seguinte

maneira: L_c=L∗D=

[

24 −10 00 4 2 −2

]

U_c=

[

1 3 2 2 0 1 −2 0 0 1

]

, A=Lc*Uc ou pode ser decomposta na

L=

[

12 01 00 2 −2 1

]

D=

[

20 −10 00 0 0 −2

]

U_c=

[

1 3 2 2 0 1 −2 0 0 1

]

iii) solução do sistema linear pela fatoração LU. • Lz=b L=

[

12 01 00 2 −2 1

]

b=

[

166 2

]

resposta : z=

[

64 −2

]

Ux=z U =

[

20 −13 42 0 0 −2

]

z=

[

64 −2

]

x=

[

₋₂4 1

]

iv) solução do sistema pelo método de Crout • Lc*z=b L_c=

[

2_{4 −1}0 0₀ 4 2 −2

]

b=

[

166 2

]

resposta: Z=

[

3 −4 1

]

• Uc=Z

U_c=

[

1 3 2 2 0 1 −2 0 0 1

]

Z=

[

−43 1

]

resposta: X =

[

−24 1

]

b) A=[ 2 8 0;2 2 -3;1 2 7] b=[18;3;12] c)A=[ -3 1 -2;-12 10 -6; 15 13 12] b=[15;82;-5]

19)FRANCO (2009, p.128) Aplicando-se a fatoração LU A=

[

... ... 3 ... 4 −1 10 8 ... −3 12 11 0 −2 −5 10

]

obteve-se as matrizes L=

[

... ... ... ... 2 ... ... ... 3 0 ... ... .. ... 1 ...

]

U=

[

... −1 ... 5 0 1 ... −2 ... 0 3 −4 0 ... 0 10

]

. Preencher os espaços

pontilhados, usando o método de Doolitle.

Respostas: A=[ a11=2 a12=-1 a13=5 a31=6 ] L= diagonal principal igual a 1 , L31=0 L32=-2 ] U= [ u11=2 u12 =-1 u13=3 u23=4 ]

KOLMAN(1998, p.244) diagonalização de matrizes: B=P−1

∗A∗P A= matriz primitiva

P=autovetores

e) FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY

2.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY

• Em BURDEN (2003, p.349), o método de Cholesky, que requer que lii =uii para cada i.

• A matriz definida positiva é chamada definida positiva simétrica.

• Em PERESSINI (1988), a fatoração LLT resolve um sistema linear Ax=b onde U= LT é uma matriz triangular superior com os elementos da diagonal positivos.

• Condição para uma matriz ser definida positiva de tamanho n xn: • a) aii>0 para cada i=1,2,...,n

• b) xTAx>0 para todo vetor n-dimensional.

• c)determinante matrizes condutoras ou submatrizes são positivas.

• d) na eliminação de Gauss sem intercambio de linhas todos os pivôs positivos. • Matriz nxn A e chamada de estritamente em diagonal quando

• é valido para cada i=1,2,...,n BURDEN (2003, p.346).

• KOLMANN(1998, p.399) uma matriz simétrica A é positica definida se e somente se todos os autovalores são posítivos.

• A matriz L na fatorizaçao de Cholesky da matriz definida positiva pode ser calculada pela seguinte matriz equação A=LLT_.

[

l₁₁.... l₂₁l₂₂.... .... l_n1l_n2...lnn

] [

l₁₁l₂₁...ln1 ... l22...ln2 ... l_nn

]

=A=L*LT

Para resolver o sistema Ax=b faz-se:

Lz=b e Lt_y=z

ou pode ser fatorada a matriz simétrica definida positiva conforme RUGGIERO ( 1996,p.147) • A=GGT

• A=LDLT • U=DLT D=

√

D diagonal da matriz U A=(L∗D)∗(D∗LT ) sendo G=L∗D A=GGT 2.5.1 Exercicios 20)BURDEN (2003, p.352-357) a) Fatores a matriz A=

(

−1 4,25 2,754 −1 1 1 2,75 3,5

)

pelos seguintes métodos : i) doolitle ii) crout iii) cholesky

solução 1: doolitle

L=

(

−0,251 01 00 0,25 0,75 1

)

