Modelos de Ising dinamico

U N IV ERSID A D E F E D E R A L D E SANTA CATARINA C E N TR O D E CIÊN CIAS FÍSICAS E M ATEMÁTICAS

CU RSO D E PÓ S-G RA D U A ÇÃ O EM FÍSICA

M o d e lo s d e Isin g D in â m ic o s

DISSERTAÇAO SUBM ETIDA A UNIVERSIDADE FEDERAL D E SANTA CATARINA. PARA A OBTE^(ÇÀO DO G R A y DE

“M E ST R E EM CIÊNCIAS”

G ilberto Luiz de~ Ssmza Paula

FLORIANOE^OUS SANTA CATARINA, - B ^ ^ S IL

MODELOS DE ISING D F , AMIGOS

GILBERTO LUIZ D E SOUZA PAULA

Esta dissertação foi julgada adequada para obtenção do título de

MESTRE EM CIÊNCIAS

especialidade Física e aprovada em sua forma final pelo Programa de

Pós-Graduação.

Prof. Dr. Wagner Figueiredo - Orientador

Prof. Dr. WagneFPigueiredo - Coordenador do Curso

Banca Examinadora

Prof. Dr. Wagner Figueiredo (DF-UFSC) - Presidente

C . ( c m Á M o

Prof. Dr. Carlos Eugênio I. Carneiro (IF-USP)

Cintia

não és sequer a razão de meu viver, pois que tu és já toda a minha vida. (Sonetos - Florbela Espanca)

A g r a d e c im e n to s

Ao prof. W agner Figueiredo por sua dedicação, e seu exemplo. A C intia m in h a esposa, e a m inha filha G abriele por tudo. Aos meus Pais e irm ãos pelo apoio e incentivo.

Aos amigos do Curso de Pós G raduação em Física. Ao CNPQ. p o r seu auxílio financeiro.

À secretária do C urso de Pòs-G raduação.

Enfim, a todos que de u m a form a d ire ta ou in d ireta viabiUzaxam meus sonhos.

IN D IC E

ÍNDICE DE TABELAS ... ... vii

ÍNDICE DE FIG U R A S ... ... viii

RESUMO ... ... ... X ABSTRACT ...xi

CAPÍTULO / INTRODUÇÃO ... 1

CAPÍTULO I I MODELO DE ISING EM UM GRADIENTE DE TEM PERATURA ... 6

2.1 Sistem a Unidim ensional Sem Correlações ... ... 10

2.2 Sistem a Unidim ensional Com Correlações ... 22

2.3 Sistem a Bidim ensional Sem C o rrela ç õ es... 24

2.4 Sistem a Bidimensional Com Correlações ... 33

C A PIT U LO I I I

DINÂM ICA DO M O D ELO D E ISING EM UM CA M PO A LEA TÓ RIO . . . 38 3.1 O Modelo ... ... ... 38 3.2 Resultados ... . 41

CA PÍTU LO I V

CONCLUSÕES ... . 4 8

K E FER Ê N C IA S BIBLIO G RÁ FICA S ... ... 50

I N D I C E D E T A B E L A S

T a b e la 1. Configurações p a ra xima rede unidim ensional

sem correlações usando a prescrição de M e tro p o lis ... . 11

T a b e la 2. Configurações p a ra um a rede unidim ensional

sem correlações usando a prescrição de G la u b e r ... 18

T a b e la 3. Confi^iirações p a ra um a rede bidimensional

sem correlações, usando a ta x a de transição de Metropolis ... 26^

Í N D I C E D E F IG U R A S

F ig u r a 2.1 M agnetização M versus a posição I,

no estado estacionário p a ra cadeia linear.

Curva “A” (A = 10.0); “B” (D e /ía = 1.0); “C” (A = 0.3)... . 17

F ig u r a 2 .2 M agnetização M versus a Posição I, no estado

estacionário p a ra a cadeia linear.

C urva “A” (A = 10.0); “B” (A = 1.0); “C” (A = 0.3)... 21

F ig u r a 2 .3 M agnetização M versus a Posição I, que designa a

i-ésim a lin h a do cristal bidim ensional, no estado estacionário

C urva “A” (A = 7.0); (Delta = 5.0); “C”(A = 3.0)... 32

F ig u r a 3 .1 D iagram a de Fases p a ra o modelo de Ising

em um cam po aleatório, r representa a tem peratura, h a intensidade do campo. A linha cheia corresponde

às transições de fase contínuas, enquanto a linha pontilhada

transições de 1“ o r d e m ...39

F ig u r a 3.2 M agnetização M versus o Tempo t,

p a ra diversos valores do cam po aleatório, p a ra r = 0.75. Curva = 0.0); = 0.29); “C” (/i = 0.37).

C urva = 0.39); = 0.40); “F ” (/i = 0.41). ... 42 F ig u r a 3 .3 M agnetização M versus a intensidade do

cam po aleatório h. Tomamos r = 0.75... ... 43

F ig u r a S.4 Tem po de relaxação t em função da

intensidade do cam po aleatório h ... ... 44

F ig u r a 3.5 M agnetização M em função d a intensidade do

cam po aleatório h no estado estacionário... 46

F ig u r a 3 .6 D iagram a de fases p a ra o modelo de Ising dinâm ico num campo Neste diagram a r é a tem p eratu ra, h a intensidade do campo

aleatório e T C P é um ponto tricrítico “dinâm ico” ... 47

R e s u m o

N esta dissertação estudam os o com portam ento dinâmico de dois modelos ferro­ m agnéticos através d a equação m estra. No prim eiro deles, consideramos o modelo de Ising em um gradiente de te m p e ra tu ra e determ inam os os estados estacionários através das prescrições de M etropolis e G lauber. M òstramos que n a ausência de cor­ relações os estados estacionários são diferentes, enquanto que levando-se em conta correlações en tre prim eiros vizinhos os estados estacionários são os mesmos. No segundo modelo, determ inam os o diagram a de fases do modelo de Ising dinâmico em um cam po aleatório n a situação estacionária. M òstramos que os estados esta­ cionários coincidem com os de equilíbrio p a ra todo o espado de parâm etros com exceção das vizinhanças das transições de prim eira ordem.

A b str a c t

In this thesis we stu d y the dynam ical behavior of two ferrom agnetic models through the m aster equation. In the first, we consider the Ising m odel in a tem pe­ ra tu re gradient and we find th e stable states through the M etropolis and Glauber prescriptions, we show th a t in th e absence of correlations the stable states found th ro u g h b o th prescriptions axe different, while taking into account th e correlations betw en first neighbors th e stable states are th e same. In the second model we calculate the phase diagram for th e dynam ical Ising model in a random field for the stable states. We show th a t th e stable states agree w ith those determ ine in eqm librium in all th e p aram eter space w ith exception of the neighborhood of the first order transitions.

