Extra 04 - Curvas Interativas

Curvas Interativas

Sumário

●

Nesta aula estudaremos as curvas interativas

seguindo os seguintes tópicos

● Introdução ● Curvas Interativas ● Curvas Cúbicas ● Curvas de Bézier ● B-Splines ● B-Spline Cúbica

● B-Spline Cúbica Uniforme e Não-uniformes ● Curvas e OpenGL

Introdução

●

Curvas e superfícies são objetos

matemáticos fundamentais na modelagem de

objetos gráficos.

●

Uma das representações mais utilizadas

para curvas e superfícies é a baseada em

funções paramétricas.

Introdução

●

Considere, por exemplo, um projetista que

precisa editar uma forma muito complexa,

alterando a posição de cada um dos pontos

de uma malha densa.

●

Esta forma de interação é muito pouco

prática e ineficiente.

●

Para contornar este problema é necessário

formas de representação mais compactas e

que facilitem o processo de criação e

Construção Interativa de Curvas

● Um esquema de representação apropriado para

interação é o baseado em um tipo especial de representação paramétrica.

● Tal representação é caracterizada por dois

conjuntos:

● Um conjunto de pontos discretos denominados

pontos de controle.

● Um conjunto de funções de base ou funções

Definição de Curvas Interativas

●

Considere um conjunto de pontos de

controle P

, P

, P

, P

onde P

, i=0,..,3 e Px

,

Py

, Pz

indicam as coordenadas de cada

ponto P

.

P₀

P₁ P₂

Definição de Curvas Interativas

● Pode-se determinar uma curva paramétrica Q(u) através

de uma expressão que pondere a contribuição das coordenadas de cada ponto de controle, para cada ponto associado a um valor de u no espaço de

parâmetros.

● A ponderação é feita através da definição de uma

função de base para cada ponto de controle.

P₁ P₂

Curvas Interativas - Propriedades

● Diferentes funções de base possuem diferentes

propriedades.

● Uma das propriedades diz respeito ao fato delas

gerarem curvas que interpolam ou aproximam os pontos de controle.

● Outras propriedades estão relacionadas a continuidade

e localidade da curva. P₁ P₂ P P₁ P₂ P₃

Curvas Interativas - Propriedades

● Quando dois segmentos de curvas são

conectados, a continuidade da curva é alterada dependendo da forma de junção:

● Continuidade C0 → funções

paramétricas são contínuas, isto é, sem “pulos”

● Continuidade C1 → funções

paramétricas têm primeiras derivadas contínuas, isto é, tangentes variam suavemente

● Continuidade Ck → funções

paramétricas têm k’ésimas derivadas contínuas

C0

Algoritmo de De Casteljau

● Suponha que queiramos aproximar uma

curva polinomial entre dois pontos p₀ e p₁ dados

● A solução natural é um segmento de reta

que passa por p₀ e p₁ cuja parametrização mais comum é

p (u) = (1 – u) p₀ + u p₁

● Podemos pensar em p (u) como uma

média ponderada entre p₀ e p₁

● Observe que os polinômios (1 – u)

e u

somam 1 para qualquer valor de u

● São chamadas de funções de mistura (blending functions)

p₀

p₁

Algoritmo de De Casteljau

●

Para generalizar a ideia para três pontos p

0

,

p

e p

consideramos primeiramente

os segmentos de reta p

p

e p

p

p₀₁(u) = (1 – u) p₀ + u p₁

p₁₁(u) = (1 – u) p₁ + u p₂

●

Podemos agora realizar uma

interpolação entre p

(u) e p

(u)

p₀₂(u) = (1 – u) p₀₁ (u) + u p₁₁ (u)

= (1 – u) 2 p₀ + 2 u (1 – u) p₁ + u2 p₂ p₀ p₁ p₂ p₁₁ p₀₁ p₀₂

Algoritmo de De Casteljau

Algoritmo de De Casteljau

Algoritmo de De Casteljau

Algoritmo de De Casteljau

p₀

p₁

p₂ p₀₂(u)

Algoritmo de De Casteljau

● A curva obtida pode ser entendida como a “mistura”

dos pontos p₀, p₁ e p₂ por intermédio de três funções quadráticas: ● b 02(u) = (1 – u) 2 ● b 12(u) = 2 u (1 – u) ● b 22(u) = u 2

● Aplicando mais uma vez a ideia podemos definir uma

função cúbica gerada por 4 pontos

p₀₂(u) = (1 – u) 2 p₀ + 2 u (1 – u) p₁ + u2 p₂

p₁₂(u) = (1 – u) 2 p₁ + 2 u (1 – u) p₂ + u2 p₃

p₀₃(u) = (1 – u) p₀₂ (u) + u p₁₂ (u)

Algoritmo de De Casteljau

Algoritmo de De Casteljau

Algoritmo de De Casteljau

Algoritmo de De Casteljau

Algoritmo de De Casteljau

● Novamente temos uma curva dada pela soma de

4 funções de mistura (agora cúbicas), cada uma multiplicada por um dos 4 pontos

● b 03(u) = (1 – u) 3 ● b 13(u) = 3 u (1 – u) 2 ● b 23(u) = 3 u 2 _{(1 – u)} ● b 33(u) = u 3

● Em geral, uma curva de grau n pode ser

Curvas de Bézier

● Uma curva de Bézier é uma parametrização que

utiliza a base de Bézier, também denominadas funções de mistura de Bernstein.

