Sobre a sym-universalidade de palavras primitivas

E S T A TESE FOI J U L G A D A A D E Q U A D A PARA A OBTENÇÃO DO TITULO DE " M E S T R E E M C I Ê N C I A S " E S P E C I A L I D A D E E M M A T E M Á T I C A , E A P R O V A D A E M S U A F O R M A F I N A L P E L O C U R S O D E P O S - G R A D U A Ç Ã O E M M A T E M Á T I C A D A U N I V E R S I D A D E FE D E R A L D E S A N T A C A T A R I N A . B A N C A E X A M I N A D O R A : A ^ U - 4 - g r w PROF. D O N A L D M O R I S O N S I L B E R G E R , PhD. 4 \ - O r i e n t a d o r -PROF. I T A L O J O S E D E J T E R , PhD. A ? - ___________ PROF. W I L L I A N M G L E N N W H I T L E Y , PhD.

U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A

S O BRE A S Y M - U N IV E R S A L IDADE DE P A L A V R A S P R I M I T I V A S

A G R A D E C I M E N T O S Ao P r o f e s s o r D o n a l d M o r i s o n S i l b e r g e r pela o r i e n t a ç ã o s e g u r a e pr e c i s a , p o r sua d i s p o n i b i l i d a d e e p a ­ c i ê n c i a e p e l o e n t u s i a s m o que s e m p r e p r o c u r o u transm i t i r . Ao P r o f e s s o r M i l t o n Lu i z V a l e n t e , a m i g o e c u ­ n h a d o j um a g r a d e c i m e n t o e s p e c i a l p e l o v a l i o s o a u x i l i o pres_ t a d o.

Ao J o s é TadeUj m e u esposo., p e l o i n c e n t i v o 3 com_ p r e e n s a o e c o l a b o r a ç ã o p r i n c i p a l m e n t e nos m o m e n t o s m a i s di f i c e i s, A m e u s p a i s a q u e m m u i t o devo. A U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a , em p a r t i c u l a r ao D e p a r t a m e n t o de M a t e m á t i c a , que p o s s i b i l i t o u a r e a l i z a ç ã o : do p r e s e n t e trabalho..

E s t a d i s s e r t a ç ã o e s t a b e l e c e p a r a ca d a par m e n de i n t e i r o s com rrm/0 que p a r a todo g r u p o s i m é t r i c o infi_

— 71 171

n i t o S e p a r a todo f C S _ a e q u a ç a o f=x y tem s o l u ç ã o

\C &

This d i s s e r t a t i o n e s t a b l i s h e s , for e v ery p a i r m a n d n o f i n t e g e r s w i t h mn^O, that for every i n f i n i t e s y m ­ m e t r i c g r o u p S^ a n d for every f ^ x the e q u a t i o n f = x n y m has a s o l u t i o n < x }y > € S x *

I N D I C E I N D I C E I n t r o d u ç ã o ... 01 C a p i t u l o I - O b s e r v a ç õ e s ... . 03 C a p i t u l o II- R e p r e s e n t a ç ã o de Grupos S i m é t r i c o s ... 14 C a p í t u l o I I I - P a l a v r a s de c o m p l e x i d a d e m e n o r que seis ... 19 C a p i t u l o IV- P a l a v r a s V u l n e r á v e i s ... 30 C a p í t u l o V - R e p r e s e n t a ç ã o em Sym(Z) ... 35 B i b l i o g r a f i a ... 50

I N T R O D U Ç Ã O

Nos ú l t i m o s c i n q u e n t a anos c r e s c e u m u i t o o i n ­ t e r e s s e na d e f i n i ç ã o de g r u p o s e, c o n s e q u e n t e m e n t e , de semi_ g r u p o s e de o u t r a s e s t r u t u r a s m a i s g e r a i s do que de um gru po G, p o r s i s t e m a s de e q u a ç õ e s , Tais e q u a ç õ e s são d e t e r m i n a das p o r p a l a v r a s que dao as f o r m a s das equações, no s e n t i d o que, se W ( L ^ , . . . , L ) for uma p a l a v r a nas letras

( s o l e t r a d a u s a n d o s o m e n t e as letras no a l f a b e t o {L^,L^, ... L }), e se y£G, e n t ã o y = W ( x ^ , . . . , x ) ê a e q u a ç ã o d e t e r m i n a -

p 1 p

da p o r W e y; os x . são c o n s i d e r a d o s "va r i á v e i s em G ", com 'Z'

L^ — > x^ uma função, e uma p - u p l a (a j , .. . , a ^ ) € G ^ tal que y-W ( a ^ , . . . , a ) é s o l u ç ã o d e s t a e q u a ç ã o q u a n d o a j u s t a p o s i ç a o dos s i m b o l o s a. i n d i c a " m u l t i p l i c a ç ã o " em G.

't'

S e g u n d o J a n M y c i e l s k i p e r g u n t a m o s , p a r a cer t a s f a m i l i a s C n a t u r a i s e i m p o r t a n t e s de m o n o i d e s : P a r a quais pal-.dv.ras-. W ( L ^ , . . . , L ) a c o n t e c e que, p a r a todo H £ C e pa r a todo yÇ_H a e q u a ç ã o y = W ( x j , . . . ,x^) tem s o l u ç ã o (xj3 ...,x )=

(a ,, . . . 3 a )<ZHP ? 1J P D e f i n i m o s os termos f u n d a m e n t a i s e a p r e s e n t a ­ mos os lemas b á s i c o s no c a p i t u l o I. No c a p i t u l o II r e v i s a ­ mos a h i s t o r i a da p e r g u n t a de M y c i e l s k i e f o r m u l a m o s a l g u ­ mas p e r g u n t a s r e l a c i o n a d a s ao a s s u n t o . No c a p i t u l o I I I estu damos, a t r a v é s de um e x e m p l o a m p l o e g e r a l 3 o t e o r e m a p r i n ­ c i p a l de D .M .S i l b e r g e r e M . L . V a l e n t e em \5],, este t r a b a l h o é um dos p r i n c i p a i s p o n t o s de p a r t i d a p a r a n o s s o c a p i t u l o IV, no q u a l p r o v a m o s um r e s u l t a d o novo que a m p l i a o a l c a n c e do r e f e r i d o t e o r e m a .

No c a p í t u l o V p r o v a m o s n o s s o p r i n c i p a l teorema que ê a p r i m e i r a c o n t r i b u i ç ã o não trivial, na h i s t ó r i a do a s s u n t o , no e s t u d o das p a l a v r a s que são ISyrn-universais, on de I S y m d e n o t a a f a m í l i a de todos os g r u p o s s i m é t r i c o s infi nitos. N e s t e t e o r e m a p r o v a m o s que, p a r a todo g r u p o

sirnétri-• • • Yl Yl

co xnf%'n%to G, e p a r a todo y€G, as e q u a ç õ e s z=y x e z = “

k tu 2

x y x s e m p r e tem s o l u ç ã o < x , y > = < b , a > £ G , sempre que k,n e m são i n t e i r o s p o s i t i v o s.