C a p ítu lo I

In tr o d u ç ã o

Neste trabalho estudam os o com portam ento dinâm ico de sistemas m agnéticos, foca­ lizando, em especial, transições de fases de um estado ordenado paxa outro desordenado. O modelo m ais simples é aquele no qual o sistem a é um a rede de spins, onde associamos a cada ponto d a rede u m a variável ai, tal que ai pode assimiir somente os valores dbl, os quais estão relacionados aos estados “up” e “down” dos spins da rede. Assumimos que en tre os spins vizinhos m ais próxim os exista um acoplam ento de troca uniforme. Tal m odelo m atem ático é cham ado de modelo de Ising, o qual pode ser resolvido exatam ente som ente em tuna e duas dimensões no estado de equilíbrio termodinâm ico.

Se colocamos nosso sistem a sujeito a um agente externo, devemos esperar transições entre os valores das variáveis, nos diversos pontos d a rede. Tms flutuações no tem po nos perm ite descrever o estado de cada spin como um a função aleatória do tem po, através de um a distribuição de probabilidade dinâm ica. Se tornarm os o tem po im ia variável discreta nós podemos construir o cham ado processo de Markov^^K

Q uando consideramos processos nos quais os efeitos de memória podem ser despreza-y '

dos, p u seja, a probabilidade de cada transição depende unicam ente do passo precedente, e não de sua história,.e se as transições entre os ralores das \"ariáveis ocorrem unicam ente

em passos pequenos, podem os escrever equações p a ra a evolução da distribuição de pro-- habilidade dos processos, que se reduzem aproxim adam ente a equações diferenciais parciais da densidade de probabilidade.

Um a descrição esta tística com pleta p a ra o modelo de Ising dinâmico consiste no co­ nhecim ento da probabilidade P(cti,<72, . . . , cr„,<), de que no instante t o sistem a de spins esteja no estado {<tí, (T2, . . . , cr„}. Se escrevermos que a probabilidade de transição por unidade de tem po, p a ra que o i-ésimo spin troque do estado -1-cr, p ara o estado —<Tj é

Wi{(Ti), a equação diferencial apropriada paxa o modelo de Ising é;

^ P ((T i,< 7 2 ,...,0 -n ,í) =

N N

, <72,..., tr,-,. . . <7„, í) -f- ' ^ W i { - a i ) P { a i , <72, . . . , -<Tí, . - -, <t„, t). (1.1)

i=l i=l

A equação (1.1) é cham ada de equação mestra^^^ e descreve a evolução tem poral paxa cada um dos 2 ^ estados possíveis do sistem a. Observe que Wi(ai) é a probabilidade por unidade de tem po do spin m u d ar do estado ctí p ara —cr,, enquanto que !«;;(—cr,) é a probabilidade por unidade de tem po do spin m udar do estado —cr, p a ra -|-cr,.

No estado estacionário, quando ^ = 0 a equação m estra se reduz a:

N , N

'^ W i { a i ) P ^ g { a i , cr2, . . . , (Ti,. . . ,(7„) = , -<Tí, . . . , cr„). (1.2)

E sta condição, c h am ad a de condição de balanço, apenas em algvms casos pode ter solução. D esta form a nos valemos de um a condição b asta n te forte, que é o cham ado princípio do

balanço detalhado^^^. A condição de balanço detalhado im plica n a igualdade, term o a

term o, d a equação acim a, ou seja,

Wi(ai)Peg((Tl , <72, . . . , <Ti, . . . , <7„ ) = W i( -a i) Pe g( a i, (T2, . . . , “ ÍTi, . . . , <T„). ( 1.3)

Com essa condição, G lauber resolveu exatam ente o modelo de Ising em um a dimensão através de u m a escolha ap ro p riad a p a ra a ta x a de transição iü,(ctí).

Discutirem os no segundo capítulo o m odelo de Ising sujeito a um gradiente de

temperatura^^^. Com o este é um sistem a genuínam ente fora do equilíbrio, estaremos in­

teressados em d eterm in a r os estados estacionários desse sistem a, onde cada spin está em contato com um b an h o térm ico diferente. Esse modelo de algum a form a é semelhante ao estudado por T o m é e de Oliveira^'^^, onde o gradiente de tem p eratu ra é simulado por tmi processo de Kaw asaki. Calculamos os perfis de m agnetização e, em particular, quando o gradiente de te m p e ra tu ra s é nulo, determ inarem os a tem p eratu ra crítica do sistem a em um a, duELS e três dim ensões, utilizando distribuições de probabilidades p ara um único spin e p a ra paxes de spins. Com param os os resultados obtidos, escolhendo-se duas taxas de transição diferentes. U m a delas, é a prescrição de Aíetropolis^^^, m uito utilizada em simu­ lações de M onte Cario. A o u tra será a prescrição proposta por GlauheA‘^K Se apenas o

spin <T, sofre um a transição do estado o-,- —> -c r,, a variação n a energia do sistem a é dad a por

A E j = + 2 J a i ( y ^ a j ) (1.4)

jjíi

A prescrição de M etropolis é expressa por

, ^ ( I s e A E i < 0 ,

Wi(<7i) = < (1.5)

t e p a ra A E i > 0

Podem os tam bém escrever u m a ta x a de transição, semelhante à anterior, porém norm a­ lizada, isto é,

= — ---- ^ÃÊT (1-6)

1 + e ^bt

Como podem os observax essa ta x a de transição é n a realidade a p rópria prescrição de G lauber.

4

A equação (1.6) pode ser escrita como

cosh{si) — a i s e n h( s i) w{ai) = 2cosh{cTiSi) onde Si = ctí KbT ^ . " j#« Como cosh{cTiSi) = cosh(si) ,

vemos que

= ^[1 - > ( 1-7)

que é a pró p ria expressão u tilizada por G lauber no seu estudo da dinâm ica do modelo de Ising unidim ensional.

No terceiro capítulo, discutirem os a dinâm ica do modelo de Ising sujeito a um campo m agnético aleatório, n a aproxim ação de cam po médio. M ostraremos que a transição de fases contínua desse m odelo coincide com os resultados obtidos por Aharony^^^ na situarão de equilíbrio term odinâm ico. E n tretan to , o m étodo que utilizamos só perm ite determ inar o lim ite de estabilidade d a fase ferrom agnética, neste caso nossos restiltados são diferentes daqueles determ inados no equilíbrio term odinâm ico.

