Estimação de Populações Municipais Utilizando Modelos Espaciais

Estimação de Populações Municipais Utilizando Modelos Espaciais

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Debora Ferreira de Souza♣ Fernando Antônio da Silva Moura♦ Hélio dos Santos Migon•

Palavras-chave: Estimação em pequenas áreas, previsão populacional, modelos hierárquicos, modelos espaciais.

Resumo

A demanda crescente por informações detalhadas e atualizadas, sobretudo para pequenas áreas geográficas, tais como municípios, tornou necessária a obtenção de estimativas que atendam às necessidades de pesquisa e de planejamento, apresentando boa precisão.

Neste trabalho, um modelo hierárquico espacialmente estruturado com curva de crescimento exponencial foi aplicado ao problema de estimação em pequenas áreas. O principal objetivo era aumentar a precisão das estimativas fornecidas pelo estimador derivado do plano amostral da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD), bem como obter estimativas populacionais para os municípios não selecionados pela pesquisa nos anos intercensitários. O modelo proposto combina os dados dos Censos Demográficos de 1991 e 2000, da Contagem Populacional de 1996 e da PNAD entre 1992 e 1999.

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Trabalho apresentado no XV Encontro Nacional de Estudos Populacionais, ABEP, realizado em Caxambú- MG – Brasil, de 18 a 22 de Setembro de 2006. ♣ COMEQ/DPE/IBGE – deborasouza@ibge.gov.br. ♦ DME/IM/UFRJ – fmoura@im.ufrj.br. • DME/IM/UFRJ – migon@im.ufrj.br.

Estimação de Populações Municipais Utilizando Modelos Espaciais

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Debora Ferreira de Souza♣ Fernando Antônio da Silva Moura♦ Hélio dos Santos Migon•

1. Introdução

O termo pequenas áreas é freqüentemente utilizado para denominar áreas geográficas pequenas, tais como municípios, distritos e bairros. Entretanto, pode ser utilizado para descrever um pequeno domínio, o qual é o resultado da classificação cruzada de duas ou mais variáveis, como por exemplo, uma subpopulação obtida a partir da seleção de pessoas do sexo feminino com idades entre 15 e 49 anos. Nos últimos anos, vem crescendo a demanda por informações estatísticas populacionais detalhadas e atualizadas, sobretudo para pequenas áreas geográficas, tais como municípios. Essas informações subsidiam a implementação de políticas públicas regionalizadas, na medida em que permitem a identificação de áreas menos desenvolvidas.

As informações para pequenas áreas podem ser obtidas a partir de censos e enumerações populacionais nessas áreas, com a população sendo inteiramente investigada, ou através de pesquisas por amostragem. Nas últimas décadas, as pesquisas por amostragem com múltiplos propósitos tomaram grande impulso por apresentarem menor custo em relação aos censos e contagens, além de possibilitarem a obtenção de informações de interesse com periodicidade menor que a dos censos. No entanto, essas pesquisas são, em sua maioria, de âmbito nacional e os tamanhos de amostras nas pequenas áreas são reduzidos, sendo que para algumas, nem mesmo há unidades amostrais. Dessa forma, não é possível obter estimativas com boa precisão a partir de estimadores diretos, baseados unicamente no desenho da amostra. O procedimento comum adotado é a produção de estatísticas para níveis geográficos maiores formados por agregações das pequenas áreas. Um exemplo de pesquisa por amostragem de múltiplos propósitos é a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD), realizada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

No caso específico da obtenção de estimativas das populações das pequenas áreas, são realizadas projeções populacionais em que é feita a projeção para uma área maior, considerando sua evolução populacional com base em hipóteses sobre a natalidade, a mortalidade e a migração e, depois, o resultado é repartido de alguma forma entre as pequenas áreas. Isso é feito pelo método de relação de coortes (Duchesne, 1987), por exemplo. Algumas técnicas de projeção caracterizam-se por não apresentar o erro das estimativas, como no método dos coeficientes (IBGE, 2002).

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Trabalho apresentado no XIV Encontro Nacional de Estudos Populacionais, ABEP, realizado em Caxambú- MG – Brasil, de 23- 28 de Setembro de 2006. ♣ COMEQ/DPE/IBGE – deborasouza@ibge.gov.br. ♦ DME/IM/UFRJ – fmoura@im.ufrj.br. • DME/IM/UFRJ – migon@im.ufrj.br.

Assim, destacam-se duas questões importantes ao considerarmos o problema de estimação em pequenas áreas: a primeira diz respeito a como produzir estimativas confiáveis das características de interesse investigadas, baseando-se na informação proveniente de amostras muito pequenas obtidas a partir das pequenas áreas ou pequenos domínios; a segunda está relacionada a como obter o erro de estimação. Com raras exceções, o desenho e o tamanho da amostra são escolhidos de maneira que a amostra forneça estimativas com boa precisão para níveis geográficos maiores, formados pela agregação das pequenas áreas, ou para grupos demográficos mais amplos, optando-se, como exemplo, por não apresentar estimativas por faixas de idade, mas sim para o agregado. Existindo somente uma amostra pequena para uma particular área, uma solução possível para o problema de estimação é pedir emprestada informação de outros dados relacionados, tais como: dados obtidos para a característica de interesse em outras áreas consideradas "similares" à área em questão e dados obtidos para a característica em ocasiões anteriores (Pfeffermann, 2002).

Os fatos apresentados fizeram com que crescessem na literatura as propostas de técnicas baseadas em estimadores indiretos onde ocorre a troca de informação entre as áreas na tentativa de elevar o tamanho efetivo das amostras e, por conseqüência, aumentar a precisão das estimativas. A estimação baseada em modelos destaca-se entre as alternativas propostas. Em Pfeffermann (2002), encontra-se uma revisão dos principais estimadores e modelos que apareceram recentemente na literatura relacionados ao problema de estimação em pequenas áreas, utilizando dados obtidos a partir de pesquisas por amostragem.