● São curvas construídas pelo algoritmo de

De Castejau

● A base de Bézier de grau 3 é dada pelos

seguintes termos: 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 B0,3 B_1,3 B_2,3 B_3,3 u

Forma Matricial da Base Bézier

● Podemos escrever a equação para uma curva

de Bézier cúbica na forma

Propriedades de Curva de Bézier

● O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número de

pontos do polígono de controle menos 1

● A curva de Bézier está contida no fecho convexo do

polígono de controle

● Os polinômios de Bernstein somam 1 para qualquer u

● A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono

Propriedades de Curva de Bézier

● As tangentes à curva em p

0 e pn têm a direção dos

segmentos de reta p₀p₁ e p_n-1p_n , respectivamente

● Qualquer linha reta intercepta a curva tantas ou menos

vezes quanto intercepta o polígono de controle ● Não pode oscilar demasiadamente

● Transformar os pontos de controle (transformações afim)

e desenhar a curva é equivalente a desenhar a curva transformada

Desenhando Curvas Bézier

● Curva normalmente é aproximada por uma linha

poligonal

● Pontos podem ser obtidos avaliando a curva em

u = u₁, u₂ ... u_k

● Avaliar os polinômios de Bernstein

● Usar o algoritmo recursivo de De Casteljau

● Devemos utilizar uma quantidade de pontos

compatível com o grau de suavidade que desejamos para o curva

● Clique neste link para ver uma demonstração da

Curvas Longas

● Curvas Bézier com k pontos de controle são de grau

k – 1

● Curvas de grau alto são difíceis de desenhar

● Complexas

● Sujeitas a erros de precisão

● Normalmente, queremos que pontos de controle

tenham efeito local

● Em curvas Bézier, todos os pontos de controle têm efeito global

● Solução:

● Emendar curvas polinomiais de grau baixo ● Relaxar condições de continuidade

Emendando Curvas Bézier

Condições para construção das "emendas":

● Continuidade C0 é obtida se o último ponto da primeira curva for

igual ao primeiro ponto da segunda

● Continuidade C1: deve-se obter se C0 e garantir que o segmento

p₂p₃ da primeira curva tenha a mesma direção e comprimento que o segmento p’₀p’₁ da segunda curva

● Continuidade C2: deve-se obter C1 e adicionar mais restrições

sobre pontos p’₁ da primeira e p’₂ da segunda

p₀

p₁ p₂ p'3

p₃ p'₀

B-Splines - Motivação

● Curvas de Bézier possuem duas grandes

desvantagens:

● O controle exercido pelos pontos de controle

não é local. A movimentação de um ponto

altera toda curva, apesar de sua influência ser maior na vizinhança de tal ponto.

● Não é possível definir uma curva de Bézier

cúbica para aproximar ou representar um conjunto de n pontos sem utilizar múltiplos segmentos de curva.

● Uma representação que não possui tais

B-Splines

●

Originalmente, uma

spline

é uma ferramenta

de desenho.

●

Consiste em uma tira de metal flexível usada

para desenhar curvas fixando-se

pesos

a

B-Splines

●

B-Splines não passam pelos pontos de

controle, nem em suas extremidades.

●

Uma B-Spline é uma curva completa

polinomial por partes consistindo de um

conjunto de segmentos.

P₀

P₃

B-Splines

● Uma B-spline é composta por uma série de m-2

segmentos de curva Q₃,Q₄,…,Q_m definidos por m+1 pontos de controle P₀,P₁,…,P_m, m≥3.

● Cada segmento de curva é definido por quatro pontos de

controle e 4 funções de mistura. Cada ponto de controle influencia no máximo 4 segmentos de curva.

● Para facilitar a notação serão abordadas apenas

P₀ P_{1 P} 2 P₃ P₄ P₅ Q₃ Q₄ Q₅

Q₃ é definido por P₀P₁P₂P₃ e ponderado por B₀B₁B₂B₃ Q₄ é definido por P₁P₂P₃P₄ e ponderado por B₀B₁B₂B₃ Q₅ é definido por P₂P₃P₄P₅ e ponderado por B₀B₁B₂B₃

B-Spline Cúbica

●

A movimentação de um ponto de controle

de uma B-spline afeta, no pior caso,

somente um conjunto de 4 segmentos.