C a p ítu lo II

O

M o d e lo d e Isin g em u m G r a d ie n te d e T e m p e r a tu r a

Considere um a rede com N spins de Ising com interações ferrom agnéticas entre p ri­ m eiros vizinhos, em u m a rede quadrada. N a direção y introduzim os condições periódicas de contorno, o que tam bém será considerado p a ra um a direção z se a rede for cúbica. Na direção x, nós consideram os a condição de contorno de que todos os spins são fixos p ara i =0, ou seja, não se alteram devido ao contato direto com o banho térmico. Assim, os spins n a fila i = l , com portam -se como se interagissem com o cam po m agnético externo, im posto n a fronteira i= 0 , sujeitos a um gradiente de te m p e ratu ra linear n a direção x. Vamos supor que a te m p e ra tu ra em u m a extrem idade seja Ta, enquanto n a o u tra Tg, sendo Ta > Tb- Assim, a te m p eratu ra em um dado ponto i (cadeia linear), ou n u m a dada colima i (rede q u ad rad a), ou ain d a num dado plano i (rede cúbica) pode ser escrita como :

Ti = Tb + í6 , (2.1)

onde

(2.2)

(í.j) •V/

onde a som a é sobre todos os pares de spins prim eiros vizinhos e J > 0, sendo J a m agnitude d a interação de tro c a ferrom agnética.

O estado do sistem a é representado por cr = (crj, <T2, . . . , (Tat), onde cr, é a variável de spin no ponto i e pode assum ir os valores ±1. O estado do sistem a evolue no tem po de acordo com o processo descrito pela dinâm ica de GlaubeA^K Seja P (cr,í) a probabilidade do estado cr no tem po t. A evolução de P((x,t) é d a d a pela Equação M e s ír a ^ :

- P{(T,t)w{a,a)], (2.4)

sendo w{a ,cr)/T a probabilidade, por unidade de tem po, da transição do estado a ’ p a ra o estado a, se o sistem a está no estado a .

O processo é descrito pela dinâm ica de G lauber, onde:

s e n d o q u e W i { a ) é a p r o b a b i l i d a d e d o s p i n i m u d a r s e u e s t a u i o d e a i p a r a —<7,.

O contato local com o banho térm ico à te m p e ratu ra Ti, pode ser simulado usando-se a prescrição de f 1 p a r a A E í < 0 Wi(cr) = < [ p a ra A Eí > 0 , ou a prescrição de GlaubeA^^ , ’ (2-6) 1 + e ^bTí

onde A E i é a variação n a energia o b tid a depois do spin i trocax de estado. Seja Eí{ú í) a energia do sistem a antes d a m udança de estado, e E f { —ai) após a m udança. Assim, por exem plo, em u m a dimensão:

Ei ( a i ) = A — J a i ( a i + i + a i - i ) , E f ( - a i ) = A + J(Ti{ai+i + cr,_i),

A E i = 2 J ( T i { a i - i 4-(Tí-(.i) , (2-7)

Seja < f{cr) > a m édia d a função de estado f(cr), então

< f((^) >= ^ f ( a ) P ( c T , t ) , (2.8)

{<^}

onde a soma é realizada sobre todos os estados possíveis do sistem a no instante t.

A equação p a ra a evolução tem poral d a m agnetização < <tí > do spin situado no ponto i, e p a ra a função de correlação < aicrk > dos spins prim eiros vizinhos i e k, pode ser derivada a p a rtir d a Equação M estra. Assim temos:

-A

dt < o-i(í) > = - 2 < ai{t)wi{ai{t)) > , (2.9)

< CTi(t)ak{t) > = < -2aiakWi{ai) > + < -2aicrkWk{crk) > , (2.10)

onde as probabilidades p a ra um p ar de spins ■, (^2) e p ara um único spin Pi(<ti)

são dadas por

Pi(<^i) = ^ (1+ mi<7i) , (2.11)

-Pi2(<Ti,cr2) = ^ (1 + miCTi + m202 + raia2) ,

onde m i,2 = < <^1,2 > e r = < a \ a2 > .

Assim, exam inarem os dois tipos de clusters ,cujas probabilidades são dadas aproxi­

m adam ente :

n . (2.12)

no caso de um único spin (Tj , e

p / T V T T j-r P l2Í(ri,(T2)

n n -1 ^ • (2 '3)

(prim.vizin.del) (prim.vizin.de2)

p a ra um par de spins vizinhos mais próxim os cri e > 2 .

10

2.1 S is te m a U n id im e n s io n a l S em C orrelações

Consideremos inicialm ente a prescrição de M etropolis. Sendo Pí{ctí) a probabihdade

do spin no ponto i assum ir o valor ctí, terem os ;

-Pi(o-i) =

^(1

<Ti = ± l

Tam bém

mi =< ai > = ^ aiPi(ai) .

t 7 , = ± l

A equação p a ra a evolução tem poral d a m agnetização no ponto da rede i é dada por

d

= < - 2 a i { t ) w { a i { t ) ) > ,

sendo que

< a i { t ) w i { a i { t ) ) > = ^ a i X V i { a , ) P ( a i ) . (2.14)

Como estamos desprezando correlações, podem os escrever que

P { a i - i , a i , a i + i ) = P ( a i - i ) . P ( a i ) . P { a i + i ) . (2.15)

11

P o rtan to tem os a seguinte tab ela p ara as configurações do cluster considerado:

(Ti-Í (Ti <^i+l A E , Wi(ai) _{P M P ( ^ i - i ) Picr.+i)}

+ + + + 4 J - 4 J e ^ B T i _{1(1 + m .) 1(1 + m i) 1(1 + m .)} + + - 0 1 1(1 + mi) |( 1 + m i) 1(1 - m , ) + - + -4J 1 1(1 - mi) 1(1 + m i) 1(1 + m i) + - - 0 1 1(1 - mi) 1(1 + mi) 1(1 - m i) - + + 0 1 1(1 + m .) 1(1 - m i) 1(1 + m i) - + - -4J 1 1(1 + mi) 1 ( 1 - m i ) 1(1 - m i) - - + 0 1 1(1 - m i) 1(1 - m i) 1(1 + m i) — - - + 4 J - 4 J e ^ B T i _{1 ( 1 - m i ) 1(1 - mi) 1(1 - m i)}