U =

(

4 −1 10 4 3 0 0 1

)

a diagonal principal :4.4,1 são autovalores da matriz U

solução 2: crout

Lc=L*D Uc= dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal

(

1 0 0 −0,25 1 0 0,25 0,75 1

)(

4 0 0 0 4 0 0 0 1

)(

4 /4 −1/4 1/4 0 4/ 4 3/4 0 0 1/1

)

L_crout=

[

4 0 0 −1 4 0 1 3 1

]

U_crout=

[

1 −1 /4 1/4 0 1 3/4 0 0 1

]

solução 3: cholesky A matriz LDLT_:

(

1 0 0 −0,25 1 0 0,25 0,75 1

)(

4 0 0 0 4 0 0 0 1

)(

1 −0,25 0,25 0 1 0,75 0 0 1

)

* calcular a raiz quadrada da diagonal principal da matriz U ( doolitle)

(

1 0 0 −0,25 1 0 0,25 0,75 1

)

(

√

4 0 0 0

√

4 0 0 0

√

1)

(

1 −0,25 0,25 0 1 0,75 0 0 1

)

(

1 0 0 −0,25 1 0 0,25 0,75 1

)

(

√

4 0 0 0

√

4 0 0 0

√

1

)

G=

(

−0,52 01 00 0,5 1,5 1

)

conclusão: G=

(

−0,52 02 00 0,5 1,5 1

)

Gt=

(

2 −0,5 0,5 0 2 1,5 0 0 1

)

A=

(

−1 4,25 2,754 −1 1 1 2,75 3,5

)

produto :G*Gt _=A

b) Mostrar que a matriz simétrica é definida positiva.

A=

(

−12 −12 −10

0 −1 2

)

Dica: calcular os determinantes das submatrizes c) Considere as matrizes A=



7 2 0 3 5 −1 0 5 −6



e B=



6 4 −3 4 −2 0 −3 0 1



, mostre que é possível ou

não fatorar pela decomposição de Cholesky. 21) Resolva os sistemas lineares pela fatorações i) doolitle ii) crout iii) cholesky

a) 2x1 –x2 =3 -x1 +2x2 –x3=-3 -x2 +2x3=1 b) 4x1 +x2 +x3+x4=0,65 x1 +3x2 –x3 +x4=0,05 x1- x2 +2x3 =0 x1+x2 + 2x4 =0,5

22) FRANCO (2009,p.145) Aplicando-se o processo de Cholesky a matriz A, obteve-se : A=

[

... 2 ... ... ... 8 10 −8 3 10 14 −5 ... −8 ... 29

]

=L*Lt onde L=

[

1 ... ... ... 2 ... ... ... ... 2 1 ... 0 −4 ... 2

]

Preencher os espaços

pontilhados com valores adequados.

23) FRANCO (2009,p.159) Relacione os sistemas lineares : I ) 3x2+ 2x3=5 x1+ 4x2+ x3=6 2x₂+ 5x₃=7 resposta: X =

[

1 1 1

]

II) −2x1+2x2=−1 x₁+3x₂−x₃=3 −x2+2x3=1 resposta: X =

[

0,85721,357 0,9286

]

III) x1+ 2x2+ x3=4 2x₁+ 6x₂=8 x1+4x3=5 resposta: Z=

[

40 1

]

X =

[

11 1

]

e resolva pela eliminação de Gauss ou decomposição de Cholesky.

24) Dada a matriz A=

[

21 101 −12 −1 2 4

]

calcular A-1 _{utilizando o processo de Cholesky.}

25) BURDEN( 2003,p.358) Encontre α de modo que A=

[

α1 1 −12 1 −1 1 4

]

seja definida positiva.

f) MÉTODOS ITERATIVOS

2.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES

• Para BURDEN (2003, p.381), os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel surgiram no final do século XVIII.

• Estas técnicas são raramente utilizadas para solucionar sistemas lineares de pequenas dimensões.

• Em sistemas grandes, com uma grande porcentagem de entradas zero, essas técnicas são eficientes em termos tanto de calculo como de armazenamento.

• São sistemas que surgem na analise de circuitos e na solução numérica de problemas de valor limite e equações diferenciais parciais.

