Cap11 Sec2

(1)

Capítulo 11

Sequências e Séries

Infinitas

(2)

11.2 Séries

Nesta seção, aprenderemos sobre: Vários tipos de séries.

(3)

SÉRIES

Se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita teremos

uma expressão da forma:

a

₁

+ a

₂

+ a

₃

+ ···

+ a

_n

+ ···

1

{ }

a

_{n n}∞₌

(4)

SÉRIES INFINITAS

Esta

é

denominada

série infinita (ou

apenas série) e é denotada, por simplicidade,

pelo símbolo: ou 1 n n a ∞ =

∑

an

(5)

No caso abaixo é impossível encontrar uma soma para finita a série

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· + n + ···

Se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .

Depois do n-ésimo termo n(n + 1)/2, ela se torna

(6)

Contudo, se começarmos a somar os termos da série obteremos:

1

2 + + +

4

8

16 +

32 +

64 + +

⋅⋅⋅

2

n

+ ⋅⋅⋅

3 7 15 31 63 1 2

, , ,

4 8 16

,

32

,

64

,

,1 1/ 2 ,

n

⋅⋅ −

⋅

⋅⋅⋅

(7)

A tabela mostra que, quando adicionamos

mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1.

De fato, somando um número suficiente de termos da série,

podemos fazer as

(8)

Assim, parece razoável dizer que a soma dessa série infinita é 1 e escrever:

1

2

n

2

4

8

16

2

n n ∞ =

= + + +

+ +

⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅ =

∑

(9)

Usamos uma ideia parecida para determinar se uma série geral tem uma soma ou não.

(10)

Consideramos as somas parciais s₁ = a₁ s₂ = a₁ + a₂ s₃ = a₁ + a₂ + a₃ s₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ E em geral ₁ ₂ ₃ 1 n n n i i

s

a

=

⋅⋅ +

⋅

=

= +

+ +

∑

(11)

Essas somas parciais formam uma nova sequência

{s

_n

},

que pode ou não ter um limite.

(12)

Se

existir (como um número finito), então, como no exemplo anterior, o

chamamos soma da série infinita

Σ

a

_n

.

lim

_n

n→∞

s

=

s

(13)

Dada uma série

Denote por s_nsua n-ésima soma parcial:

1 2 3 1 n n

a

∞ =

= +

+ + ⋅⋅⋅

∑

1 2 n n i n

s

a

=

∑

= +

+ ⋅⋅⋅ +

Definição 2 SOMA DE SÉRIES INFINITAS

(14)

Se a sequência {s_n} for convergente e existir como um número real, então a série Σ a_né dita convergente, e

escrevemos:

ou

O número s é chamado soma da série. Caso contrário, a série é dita divergente.

lim

_n

n→∞

s

=

s

Definição 2 SOMA DE SÉRIES INFINITAS

1 2 n a + a + ⋅⋅⋅ + a + ⋅⋅⋅ = s 1 n n a s ∞ = =

∑

(15)

Assim, a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais.

Deste modo, quando escrevemos

queremos dizer que, somando um número suficiente de termos da série, podemos

chegar tão perto quanto quisermos do

1 n n a s ∞ = =

∑

(16)

Compare com a integral imprópria

Para encontrar essa integral, integramos de 1 até t e então fazemos t → ∞.

Para uma série, somamos de 1 a n e então fazemos n → ∞. 1

( )

lim

1

( )

t t

f x dx

∞ →∞

=

∫

(17)

Um exemplo importante de uma série infinita é a série geométrica 2 3 1 1 1

0

n n n

a

ar

a

− ∞ − =

+

+ ⋅⋅⋅ +

+ ⋅⋅⋅

=

∑

≠

(18)

Cada termo é obtido a partir do anterior pela multiplicação dele por uma razão r.

(19)

Se r = 1, então

s

_n

= a + a + ··· + a = na

→ ±∞

Como não existe, a série geométrica diverge

nesse caso.

lim

_n

n→∞

s

(20)

Se r ≠

1, temos:

s

_n

= a + ar + ar

2

+ ···

+ ar

n–1

e

rs

_n

= ar + ar

2

+ ···

+ar

n–1

+ ar

n

(21)

Subtraindo essas equações, obtemos:

s

_n

– rs

_n

= a – ar

n

(1

)

1

n n

a

r

s

r

−

=

−

(22)

Se –1 < r < 1, sabemos, a partir de (11.1.9), que r n → 0 quando n → ∞.

