CONTROLADOR PID SINTONIZADO POR ALGORITMO GENÉTICO GUIADO POR OTIMIZAÇÃO COLABORATIVA
CAIO E.SILVA,VALCERES V.R. E SILVA,LANE M.R.BACCARINI
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA,UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL REI
PRAÇA FREI ORLANDO 170,SÃO JOÃO DEL REI,36307-352, MG,BRASIL
E-MAILS: CAIOEDUARDO@OUTLOOK.COM, VVRSILVA@UFSJ.EDU.BR, RABELO@UFSJ.EDU.BR
Abstract The complexity of the most real engineering control systems motivates the development of optimization-based de-sign frameworks and computer aided control system dede-sign methods to search for acceptable dede-signs with low computational load. In this work, proportional, integral and derivative controllers are tuned and optimized for the three operating conditions of a nonlinear system, the CSTR, using three genetic algorithms in synergy with collaborative optimization. This approach searches for the best combination of controllers parameters, establishing in the search algorithm specific performance criteria the reactor must have at each operating condition. Collaborative optimization in synergy with genetic algorithm has shown itself an interest-ing tool, not demandinterest-ing a large number of individuals and takinterest-ing a small time for convergence. Besides, it allowed that specific performance were included in the designed cost function for each plant operating point, which does not occur when the same cost function is used for all operating points.
KeywordsCSTR, PID control, collaborative optimization, genetic algorithm.
Resumo A complexidade de grande parte de sistemas de controle em engenharia tem motivado o estudo de estruturas de proje-to baseadas em otimização, e de méproje-todos de projeproje-to assistidos por computador para busca de bons controles com baixa carga computacional. Neste trabalho, controladores de ações proporcional, integral e derivativa para os vários pontos de operação de um sistema não linear, o CSTR, são projetados e otimizados, por três estruturas utilizando algoritmos genéticos guiados pela oti-mização colaborativa. Esta aproximação visa encontrar a melhor combinação dos parâmetros dos controladores, introduzindo no algoritmo de busca o desempenho específico que o reator deve apresentar em cada condição de operação. A otimização colabora-tiva se mostrou uma ferramenta interessante em sinergia com o algoritmo genético, não sendo necessário um número elevado de indivíduos e levando um tempo pequeno para convergência. Além disso, permitiu que desempenhos específicos fossem incluídos na função de custo projetada para cada ponto de operação da planta, o que não acontece quando uma mesma função de custo é utilizada para todos os pontos de operação.
Palavras-chave CSTR, controle PID, otimização colaborativa, algoritmo genético.
1 Introdução
A habilidade de selecionar a técnica mais apro-priada para projetar um controlador para um proble-ma particular, e aplicá-la de forproble-ma eficaz, pode ser ainda um trabalho difícil mesmo para problemas relativamente simples. Embora haja uma considerá-vel quantidade de técnicas disponíveis para projetar controladores para sistemas cada vez mais comple-xos e exigentes, isto tem motivado o desenvolvimen-to de estruturas de projedesenvolvimen-to baseadas em otimização para procurar por soluções com menor carga compu-tacional.
Algoritmos genéticos têm sido amplamente aplicados na otimização de parâmetros de controladores. Têm o potencial de procurar soluções em superfícies com-plexas da função objetivo, incorporando o conheci-mento do projetista tanto na formulação como na solução de problemas (Goldberg, 1989). Aplicações off-line destes algoritmos têm sido utilizadas com os mais diversos propósitos (Jaen-Cuellar, 2013; Herre-ros et al., 2002). Aplicações on-line têm sido tais como um mecanismo de aprendizado para identificar características de sistemas desconhecidos ou não estacionários, ou para sintonia de controladores adap-tativos de plantas conhecidas ou não (Coelho e Coe-lho, 1999).
Problemas de otimização multidisciplinar (OMD) complexos têm utilizado a otimização colaborativa
(OC) para guiar processos de otimização. A ideia principal é criar sub-sistemas para seguirem com otimizações locais. Em seguida, elementos de toma-da de decisão são usados para assegurar a viabilitoma-dade do procedimento. Aplicações desta metodologia em sinergia com otimização multiobjetiva podem ser encontradas em (Silva et al., 2007; Zhang et al., 2009; Allison, 2004).