D esta forma, obtem os a seguinte equação p ara a evolução tem poral d a m agnetização no po n to i da rede: = a i { m i - i + rrii+i) + ^ i m i + 7^772, , (2.16) 12 1

A =

+ 3)

ki =

K

T,

Os estados estacionários tendo ao = 1 como condição de contorno, implicam que 0 = «1(1 + 17 1 2) + ^iTUi + 7im im 2 ,

0 = «2 ( ^ 1 + m a) + /32»Ti2 + 72mim2m3 , (2.18)

A solução homogênea, m i, m2, . . . = 0 não satisfaz o conjunto de equações acima, a menos

i

que a i = 0, ou seja, Ti —> 0 0. Porém, em nosso caso, considerando a tem p eratu ra de ao finita a solução homogênea não é possível para um gradiente finito de tem peraturas. Se todos os ki — 00 ( T,- —> 0) , teríam os

1

- 2 ’ e os estados estacionários nos dariam ;

1 3 1 0 = - ( 1 + 1712) - + - m i m2 , 0 = (1 + 1712) — 3m i + m i m 2 , 13 (2.19) cuja solução é

Podepios ver claram ente que, neste caso, a única solução possível será aquela na qual todos os spins estão com m agnetização igual a um. Agora, se = 0, i = 1,2, . . . , iV (T, —^ 00), terem os com a = 0 , 7 = 0 , /? = — 2 e 0 = o ;(l + 7712) — 2m\ -f 7 m im 2 , . a ==7 = 0 = > m i = 0 , 0 = a (m i + ma) - 2m2 + 707,17712023 , 0 = 7 = 0 ^ 7772 = 0 , e tc . . . (2.20)

ou seja, mesmo que o prim eiro spin esteja fixo, com o ^"alor itiq = 1 e todos os outros em u m a tem p eratu ra infinita, mi — 0 p a ra i = 1 ,2 .3 ,... . Se não considerarmos nenhum a

condição de contorno p a ra cto, e colocarm os To = 0, a solução estacionária será a-omo + Í^Qi-ni = 0 ,

7i(m o + m i) + /3im i + a im o m im2 = 0 , (2.21) 14

e podem os n o tar que u m a solução possível neste caso é m o = m i = . . . = m ; v =0 .

Na realidade, essa é a única solução possível. Por exemplo, \’Binos supor que a m ag­ netização na fronteira seja mo diferente de zero. Neste caso ,

m i = - ^ ' ^ 0 , (2.2 2) (yn 14- f,ko 1 „ — ko -— = - cotgh(ko) . (2.23) Se e m i = mo. (2.24) Se To ^ 0 m i = cotgh{ko)mo , logo m i > mo. (2.25) Ainda:

ai{mo + m.2) + 13-imi + aim,o7nim2 = 0, (2.26)

a i(m o ín i + l)m-2 = - B i n i i - Qimo,

jSimi + a i m o

ma = ---—--- r,

(2.2/)

/?! -f »1 tanh(ko) m,2 = ---—

---1 -1- 3

Como — tgh{ko) + cotgh{k\) > 0 ,

^ ( l- e - 4 * = i) ’

então 77Î2 > m i mesmo que To = 0.

O u seja, verificamos que a m edida que a te m p e ratu ra cresce, as respectivas magnetizações tam bém crescem. Assim a única solução que deve ser fisicamente aceitável é m, = 0, z = 1,2, . . . .

Voltando às equações (2.16) e (2.17), podem os particularizar os resultados obtidos tom ando-se 6 = 0 , ou seja , a cadeia unidim ensional em contato com um banho térmico a u m a dada te m p e ra tu ra T . Se consideramos um ponto no interior do cristal unidimensional, que esteja d istan te d a extrem idade da cadeia, podem os considerar que m ,_ i = m,- =

= m, se i » 1. Neste caso, resulta a seguinte equação p ara a magnetização no

interior do cristal unidim ensional;

dm ,

r - — = 2 a m -F /3m -(- a m (2.29)

dv

IG onde a = /? = + 3), sendo J

k =

K

T

Próxim o à transição de fases, onde m deve ser m uito pequeno, podemos escrever que

dm

dt — X f t n H- o(m ) ,

onde

que pode ser escrito como

Notam os que A^? < 0, p a ra qualquer valor de tem p eratu ra, ou seja, a fase ferromagnética, se existir, é instável. Infelizmente, a prescrição de M etropolis, m ostra que a fase fer­ rom agnética é instável m esm o p a ra T = 0 , o que não é razoável, pois esperamos que a te m p e ra tu ra crítica do sistem a unidim ensional seja nula. Além disso, como não estamos Considerando correlações, deveríamos esperar um a tem p eratu ra crítica semelhante àquela d a d a pela teoria de cam po médio, ou seja, Tc = 2 J (caso unidimensional).

N a figura 2.1 m ostram os o com portam ento d a m agnetização n a situação estacionária em função da posição n a cadeia linear. Consideram os como condição de contorno que Tq = 0 e mo = 1, p a ra diferentes valores de A = mede a razão entre o acoplam ento de intercâm bio entre prim eiros vizinhos e o gradiente de tem peraturas. Notamos que com a prescrição de M etropolis, a m agnetização atinge um valor nulo bem próximo à extrem idade d a cadeia, dependendo m uito fracam ente d a razão A.

" 17

n o e sta d o e sta c io n á r io p a ra a c a d e ia lin ear.

C urva a ( A = 10.0 ); b ( A = 1.0 ); c ( A = 0.3).

Vamos estudar agora a cadeia linear, levcmdo-se em conta a prescrição de Glauber, a in d a sem levar em consideração as correlações. Neste caso a probabilidade de transição

18 tem a seguinte form a :

Assim, terem os as seguintes configurações p a ra o cluster;

( ^ i - l ( ^ i <^t+l A E , W i ( c T i ) P ( ^ . - i ) + , + + + 4 J - 4 J e ^ B Ï'i • 1(1 + m .) 1(1 _{+ r r i i )} j ( l + _{m i )} + + - 0 1 |( 1 -|- m ,) |( 1 + m ,) 1(1 - m , ) + - + -4J 1(1 - m .) 1(1 + m i )' 1(1 + m i) + - - 0 1 1(1 - r r i i ) 1(1 + m i ) 1( 1 - m i ) - + + 0 1 1(1 + m ,) 1(1 - m O1 | ( l + m,i) - + - -4J + 4 J 1(1 + m i) 1(1 - m.O1 1 ( 1 - m i ) - - + 0 1 1(1 - r u i ) 1(1 - m,, ]1 1(1 + m i) — — — + 4 J - 4 J C ^b T ; _{1(1 - m ,) 1(1 - m.,;) 1 ( 1 - m.i)} Como; = < - 2 ( 7 i { t ) w { ( 7 i { t ) ) > , (2.31)