●

Na figura abaixo a movimentação de P

4

afeta somente Q

e Q

mantendo Q

intacto.

B-Spline Cúbica

●

Um B-Spline exibe continuidade

C

(posicional), C

(da primeira derivada) e

C

(da segunda derivada).

●

O mecanismo que garante a continuidade

C

está no compartilhamento dos pontos

de controle por segmentos de curva

B-Spline Cúbica Uniforme

●

Cada função da base de funções de uma

B-spline é por si própria uma função

cúbica composta de 4 segmentos.

●

Uma função da base é diferente de zero

em 4 intervalos consecutivos no espaço

de parâmetros.

u u u u u

B-Spline Cúbica Uniforme

●

Os pontos associados a junções de dois

segmentos adjacentes de uma determinada

função base são denominados

nós

(em

vermelho na imagem abaixo).

●

O valor de u correspondente a um nó é

denominado

valor do nó

.

●

Uma B-spline é dita uniforme se valores dos

nós são igualmente espaçados no espaço do

parâmetro u.

B-Spline Cúbica Uniforme

● No caso de B-splines uniformes os intervalos

são de mesmo comprimento.

● Isto significa que os valores dos nós são

igualmente espaçados e as funções da base são

cópias transladadas.

● Uma B-spline com n pontos de controle possui

n+4 nós

0 1 2 3 4

B₀(u)

5 6 7 8 9

B₁(u) B₂(u) B₃(u) B₄(u) B₅(u)

B-Spline Cúbica Uniforme

● Um segmento de curva está definido em um

intervalo de u_i a u

i+1.

● De fato, avaliamos 4 bases

no intervalo u_i≤u≤u

i+1

0 1 2 3 4

B₀(u)

5 6 7 8 9

B₁(u) B₂(u) B₃(u) B₄(u) B₅(u)

P₀ P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ Q₃ Q₄ Q₅

B-Spline Cúbica Uniforme

● No exemplo abaixo, a curva soma a unidade no

intervalo 3≤u≤6

0 1 2 3 4

B₀(u)

5 6 7 8 9

B₁(u) B₂(u) B₃(u) B₄(u) B₅(u)

P₀ P₁ P₂ P₃ P₄ Q₃ Q₄ Q₅

B-Spline Cúbica Uniforme

● No caso geral, uma B-spline não interpola pontos de

controle.

● É possível fazer com que uma B-spline interpole um

ponto de controle através da replicação de vértices.

● Intuitivamente, replicar um vértice faz com que a

curva seja atraída para tal ponto de controle, já que seu peso na ponderação é maior.

P₀ P Q₃ Q4 P₄ P₃ Q₅ P Q6

B-Spline Cúbica Uniforme

●

O preço pago pelo uso da replicação de

pontos é a perda da continuidade C

da

curva.

●

Exemplo da replicação em pontos de

controle interiores:

B-Splines Cúbicas Não-uniformes

● Uma B-Spline é não-uniforme (também

chamada de NURBS) quando os intervalos paramétricos entre valores de nós sucessivos não são necessariamente iguais.

● Isto significa que as função da base não são

translações umas das outras. São completamente distintas.

● O caso mais comum é aquele em que alguns

B-Splines Cúbicas Não-uniformes

● Comparação de uma B-spline uniforme e uma

não uniforme: P₀ P_{1 P} 5 P₃ P₂ 0 u 3 P₀ P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ Q₃ Q₄ Q₅ 0 1 2 3 4 B₁(u) 5 6 7 8 9

B₂(u) B₃(u) B₄(u) B₅(u) B₆(u) B1(u) B2(u) B3(u) B4(u) B5(u) B6(u)

B-Splines - Sumário

● Sumário das propriedades de uma curva B-spline:

● Segue a forma do polígono de controle e é restrita

a permanecer no fecho convexo dos pontos de controle.

● Pode ser transformada através de uma

transformação afim (translação + rotação)

aplicando-se a transformação sobre os pontos de controle.

Demonstração

●

Link 1

- Demonstração das curvas de Bézier

●

Link 2

- Demonstração de todas as curvas

Curvas e OpenGL

● OpenGL suporta curvas e superfícies através de

mecanismos denominados evaluators

(avaliadores).

● Os evaluators calculam valores intermediários

para os polinômios que descrevem curvas e superfícies, dada uma sequência de pontos de controle.

● Os evaluators da OpenGL são avaliadores de

Bézier.