C A P Í T U L O 1 - O B S E R V A Ç Õ E S

As n o t a ç õ e s e d e f i n i ç õ e s u t i l i z a d a s nos ca p í t u los s u b s e q u e n t e s são listadas n e ste c a p í t u l o . Alêrri d i sto al gu n s r e s u l t a d o s que i n t e r e s s a m no d e s e n v o l v i m e n t o do t r a b a ­

lho são a q u i a p r e s e n t a d o s com e x e m p l o s p a r a f a c i l i t a r o en t e n d i m e n t o . Co m o é u s u a l , Z d e n o t a o c o n j u n t o dos i n t e i r o s ; o i n t e i r o 0 tambern d e n o t a o c o n j u n t o vazio, <J>; w d e n o t a o c o n j u n t o {n£Z: n>sO }; se 0<n£u e n t ã o n t a m b é m d e n o t a {0,1, . . . ,n-l }. E x e m p l o : 4 = {0,1,2,3), o b s e r v e m o s que | 4 \ =4 e, d e s t a forma, \n\ i n d i c a o n ú m e r o de e l e m e n t o s do c o n j u n t o n. Se X é um c o n j u n t o a r b i t r á r i o seu n ú m e r o cardi nal ê d e n o t a d o p o r |z|. Se X e Y são c o n j u n t o s e n t ã o Y\X de_ no t a {x: x€.Y e x€Z}. Em p a r t i c u l a r uvn d e n o t a {n,n + l,... }. N a t u r a l m e n t e se {p,q}<^ cj com p<q e n t a o | q\p \ = \ q-p | = q ~ p .

S e j a peoj\2. E n t ã o M(p) d e n o t a o m e n o r m ú l t i p l o c o m u m de {2, 3, . . . ,p}j S(p) d e n o t a o m e n o r f a t o r p r i m o de p. Se a l e m de p, t i v e r m o s <?€u) e n t ã o p\q d e n o t a que e x i s t e new com np=q, p]q n e g a a a f i r m a ç ã o a n t e r i o r e p J |q i n d Á c a que

i I i + 1 j

p I q mas p \q c o m teu.

S e j a m X c o n j u n t o a r b i t r á r i o e fZXxX. E ntão _ j

Dom(f) d e n o t a {x: 3-y <x,y>€.f}; Im(f) d e n o t a D o m ( f ); p a r a um c o n j u n t o A, f[_A] d e n o t a { y : ] x (x£AA<x, y > € f ) ; e / 1\4 deno_ ta (AxX)Of. A e x p r e s s ã o Wrld(f) d e n o t a Dom (f) \jlm (f) .

A e x p r e s s ã o Prt(X) d e n o t a o c o n j u n t o de todas ~ ~ X as f u n ç õ e s f c o m Wrld( f)SX. A e x p r e s s ã o X i n d i c a (/': f € P r t ( X ) e D o m (f ) ^ X } . A l é m d i s s o Sym(X) d e n o t a o conjunto de t odas as p e r m u t a ç õ e s em X. C e r t a m e n t e Sym(X) é um s u b g r u p o Y X -» de X y e X ê um s u b m o n o i d e de Prt(X). P o r id [ X i n d i c a r e m o s { x C X : f ( x ) - x ) . 0 c o n j u n t o { f : f £ S y m ( X ) e f ê p a r} d e n o t a - s e A l t ( X ) . X ~ L e m a 1.1. S e j a X c o n j u n t o finito. S e j a fÇ. X. E n t a o as s e g w n tes tres a f i r m a ç õ e s são e q u i v a l e n t e s :

1. f é i n j e t i v a ;

2. f é s o b r e j e t i v a (sobre X ) ; 3. f<LSym (X) .

D e m o n s t r a ç ã o : S e j a 1 v e r d a d e i r a . E n t ã o |f[^]|-|^Í e p o r t a n to

x~f[x]

Se j a 1 falsa. E n t ã o e x i s t e {x,y'\Ç:X com x^y mas c om f ( x ) = f ( y ) . S e g u e que f [X] = f . \ { y }] e portanto que |[x] | — |/[AT\{y}] | < |^| pois X ê finito, e então que

f[x]/x.

1 é f a l s a i m p l i c a em 2 f a l s a também. S e g u e que 1 é e q u i v a ­ lente a 2. A g o r a temos, o b v i a m e n t e , que 1 e 3 são equivalet_%_ t e s .

O b s e r v a ç ã o : A f i n i d a d e de X é e s s e n c i a l em 1.1. Note que Z-*Z d e f i n i d a p o r z-+2z é i n j e t i v a sem ser s o b r e j e t i v a (sobre Z). T a m b é m Z->-Z d e f i n i d a p o r 2z + l-^z e p o r 2z-+z é s o b r e j e t i v a sem ser i n j e t i v a .

S e j a fÇX*X. T a m b é m c h a m a m o s g r a f o d i r e t o o n ­ de f é u m d i g r a f o , c u j o c o n j u n t o de "v é r t i c e s " é Wrld(f)

e c u j a s a r e s t a s d i r e t a s , ou " a r e s t a s " 3 e o c o n j u n t o f. Cha m a m o s g Ç X x X de s u b d i g r a f o de f s e , e s o m e n t e se, gçkf.

C o n s i d e r e m o s f e g r e l a ç õ e s b i n a r i a s ,- d i r e m o s que f é i s o m o r f i c a b i g r a f i c a m e n t e aom g s e representamos por f- g se, e s o m e n t e se, e x i s t e m um c o n j u n t o Y e haSym(Y) tais que f = { < h ( x ) , h ( y ) > : < x , y > e g } . T e mos que - e uma r e l a ç ã o de e_ q u i v a l e n c i a.

L e m a l * 2 a S e j a {f, g E n tão as s e g u i n t e s a f i r m a ç õ e s são e q u i v a l e n t e s :

1. f*g

— 1 2. E x i s t e h,<ZSym(X) tal que g = h f h 3. E x i s t e h€.Sym(X) tal que gh~--hf.

D e m o n s t r a ç ã o : [9, C o r o l l a r y o f T h e o r e m ] .

S e j a FSSymCX). p a r a X c o n j u n t o a r b i t r á r i o , Dire mos que F e d i s j u n t a como p e r m u t a ç ã o , e a n o t a m o s dcp, se e s o m e n t e se, p a r a c a d a p a r f e g de e l e m e n t o s d i s t i n t o s de F , temos que p a r a todo x £ X que x=f ( x ) ou que x=g(x).

L e m a l.o. S e j . •? F dcp com F £ S y m ( X ) e {f,g}^F. E n t ã o fg=gf.

D e m o n s t r a ç ã o : [10, L e m a í.3]„

S e j a f&XxX. D i r e m o s que f é c o n e x o como d i g r a - fo se, e s o m e n t e se, p a r a oa d a {x,y}'9Wrld( f ) , se x^y então e x i s t e uma s e q u ê n c i a f i n i t a x - z 3 z ~ 3 .. . , z . = y tal atue p a r a to_

0 1 Q

do iaj { < z i 3 zí + 1 > , < z i + 1 , z i > } n f ^ íJ).

A e x p r e s s ã o i d \ X c h a m a r e m o s c i c l o t r i v i a l em x, ou c i c l ò dê c o m p r i m e n t o 1 em X.

-05-S e j a id\ f€Syrri (X ) . D i r e m o s que f ê urn ciclo não t r i v i a l em X se, e s o m ente se, e x i s t i r g ç f tal que \ g\>l, tal que g ê c o n e x o e tal que se g ç h ç f e se h é c o n e x o então g-h.

S e j a f um c i clo não triv i a l cujo s u b d i g r a f o ma x i m a l c o n e x o e g. E n t ã o f é c h a m a d o um \g\-ciclo em X ou um c i c l o de c o m p r i m e n t o \g\ em X. O b s e r v a ç ã o : Se |g |- d i z e m o s que f ê um c iclo i n f i n i t o em X, ou u - c i c l o em X. De o u t r a f o r m a f é di t o c iclo f i n i t o em X. S e j a f £ S y m ( X ) . C h a m a m o s f de p e r m u t a ç ã o c í c l i ­ ca de X se, e s o m e n t e se, f é c o n e x o. Q u a n d o FS-Sym (X ), e F ê dcp, e n t ã o riF d e n o t a {<x,y>: 3 f £ F ( y = f ( x))}. É c l a r o que vF€Sym(X).