O sistema utilizado para definir a estratégia de con-trole através da otimização do controlador em tempo real é um reator químico Continuous Stirred Tank
Reactor (CSTR), que é um processo diabático, não
linear, com uma reação irreversível de primeira or-dem e exotérmica. Apresenta um comportamento dinâmico em malha aberta muito variável devido à sensibilidade paramétrica, vários pontos de operação e oscilações sustentadas (Russo, 1996).
Neste trabalho, controladores de ações proporcional, integral e derivativa (PID) sem e em otimização colaborativa foram propostos, e o algoritmo genético foi utilizado para encontrar e otimizar seus parâme-tros.Esta aproximação visa encontrar a melhor com-binação de parâmetros do controlador, considerando no algoritmo de busca o desempenho específico que o reator deve apresentar em cada condição de opera-ção.
Processo CSTR Controlador 0 x2f 0 m x2 Saidas x2 x1 Saidas x1 Referencia K X2 f m Resposta x1 Resposta x2 2 O Processo CSTR
O reator CSTR constitui um processo diabático, não linear, com uma reação irreversível de primeira ordem exotérmica. Apresenta comportamento dinâ-mico em malha aberta muito variável devido à sensi-bilidade paramétrica. Possui vários pontos de opera-ção e oscilações sustentadas. As equações que mode-lam seu comportamento (Equações 1-3) são geradas pelas relações do equilíbrio de massa e energia (Rus-so Jr., 1996):
2
1 1
1 1 xk x qx x x d d f (1)
x q
x m qx f k x x d d 2 2 2 1 2 (2)
2 2 2 1 exp x x x k (3)sendo x1 a concentração, x2 a temperatura (variável controlada), e m a temperatura do invólucro de res-friamento (variável manipulada), todas apresentadas na literatura na forma adimensional. K(x2) é uma função adimensional e os valores dos parâmetros são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1. Valores dos parâmetros para o processo.
Para os parâmetros dados na Tabela 1, o processo exibe três pontos de operação (Tabela 2) sendo que o segundo é instável. A Tabela 2 traz os valores das variáveis x1 e x2 em regime estacionário.
Tabela 2. Pontos de operação do CSTR.
1 2 3
x1s 0,8560 0,5528 0,2354
x2s 0,8859 2,7517 4,7050
m 0 0 0
Um modelo em malha aberta para este sistema foi criado na plataforma SIMULINK do MatLab®, base-ado na dinâmica e nas equações que modelam este sistema. A temperatura foi realimentada neste mode-lo e foi inserido um bmode-loco controlador (Figura 1).
Figura 1. Modelo do CSTR em malha fechada com controlador.
Um controlador para este sistema tem como especifi-cações de desempenho (Russo Jr., 1996):
manter o erro estacionário (erp) menor que 1%,
sobressinal (Mp) não deve ultrapassar 15%,
menor tempo de subida (tr) possível,
menor tempo de acomodação (ts) possível.
Figura 2. Detalhes do controlador PID implementado.
Onde u(t) é o sinal de controle e e(t) é o sinal de erro. O sinal de controle u(t) é a soma dos termos: propor-cional ao erro, proporpropor-cional a integral do erro e pro-porcional a derivada do erro. Os parâmetros do con-trolador são: o ganho proporcional Kp, o ganho inte-gral Ki e o ganho derivativo Kd.
Na Figura 2, são apresentados os detalhes do contro-lador PID implementado neste estudo; controcontro-lador PID contínuo, paralelo, com filtro no termo derivati-vo, e N = 1500.
3 Algoritmo Genético
O algoritmo genético (AG) é um algoritmo de busca paralela que tende a ser conveniente como uma metodologia de pesquisa e otimização em espaços de soluções irregulares, multidimensionais, complexos e multimodais. Normalmente trabalha com uma popu-lação de pontos ou soluções e leva esta popupopu-lação a uma melhoria no seu desempenho, encorajando a reprodução e repartindo os bons atributos entre os vários membros da população. Soluções em uma iteração ou geração sofrem um número de transfor-mações de forma a obter soluções melhores na pró-xima geração.