^ r n i = 5 3 (2.32) ^ m i = a i r r i i + /?i(m,-_i + m ,+ i) + 7 im ï_ im im ,+ i, (2.33) 19 onde 4 J _ 4 J e ^ B ^ i e ^ B T i a i = -4 [1 -1--- ---1--- jj— (1 + e^BTi) ( i + e k]P7) g K ^ T . e KBT-i = 4[--- - --- --- — -], (2.34) 7. = 4[1 -

Entâxa, podemos escrever que

(1 + e ^ B ï.) (1 + e ^BTi)4J J A J 4 J e ^B Ti e t<B 'i i (1 + e ^ s T i ) (1 + e ’<B'Ti) d ^ ^ — mi = ~ 4m,- - 4 --- ^ — m, dt---(1 + e ^ i ^ ) 4 J 4 _4j -|- 4 7Tli_i ( l + e^BTi) (1 _i_e^^flî’. ) - 4 J e e — 4 m ,_ i -f 4 — ^---jj— m ,+i (1 + e^B ^i) (1 + e^^^i^)

e^sT;

- 4 --- r i j —m,+a + 4m.,i7î,_im,+j (1 + e^Bï-.)

20

- 4 J 4J

. K B T;

(H -e « B '^ v ) ( i + e ^ a n )

Se considerarm os o caso no qual a te m p e ra tu ra é uniforme, e tom arm os pontos no interior do cristal suficientem ente afastados d a extrem idade, ou seja, se m j_ i = mi —

rrii+i =

1,

dt onde d m ^ ^ Am + o(m ) , 4 J A = - 4 + 4

---(1 + e ^ )

Neste caso, podem os m o strar que A = 0, p a ra T = 0 . Ou seja, a prescrição de Glauber, mesmo na ausência de correlações, fornece o valor correto d a tem peratura crítica do sistem a unidim ensional. Se T > 0, A é sempre negativo, o que implica que a fase ferrom agnética será sempre instável em tem p eratu ras finitas.

Na figura 2.2 exibim os o com portam ento d a m agnetização na situação estacionária em função do p o n to de rede i ( note que T (i) = 8i e m^ = 1 ), p ara diferentes -v-alores da razão A

-21

no e sta d o e sta cio n á rio para a ca d eia linear.

C u rva a ( A = 10.0 ); b ( A = 1,0 ); c ( A = 0.3).

Os gráficos das figuras 2.1 e 2.2 foram construídos tom ando-se 22 pontos n a cadeia linear e usamos como condição de contorno que a magnetização do 22- ponto fosse igual à do 21- ponto. E ssa condição é bastante razoável, visto que quando estamos b astan te distantes da extrem idade da cadeia, o com portam ento é característico do que ocorre no in terior do sistem a, o\i seja, os efeitos de superfície são desprezíveis. Ao contrário da prescrição de M etropolis, o decaimento da m agnetização é m uito mais suave utilizando-se a distribuição de probabilidade de Glauber.

22

2.2 S is te m a U n id im e n s io n a l G om G orrelações

Levando-se em conta as distribuições de probabilidades dadas pelas equações 2.12 e 2.13 é fácil verificar que se i > > 1, teremos;

d m[3 + 2r — r"^] + 4m^ e (1 — r)^ ^ ^ ^ l- h m 2 r T ^ ' ^ " ' T T ^ r + l 4 r - 2 m ( l - 0 , (2-36) T - r m = dt

,- 4Jt

A solução estacionária nos fornece

dr

dt = 0 ^ (2 -f- r -|- r ^ )a _ + (2 — r — r ‘^)a+ - 0 ,

onde

23 Podem os escrever ainda que:

como 2(q'_ + a^.) + r ( a _ - o:+) + r ^ ( a - - « + ) = 0 , , - 4 k „4fc a _ + = 0!_ — «4- =

+

= 1

1 + e

Notam os que a única solução possível d esta ú ltim a equação é r = l e T = 0. A equação p a ra a m agnetização pode ser escrita como

Ó/TTl / ^ \

r — = —Am + o ( m ) ,

onde

- 4 f c „4fc

1 + e

S e r = l e T = 0, então A = 0, ou seja, a te m p e ra tu ra crítica é nula no caso do sistem a unidim ensional com correlações e ta x a de tran sição do tipo Glauber.

2 .3 S is te m a B id im e n s io n a l S em C o rrela çõ es

Vamos agora considerar um sistem a bidim ensional, onde supomos que todos os spins n u m a d ad a fila i, estejam nu m a m esm a tem p e ra tu ra T,-. Seguindo os mesmos procedim en­ tos utilizados p a ra o modelo unidim ensional, tom am os inicialm ente a tax a de transição de

M etropolis^^^:

24

( 1 p a ra A E i < 0 ;

'Wi(cXi) — <

^ ^ Xe^BT, p a r a A E , > 0 .

Assim, a energia do sistem a será d ad a por:

Ei(aij) — —J (^ij(^i’j'

onde a soma é sobre todos os pares de vizinhos mais próximos ( i , j ) e {i , j ) n a rede quadrada.

Após inverterm os o spin a i j ,teremos

E f { —aij) = + J (TijCTjiji .

Explicitando a energia antes e depois da inversão teremos

25 E f ( - a i j ) = A + J a i j { a i - j j + a i + i j + i

onde A é um a constante. Assim a variação d a energia é d ad a por

A E i j — 2Jai j { ( Ti - i j +

CTi+i,j +

A probabilidade de se encontrar um determ inado spin no estado ctíj é dada por

Pi j Wi j ) = 2^^ rriijaij). (2.38)

Supondo que o gradiente de tem p eratu ra, e stá apenas na direção x, podemos escrever que

< CTij > = rriij ~ rrii,

d

>= - < 2aijWij{a) >,

sendo que n a ausência de correlações, podem os escrever que

Pc{a) = P { a i j ) P { a i - i j ) P ( a i + i j ) P { a i j _ i ) P { a i j + i ) .