L e m a 1.4. Se j a f € S y m ( X ) . E n t ã o e x i s t e e x a t a m e n t e uma f a m í l i a F dos c i c l o s não t r i v i a i s em X tal que F ê dcp e tal que f=-nF.

D e m o n s t r a ç ã o : [5j L e m a 1. 4~] .

O b s e r v a ç ã o : i\$=id\x, q u a n d o se e s t i p u l a que e s t a m o s p e n s a n d o em $Ç.Sym (X) .

S e j a f um c i c l o não t r i v i a l em X, e c o n s i d e r e ­ mos o ú n i c o s u b - c o n j u n t o g de f tal que \g\>0, que g é co n e x o e que g ç h ç f e n t ã o h = g.

Q u a n d o \g\= k£ui, e ntão e x i s t e uma i n j e ç ã o i+x- de k em X, e g tem a f o r m a Xq-^x^ x^ . . . -+x^ _j-±Xq; e s c r e v e m o s f = ( x Xj a;,, ... * A p e r m u t a ç ã o c í c l i c a (0 1 ... k-1) de

k d e n o m i n a m o s de C Q u a n d o não f a l t a e n t e n d i m e n t o , a expre^_ aao d e n o t a a p e r mu taça o C jiJid{ (X\k) q u a n d o k ^ X .

P o r o u t r o l a d o , q u a n d o \g\= \ , e n t ã o e x i s t e u m a i n j e ç ã o i+x^ de Z em X e g tem a f o r m a x^->-x^ + J p a r a todo i&Z. E s c r e v e m o s f=(... x_j x 0 x i x 2 * * * ^ * A P & v m u tação c í c l i ­ ca i-*i + l de Z d e n o m i n a m o s de s.

F i n a l m e n t e , p a r a c a d a x £ X a e x p r e s s ã o (x) deno_ ta id\X.

P a r a c a d a f € S y m ( X ) a e x p r e s s ã o \f'(f) d e n o t a <f> se f = i d\X. P o r o u t r o lado se f^id\X, y'(f) d e n o t a a u n i c a m e n ­ te d e t e r m i n a d a f a m í l i a F, v i s t a no lema 1.4. Os e l e m e n t o s de y ’(f) são d e n o m i n a d o s c o m p o n e n t e s não t r i v i a i s de f.

0 c o n j u n t o y r(f)(J{x: f ( x ) = x } serã d e n o t a d o p o r y(f). Em y(f) p r e t e n d e m o s " c o n t a r " a i d e n t i d a d e , id\f, e xata

m e n t e uma vez p a r a cada x € X que se r ã "f i x a d o " p o r f.

E x e m p l o : S e j a f= ( 3 4) (5 6 7). Se X=8 e ntão y (f) = y ' (f)Ul (0), (1), ( 2) } ou y ( f ) = { ( 3 4), (5 6 7)} { (0), (1) , (2) } e

|v

Iy(f) \=6.

S e j a f<iSym(X). E n t ã o h(f) d e n o t a { | g \ : g ^ y (f))[) T, com T-<j> se x^f(x) para cada x£X, mas com T = { 1} se e x i s t e x £ X tal que x=f(x).

y2 + *

Q u a n d o f ^ f p a r a todo i n t e i r o n/0, e n t ã o d i r e ­ m os que f tem o r d e m infin i t a , ou que o r d ( f ) D e o u t r a f o r m a

-07-ord ( f ) d e n o t a m i n { n : n £ w\l e f n = i d \ X ) .

C h a m a m o s f de i n v o l u ç ã o de X se, e s o m e n t e se, f£Syrn ( X) e o r d (f )€{1,2).

E s t u d o das -palavras. C o n s i d e r e m o s Z = {A,B,C, . . . } um a l f a b e t o fixo, f i n i t o e a r b i t r á r i o . £* d e n o t a o m o n o i d e gerad.o pelo a l f a b e t o E. Os e l e m e n t o s de E *, são d e n o m i n a d o s p a l a v r a s de s e m i g r u p o e s e r ã o d e n o t a d a s p o r letras g r e g a s m i n u s c u l a s . Se_ ja {ot_,3}ÇE*j a p a l a v r a aB será c o n s t r u í d a p e l a c o n c a t e n a ç ã o de a e 3. 0 s í m b o l o r e p r e s e n t a a p a l a v r a vazia. Ê claro que

Exe m p l o . Se a = B A B A e &=AB e n tão a & = B A B A A B e $a=ABBABA.

S e j a ( a , 6^ y}ÇE*. Então, c e r t a m e n t e temos que (a&) y - a ( ) . P o r e m a 3 - 3 a n em se m p r e ê válido. Ver o e x e m p l o a c i m a .

S e j a m 3€E* e n€.u\l. D e f i n i m o s $n = $ n ^3 e 3^-<|>. P o r c o m p r i m e n t o de uma p a l a v r a 3, e a n o t a m o s |3 |i e n t e n d e m o s i n t u i t i v a m e n t e : | <j) |-0; \ L \ =1 p a r a todo L£E e p a r a todo (a^B) Ç E * temos |aB|- |a|+ |3 |•

E x e m p l o : S e j a a ~ A B A B B A A = A B A B ^ A ^ e n t ã o | a. | — 7. Se 3- L n p a r a L£E e ntu, e n t ã o |3|-n.

Se j a a£E*, e n t a o í* d e n o t a a p a l a v r a f o r m a d a p e l o s m e s m o s e l e m e n t o s que c o m p õ e a, c o n c a t e n a d o s em o r d e m

^ Yt ^ ~~

in v e r s a . P o r e m p o d e m o s o b s e r v a r que, se a-L , e n t a o a-a, s e m p r e que L€E e que ntw. A l e m disso, p a r a todo a £E * t emos q u e |a|- |a|.

E x e m p l o . S e j a a=B° A B A B “ A ’’ e n t ã o a=A'J U'J ABA/J'1.

S e j a a.ç.1* uma p a l a v r a não vazia. D i r e m o s que

~ y\

u m a p a l a v r a nao v a z i a 6 e raiz de a se, e s o m e n t e se, a-6 p a r a a l g u m i n t e i r o p o s i t i v o n. P o d e m o s o b s e r v a r que toda a^<|> a d m i t e e x a t a m e n t e u m a r a i z de m e n o r c o m p r i m e n t o que a n o t a m o s p o r tt (a) .

Uma p a l a v r a a^(j> c h a m a - s e p r i m i t i v a se, e s o m e n te se, a = v ( a ) ; a^irfaj d i r e m o s que a é não p r i m i t i v a . Observe_ m o s que tt (-n ( a ) ) =ir (a) p a r a toda a££*\{<t>}; is t o e, tí(ol) é pri_ m i t i v a .

E x e m p l o . Se a - B A 2B 2A 2B ^ A 2B 2A 2B = (B A 2B e n t ã o as p a l a v r a s B A ^ B e ( B A ^ B ) 2 são r a í z e s de a , e ir (a) =BA 2B. Se a = L n e n tão

3 2 - ’

t\(o.)=L p a r a todo 1 6 E. A p a l a v r a B-B ABA e p r i m i t i v a po r s ■n ( 8 ) = B 3 A B A 2 .