O AG começa pela criação de uma população de possíveis soluções que é composta de um conjunto de indivíduos de tamanho pré-determinado, como apresentado na Tabela 3. Os indivíduos desta popu-lação, possíveis soluções do problema, são codifica-dos e então chamacodifica-dos de genótipos ou cromossomos. A representação mais comumente utilizada desta cadeia cromossômica é a representação binária. Po-rém são usuais outras representações como, por exemplo, representação inteira, real, etc. Independen-te da representação cromossômica utilizada no AG, o procedimento básico para otimização é o mesmo em cada iteração, e este procedimento é apresentado na forma de um fluxograma na Figura 3. Os indivíduos são escolhidos com base na habilidade de adaptação dos progenitores e seus descendentes, os quais cons-tituirão a nova geração de indivíduos da população (Goldberg, 1989). Seja esta uma representação biná-ria ou real, ambas utilizarão as mesmas operações
qf
x
1x
2fentre os indivíduos para reprodução: seleção, recom-binação e mutação.
Seleção: Os melhores indivíduos da po-pulação, que são definidos por meio de avaliação de aptidão, são selecionados para gerar descendentes por meio de re-combinação e mutação;
Recombinação/Reprodução: Novos in-divíduos são criados pela combinação de características genéticas de indiví-duos progenitores;
Mutação: Um novo indivíduo é criado fazendo modificações a um indivíduo selecionado. As modificações podem consistir na mudança de um ou mais va-lores na representação, adicionan-do/deletando partes da representação (Renner e Ekárt, 2003).
Avaliação: Nesta etapa, todos os indiví-duos da população são avaliados para determinar quão adaptados estes indiví-duos estão. Para esta avaliação, nor-malmente são utilizadas funções basea-das em penalidade.
Figura 3. Fluxograma do AG. Fonte: Adaptado de (Kunjur e Krishnamurty, 1997).
Na Tabela 3, pode se observar a faixa de valores que os indivíduos do AG, ou seja, os ganhos do controla-dor PID, podem assumir. Estas faixas foram inicial-mente estabelecidas aleatoriainicial-mente e os valores ini-ciais foram modificados ao longo do desenvolvimen-to do trabalho.
Tabela 3. Faixa de valores das variáveis do controlador.
Limite
Inferior 0,15 0 0
Limite
Superior 225 180 60
A Tabela 4 apresenta os parâmetros do AG imple-mentado, onde parte destes foram definidos a princí-pio, como o método de seleção e a codificação, e os demais foram sendo ajustados ao longo das simula-ções realizadas.
Tabela 4. Parâmetros do AG.
Método de seleção AUE (Amostragem
Universal Estocástica)
Codificação Binária
Precisão da
representação binária 32 bits
Probabilidade de cruzamento 50% Probabilidade de mutação 1% Método de recombinação Ponto de cruzamento único
Tamanho da população 15 indivíduos
Número de variáveis 3
Número de gerações 10
Intervalo de geração 0,9
4 Otimização Colaborativa
A otimização colaborativa (OC) é uma proposta de arquitetura de projeto desenvolvida para aplicação em sistemas multidisciplinares complexos, e com aplicações na análise distribuída em sistemas de grande escala. Propõe uma decomposição para pro-blemas de otimização que requerem múltiplas análi-ses para avaliar a solução. Formulações em um nível simples dependem de tomadas de decisão centraliza-das a nível do sistema global. Se o número de variá-veis de decisão é elevado, isto pode provocar um esforço elevado para este agente de tomada de deci-são (Safavi, 2013).
Aplicações desta metodologia em sinergia com otimização podem ser encontradas em projetos na construção civil (Flager, 2009), na otimização de sistemas de sensoriamento remoto (Jafarsalehi et al., 2012), e na otimização paramétrica de controladores (Silva et al., 2007).
A ideia por trás da otimização colaborativa é criar subsistemas para seguirem com otimizações locais. Elementos de tomada de decisão podem ser usados para assegurar a viabilidade do procedimento. Permi-te paralelização, melhora custos computacionais e complexidade organizacional.
5 Estruturas de projeto do controlador PID
O algoritmo genético foi utilizado na otimização dos parâmetros Kp, Ki e Kd do controlador PID. A simulação do modelo não linear do CSTR em SIMULINK na plataforma MatLab® foi utilizada como função objetivo (Figura 1).
O cromossomo para o controlador PID é dividido em três seções cada uma correspondendo a um parâme-tro deste conparâme-trolador (Figura 4).
Figura 4. Estrutura do cromossomo PID.