As configurações possíveis, com as suas r e s p e c tif s probabilidades de transição são dadas n a tabela abaixo:

26 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +8J -j-SJ + 4 J + 4 J + 4 J + 4 J -8J -4J -4J -4J -4J 0 0 0 0 0 0 0 0 - 8 J - 8 J - 4 J e^BTi - 4 J e^BTi -4J e ^bTí - 4 J

27

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

■+

A equação de m ovim ento, p ara a m agnetização por spin da i- ésima linha, será dada por:

+ ^{{rrii^i + ín ,_ i + 2m ,)

+ S i { 2 m i + i i 7 i i - t m i + }, (2.40) onde

ai = 22 + 8e ^ ^ +

,

/3i = -6 + Ae~^i + 2e T ^ ,

7i = -2 + 2e^í^,

6i = 2 - A e ^ + 2e ^ ,

As soluções estacionárias, neste caso, são obtidas a p artir de

d

5 "“ = “•

Se a te m p eratu ra é a m esm a p ara qualquer valor de i, podemos determ inar as soluções no interior do sistem a, fazendo-se

rrii = mi+i = m ,_i = m. (2.41)

Neste caso obtem os

0 = (ct + 4;9)m-h o(m^).

A te m p e ratu ra crítica pode ser o b tid a a p a rtir da condição

29 o que nos dá

2 - 24e~^*^ - 10e~®* = 0

A solução d esta equação nos fornece

_4fc - 1 2 + x/164

10

logo = 1.58 . (2.42)

Observamos que este valor, não corresponde ao valor esperado n a teoria de Ccimpo médio — 4, em b o ra não estejam os levando em conta as correlações, ou seja, a pres­

crição de M etropólis, sem correlações, não le \^ ao estado de equilíbrio esperado n a apro­ xim ação de cam po médio. Esse mesmo resultado, pode ser observado no trabalho de

To m é e íieOliveiraí®^, se colocamos r= 0 (ausência de correlações), e desprezamos o fluxo

de energia sobre o sistem a.

Consideremos agora o mesmo problem a com a dinâm ica de GlaubeA^\ onde tomamos a tax a de transição norm alizada.

e - ^ A E ,

= T T F íã ê--

(2-«)

A equação p a ra a evolução d a m agnetização é dad a pela seguinte expressão:

30

= < - 2 a i j ( t ) w ( a i j { t ) ) > , (2.44)

< a i j W i j { c r i j ) > = ^ a i j w { a i j ) P { a i j ) . (2.45)

Levando-se em conta que ainda estam os desprezando as correlações, podemos escrever que

(1 + A m i,j)(l + 5 m i+ i,j)(H -C m i_ i,_ ,)

( 1 + D r r ii j + i ) { l + E r r i i j - i ) a i j , (2.46) onde B = a i + i j , (2.47)

C =

31 Temos então :

O coeficiente de é ;

+ 8 j r . + 3 ;

O coeficiente de (rrii^i + ?7ít-i) é ;

g 8fct 0

+ 2—---- 7T - - 2:

+ 1 , -Æ' ~ 2-

: + 2

- 1

S"'-Considerando o caso no qual a te m p era tu ra é uniforme, e levando-se em conta que estam os distantes d a superfície ( i=0), podem os considerar que rriij = = rrii-i j =

rrii^j^i = rui^j-i — m e podem os escrever que próxim o à transição de fases.

dt

onde

3g -8A: g8fc

32

, - 8 f c „8fc ,- 4 f c

+ 3 +

1 + e- 6 k _{1 + e}

+

- 2-

_{1 + e}

Na situação estacionária, a te m p e ra tu ra crítica d a transição é d ad a por = 3.00. Esse

valor difere com pletam ente do obtido usando a prescrição de Metropolis.

N a figura 2.3 apresentam os o gráfico da m agnetização em função da linha i de spins, onde i designa a distância à p a rtir da superfície. N a superfície tom am os mo = 1 e T = 0. P o rtan to , esse gráfico descreve o com portam ento da m agnetização dos estados estacionários ã m edida que a te m p e ra tu ra cresce n a direção do interior do cristal bidimensional.

I

q u e d e sig n a a i-ésim a lin h a do c r is ta l b id im en sion al,

no e sta d o e sta c io n á r io .

Biblioteca Universitária U F S C

33 Esses gráficos foram construídos tom ando-se 30 linhas d a rede, usando-se como con­ dição de contorno que a m agnetização da 30- linha é à igual da 29- linha. Podemos avaliar a tem p eratu ra crítica, p o r exemplo, observando em torno de qual plano a m agnetização vai a zero. Se tom arm os um determ inado valor de A = 7^ , a m agnetização vai a zero nas vizinhanças d a lin h a ic, onde Tc = 6ic, ou seja, Tc ~ Podemos n o tar que se A = 5, ic = 21, o que fornece um valor p a ra KbTc = 4 ,2 7 , que não é m uito diferente do

valor obtido n a aproxim ação de cam po médio se o sistem a está em contato com um banho térmico uniforme.

2.4 S is te m a B id im e n sio n a l C om C orrelações

Vamos considerar som ente o caso de tem p eratu ra uniforme, e levar em conta as cor­ relações entre pares de vizinhos mais próximos, cuja distribuição de probabilidades é a mesma do trab alh o de T o m é e de O /iueiraW . A equação de movimento p a ra a m agne­ tização é d ad a p o r : r - ^ m = - < 2w(ao)(7o > , dt onde < a o w { a o ) > = aow{ao)Pi{ao) J J ^ (2.49) 0-o,...,CT4 = ^ <^0«^(<^0)p37^í’l2(<70,O-l)Pl2((70,O-2)Pl2(<T0,<r3)Pl2((70,Cr4), sendo que

34

■ P i2 (< 7 o ,< 7 i) = ^ ( 1 + m (< 7 o + <Ti) + r a o a i ) ,

P\{<yo) = ^(1 + mero).

Realizando-se essas somas sobre as configurações dos spins do cluster, é fácil de se verificar que ; r ^ m = - 2 < u;(cro)<To > = X p m + o(m^) (2.50) onde Ap = [ —:^ 3 (1 + r )^ (l — 2r) 16 ' ^ ^ ^1 + e -8*^

8k

- 6( l - r ) ^ -

e

+

- 4k

1 +

+

Podem os igualm ente d eterm inar a equação de movimento p a ra a função de correlação, entre os spins vizinhos m ais próximos.

< ai(T2 > = < -2(710-2^1 (cri) > + < -2cri<72U)2(o-2) > ,

< í7ia2UJl(cri) > = ^1^2 U^l(o-l)Pc/«ster-c o n f i g .

Como estam os interessados n a transição de fases, entre as fases ferrom agnética e para- m agnética, podem os colocar m =0, n esta liltim a equação.