• Esta técnica iterativa para resolver sistemas linear nxn Ax=b começa com um aproximação inicial x(o) _{para a solução x e gera uma seqüência de vetores x}K _{para k}

=0 até ꝏ(infinito) , que converge para x.

• O sistema Ax=b e convertido em um sistema equivalente na forma x=Tx+c para alguma matriz T e algum vetor c fixos.

• Quando o vetor inicial xo ter sido selecionado, a seqüência de vetores para aproximar a solução ‘e gerada calculando-se:

g) MÉTODO DE JACOBI 2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi

BURDEN(2003, p.383)

• A equação Ax=b ou (D-L-U)x=b , é transformada em Dx=(L+U)x+b, isolando x, tem-se :

x=D−1LU  xD−1b para D matriz não singular.

• Resulta na forma matricial da técnica iterativa de Jacobi:

xk+1

=D−1

(L+U ) x(k)

+D−1_{b para k=0,1,2,...}

Introduzindo a notação T_j=D−1_{LU e c}

j=D

−1_b

, então a técnica iterativa de Jacobi passa a ter a forma xk+1

=Txk+c

Critério de interrupção de Passo:

∥

xk_−xk −1

_∥

∥

xk

∥

tol ( tol=tolerância)

Para BARROSO (1987, p.52), continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios seja satisfeito:

max

∣

xk1−xk

∣

tol

ou k>M , M=numero maximo de iterações.

Nota: a tolerância  (Epsílon) fixa o grau de precisão das soluções.

2.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi

a) BARRROSO (1989,p.67) Criterio das Linhas: é condição suficiente para que a iteração convirja, que:

∣a_ii∣>

∑

j=1 e j≠i

n

∣a_ij∣ para i=1,2,..n

b) Criterio das colunas:é condição suficiente para que a iteração convirja, que: ∣a_jj∣>

∑

i=1 ei≠ j n

Na pratica são usados criterios de suficiencia de convergência tanto para o metodo de Jacobi e Gauss-Seidel.

Este Criterio de convergência para o metodo de Jacobi converge testanto se a matriz dos coeficientes é estritamente diagonalmente dominante.FRANCO (2009, p.173)

26)O Sistema linear Ax=b dado por 10x1 –x2 +2x3=6

-x1 +11x2 –x3+3x4=25

2x1-x2+10x3-x4=-11

3x2-x3+8x4=15

resolva pelo método de Jacobi.

Xo

[

0 0 0 0

]

, e o critério de parada ϵ<10−3 solução:

 isolar cada variável x1,x2,x3,x4 e encontrar as equações e compor a matriz T com

a diagonal igual a zero.  xk

=Txk−1

c

 Construir uma tabela para x1,x2,x3 e x4

Sintaxe: E(ABS(C5-C4)<10^-3;ABS(D5-D4)<10^-3;ABS(E5-E4)<10^-3;ABS(F5-F4)<10^-3)

2.6.1.2 Exercicios

27) Obtenha as 4 primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares, usando xo_=0.

a)3x1-x2+x3=1

3x1+6x2+2x3=0

3x1+3x2+7x3=4

28) Resolva o seguinte sistema linear : a)

[

1 0 0 2 1 0 −1 0 1

][

2 3 −1 0 −2 1 0 0 3

]

[

x1 x2 x3

]

=

[

2 −1 1

]

k x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0 1 0,6000 2,2727 -1,1000 1,8750 FALSO 2 1,0473 1,7159 -0,8052 0,8852 FALSO 3 0,9326 2,0533 -1,0493 1,1309 FALSO 4 1,0152 1,9537 -0,9681 0,9738 FALSO 5 0,9890 2,0114 -1,0103 1,0214 FALSO 6 1,0032 1,9922 -0,9945 0,9944 FALSO 7 0,9981 2,0023 -1,0020 1,0036 FALSO 8 1,0006 1,9987 -0,9990 0,9989 FALSO 9 0,9997 2,0004 -1,0004 1,0006 FALSO 10 1,0001 1,9998 -0,9998 0,9998 VERDADEIRO criterio de parada

h) MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel

• A forma matricial do método de Gauss-Seidel é: (D-L)xk_=Uxk-1_+b

Isolando xk _tem-se:

xk_{= (D-L)}-1_Uxk-1_+(D-L)-1_b

• Em LAY (1999),uma matriz A, nxn é chamada de estritamente dominante se o modulo de cada elemento da diagonal principal é maior que a soma dos módulos dos outros elementos da sua linha.