Assim,

Então, quando |r | < 1, a série geométrica é

convergente, e sua soma é a/(1 – r).

(1

)

lim

1

n n n n n n

a

r

a

s

r

→∞ →∞ →∞

−

=

−

=

−

(23)

Se r ≤ –1 ou r > 1, a sequência{r n}

é divergente por (11.1.9);

Assim, pela Equação 3, não existe.

Portanto, a série geométrica diverge nestes casos.

lim

_n

n→∞

s

(24)

Em palavras: a soma de uma série geométrica convergente é: primeiro termo 1 ─ razão SÉRIES GEOMÉTRICAS

(25)

A série geométrica é convergente se

|r | < 1.

1 2 1 n n

ar

a

ar

∞ − =

= +

+

+ ⋅⋅⋅

∑

Resultado 4 SÉRIES GEOMÉTRICAS

(26)

A soma da

série

é:

Se |r | ≥

1,

a série geométrica é divergente.

1 1

1

n n

a

ar

r

∞ − =

=

<

−

∑

Resultado 4 SÉRIES GEOMÉTRICAS

(27)

Encontre a soma da série geométrica

O primeiro termo é a = 5 e a razão é r = –2/3 10 20 40

3 9 27

5 − + − + ⋅⋅⋅

(28)

Como |r | = 2/3 < 1, a série é convergente por (4) e sua soma é: 2 3 5 3

10

20

40

5

3

9

27 1 (

)

5

3 ⋅⋅

−

+

−

+

−

=

⋅ =

−

=

(29)

O que realmente queremos dizer quando

falamos que a soma da série no Exemplo 2 é 3?

Claro, não podemos somar literalmente um número infinito de termos, um a um.

(30)

Mas, de acordo com a Definição 2, a soma total é o limite da sequência de somas

parciais.

Assim, tomando a soma de um número suficiente de termos, podemos chegar tão próximo quanto quisermos do número 3.

(31)

A tabela mostra as primeiras dez somas parciais

s_n.

O gráfico na Figura 2 mostra como a sequência de somas parciais se aproxima de 3.

(32)

A série

é convergente ou divergente? 2 1 1

2 3

n n n ∞ − =

∑

(33)

Vamos reescrever o n-ésimo termo da série na forma ar n-1:

Reconhecemos essa série como uma série geométrica com a = 4 e r = 4/3.

Como r > 1, a série diverge por (4).

1 2 1 2 ( 1) 1 1 1 1 1

4

4 2 3

(2 ) 3

4

3

n n n n n n n n n n n − ∞ ∞ ∞ ∞ − − − − = = = =

⎛ ⎞

=

_{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

∑

(34)

Escreva o número

como uma razão de inteiros.

2.3171717…

Depois do primeiro termo, temos uma série geométrica com a = 17/103 _{e r = 1/10}2_. 3 5 7 17 17 17 2.3 10 10 10 = + + + + ⋅⋅⋅

2.317 =

2.3171717...

(35)

Portanto, 3 2

17

10 1000

2.317

2.3

1

99

1

10

100

23

17

10

990 =

+

=

+

−

=

+

(36)

Encontre a soma da série onde |x| < 1.

Observe que essa série começa com n= 0. Assim o primeiro termo é x0 _{= 1.}

0 n n

x

∞ =

∑

(37)

Então,

Essa é uma série geométrica com a = 1 e r = x.

2 3 4 0

1

n n

x

∞ =

= + +

+

+ ⋅⋅⋅

∑

(38)

Como |r | = |x| < 1, ela converge, e (4) fornece 0

1

n n

x

∞ =

=

−

∑

EX. 5 - Equação 5 SÉRIES GEOMÉTRICAS

(39)

Mostre que a série

é convergente e calcule sua soma.

1

1 (

1)

n

n n

∞ =

+

∑

SÉRIES EXEMPLO 6

(40)

Essa não é uma série geométrica.