Curvas e OpenGL

● Para utilizar um avaliador Bézier emprega-se a seguinte

função:

void glMap1f(GLenum target, GLfloat u1, GLfloat u2, Glint stride, Glint order,

const GLfloat * points);

Parâmetro Significado

Target Significado dos pontos de controle

u₁ e u₂ Intervalo para a variável de controle u

Stride Quantos valores float existem entre cada elemento do vetor Order Quantidade de elementos no vetor de pontos de controle Points Apontador para primeira coordenada do primeiro ponto de

Curvas e OpenGL

● Os avaliadores servem não somente para gerar curvas

de coordenadas, mas também de cores, vetores

normais, coordenadas de textura (assunto a ser visto futuramente), etc.

● Uma vez definido um avaliador, deve-se habilitá-lo

através da função glEnable sobre alguma das

Constante Significado

GL_MAP1_VERTEX_3 Coordenadas x, y e z

GL_MAP1_VERTEX_4 Coordenadas x, y, z e w (homogêneas) GL_MAP1_INDEX Índice de cor

GL_MAP1_COLOR_4 Cor com RGBA GL_MAP1_NORMAL Vetor normal

GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1 Coordenadas de textura s. GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2 Coordenadas de textura s e t. GL_MAP1_TEXTURE_COORD_3 Coordenadas de textura s,t e r. GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4 Coordenadas de textura s,t,r e q.

Curvas e OpenGL

● A utilização da constante GL_MAP1_VERTEX

indica que queremos apenas a posição de cada ponto intermediário.

● O procedimento de desenho é simples: basta

percorrer os pontos intermediários desejados e

solicitar a avaliação da curva Bézier por meio da seguinte função:

glEvalCoord1f(GLfloat u)

● O valor u indica o valor a ser passado para a

OpenGL – Exemplo de Curva de Bézier

int prec = 10; // Total de pontos intermediários

float pontos[TOTAL][3] = {0.0,0.0,0.0},{0.3,1.0,0.0},{0.7,1.0,0.0},

{1.0,0.0,0.0},{0.5,0.4,0.0}}; // Pontos de controle

void init(void) {

glClearColor (0.8, 0.8, 0.8, 0.0);

// Define significado dos pontos de controle

glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, TOTAL, &pontos[0][0]); glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3); // Ativa geração de coordenadas

glMatrixMode(GL_PROJECTION); glLoadIdentity();

glOrtho(-0.2, 1.2, -0.2, 1.2, -1.0, 1.0); glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

OpenGL – Exemplo de Curva de Bézier

void display (void) {

float delta =1.0/(float)prec;

glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

glColor3f(1,0,0); glPointSize(5);

// Desenha os pontos de controle glBegin(GL_POINTS);

for (int i=0; i<TOTAL; i++) glVertex3fv(pontos[i]); glEnd();

glColor3f(0,0,1); glLineWidth(2.0);

glBegin(GL_LINE_STRIP); // Desenha a curva

for (float u=0; u<=1.01; u+=delta)

glEvalCoord1f(u); // chama o avaliador para o parâmetro f

glEnd();

glutSwapBuffers ( ); }

OpenGL – Exemplo de Curva de Bézier

OpenGL – Exemplo de Curva de Bézier

Saiba mais!

● Computer Graphics, C Version

● Capítulo 10 – Seção 10-8

Nesta seção são tratadas as

curvas e superfícies de Bézier e nas demais seções deste capítulo há uma abordagem mais geral

Saiba mais!

● Computação Gráfica - Teoria e

Prática.

● Capítulo 3

Neste capítulo são tratadas não só curvas como também superfícies. Para aqueles que querem se

aprofundar no assunto é uma leitura interessante.

Saiba mais!

● OpenGL Programming Guide

Seventh Edition

● Capítulo 12

Neste capítulo você encontrará informações detalhadas para utilizar os evaluators vistos até aqui na criação de curvas de Bézier e NURBS.

Resumo

●

Vimos hoje as curvas Interativas, em

especial as curvas de Bézier e algumas

variações de curvas Splines

●

A principal função dessas curvas é fornecer

uma representação suave através de um

conjunto de pontos de controle

Prática

1. Baixe o código fonte “curvasInterativas.cpp” e altere-o para que o número de pontos

intermediários seja informado pelo usuário durante a execução do programa.

2. Modifique o código do exemplo anterior adicionando 3 novos pontos de controle.

3. Crie uma interface na qual pontos de controle possam ser criados e removidos. Ao final,

Exercício

1. Utilizando a interface disponível na prática

anterior, implemente o algoritmo de De Casteljau para a criação de uma curva de Bézier cúbica.

Basicamente o algoritmo deverá gerar uma lista de pontos a ser desenhado pelo OpenGL com código apropriado.

Você poderá pesquisar códigos na internet para inspirar sua implementação (veja este link por exemplo).