• A velocidade de convergência depende do quanto os elementos da diagonal principal dominam as somas de linhas correspondentes.

2.6.2.1 Criterio de Convergência para o Método de Gauss-Seidel. FRANCO ( 2009,p.177-178) , o metodo de Gauss-Seidel converge se : a) criterio de Sassenfeld for satisfeito :

max

fonte:http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/metnum/condicao_para_convergencia.htm

n

n - ordem do sistema linear que se deseja resolver aij - coeficientes das equações do sistema

Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado SEL se a quantidade M, definida por:

M=max

1≤i≤n

βi

for menor que 1 (1 M<1M<1). 29) O sistema linear dado

10x1 –x2 +2x3=6

-x1 +11x2 –x3+3x4=25

2x1-x2+10x3-x4=-11

3x2-x3+8x4=15

resolva pelo metodo de Gauss-Seidel. Solução:

30)Mostre que o método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que converge para a solução do seguinte sistema, desde que as equações estejam devidamente arrumadas:

x1-3x2+x3=-2 -6x1+4x2+11x3=1 5x1-2x2-2x3=9 k x1 x2 x3 x4 criterio de parada 0 0 0 0 0 1 0,6000 2,3273 -0,9873 0,8789 FALSO 2 1,0302 2,0369 -1,0145 0,9843 FALSO 3 1,0066 2,0036 -1,0025 0,9984 FALSO 4 1,0009 2,0003 -1,0003 0,9998 FALSO 5 1,0001 2,0001 -1,0002 0,9998 VERDADEIRO

2.6.3 Exercicios

31) FRANCO (2008, p.194) Considere cada um dos seguintes sistemas lineares : I) 3x1−3x27x3=18 x16x2− x3=10 10x1−2x27x3=27 II) x12x25x3=20 x13x2x3=10 4x1x22x3=12

a) sem rearranjar as equações, tente achar as soluções iterativamente, usando os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, começando com xo_{=1,001 , 2,01,3 ,01}t _.

b) rearranje as equações de tal modo que satisfaçam os critérios de convergência e repita o que foi feito no item (a).

c)verifique suas soluções nas equações originais.

i) NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO

2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO

• BARROSO ( 1987, p.74), para avaliar a precisão da solução x do sistema Ax=b, o resíduo r =b− A∗̂x , onde ̂x é a solução computada.

• Se x for uma boa aproximação para x , é esperado que as componentes de r seja valores pequenos.

• Valores pequenos para as componentes do resíduo podem não indicar que x seja uma boa aproximação para x.

32) a) Seja o sistema linear x1+ 1,001x2=2,001

0,999x1+ x2=1,999

• a solução exata do sistema [ 1;1] r=[0;0] • para x =[2; 0,001] o resíduo r=[-0,00001; 0] b)x1+ 1,001x2=2

0,999x1+ x2=1,999

solução: [-999;1000] resíduo=[0;0]

*o sistema é mal condicionado

c) Seja o sistema linear: 0,992x + 0,873y=0,119

0,481x+0,421y=0,060 solução :[1,-1]T

d) 0,992 x +0,873y=0,12 ( valor perturbado) 0,481x+0,421y=0,060

solução:[0,8154 ; -0,7891]

e) Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert. A_ij= 1

i j−1

Um modo de se detetar o mal condicionamento é através do determinante normalizado da matriz dos coeficientes do sistema dado; se o determinante normalizado for sensivelmente

menor que a unidade, o sistema será mal condicionado.