35

Finalm ente, obtem os que :

r ~ ^ í ( r , k ) . onde f { r , k ) = A .[(l + r)^

l + e-8*^

2(1 r r

-+ esít

+

A te m p e ratu ra crítica pode ser determ inada, n a situação estacionária, através da resolução das equações = 0 e / ( r , k) = 0.

O btemos o seguinte resultado p ara a tem peratm -a crítica

e p a ra a função de correlação

r = 0.33 .

É interessante observar que esse resultado é exatam ente o mesmo que o obtido por Tomé e de Oliveira, usando a prescrição de M etropolis.

2.5 S is te m a T r id im e n s io n a l S em C orrelações

Finalm ente, vamos considerar a situação tridim ensional, sem correlações através da dinâm ica de GlaubeA^^

36

■

(2-53)

A equação de m ovim ento, tem a m esm a form a que nos casos anteriores, ou seja,

< (Tijk > = -2 < (Tijkw{aijk) >=

e^^*[-6mi - 2m.i+i - 2m,,_i] +

g8fc[_2o^^ — 8m,_i + 8m,-|.i] +

lOmi — 107n,_i —

e-^^[Umi + 8mi_i + 8m,+i]+ (2.55) + 2m,_i + 2mi+i] + o(mi )

Se consideramos planos de spin distantes d a fronteira, podem os colocar

m i - \ — m-i = rui-^i = m, e obtem os a seguinte equação:

dm , / T — = - A m + o(m ) , onde 37 g l 2 A : g S A : g - 4 f c ^ - 8 k A = - 5 .

_{l + ei2*}

_{l +}

_{l + e^fc}

_{i +}

_{^ 1 _l_ g-8fc ^ 1 +}

É fácil verificar que A > 0, se > 5.073. O u seja, a te m p e ratu ra crítica do sistem a neste caso vale KbTc = 5.073J, que difere daquela esperada n a apro5çimação de cam po m édio, KbTc = 6J. Não calculamos o efeito das correlações entre primeiros ^âzinlios, no valor d a te m p eratu ra crítica. O valor encontrado p a ra a te m p era tu ra crítica do modelo de Ising em três dimensões, através de expansões em séries de altas temperaturas^^^ é KbTc = 4.511 . C ertam ente, se levássemos em conta as correlações, obteríam os um resultado m ais próxim o do obtido através de expansões em séries.

C a p ítu lo III

D in â m ic a do M o d e lo d e Isin g e m u m C a m p o A lea tó r io

3.1 O M o d e lo

Agora estudarem os a transição de fases dinâm ica do modelo de Ising em um campo aleatório. 0 H am iltoniano considerado neste problem a, é dado pela expressão seguinte;

H = (3.1)

(i,j)

•

onde a soma se extende sobre todos os pares de spins , sendo J a m agnitude da interação

entre os spins do sistem a, constituído por N spins. Na equação (3.1) íí,-, é o campo aleatório que a tu a sobre cada ponto da rede, e é dado pela seguinte distribuição de probabilidades;

P { H r ) = + H ) + 6 { H i - H ) ] . (3.2)

Na situação de equilíbrio term odinâm ico, este problem a foi estudado através de mé­ todos de grupo de renorm alização, bem como, por aproximações de campo médio^^y

O diag ram a de fases no plano te m p era tu ra versus intensidade do campo aleatório, está representado n a figura 3.1 :

39

F i g u r a 3.1 - D ia g r a m a d e fa ses para o m od elo de Ising em u m c a m p o a le a tó r io . T rep r e se n ta a te m p era tu ra , h

a in te n s id a d e d o ca m p o . A lin h a c h e ia corresp on d e às iia n s iç õ e s

d e fa se c o n tin u a s, e n q u a n to a lin h a p o n tilh a d a tra n siçõ es d e 1** ordem .

A linha con tín u a é um a linha de transições contínuas, enquanto que a linha pontilha, da, nos fornece a coexistência entre duas fases, as fases Ferro e Param agnética. TC P é o denom inado po n to tricrítico. As coordenadas do ponto tricrítico, nas v-ariáveis reduzidas

40 consideradas, são d ad as por K b T T = ---z— 2 r = - e = 0.43 ó

E ntão estudam os, n a aproxim ação de cam po médio, o com portam ento dinâmico deste sistem a, quando o sistem a evolue no tem po de acordo com o processo descrito pela dinâm ica de GlaubeA'^h Vamos supor que W^,(cr,) seja a probabilidade, por unidade de tem po, p ara que o i-ésimo spin passe de cr^ onde o estado do sistem a é representado por

a = ( ( T i , a2 , - . . , < T ^ ) , onde cr^, a variável de spin no sítio i, tom a os valores ± 1 . Sendo

Wi{ai) a probabilidade de transição por unidade de tem po p a ra “virar” o spin i teremos

de acordo com G lauber que

= — (1 - a i t a n h (^ E i )) , (3.3) onde:

A equação M estra, p a ra o valor médio da magnetização, é dada por :

d < ai > / ^

Q

p ara um a distribuição fixa de cam pos aleatórios, em um dado instante de tem po . Se

N oo, podem os escrever que

> . (3.6)

i ^ j

Tomando-se agora a m édia sobre a distribuição de campos aleatórios, dada pela Eq.(3.2), podem os escrever que

41

m = « í7i > > = í < ai > P(H ,)d Hi . (3.7)

J ~oo

D esta form a ficamos com a seguinte equação p a ra a evolução tem poral de m;

- - m + ^[tgh{/3Jm + l 3 H ) + t g h { ^ J m - / 3 H ) ] . (3.8)

3.2 R e s u lta d o s

Inicialm ente, considerarem os as soluções da Eq.(3.8) p a ra um dado valor de tem pera tu ra , variando-se a intensidade do cam po aleatório. A situação inicial (t= 0 ), é aquela n a qual a m agnetização é igual a 1. P or exemplo, n a Fig.3.2, p ara r = 0.75, mostramos como a m agnetização évolué com o tem po até atingir o estado estacionário, p ara diferentes xícilores do cam po aleatório.