A otimização segue usando na função de custo uma função de agregação simples com penalidade para as restrições.
Uma estrutura de nível simples e duas estruturas em otimização colaborativa (OC1 e OC2) foram utiliza-das pelo AG na busca pelos melhores parâmetros PID para a planta nas seguintes condições:
PID nos três pontos de operação sem otimização colaborativa,
PID nos três pontos de operação em otimização colaborativa e,
PI no primeiro e terceiro pontos de operação e PD no segundo, todos em otimização colaborati-va.
O projeto deve satisfazer o objetivo e restrições, sendo:
Objetivo: minimizar o erro em regime permanente. Restrições: minimizar sobressinal, minimizar tempo
de acomodação e minimizar tempo de subida. As duas estruturas OC´s são decompostas em duas formas diferentes:
Em OC1, na otimização do segundo ponto de operação, o processo de otimização é guiado por uma função de custo cujo objetivo é a minimiza-ção do sobressinal máximo, adicionado a uma penalidade mais rigorosa pela violação das espe-cificações de tempo de subida, tempo de acomo-dação e erro estacionário nesta ordem, como se-gue:
Minimizar: sobressinal máximo + penalidade pela violação das restrições.
Penalidade para tempo de subida Se acima do valor máximo:
penalidade = 800*(exp (valor atual) + punição)
Ou: penalidade = 0
Penalidade para tempo de acomodação Se acima do valor máximo:
penalidade = 25*(exp (valor atual) + pu-nição)
Ou: penalidade = 0
Penalidade para erro em regime permanente Se acima do valor máximo:
penalidade = exp (valor atual) + punição Ou: penalidade = 0
Em OC2, na otimização do primeiro e terceiro pontos de operação, o processo de otimização é guiado por uma função de custo cujo objetivo é a minimização do erro em regime estacionário, adicionado a uma penalidade mais rigorosa pela violação das especificações de sobressinal
má-ximo, tempo de acomodação e tempo de subida nesta ordem, como segue:
Minimizar: erro em regime permanente + penalidade pela violação das restrições.
Penalidade para sobressinal máximo Se acima do valor máximo:
penalidade = 800*(exp (valor atual) + punição)
Ou: penalidade = 0
Penalidade para tempo de acomodação Se acima do valor máximo:
penalidade = 25*(exp (valor atual) + pu-nição)
Ou: penalidade = 0 Penalidade para tempo de subida Se acima do valor máximo:
penalidade = exp (valor atual) + punição Ou: penalidade = 0
Por fim, para a estrutura de nível simples, foi utilizada a mesma função de custo de OC2. As soluções são determinadas a partir da avaliação das especificações para as entradas em degrau de zero ao primeiro ponto de operação, e entre os pontos de operação na ordem crescente. Para obter os me-lhores controladores, os indivíduos são introduzidos no bloco do controlador do modelo CSTR. O indiví-duo que apresentou o melhor desempenho foi seleci-onado para o ponto de operação em questão. Este processo foi repetido de forma sequencial e automá-tica do 1° ao 3° ponto de operação. Bons resultados foram obtidos e todas as especificações do processo foram atendidas para todos os níveis de otimização.
6 Resultados
As respostas da temperatura, variável controlada, para os degraus entre zero e primeiro ponto de opera-ção e entre os demais pontos de operaopera-ção de forma crescente são mostradas em um mesmo gráfico na Figura 5.
Figura 5. Resposta da temperatura nos três pontos de opera-ção. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 1 2 3 4 5 Tempo(s) T e m p e ra tu ra PI - PD - PI com OC PID sem OC PID com OC referência Kp Ki Kd
As Figuras 6(a, b, c) mostram as convergências dos AG’s para as estruturas escolhidas em cada um dos pontos de operação simulados: (a) convergência para um degrau entre zero e o primeiro ponto de operação; (b) convergência para um degrau entre o primeiro e o segundo pontos de operação, e (c) convergência para um degrau entre o segundo e o terceiro pontos de operação. A penalidade é determinada pelos pesos associados aos objetivos e restrições utilizadas em cada uma das funções de custo.
(a)
(b)
(c)
Figura 6. Convergência dos três algoritmos genéticos para os três pontos de operação.