Se A é uma matriz de ordem n , seu determinante normalizado, denotado por det(Norm A) é dado por :

det  norm A= det  A

₁₂... _n onde =



i ,12 i ,22 i ,n2 2.7.1 Norma Matricial

∥A∥∞ = máx 1in

∑

j=1 n ∣aij∣ ( norma linha) 2.7.1.1 Exercicios 33) Considere as matrizes A=

[

2 1 3 2

]

, B=

[

3 2 1 2 2 1 3 3 2

]

C=

[

2 1 3 −1 4 3 8 2 6 7 10 1 3 −1 0 1

]

, calcule ∥A∥_∞ ∥B∥∞ ∥C∥∞ .

34)BURDEN (2003, p.372),seja a a matriz A=[1 2 1;0 3 -1;5 -1 1] calcule a ∥A∥_∞ . 35)Seja o sistema linear x1+2x2+3x3=1

2x1+3x2 +4x3=-1 3x1+4x2+6x3=2

sendo dado X =[0 ;−7 ;5]T_{solução geral e X =[−0,33 ;−7,9 ;5,8]}T_{solução aproximada} calcule : ∥X − X∥∞e∥A X −b∥∞ Respostas: 0,9 e 0,27.

• Para CLAUDIO (1989, p.79-84), seja um sistema sistema linear Ax=y e os vetores soluções x1 e x2 duas aproximações exata para x.

• Qual das aproximações é melhor?

• Uma forma trivial seria calcular os resíduos dados por r1=y-Ax1 e r2=y-Ax2.

36)Seja o sistema linear: 0,24x+0,36y+,12z=0,84 0,12x+0,16y+0,24z=0,52 0,15x+0,21y+0,25z=0,64 e sejam x1=[25,-14,-1]T e x2=[-3,4,0]T Os resíduos são : [ 0 0 0,08] e [0,12 0,24 0,25]

A solução exata : [-3,4,1]T _{, embora modulo r}

1 < modulo de r2, a solução de x2 é melhor que

x1.

Conclusão:

 Nem sempre a aproximação de menor resíduo é a melhor ou mais exata.

 Um problema é dito mal condicionado se pequenas alterações nos dados de entrada ocasionam grandes erros no resultado final.

 Quando o sistema linear é 2x2 é fácil de verificar ( construção das retas) , mas quando aumenta o tamanho do sistema é preciso um meio de medir este condicionamento.

 Seja o sistema linear Ax=b e o sistema linear com alguma perturbação Ax=b’ . Então a solução Ax=b’ é x’ .

 Qual é a modificação em x , sabendo que b foi alterado para b’ . Ax=b

A(x-x’)=b-b’ (x-x’)=A-1_(b-b’)

Aplicando a norma de vetores, indicada por uma barra e a norma de matrizes indicada por duas barras ∥.∥∞ .

Aplicando uma propriedade de norma de matrizes: ∣x −x '∣≤∥A−1∥∣b−b '∣ (1) Divindo por |x|: ∣x −x '∣ ∣x∣ ≤ ∥A−1∥ ∣x∣ ∣b−b '∣ Pode-se escrever : ∥x∥≤∥A−1_∥∥b∥

1 ∥x∥≤

∥A∥ ∣b∣ (2)

Multiplicando as equações (1) e (2) ambos os membros. ∣x−x '∣

∣x∣ ≤∥A

−1_∥∥A∥∣b−b '∣ ∣b∣

valor relativo provocado pela alteração dos sistema linear de b para b’

fator de

ampliação

valor relativo de perturbação feita no sistema Ax=b

A definição de condicionamento é dado por: cond (A)= ||A||* ||A-1_||

FRANCO (2008, p.153) o cond (A) será considerado grande quando valer por volta de 10000 ou mais. Então o sistema será mal condicionado.

37)Sejam os sistemas lineares a) x1+ 1,001x2=2,001

0,999x1+ x2=1,999 b)0,992x + 0,873y=0,119 0,481x+0,421y=0,060

calcule cond (A)= ||A||* ||A-1_{|| e verifique se os sistemas são mal ou bem condicionado.}

38) ARENALES (2008, p.49) Considere o sistema linear : a)

[

1_{1 1.00001}1

]

[

x1 x₂

]

=

[

2 2.00001

]

b)

[

1 1 1 1.00001

]

[

x₁ x₂

]

=

[

2 1.9999

]

resolva-os e calcule o condicionamento das matrizes e escreva se é mal ou bem condicionado.