42

(ii«‘

F i g u r a 3 .2 - M a g n e tiz a ç a o M em íu n çã o d o T em p o t, p a ra d iv erso s v alores d o ca m p o a le a tó r io , para T = 0.75. C u rva a ( h = 0 .0 ); b ( h = 0 .2 9 ) ; c ( h = 0 .3 7 ) ; d (h = 0 .3 9 ) ;

e(h = r0.40); f ( h = 0 .4 1 )

Notam os que a m agnetização atinge um valor estacionário após um intervalo de tem po que depende da intensidade do cam po aleatório. Além disso, a transição entre as fases ferro e param agnética pode ser determ inada, avaliando-se o campo p ara o qual a m agnetização vai a zero, depois de um tem po suficientem ente longo. Nossos cálculos m ostram que p ara esta tem p eratu ra, a transição é contínua, e o campo crítico que obtemos coincide com o valor obtido n a situação de equilíbrio termodinâmicô. P a ra r = 0.75, o ralor crítico é hc = 0.41. Fizemos curvas semelhantes àquelas da figura 3.2 para todos os

valores de te m p e ratu ra r > | , e os resultados obtidos p a ra o cam po crítico coincidem com todos aqueles determ inados por Aharony^^^ no caso de transições de fases contínuas. Na figura 3.3, m ostram os a m agnetização estacionária em função do campo, após um tem po suficientem ente longo, tal que o estado estacionário pudesse ser atingido p ara todos os valores de campo considerados.

43

F ig u r a 3 .3 - M a g n e tiz a ç ã o e sta c io n á r ia M versu s in ten sid a d e do c a m p o a le a tó r io h. T o m a m o s T = 0. (õ.

Notam os claram ente que a m agnetização vai continuam ente a zero. Os estados e sta­ cionários coincidem com aqueles obtidos no equilíbrio term odinâm ico.

Na figura 3.4, m ostram os como o tem po de relaxação varia em função do campo, p ara um dado valor de tem p eratu ra.

44

ttl

F i g u r a 3 . 4 - Tempo de relaxação t em função da

Notamos que o tem po p a ra se atingir o estado estacionário, aum enta abruptam ente quando nos aproxim am os do cam po crítico determ inado no equilíbrio term odinâm ico. Isso j á era esperado, pois próxim o às transições de fases contínuas a m agnetização é m uito pequena, e se expandirm os a equação (3.8) p a ra m, obtemos :

45 d m Oí—r - = dt 1 — s ech^{(3H)^J]m , (3 .9 ) m { t ) Ri m (0 ) e r onde a r T — s ech?{ ^) iJt I

r = —- - . -»i,; ■

(310)

Q uando estam os nas vizinhanças d a transição de fases, o tem po F paxa se atingir o estado estacionário cresce indefinidam ente, pois a condição para a transição de fases ocorrer é que Tc = s e c h ^ ( ^ ) conforme pode ser verificado no trabalho de Aharony^^h

P a ra tem p eratu ras menores que r = | , o com portam ento da magnetização, após tem pos suficientemente longos, pode ser exemplificado na figura 3.5 para r = 0.30.

46

F ig u r a 3 .5 - M a g n e tiz a ç ã o M em fu n çã o d a in te n sid a d e do c a m p o a le a tó r io h n o e sta d o e sta c io n á r io .

Notam os que, diferentem ente do gráfico d a figura 3.3, onde a m agnetização vai conti­ nuam ente a zero, neste caso a m agnetização sofre u m a descontinuidade p ara um determ i­ nado valor crítico de cam po, ou seja, ela passa de um valor finito p a rá zero. E ntretanto, o valor do cam po crítico é m aior que o determ inado no equilíbrio termodinâm ico, quando as energias livres das fases ferro e param agnética tornam -se iguais. Na realidade, o que estam os determ inando é o lim ite de estabilidade da fase ferrom agnética. Através desse m étodo, não conseguimos determ inar o lim ite de estabilidade da fase param agnética.

F inalm ente, n a figura. 3.6, m ostram os o diagram a de fases completo para todos os valores de tem p eratu ra, após tem pos suficientemente longos, p a ra que o sistem a alcance a situação estacionária, p a ra qualquer \ ^ o r de campo.

47

h F ig u ra 3 .6 - Diag rama de iases para o modelo de Ising dinâmico

num campo aleatório. Neste diagrama T é a temperatura, h a

C o n clu sã o

Neste trab alh o estudam os dois problem as diferentes relativos à transição de fases em sistemas m agnéticos. Em am bos os problem as a equação m estra que descreve a evolução tem poral d a distribuição de probabilidades desde um a situação de não equilíbrio até que seja alcançado um estado estacionário. O prim eiro problem a tra ta d o foi de um modelo de Ising sujeito a u m gradiente de tem p eratu ra. D eterm inam os os estados estacionários desse sistem a em um a, duas e três dimensões e m ostram os os perfis de m agnetização à p a rtir de condições de contorno aproriadas n a superfície do sistem a. Escolhemos duas taxas de transição diferentes p a ra descrever a evolução em direção ao estado estacionário; a ta x a de M etropolis, em pregada frequentem ente nas simulações de M onte Cario, e a taxa norm alizada, p ro p o sta por G lauber.

M ostramos que o? estados estacionários são diferentes quando desprezamos correlações dentro do sistem a. Por exemplo, em u m a dim ensão utilizando a prescrição de Metropolis, m ostram os que o estado ferrom agnético é instável mesmo se T = 0. Ao contrário, a prescrição de G lauber, fornece a te m p e ra tu ra crítica correta em um a dimensão e o estado ferromagnético é instável para, tem p eratu ras maiores que zero.

Surpreendentem ente, quando levamos em consideração as correlações apenas entre prim eiros vizinhos, am bas as prescrições levam ao mesmo estado estacionário. As

tempe-ratu ra s críticas obtidas, levando-se em conta as correlações, foram as mesmas p a ra as duas taxas de transição.

No segundo problem a, estudam os o com portam ento dinâm ico do modelo de Ising em um cam po aleatório, através d a tax a de transição p roposta por Glauber. D eterm inam os o diagram a de fases no plano te m p era tu ra versus intensidade do campo aleatório e m ostram os que os estados estacionários coincidem com aqueles do equilíbrio no caso de transições de fases de segimda ordem . P or o u tro lado, p a ra as transições de fases de prim eira ordem nos­ sos resultados não são os mesmos que os obtidos n a situação de equilíbrio. Fomos capazes de determ inar com este m étodo apenas o lim ite de estabilidade d a fase ferrom agnética, cu­ jos campos críticos são superiores àqueles obtidos no equilíbrio, quando as energias livres

das fases ferro e p a ra m a g n é tic a 'são iguais. E n tretan to , a localização do ponto tricrítico coincide com aquela determ in ad a no equilíbrio term odinâm ico.

R e fe r ê n c ia s B ib lio g r á fic a s

1] VAN K Ä M PEN ,N .G. . S to c h a s tic P r o c e s s e s in p h y s ic s a n d c h e m is try . 5. ed. N etherlands, Elsevier Science Publishers B.V., 1981.

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