Assim, voltamos à definição de uma série

convergente e calculamos as somas parciais.

1

1 (

1)

1

1 1 2

2 3

3 4

(

1)

n n i

s

i i

n n

=

+

=

+

+ +

⋅

⋅⋅

+

∑

(41)

Podemos simplificar essa expressão se usarmos a decomposição em frações

parciais.

Veja a Seção 7.4, no Volume I.

1

1 (

1)

1 i i

+

= −

i

+

(42)

Então, temos: 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 1 n n i n i s i i i i n n = = = + ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −_⎜ _{⎟ ⎜}+ − _{⎟ ⎜}+ − _⎟ + ⋅⋅⋅ + _⎜ − _⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = −

∑

(43)

E, dessa forma,

Portanto, a série dada é convergente e

1 lim

lim 1

1 0 1

1

n n→∞

s

n→∞

n

⎛

⎞

=

_⎜

−

_⎟

= − =

+

⎝

⎠

1 1 ∞ =

∑

(44)

A figura ilustra o Exemplo 6 mostrando os gráficos da sequência de termos

a_n=1/[n(n + 1)] e a sequência {s_n} das somas

parciais.

Observe que a_n→ 0 e s_n→ 1.

(45)

Mostre que a série harmônica

é

divergente.

1

2

3

4

n

∞ =

= + + + + ⋅⋅⋅

∑

(46)

Para esta série particular é conveniente

considerar as somas parciais s₂, s₄, s₈, s₁₆, s₃₂, … e mostrar que elas se tornam grandes.

( )

1 1 2 ₂ 1 1 1 1 1 1 4 ₂ ₃ ₄ ₂ ₄ ₄

1

1 s

s

>

=

= +

= + + +

+ + +

(47)

( )

( ) (

)

1 1 1 1 1 1 1 8 ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 2 2 2 3

1

1 s

⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ ⎠

= + + + + + + +

> + + + + + + +

= + + +

= +

Analogamente,

(48)

( )

(

)

( ) (

) (

)

1 1 1 1 1 1 1 16 ₂ ₃ ₄ ₅ ₈ ₉ ₁₆ 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 8 8 16 16 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2

1

1 s

= + + + + + ⋅⋅⋅ + + + ⋅⋅⋅ +

⎛⎜_⎝ ⎞⎟_⎠

> + + + + + ⋅⋅⋅ + +

+ ⋅⋅⋅ +

= + + + +

= +

Analogamente,

(49)

Analogamente, s₃₂ > 1 + 5/2, s₆₄ > 1 + 6/2, e, em geral,

Isso mostra que s_2n→ ∞ quando n → ∞, e assim {s_n} é divergente. 2

1

2

n

s

> +

(50)

O método usado no Exemplo 7 para mostrar que a série harmônica diverge deve-se ao

estudioso francês Nicole Oresme (1323-1382).

(51)

Se a série for convergente, então Seja s_n= a₁ + a₂ + ··· + a_nentão, a_n= s_n– s_n–₁ 1 n n

a

∞ =

∑

lim

_n

0

n→∞

a

=

SÉRIES Teorema 6

(52)

Seja

Então n – 1 → ∞ e n → ∞, e também temos:

lim

_n

n→∞

s

=

s

1

lim

_n

n→∞

s

−

=

s

(53)

Portanto,

(

1

)

1

lim

0

n n n n n n n n n

a

s

− →∞ →∞ − →∞ →∞

=

−

=

−

= −

=

(54)

Com qualquer série

Σ

a

_nassociamos duas

sequências:

A sequência {s_n} de suas somas parciais A sequência {a_n} de seus termos

(55)

Se Σ a_né convergente, então

O limite da sequência {s_n} é s (a soma da série). O limite da sequência {a_n}, como o Teorema 6

afirma, é 0.

(56)

A recíproca do Teorema 6 não é verdadeira em geral.

Se , não podemos concluir que Σ a_n é convergente.

lim _n 0

n→∞ a =

(57)

Observe que, para a série harmônica Σ 1/n, temos a_n= 1/n → 0 quando n → ∞.

Mas mostramos no Exemplo 7 que Σ 1/n é divergente.