P a r a c a d a L£T. a e x p r e s s ã o M u l t (L, a) d e n o t a o c o n j u n t o de todas as p o s i ç õ e s nas q u a i s a letra L o c o r r e p a ­ ra a f o r m a ç ã o , isto é , " s o l e t v a ç ã o " da p a l a v r a a. Uma p a l a ­ vra a é di t a não t r i v i a l se, e s o m e n t e se, \Mult (L , a) \^1 pa^ ra todo LCL.

A e x p r e s s ã o gcd ( a ) d e n o t a . o m a i o r f a t o r c o m u m de { |M u l t ( L , a ) |;L€E}.

E x e m p l o . Se <x=B^A2BA e n t ã o M u l t (B , a ) = {1, 2, 3, 4, 7 } e M u l t ( A , a ) = {5,6,8}. Ja que | Mu lt (A, a) \ =3 e que \Mult (B, a) | =5, logo a é não t r i v i a l e g c d ( a ) =1.

Lútna 1.5. S ó j a {a, |3}Ç£*\{<|>} . E n t à o aB~(?a ee, e vorncnte se, ir (a) =ir (a.&) .

D e m o n s t r a ç ã o . [10, A p ê n d i c e , p ã g i n a 5 0].

S e j a a£E*. D i r e m o s que g^<{> é s e g m e n t o de a se e s o m e n t e se a - t o p a r a a l g u m {Trajei*. D e n o m i n a m o s 3 s e g m e n t o ã e s q u e r d a ( r e s p e c t i v a m e n t e ã di r e i t a ) de a se e s o m e n t e se a = 3 À (a=A|3,> p a r a a l g u m À£E*.

S e j a {a,8)£E*. S e j a L€I e se j a n£u>^l. Ao

Yt * p a r <X , L > d e n o m i n a m o s L - f i l a de t a m a n h o n de a se, e s o ­ m e n t e se, i) ê s e g m e n t o â e s q u e r d a de a; • 2. __ ^ ii) XL nao e s e g m e n t o a e s q u e r d a de a; iii) L n ã o é s e g m e n t o a d i r e i t a de X. D e n o m i n a m o s c o m p l e x i d a d e de uma p a l a v r a a€ 1*, e a n o t a m o s p o r c m p l x ( a ) , ao n ú m e r o de f i l a s d i s t i n t a s de a. 2 2 3 2 ~ ~ 2 2

E x e m p l o : Se a =B A ^ B A i e n t ã o suas f i las são <$,B >,<B , A 2 > , < B “A 2, B 3 > e < B 2A 2B 3, A a >. A s s i m c m p l x ( a ) - 4 . Se L££ e ~ Y l n > l , e n t a o c m p l x ( L )~1. P a r a { A , B } Q Z * e p a r a {n,p,m}çu)\l temos que c m p l x (A n B m )=2 e c m p l x (A n B ^ A m )= 3. S e j a {a, $}.££*.. D i r e m o s que a é c i c l i c a m e n t e e q u i v a l e n t e a 0 e a n o t a m o s se, e s o m e n t e se, ex i s t e

. tal que a-^yX, e n q u a n t o que 6-A.p.

P r o p o s i ç ã o 1.6. A r e l a ç ã o <\> ê uma r e l a ç ã o de e q u i v a l e n -=■ aia em E * .

D e m o n s t r a ç ã o : [10, P r o p o s i ç ã o 1.18].

L e m a 1.7. S e j a {a., 6 }CE*\{ <$} . E n t ã o se, e s o m e n t e se, a m b o s | ot | — | 6 | e | tt(a) | ^ | ir ($) \ .

D e m o n s t r a ç ã o : [7, L e m a 3.2],

D e f i n i ç ã o 1.8. S e j a W çE*. Seja .&f.£E*x E* d e f i n i d a como segue: a . W . 8 se, e s o m e n t e se, e x i s t e uma s e q u ê n c i a a- Yqj Y j ■> • • • ■> y tal que, p a r a todo i£j se tenha:

i) y .'Vy ou

1 ^ ' x + 1

ii) e x i s t e ip€lV tal que y ^ + i= y ^ = ou iii) e x i s t e ipGW tal que y ^=y ^ + •

D i r e m o s que a s e q u ê n c i a o.=y g,y ^, . . . ,y ^ = leva a. em $ p o r W. 0 s i m b o l o a / W vai d e n o t a r {$:8.W.a}.

L e m a 1.9. A r e l a ç ã o .W. ê r e l a ç ã o de e q u i v a l ê n c i a em E

D e m o n s t r a ç ã o [10, L e m a 1.22],

C o n s i d e r e m o s £* como d e f i n i d o a n t e r i o r m e n ­ te. D a d o Ej e s c o l h a m o s E r com EHE '=<)> e com |e|-|E'|. Se_ ja ':£-*-£ ' u m a b i j e ç ã o L-+L '. E n t ã o F(Y.) e (El)£ ')* j u n t o c o m a r e l a ç ã o de e q u i v a l ê n c i a ^ d e f i n i d a assim: a%8'. se, e s o m e n t e se, e x i s t e uma s e q u ê n c i a f i n i t a 0 = 0 q, , . . . , a ^~8 tal que p a r a c a d a iÇ.k ou 0 .=o •

_■

_{t % + l}

Cada h o m o m o r f i s m o f : F ( I }-+G, onde G e grupo, 0 u n i c a m e n t e d e t e r m i n a d o por f\l no s e g u i n t e sentido: Vara

_

7

todo ■£€£ temos que f ( L ' ) = f ( L )

Seja. a^P(Z). A t r a v é s de [ 4 ^ 2 J d i r e m o s que a é c i c l i c a m e n t e r e d u z i d a se, e s o m e n t e se,\ q u a l q u e r 3 e q u a l q u e r y e n t ã o | cx j .$ | -y | •

O b s e r v a ç ã o . Se a\ê a i a l i o a m e n t e r e d u z i d a e e n t ã o g ê

"\

a i a l i o a m e n t e r e d u z i d a .

U n i v e r s a l i d a d e de uma p a l a v r a p a r a um grupo. Se j a a£F(Z)\ {<J>}. S e j a G um g r u p o e se j a x€G. D i r e m o s que a r e p r e s e n t a x em G, e a n o t a m o s (aix)G, se e x i s t e um h o m o m o r f i s m o H : F(l)^-G tal que H(a)=x. D e n o m i n a m o s a u n i v e r s a l p a r a G se, e s o m e n t e se, Ca\x)G p a r a todo x(LG. Q u a n d o a e ' u n i ­ v e r s a l p a r a G e s c r e v e m o s ('a + 4-Gj ou que a é G - u n i v e r s a l .

Se j a M uma f a m í l i a de grupos. D i r e m o s que a é M - u n i v e r s a l se, e s o m e n t e se, a e X - u n i v e r s a l p a r a todo X£M. D i r e m o s que a ê f i n i t a m e n t e M - u n i v e r s a l , e a n o t a m o s F M - u n i v e r s a l se, e s o m e n t e se, a e X - u n i v e r s a l p a r a todo X f i n i t o p e r t e n c e n t e a M, e a ê i n f i n i t a m e n t e M - u n i v e r s a l , a n o t a m o s T M - u n i v e r s a l se, e s o m e n t e se, a e X - u n i v e r s a l pa ra todo X i n f i n i t o , p e r t e n c e n t e a M. O b s e r v a ç ã o . N e s t e t r a b a l h o Sym d e n o t a o c o n j u n t o { S y m (X): X 1 c o n j u n t o } , Prt d e n o t a o c o n j u n t o { P r t ( X ) : X é c o n j u n t o ) , X M y c d e n o t a o c o n j u n t o { X : X e c o n j u n t o } e A l t d e n o t a o aon j u n t o {Alt (k) :k<í(i}} .