39) BURDEN ( 2003, p.402) O seguintes sistemas lineares Ax=b tem x como solução real e ̃x como soluçaõ aproximada. Calcule

∥

x − ̃x

∥

∞ ; K (A)∞ ;

∥

b− A ̃x

∥

∥

A

∥

∞ a)

[

3,9 1,6_{6,8 2,9}

]

[

x1 x₂

]

=

[

5,5 9,7

]

X =

[

11

]

̃X =

[

0,98 1,1

]

b) x1 +2x2 =3 1,0001 x1 +2x2=3,0001 X =

[

1 1

]

̃X =

[

0,96 1,02

]

J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA

. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz , então a matriz C dos cofatores

de A é

Cofator A_i,j do elemento a₁₁ (1):

Cofator A_i,j do elemento a₁₂ (3):

Cofator A_i,j do elemento a₂₁ (2):

Cofator A_i,j do elemento a₂₂ (0):

De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos

3. Cálculo da matriz Adjunta de A.A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto é:

A = Ct

Portanto temos:

4. Cálculo da inversa A-1_{, pelo teorema}

encontrados anteriormente no teorema temos:

Multiplicando pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A.

fonte:http://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-adjunta/

L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO

2.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA

• SOLUÇAO NO WXMAXIMA PELO COMANDO TRIANGULARIZE • INFORMA A MATRIZ MATRIZ AMPLIhADA DO SISTEMA.

(%i4) Matrix([2,3,1,-1,6.9],[-1,1,-4,1,6.6],[1,1,1,1,10.2],[4,-5,1,-2,-12.3]) • LINHA DE COMANDO: triangularize(%i4);

(%o9)matrix([20,30,10,-10,69],[0,-2200,-200,0,-5220],[0,0,-6000,-16500,-87300 [0,0,0,-322500,-1750500])

* para resolver este sistema linear utilizando o comando TRIANGULARIZE , neste caso precisa-se de uma calculadora.

EXERCICIO NUMERO 10 SOLUÇÃO 1:WXMÁXIMA

(%i2) algsys([x=2*t, x=4*z, y=z, 2*y=t], [x,y,z,t]); (%o2) [[x=%r1,y=%r1/4, z=%r1/4,t=%r1/2]] %r( variável livre que pode ser atribuida como w t=w/2 z=w/4 y=w/4 x=w

SOLUÇÃO 2 : SCILAB

A=[1 0 0 -2;1 0 -4 0;0 1 -1 0; 0 2 0 -1] b=[0;0;0;0]

X8=linsolve(A,-b)

* encontra apenas solução nula disp('comando RREF ')

disp('matriz ampliada do sistema') Ab8=[A8,b8] disp('forma escada ') X81=rref(Ab8)

[

1 0 0 −2 0 0 1 0 −0,5 0 0 0 1 −0,5 0 0 0 0 0 0

]

* a partir desta matriz na forma escada tem que resolver a mão este sistema linear. SOLUÇÃO 1 : SCILAB COMANDO : linsolve

A=[ 2 -1 3;4 -3 2;1 1 1; 3 1 1] b=[11;0;6;4]

X=linsolve(A,-b)

disp('comando RREF ')

disp('matriz ampliada do sistema') Ab=[A,b]

disp('forma escada ') X2=rref(Ab)

SOLUÇÃO 3 : WXMÁXIMA

COMANDOS: EQUAÇÕES/SISTEMAS LINEARES /NUMERO DE EQUAÇÕES/ DIGITAR AS VARIÁVEIS

(%i1) linsolve([2*x-y+3*z=11, 4*x-3*y+2*z=0, x+y+z=6, 3*x+y+z=4], [x,y,z]);Dependent equations eliminated: (4)(%o1) [x=-1,y=2,z=5]

* aqui é possível ver quando o sistema é possível e indeterminado, uma solução e impossível.

APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA

• (%i10) matrix([3,2], [1,6]);

• (%o10) matrix([3,2],[1,6])

• (%i11) lu_factor (%o10);

• (%o11) [matrix([3,2],[1/3,16/3]),[1,2],generalring]

• (%i12) get_lu_factors(%o11);

• (%o12) [matrix([1,0],[0,1]),matrix([1,0],[1/3,1]),matrix([3,2],[0,16/3])]

APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB >> A=[ 3 2;1 6]

>> [L,U,P]= lu(A) *P=matriz permutação

2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab

>>L =chol(A) * resultado matriz triangular superior e a matriz triangular inferior fazer transposta: L'*L=B

2.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima

• (%i12) matrix( [4,3], [3,8]);

• (%o12) matrix([4,3],[3,8])

• (%i13) cholesky (%o12);

40) Exemplo: Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert USANDO O WXMAXIMA: (%i1) h [i, j] := 1 / (i + j - 1); 1 (%o1) h := i, j i + j - 1 (%i2) genmatrix (h, 3, 3); [ 1 1 ] [ 1 - - ] [ 2 3 ] [ ] [ 1 1 1 ] (%o2) [ - - - ] [ 2 3 4 ] [ ] [ 1 1 1 ] [ - - - ] [ 3 4 5 ] fonte: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html Função: mat_cond (M, 1)

Função: mat_cond (M, inf)

• Retorna o número condiciona da norma de ordem p da matriz m. • Os valores permitidos para p são 1 e inf.

• Essa função utiliza a factorização linear alta para inverter a matriz m.

• Dessa forma o tempo de execução para mat_cond é proporcional ao cubo do tamanho da matriz;

• lu_factor determina as associações baixa e alta para o número de condição de norma infinita em tempo proporcional ao quadrado do tamanho da matriz.

• (%o6) matrix([1,2],[5,9])

• (%i7) mat_cond(%o6,1);

• (%o7) 154

• (%i8) mat_cond(%o6,inf);

• (%o8) 154

• a principio esta calculando a norma infinita pelas linhas

• ou

• mat_norm(A,inf); norma infinita das linhas

APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB -->A=[1 2; 5 9] A = 1. 2. 5. 9. -->cond(A) ans = 110.99099

REFERÊNCIAS

• ARENALES, Selma Helena de Vasconcelos; DAREZZO, Artur (Autor). Cálculo

numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo, SP: Thomson Learning, 2008. x, 364 p.

• KOLMAN, Bernard. Introdução à Álgebra Linear Com Aplicações. 6a edição. RJ. Editora LTC.1999.

• BARROSO, L.C. et. al. Cálculo Numérico(com aplicações) 2.ed. SP. Editora Harbra.1987.

• BURDEN, R.L e FAIRES, J.D. Analise Numérica. Pioneira Thomson Learning. 2003.

• LAY, D. C. Algebra Linear e suas aplicações.2a edição Editora LTC.RJ. 1999. • PERESSINI, A. L.et .al. The Mathematics of Nonlinear Programing.USA.1988.

• CLAUDIO, D.M e MARINS, J.M.Calculo Numérico Computacional.Teoria e Pratica.Editora Atlas.SP.1989.

• LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de

Janeiro, RJ: LTC, 2011. xi, 451p. ISBN 85-216-1150-1.

• STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Álgebra Linear.2.ed. SP.McGRaw-Hill.1987. • BOLDRINI, L. J.et.al. Algebra Linear. 3a edição. SP. Editora Harbra. 1980.

• BATSCHELET, E. Introdução A Matemática para Biocentistas. SP.Editora da Universidade de São Paulo.1978.

• Disponivel em MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt acessado em 16/02/2009.

• Disponivel em http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html, acessado em 17/09/2009.

• FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall, 2009. xii, 505 p. ISBN 8576050870.

• disponível em www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/.../CN_Sistemas_%20Parte2.ppt -, acessado em 31/03/2011.

• GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Métodos numéricos para engenheiros e cientistas: uma introdução com aplicações usando o MATLAB . Porto Alegre: Bookman, 2008. 479 p • Disponível em http://www.monografias.com/trabajos92/factorizacion-matrices/image023.png, acessado em 01/11/2013. • fonte: http://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-adjunta/ , acessado em 16/04/2014. • Disponível em http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/metnum/condicao_para_convergencia.htm, acessado em 01/09/2014.