(58)

Se

não existir ou se

,

então a série

é

divergente.

lim

_n n→∞

a

lim

n→∞

a

n

≠

0

1 n n

a

∞ =

∑

(59)

O Teste para Divergência vem do Teorema 6, porque, se a série não for divergente, ela é

convergente e, assim .lim _n 0

n→∞ a = TESTE PARA DIVERGÊNCIA

(60)

Mostre que a série diverge.

=

Desse modo, a série diverge pelo Teste para Divergência. 2 2 1

5

4

n

∞ =

+

∑

EXEMPLO 8 2 2 2

1

1 lim

lim

0

5

4 5 4 /

5

n n n n

n

a

n

→∞ →∞

+

=

→∞

+

= ≠

(61)

Se descobrirmos que , saberemos que Σ a_né divergente.

Se acharmos que , não saberemos

nada sobre a convergência ou divergência

deΣ a_n. SÉRIES

lim

_n

0

n→∞

a

≠

lim

_n

0

n→∞

a

=

Observação 3

(62)

Lembre-se do aviso na Obs. 2:

Se , a série Σ a_n pode convergir ou divergir.

lim _n 0

n→∞ a =

(63)

Se Σ a_ne Σ b_nforem séries convergentes,

então também o serão as séries Σ ca_n(onde c é uma constante), Σ (a_n+ b_n), e Σ (a_n– b_n), e

(

)

1 1 i. ii. n n n n n n n n ca c a a b a b ∞ ∞ = = ∞ ∞ ∞ = + = +

∑

∑ ∑

SÉRIES Teorema 8

(64)

Essas propriedades de séries convergentes vêm das Propriedades do Limite para

Sequências Convergentes na Seção 11.1. Por exemplo, aqui está como a parte (ii) do Teorema 8 é demonstrada a seguir.

(65)

Seja 1 1 1 1 n n i n i n n n i n i n

s

a

s

a

t

b

t

b

∞ = = ∞ = =

=

∑

TEOREMA 8 ii—DEMONSTRAÇÃO

(66)

A n-ésima soma parcial para a série Σ (a_n+ b_n) é:

(

)

1 n n _i i i

u

a

b

=

∑

+

(67)

Usando a Equação 5.2.10, no Volume I, temos:

(

)

1 1 1

lim

n n i i n n i n n i i n i i n n

u

a

b

a

b

a

b

→∞ →∞ ₌ →∞ ₌ ₌

=

+

⎛

⎞

=

_⎜

+

_⎟

⎝

⎠

=

+

∑

∑ ∑

∑

(68)

Portanto, Σ

(a

_n

+ b

_n

)

é convergente e sua soma é:

(

)

1 1 1 n n n n n n n

a

b

s t

a

b

∞ = ∞ ∞ = =

+

= +

=

+

∑

∑ ∑

(69)

Calcule a soma da série

A série Σ 1/2n is é uma série geométrica com

a = ½ e r = ½. Assim, 1

3

1 (

1)

2

n n

∞ =

⎛

⎞

+

⎜

₊

⎟

⎝

⎠

∑

SÉRIES EXEMPLO 9 1

1

∞

=

∑

(70)

No Exemplo 6 encontramos que:

Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e

1 1 1 3 1 1 1 3 ( 1) 2 ( 1) 2 3 1 1 n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ = = = ⎛ ⎞ + = + ⎜ ₊ ⎟ ₊ ⎝ ⎠ = ⋅ +

∑

SÉRIES 1 1 1 ( 1) n n n ∞ = = +

∑

EXEMPLO 9

(71)

Um número finito de termos não afeta a

convergência ou divergência de uma série.

(72)

Por exemplo: suponha que possamos mostrar

que a série é convergente.

Como

segue que a série inteira é convergente. 3 4 1 n n n ∞ = +

∑

3 3 1 4 1 2 3 1 2 9 28 1 n n n n n n ∞ ∞ = = = + + + + +

∑

3 1 1 n n n ∞ = +

∑

SÉRIES Observação 4

(73)

Analogamente, se soubermos que a série converge, então a série completa:

também é convergente. 1 n n N a ∞ = +

∑

1 1 1 N n n n n n n N

a

∞ ∞ = = = +

=

+

∑ ∑

∑

SÉRIES Observação 4