S e j a ty/AÇZ\l . A e x p r e s s ã o rndc(A) d e n o t a rriax {d:d\a p a r a todo a A }.

Q u a n d o for c o n v e n i e n t e a e x p r e s s ã o mdc(-{x,y}) ê e s c r i t a Cx3 y).

-13-C A P Í T U L O I I - A R E P R E S E N T A Ç Ã O D E G R U P O S S I M É T R I C O S

I n t r o d u ç ã o : Em r e c e n t e t r a b a l h o [5] e s t e n d e m - s e as t é c n i ­ cas u s a d a s em [2] e em \lO~[ a fim de ser e s t a b e l e c i d o o

T e o r e m a 2.1. Se j a a q u a l q u e r p a l a v r a p r i m i t i v a de c o m p l e ­ x i d a d e m e n o r que seis. E n t ã o ( s )S y m (Z ). E n c o n t r a m o s em [l] a 2 2 -P r o p o s i ç ã o 2.2. A p a l a v r a B A e S y m ( X ) - u n i v e r s a l p a r a to_ do X i n f i n i t o . 0 a r t i g o \l], não a p r e s e n t a uma d e m o n s t r a ç ã o p a r a a p r o p o s i ç ã o 2.2, mas i n d i c a um e s b o ç o e um d i a g r a m a , m u i t o u t e i s no d e s e n v o l v i m e n t o de n o s s a s idéias, n e s t e tra balho, d a n d o - n o s um c a m i n h o p a r a a d e m o n s t r a ç ã o e x igida. Em n o s s o C a p í t u l o III, a p r e s e n t a m o s um e x e m ­ plo, a m p l o e detalhado, p a r a e x e m p l i f i c a r m o s todas as téc_ n i c a s u s a d a s p o r D . M .S i l b e r g e r e M.L. V a l ente na d e m o n s t r a ­ ção do T e o r e m a 2.1. Então, em n o s s o C a p í t u l o IV, e s t e n d e - mos um p o u c o os r e s u l t a d o s a l c a n ç a d o s p e l o T e o r e m a 2.1, em c o n j u n t o com os r e s u l t a d o s r e l a c i o n a d o s em

No C a p í t u l o V a p r o v e i t a m o s as t é c n i c a s sugéri_ das em [l] p a r a d e m o n s t r a r n o s s o p r i n c i p a l t e o r e m a , que c m p l x (ir (a)) <4 i m p l i c a em -n(a) é I S y m - u n i v e r s a l .

No p r e s e n t e c a p í t u l o , a p r e s e n t a m o s um b r eve his_ tó r i c o do e s t u d o das p a l a v r a s que são F S y m - u n i v e r s a i s ou I- S y m - u n i v e r s a i s .

Em 1966, J . R . I s b e l l p u b l i c o u o p r i m e i r o a r t i g o [3] s. bre a q u e s t ã o 3 i n t r o d u z i d a por J. M y c i e l s k i , s obre ter_ mos u n i v e r s a i s . N e s t e a r t i g o e n c o n t r a - s e o

T e o r e m a 2,3. Se a^<j> não e da f o r m a a=$y3 p a r a , então a e ^ X - u n i v e r s a l p a r a todo c o n j u n t o X i n f i n i t o .

Mas, as t é c n i c a s u s a d a s p o r J . R . I s b e l l na d e ­ m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 2 , 3 3 a p a r e n t e m e n t e não p e r m i t e m uma res_ p o s t a a s e g u i n t e p e r g u n t a n a t u r a l : Se a n ã o é da f o r m a ct-3y|3 p a r a e n t ã o a é I S y m - u n i v e r s a l ? Este p r o b l e m a c o n t i n u a em a b e r t o e é n o s s a prin_ c i p a l c o n s i d e r a ç ã o 3 n e s t e trabalho. T a m b é m em [3] e n c o n t r a - s e um r e s u l t a d o que é a p l i c a d o na á r e a de termos F S y m - u n i v e r s a i s . Este r e s u l t a d o de J . R . I s b e l l ê

T e o r e m a 2.4. S e j a n p o t ê n c i a de p r i m o . Seja k£u\l, e

se-k k k

ja f€ k. E n t a o e x i s t e m ge k e uma i n v o l u ç a o h£' k tais que f = g h.

I s t o 3 j u n t o com o T e o r e m a 2 . 3 3 i m e d i a t a m e n t e im_ p l i c a q u e 3 se n ê p o t ê n c i a de p r i m o 3 e se m ê i n t e i r o ím_ p a r 3 e n t ã o as p a l a v r a s B n A m e A m B n são M y c - u n i v e r s a i s .

A l é m d i s s o 3 senão h C Sym(k) com k€oi\l3 e sendo Y l

f=g h com {f , g } C k 3 temos p e l o L e m a 1.1 que f £ S y m ( k ) se, e s o m e n t e se, g € S y m ( k ) . D e s t a f o r m a o b t i v e m o s o

Covolãvio 2.5. Seja n potência de inteiro primo, e seja

• ^ • - r. r,n .m Am r,n ~ „<■

m tntetro tmpav. Lntao as paLa.vraa B A e A H sao l<l>ym u n i v e r s a i s . E m p r e g a n d o t é c n i c a s d e s e n v o l v i d a s p o r J.R. Is- b e l l na d e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 2.4, A .E h r e n f e u c h t e D.M. S i l b e r g e r p u b l i c a m um m e l h o r a m e n t o do T e o r e m a 2.4: T e o r e m a 2.6. Se j a 2 \\n com n > 2 . E n t a o as s e g u i n t e s c o n d i ç õ e s são e q u i v a l e n t e s : 1. 2% + 1 < S ( n / 2 % ); k

2. P a r a todo kein\l e p a r a toda f€ k, e xis-Yí,

tem gC k e h i n v o l u ç a o de k tal que f=g h.

D e i x a r e m o s de m e n c i o n a r os c o r o l á r i o s do Teore ma 2.6, p o i s são a n á l o g o s aos do T e o r e m a 2.4. Os m e s m o s a u t o r e s p u b l i c a m [

2

3. i4s p a l a v r a s B A e A B sao F Sym-universais

T a m b é m em [sj e n c o n t r a m o s um r e s u l t a d o m u i t o i m p o r t a n t e no d e s e n v o l v i m e n t o dos t r a b a l h o s \lO~\ e [

5

T e o r e m a 2.8. S e j a m mf-0?n i n t e i r o s qua i s q u e r . E n t ã o (Bn A m A s ) S y m (Z) . De f a t o , m e l h o r a n d o as t ê c n i o a s e m p r e g a d a s na d e m o n s t r a ç ã o em [

2

C o l o c a m o s a g o r a as s e g u i n t e s p e r g u n t a s :

P e r g u n t a 2.11. Se tt (a) = B nA m Bp A q então n(a) é I S y m - u n i v e r s a i ?

M a i s g e r a l m e n t e

P e r g u n t a 2.12. -n(a) ê I S y m - u n i v e r s a l p a r a q u a l q u e r n (a )?

P e r g u n t a 2.13. Dado a uma p a l a v r a de g r u p o que é c i c l i c a

-~ • * T l i I

m e n t e r e d u z i d a e tal que a nao e da f o r m a 3 p a r a \n\>í, e n t ã o a ê I S y m - u n i v e r s a l ?