A Tabela 5(a-b) mostra os valores obtidos para as especificações de desempenho do controlador para cada uma das estratégias de controle nos três pontos de operação. Nota-se que a otimização colaborativa ajudou no processo de busca, melhorando o
desem-penho da variável controlada em todos os cenários e para todos os pontos de operação.
Tabela 4. Desempenho da variável controlada (a) e (b) Pontos operação Sobressinal (%) Erro estacio-nário (%) Controlador 1° 0 1,4287 PID (sem OC) 0 0,2298 PI-PD-PI (com OC2) 0 1,5533 PID (com OC2) 2° 0 1,6268 PID (sem OC) 0 2,4924 PI-PD-PI (com OC1) 0 1,897 PID (com OC1) 3° 0,53685 0,53685 PID (sem OC) 3,0869 3,0528 PI-PD-PI (com OC2) 0 1,0605 PID (com OC2) (a) Pontos operação Tempo de acomodação (s) Tempo de subida (s) Controlador 1°
6,0378e-5 2,4553e-5 PID (sem OC) 1722,5e-5 881,33e-5 PI-PD-PI (com OC2)
4,2637e-5 2,2078e-5 PID (com OC2)
2°
5,6357e-5 3,0206e-5 PID (sem OC) 15,005e-5 6,5785e-5 PI-PD-PI (com
OC1) 4519e-5 18,883e-5 PID
(com OC1)
3°
3234,9e-5 1609,6e-5 PID (sem OC) 4801e-5 3800e-5 PI-PD-PI (com
OC2) 9,7480e-5 5,9226e-5 PID
(com OC2)
(b)
No 1° ponto de operação, onde o objetivo era mini-mizar o erro em regime permanente, a estratégia PID com OC2 obteve o melhor resultado. Para a mesma, foi obtido um erro em regime permanente pouco superior às outras estratégias, mas esta obteve uma resposta com tempos de subida e de acomodação muito inferiores às outras estratégias.
No 2° ponto de operação, onde o objetivo era mini-mizar o sobressinal, a estratégia de controle PID sem OC foi melhor. Além de manter a resposta sem so-bressinal, obteve também os menores tempos de subida, de acomodação e erro em regime permanen-te.
No 3° ponto de operação, onde o objetivo era mini-mizar o erro em regime permanente, a estratégia PID com OC2 obteve o melhor resultado. Para a mesma, foi obtido um erro em regime permanente pouco superior à estratégia PID sem OC, porém, esta obteve uma resposta sem sobressinal e valores de tempo de
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.024 1.0245 1.025 1.0255 1.026 1.0265x 10 4 Geração P e n a lid a d e Min = 10243.9317 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.017 1.0171 1.0171 1.0172 1.0172 1.0173 1.0173 1.0174 1.0174 1.0175x 10 4 Geração P e n a lid a d e Min = 10170.3755 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.005 1.0055 1.006 1.0065 1.007 1.0075 1.008 1.0085 1.009 1.0095 1.01x 10 4 Geração P e n a lid a d e Min = 10052.2709
subida e de acomodação muito inferiores às outras estratégias.
7 Conclusão
A otimização colaborativa se mostrou uma fer-ramenta interessante em sinergia com o algoritmo genético. No caso deste trabalho, guiou o processo de busca pela otimização paramétrica de controladores PID para uma planta CSTR.
Esta técnica permite que desempenhos específicos sejam incluídos na função de custo projetada para cada ponto de operação da planta, ao contrário de usar uma mesma função de custo para todos estes pontos. Neste caso, é de interesse reduzir o erro em regime permanente nos 1° e 3° pontos de operação e o sobressinal no 2°. Estas especificações foram al-cançadas de forma mais satisfatória com a utilização da otimização colaborativa.
A escolha de estratégias de controle envolvendo controladores proporcionais, integrais e derivativos foi feita devido à facilidade de implementação des-tes.
O algoritmo genético tem se mostrado uma ferramen-ta poderosa na determinação e otimização de parâme-tros de controladores devido à facilidade de imple-mentação do mesmo. O número de indivíduos neces-sários não foi elevado e o tempo de convergência dos parâmetros dos controladores foi pequeno.
Agradecimentos
Os autores agradecem à Fundação de Amparo à Pes-quisa no Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e à Universidade Federal de São João del-Rei (UFSJ) pelo suporte financeiro dado a esta pesquisa.
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