C A P l T U L O I I I - P A L A V R A S DE C O M P L E X I D A D E M E N O R QUE SEIS

-19-0 p r i n c i p a l p o n t o de p a r t i d a p a r a os r e s u l t a ­ dos o r i g i n a i s que a p r e s e n t a m o s no C a p í t u l o IV ^ e [üj , qut p o d e ser e s c r i t o como sugue:

T e o r e m a 3.1. Seja rr(a) de c o m p l e x i d a d e m e n o s que seis. E n t ã o ( v ( a ) \ s ) S y m ( Z ) . 0 e s p i r i t o , de n o s s a s c o n t r i b u i ç õ e s , a p a r e c e not e x e m p l o c a r a c t e r í s t i c o a b a i x o a p r e s e n t a d o . E s c o l h e m o s a p a l a v r a p r i m i t i v a 4 2 7 9 1 9 1 1 ($'l) Ti(a)= A B A B A de c o m p r i m e n t o 7 0 e de com 1 p l e x i d a d e 5. P a r a es t a v(a) c o n s t r u í m o s e x p l i c i t a m e n t e d u a s p e r m u t a ç õ e s , a e b de Z tais que

(3.2) s=a b 4,27 9,19 11 a b a A(a)={l ,1.5} e A(b) = U , 12}

As c o n d i ç õ e s A ( a ) = { l ,15} e A (b)= { 1 ,12} que i m ­ p l i c a m or d ( a ) =15 e o r d ( b ) = 1 2 , r e s p e c t i v a m e n t e , nao são ne_ c e s s a r i a s n e s t e . e x e m p l o ; f i c a m o s com e s t a s c o n d i ç o e s a fim de que as e t a p a s da d e m o n s t r a ç ã o , em (5], do t e o r e m a acima, s e j a m f i e l m e n t e e x i b i d a s .

0 d i a g r a m a I i n d i c a o j e i t o de c o n s e g u i r m o s {bj,a^} s u b c o n j u n t o de Sym(Z) tal que

A (b1 ) = {l,6)

(3.3) s = b 2a 1, A Cü j) = { 1 ,5} e

sem t e n t a r g e n e r a l i z a r , e s c r e v e m o s c o m p o n e n t e s c í c l i c a s das p e r m u t a ç õ e s aj e bj o b t i d a s no d i a g r a m a I.

b.j~(o 1 2 ■■i - D (a u io ii iv. -;'.)(ic r/ m m 20 -3) (2-1 25 26 27 28 -4) (32 33 34 35 Z6 -5)

(40 41 4 2 43 44 -6)...

a 2 = (-1 5 6 7 8 )(-2 13 14 15 16)(-3 21 22 23 24) (-4 29 30 31 32) ( - 5 37 38 39 40)...

A p r ó x i m a e tapa é p r o c u r a r { b 3 , a s )ç Sym (Z) tal

b \ ° = b 13 A (bz ) = {l,12}

a^ =aj & h ( a ^ ) - { l , 1 5 }

E s t e p r o c e s s o e xige duas eta p a s p a r a c o n s e g u i r b

.

2

5

que b 2=b^ e n q u a n t o que A (b^)- A ( b ^ )- { 1, 6 }. Ja que (ord(b^), 5 ) = ( 6 , 5 ) = 1 - 6 . 1 + 5 . ( - 1 ) , temos que b j = b ^ ( b ^ ( b ^ ^ . Seja ^ 2~^ 1 ' 1.5] temos que A (b^) ~ {1, 6 } . O b v i a m e n t e tam b é m b ^ = b 2• De fato, da e x p r e s s ã o (3.4), o b t e m o s

(3.7) h 2 = (0 ~ 2 4 3 2 D L 8 ~ 2 22 22 2 0 9) (16 -3 20 19 18 17) (24 -4 28 27 26 25 ) ( 3 2 -5 36 35 34 33) (40 -6 44 43 42 41) ...

N o s s a segunda, s u b e t a p a ê i n t e r c a l a r aos p a res as c o m p o n e n t e s 6 - c í c l i c a s de i>g3 s e g u i n d o t é c n i c a e m p r e g a ­ da na d e m o n s t r a ç ã o do T e o r e m a 3.1 em [5 a fim de o b t e r m o s

~ 2

uma p e r m u t a ç a o b 3 de Z tal que (b ^) - {1, 12 } e n q u a n t o b ^=b g. De fato, da e x p r e s s ã o (3.7), o b t e m o s (3.4) (3.5) q ue (3.6) m o s de

-21-(3.8) h 3=(0 8 -1 ~2 4 12 3 11 2 10 1 9)(16 24 -3 -4 20 28 19 27 18 26 17 25)(32 40 -5 -6 36 44 35 43 34 42 33 41)... S e g u e que (b ^) 1° = (b3) 5= b ^ = b ^ , com d e s e j a v a mos T e r m i n e m o s o p r o c è s so com aj Temos de (3.5) q ue A (a ^) = { l , 5}-.- T a m b é m ( ox>d( a ^) 3 Z) = ( 5, 3) =1 = 2 . 5+(-3 ) . 3 , 5,2, -3 . 3 , -3.3 — 3

P o r t a n t o a^ = (aj) 4-a^ ) =(aj ) . Seja a^-a^ . E n t a o de (3.5) o b t e m o s

(3.9) a 2= ( ~ 1 6 8 5 7 ) ( ~ 2 14 16 13 15 ) ( ~ 3 22 24 21 23)(-4 30 32 29 3 1 ) ( - 5 38 40 37 39 ) ( - 6 46 48 45 47) . . .

O b s e r v e m o s que a^=a^ e n q u a n t o que A ( a ^ ) = A ( a ^ )= {1 , 5 }. A t é aqui temos a s u b e t a p a um. A s u b e t a p a do i s con s i s t e em i n t e r c a l a r de f o r m a t r í p l i c e as c o m p o n e n t e s ,5~oí^

2

c l i c a s de a^ a fim de o b t e r uma a^ tal que a ^ - a ^ e n q u a n ­ to h ( a „)= i 1,15}. B e s t a m a n e i r a , de (3.9), o b t e m o s ó (3.10) a s=(-l -2 -3 6 14 22 8 16 24 5 13 21 7 15 23) (-4 -5 -6 30 38 46 32 40 48 29 37 45 31 39 47) ... N o t e m o s que as p e r m u t a ç õ e s b^ e a ^ a s s i m obti_ das s a t i s f a z e m as c o n d i ç õ e s (3.6) exigidas. N o t e m o s t a m ­ b é m de (3.3) e (3.6) que t e mos s a t i s f e i t a s as c o n d i ç õ e s (3.11) s = a ^ b ^ e a ^ = i d \ z = b ^ 2

N o e o a p r ó x i m a o b s e r v a ç ã o é que ,3 ,-3 ,3 9. 10.-3 .3 9.7 b 8d =b ,a ~b ~ b , -Z? „a ,c> _ . ó ó ó O O ó O S e j a (3.12) s 2= b 33s b ~ 3 A c o n t e c e 3 p o r [_23 T e o r e m a 4.3] que s'-s. M a s não p r e c i s a m o s u t i l i z a r este fa t o no p r e s e n t e a r g u m e n

to. C o n s i d e r e m o s o h o m o m o r f i s m o H : F ({ A 3B } ) -*■ Sym(Z) gera 3 9 7 do p o r A + ã g e B + b C o m 3=B A B temos que H ( Q)=Sj. De f a t o 3 H(r\)=Sjj p a r a q u a l q u e r n o b t i d a de

8

8

*3

A s s i m v i m o s que (t\ (a) \s ^) Sym(Z) . A g o r a seja

( 3 . 1 7 )

f = b ~ 3 a^3 2

, - 3 11

—1 1 , 3 , . - 3 1 1 .

, , - 3 , 1 1 .

n \ r ,

b ^ a ^ S 2 a s

3 =

3 a 3

2

3

3

3 e P o r t a n t ° 3 p o r ( 3 . 1 7 )(3>

4 27 9 19 11

t e mos que s=a b a b a . S e g u e que ( n ( a )+ s )S y m ( Z ). T a m b é m de [5] t e mos que A ( a ) = h ( a 3 ) = { 1 ,15} e q u e A (b)= A (b 3 ) = {13 1 2} . I s t o ê 3 as p e r m u t a ç õ e s a e b de Z satis_ f a z e m as c o n d i ç õ e s (3.2). F o r m a l m e n t e 3 n o s s o s c á l c u l o s pa ra es t e e x e m p l o poderiam^'terminar agora. M a s 3 t e ndo compro_ m e t i d o as p e r m u t a ç õ e s a e b e x p l i c i t a s } c a l c u l a r e m o s u m a s p o u c a s c o m p o n e n t e s c í c l i c a s de a e b 3 e com elas

~ j /, ,, - _ 4, 27 9, 19 11

m o s t r a r e m o s que a e q u a ç a o de ( 3 . 2 ) 3 que e s=a b a b a 3 r e a l m e n t e é s a t i s f e i t a p e l o m e n o s no s u b c o n j u n t o % x : - 6 < x < 1 4 } do d o m í n i o 2 das f u n ç õ e s a 3 b e s.

-23-I NI I o> í Cn Cr* Cr* a ç*. H O o s C O a. a> ft a o co » O O » Kj' a cs r4. 3 n D i a g r a m a I I

T ã b u a C o n s i d e r e aj -14 -13 - 1 2 -11

- 1 0

- 8

- 6

- 2

10

12

2

- 1 0

6

10

- 2

18 1 7 16 15 14 13 1 2

11

10

6

2

10

11

fãbua if T e m o s que a=b-3 11, - 1 1 , 3 , a „ b b 7 (5 6 6 0 • h 3 bn \ a ? r-11 . _{V - *} t. ’ _{---g— »}21 • h ~ 3 '■ 0 Ô * 0 *■ -2 22 0 ' . e 22 -2 0 ' 1 8 13 13 8 1 2 9 9 0 0 10 u _{10 0} 0 8 -3 25 01 na o V ! 25 21 7 -1 -3 21 7 1 2 8 -1 -2 1 2 -1 -2 4 3 21 7 1 3 21 7 -1 -2 C'a t-i -2 3 3 11 11 4 e 4 11 11 2 2 1 2 3 1 2 2 2 10 10 3 3 10 10 1 1 11 11 1 1 9 9 2 5 5 15 15 5 5 y" 6 6 17 24 14 14 a 14 14 24 -3 15 15 Q> rXJ 15 45 15 45 -3 -4 -4 20 45 20 45 24 O y O < 24 -3 20 28 20 28 28 19 28 19 -3 -4 1 C'Q r~( -4 20 19 27 19 27 27 18 27 18 20 28 S 3 28 18 1 8 26 26 19 19 26 26 1 7 17 2 7 27 1 7 17 25 25 18 \ 18 25 25 16 6 6 7 7 -2 4 4 8 • • • • • •

-89-T a b u a 4 ções o b t i d a s c o n f o r m e (2.19) -6 -6 SO -5 -5 32 -4 -4 14 -3 -3 6 -2 -2 25 0 7 11 1 25 12

2

2

-

2

8

8

2

11

11

- 1

12

2

2

- 1

1 2

12

C A F Í T U L O I V - P A L A V R A S V U L N E R Á V E I S Com o o b j e t i v o de r e s o l v e r m o s a r e p r e s e n t a ç ã o de s em Sym(Z) a t r a v é s de p a l a v r a s do g r u p o livr.e F ( Z ) 3 f i z e m o s um e s t u d o que r e s u l t o u em a l g u m a s c o n c l u s õ e s 3 a u ­ m e n t a n d o as c o n d i ç õ e s s u f i c i e n t e s p a r a a p l i c a r as t é c n i c a s c o n t i d a s em [ 5 |. D e f i n i ç ã o 4.1. S e j a p€w\2. Se j a n( 0)\3 n( 1) 3 . . . 3 n ( p - l ) uma sea.uéncia de n ú m e r o s i n t e i r o s. C h a m a r e m o s es t a s e q u ê n c i a fa t o r a m e n t e v u l n e r á v e l s e 3 e s o m e n t e s e 3 e x i s t e £ i p tal que m d c { n ( j i : j £ p }^ m d c{n (j ): i / j e p }. E x e m p l o . S e j a a s e q u ê n c i a 23 33 4 3 8. T e m o s m d c { 2 3 4 3 8 } =2 3 en q u a n t o que m d c { 23 3 3 4 3 8}=1. P o r t a n t o a s e q u ê n c i a 23 33 4 3 8 ê f a t o r a m e n t e v u l n e r á v e l . D e f i n i ç ã o 4.2. C h a m a m o s uma p a l a v r a a v u l n e r á v e l s e 3 e s o ­ m e n t e s e 3 e x i s t e m 3^a e uma letra L em 3 tais que a s e ­ q u ê n c i a d o s c o m p r i m e n t o s dos b l o c o s de L em 3 ê f a t o r a m e n t e v u l n e r á v e l. T e r m i n o l o g i a . 0 c o n j u n t o de todas as p a l a v r a s v u l n e r á v e i s s e r á r e p r e s e n t a d o p o r y. Teorema. 4.3. S e j a aCy. E n t ã o ( a \ s ) S y m ( Z ) . D e m o n s t r a ç ã o : P o r h i p ó t e s e e x i s t e m L em a e tais que a s e q u ê n c i a n (0 í 3 n(.l ) 3 . . . 3 n ( p - 1 ) dos c o m p r i m e n t o s dos blo_ cos de L em 3 ê f a t o r a m e n t e v u l n e r á v e l . E n t ã o e x i s t e i p tal que m d c { n ( j ): j p } / m d c { n ( j ) : i/j p}. S e j a m d - m d c { n ( j ) : i^3 p} e x o r e s t o sob a d i v i s ã o de n(i) p o r d. O b s e r v e

que 0 < x < d p o i s d \ n ( i ) . P o d e m o s s u p o r que a letra L é d i ­ f e r e n t e da letra A. Se j a y a p a l a v r a o b t i d a p e l a substitui_ ç ã o em 0 ãa l etra A p a r a toda o c o r r ê n c i a em 3 das letras di_ f e r e n t e s de L. S e j a m t- | g | - Z n(j) e W = { L ^ ,A ^ + 2 } . Desde

X t J’ = ° r 1

q u e , o b v i a m e n t e , y . W . L A p a r a t > l 3 temos p o r \5,lema 3], que (y\s) Sy m ( Z ) . S e g u e que ($\s)Sym(Z), e p o r t a n t o 3 p o r

[23 T e o r e m a 4.3], ( a \ s ) S y m ( Z ) .

L e m a 4.4. S e j a F ( { A , B } ) c o m c o m p l e x i d a d e p a r 3 is t o ê, d = B n ( 1 ) A m ( 1 ) B n ( 2 ) A m(2) 3 3 3 B n ( j )A m({j)3 c o m { n ( i ) 3m ( i ) } u\l p a r a todo iÇ_{ 1 3 2 3 . . . , j } tal que ou n( 1) 3n( 2 ) 3 . . . 3 n( i - 1 ) , n ' ( i ) 3 n f f( i ), n ( i + l )3 . . . 3 n ( j ) ê f a t o r a m e n t e v u l n e r á v e l pa ra a l g u m {n ' ( i ) 3 n ' 1 (i) }Çu3 c o m n' íi)+n' '( i ) = n ( i ) 3 ou con d i ç ã o a n á l o g a e s a t i s f e i t a p e l o s m ( t ) 3 c o m t £ { l , 2 , . . . , j } .

D e m o n s t r a ç ã o : S u p o n h a que açy. E n t ã o e x i s t e tal que ou os c o m p r i m e n t o s dos b l o c o s de B em g ou os de A em $ é f a t o r a m e n t e v u l n e r á v e l . Sem p e r d a de g e n e r a l i d a d e 3 p o d e m o s e s c r e v e r s-b" ’ ' <t> B n . .Bn L Í >A m < í 1 b" (1 1 A mtll e n í 2 í A m ( 2 ) ' _ • U ) e p o d e m o e a upov que ou n ' ’ Ci) 3 n (i'+l } 3 . . . n Cj ) 3 . . ,n (213 . . . ,n(i-.l) 3 n 1 ( i ) ê f a t o r a m e n t e v u l n e r á v e l , com n ' Ci). >Q<n r ' (i ) e com n , (i) + n ' ' ( i ) =n Ci'13 c o m o q u e r í a m o s . A r e c i p r o c a é obvia.

C o n s i d e r e m o s cl£ F Cz). D i r e m o s que a é f r a c a ­ m e n t e p r i m i t i v a , r e p r e s e n t a r e m o s a£f, se a m b a s a=ir(aJ & g c d ( a ) > l a c o n t e c e m . P o r o u t r o lado se a=n(a) e g c d ( a ) = 2i + l c o m í£ü)\2, d i r e m o s que a é m u i t o f r a c a m e n t e p r i m i t i va e r e p r e s e n t a r e m o s c t *

O b s e r v a ç ã o . C o n s i d e r e m o s a g o r a s em Sym(Z), bem como t o ­ dos s e u 8 c o n j u g a d o s c í c l i c o s. P o d e m o s o b s e r v a r que estas tres p a l a v r a s r e p r e s e n t a m todas as c l a s s e s de ,v-e q u i v a l e n - c ia g e r a d a s p e l a s s e q u ê n c i a s 3,3,2 e 2,1,1 (sendo 6 um s e g m e n t o a e s q u e r d a de a ) .

~ 3 2 ? 3 2 2 —

O b s e r v a ç ã o . S e j a a A B. ABA, B AB A BA). Ve-se f a c i l m e n ­ te que as s e q u ê n c i a s 3,2,1 e 2,1,1 são r e l a t i v a m e n t e p r i m a s aos par e s , mas- g c d ( a l = 2 e p o r t a n t o a£F- E s t a s duas p a l a v r a s , o a d a uma de c o m p r i m e n t o 10, são as m a i s c u r t a s que a i n d a não tem e s t a b e l e c i d a s suas c a p a c i d a d e s , em r e l a ç a o a r e p r e s e n t a ç ã o de s em Sym(Z).

O b s e r v a ç ã o . S e j a <x=Bn (1} A m (1 * . . . B n Cü') A m ( } de c o m p l e x i d a de par, c o m j>2. E n t ã o hã uma r e l a ç ã o n a t u r a l de e q u i v a ­ lência, tal que se, e s o m e n t e se, ex i s t e p e r m u t a ç õ e s f e g dos inteiri

mBn C f ( g ) )■ A m ( g ( j ) )

i - r i o j. - o-t>n(f(l)) Am (g d ) )

f e g dos m t e i r o s { 1 , 2 , . . . ,q } ta%s que 3-B J A

P e r g u n t a 4 . 6. D a d o j > 2 , qu a l ê o n ú m e r o c a r d i n a l J(a,j) do c o n j u n t o (3.‘ 3y J . B n ^ ^ Am ^ ^ . . . B n ^ ^ A m e 3^y}, e qual ê o n ú m e r o c a r d i n a l P(.a,j) de {(f,g): f e . g são p e r m u t a ç õ e s de {1, 2 , . . . , j } } p a r a a t i n g i r J(a,j). N a t u r a l m e n t e , a m b o s J(a,j) e P(a,j), e s p e r a se, s e j a m m ã x i m o e m í n i m o r e s p e c t i v a m e n t e , p a r a todo j, se \ { n ( i ) : i = l , 2 , .. . j j } |-|{ m (i ) : i = l , 2 , . . . , j } \=j. n i * o o ■ _ . n ( 1) m ( 1) n ( 2) m ( 2 ) An ( 3) m ( 3) 7 C o r o l á r i o 4.7. S e j a a=A B A B A B tal

D e m o n s t r a ç ã o : J ã que m d c { n ( 1 ) , n ( 2 ) ,n{ ój }< m a cm i i ), n i a /} t e m o s que aSy. 0 c o r o l á r i o s e gue do T e o r e m a 4 . 3.

P o d e m o s o b s e r v a r que ca d a h o m o m o r f i s m o f:F(Z)-> F(Z) ê p e r f e i t a m e n t e d e t e r m i n a d o p o r /['£,* isto é /pE-.gfí se, e s o m e n t e se, f = g .

P r o p o s i ç ã o 4.8. Se j a M um m o n ó i d e qualquer. S e j a xEM. Se ( 8 * x ) M e (a±&)F(Z), e n t ã o (a\x)M.

D e m o n s t r a ç ã o : T e m o s (fiix)M se, e s o m e n t e se, e x i s t e um ho_ m o m o r f i s m o h:F(Z)-+M com h:$-+x, e (a±8)F(Z) se, e s o m e n ­

te se, e x i s t e f:F(Z)-yF(Z) tal que f: a -*-3. E n t ã o o b s e r v e ­ m o s que hf:F(Z)-*M ê h o m o m o r f i s m o tal que hf:a-+x. A s s i m se_ g u e a p r o p o s i ç ã o .

P r o p o s i ç ã o 4.9. S e j a f : F ( l ) + F ( Z) um h o m o m o r f i s m o e aí-F(Z) tal que f ( a )?$. E n t ã o g c d ( a l \ g c d ( f ( a ) ).

D e m o n s t r a ç ã o : J ã que f( temos que a^<j>. P a r a ca d a le_ tra A £ f ( a ) t e mos que M l t ( A , f C a ) ) = {Mlt(L,a). M l t ( A , f ( L ) : L ê letra em a}. P o r t a n t o , jã que gcd(a) \Mlt(L, o.) p a r a c a ­ da L,..temos que gcd(a) \Mlt (A, f( a) ) p a r a c a d a A em f( a). S e g u e que g c d ( a ) \ g c d ( f ( a ) ).

C o r o l á r i o 4.10. S e j a m a (£F(Z) e f : F ( Z)-+F ( Z) h o m o m o r f i s m o tal q u e f f a)^<p. E n t ã o a£F i m p l i c a que f(aJepj e «Ê-MF i m p l i c a que /('a^CMF*

D e m o n s t r a ç ã o . Ê ó b v i o da p r o p o s i ç ã o 4.9.

-33-P è r g u n t a 4.11. que a c o n t e c e se 0 r e c í p r o c o do C o r o l á r i o 4.9 c r e s c e r m o s a c o m p l e x i d a d e de v e r d a d e ? 0 9