O objetivo deste trabalho é obter as estimativas dos tamanhos populacionais dos municípios incluídos na amostra da PNAD, combinando os dados da pesquisa com aqueles fornecidos pelos censos, de forma a corrigir os valores estimados através do estimador direto derivado do plano amostral. Para tal, foi proposto um modelo hierárquico com estrutura espacial, pois acreditava-se que este poderia apresentar boa performance ao permitir a troca de informações entre as diversas áreas, compensando o tamanho de amostra reduzido e diminuindo o erro das estimativas. Além disso, o método proposto estima as populações dos municípios não selecionados para a amostra da PNAD. Para descrever o comportamento das populações municipais no tempo foi acrescida ao modelo uma curva de crescimento exponencial que guarda uma correspondência com os modelos dinâmicos descritos em West e Harrison (1997). Como pode ser visto na subseção 3.1, o uso das curvas de crescimento exponencial evita a transformação dos dados, tornando a interpretação mais simples.

Toda a análise foi realizada sob abordagem Bayesiana. Esperava-se que as estimativas das populações municipais produzidas pelo uso do modelo espacial fossem mais precisas que aquelas fornecidas pelo estimador direto. Na aplicação, foi utilizada a densidade populacional dos municípios do Estado de São Paulo. O uso da densidade foi uma forma de tornar mais similares os parâmetros das curvas de crescimento exponencial de cada município.

Na seção 2, são descritos os principais aspectos da PNAD. Na seção 3, é apresentado o modelo hierárquico com curva de crescimento exponencial e estrutura espacial. Nas seções 4 e 5, são apresentados os resultados e as conclusões, respectivamente.

2. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD

A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD) é realizada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e tem como finalidade a produção de informações básicas para o estudo do desenvolvimento socioeconômico do país. A unidade de investigação da PNAD é o domicílio, onde são investigadas características socioeconômicas, como por exemplo, população residente, por faixa etária e sexo, educação, trabalho, rendimento e habitação dentre outros temas. A vantagem de realizar pesquisas domiciliares, como a PNAD, é a obtenção de informações mais atualizadas sobre a população em períodos intercensitários. Uma desvantagem é a possibilidade do surgimento de problemas de representatividade e erros de estimação elevados decorrentes do tamanho reduzido das amostras e da falta de cobertura de algumas áreas.

A pesquisa não é realizada em anos de censos e não foi realizada no ano de 1994. A amostra de domicílios da PNAD é obtida em três estágios de seleção, considerando os municípios como unidades primárias, os setores censitários como unidades secundárias e os domicílios como unidades terciárias. Além disso, o plano amostral da PNAD é autoponderado, ou seja, a probabilidade de que uma unidade pertença à amostra é constante e igual à fração de amostragem geral de um dado nível geográfico.

No primeiro estágio de seleção, os municípios ou unidades primárias são classificados em representativos, probabilidade um de pertencer à amostra, e não auto-representativos, em cada unidade da federação. Os municípios das regiões metropolitanas, os das capitais e aqueles cuja população ultrapassa a metade do tamanho médio do estrato constituem o grupo dos municípios auto-representativos. Os demais municípios constituem o grupo dos não auto-representativos, passando por um processo de estratificação. Em cada estrato, os são municípios selecionados com probabilidade proporcional à população residente obtida no último Censo Demográfico. Mais detalhes em Bianchini e Albieri (2003).

As unidades secundárias são selecionadas em cada município pertencente à amostra, com reposição e probabilidade proporcional ao tamanho, utilizando como medida de tamanho o número de domicílios existentes no setor na ocasião do último Censo Demográfico realizado.

Finalmente, no terceiro estágio de seleção, são selecionadas as unidades domiciliares, em cada setor incluído na amostra, com probabilidades iguais, sistematicamente, a partir de uma listagem obtida ao início de cada realização da pesquisa, a fim de se manter atualizado o cadastro de domicílios e por conseqüência o tamanho do setor.

Nas pesquisas realizadas em uma mesma década, são mantidos na amostra os mesmos municípios e setores, enquanto as unidades domiciliares são renovadas anualmente. Como o intervalo de seleção de domicílios é fixo devido à autoponderação da amostra, o número de domicílios selecionados pode variar de ano para ano, dependendo do tamanho atualizado do setor, dado pela operação de listagem. Paralelamente à operação de listagem, realiza-se o Cadastro de Novas Construções, preparado de forma a conter os projetos que provocaram sérias alterações no tamanho dos setores. Uma área de novas construções é tratada em separado no momento da seleção de domicílios.

O processo de estimação adotado pelo IBGE para a PNAD é baseado em estimação de razão e pode ser visto com mais detalhes em Bianchini e Albieri (2003). As regiões

metropolitanas formam o nível mais desagregado para o qual o IBGE considera que as estimativas fornecidas possuem boa precisão.

Neste trabalho, para se obter uma estimativa de população municipal nos períodos intercensitários foi realizada a expansão da amostra da PNAD, para os municípios selecionados, utilizando-se um estimador derivado diretamente do plano amostral da pesquisa. O estimador utilizado é apresentado em Klein e Moura (1998). Para entender o processo de expansão, considere a seguinte notação:

• Yˆdo estimador do total da população do domínio geográfico d;

• Hd número de estratos no domínio geográfico d;

• ld número de municípios selecionados no h-ésimo estrato;

• Phi probabilidade de seleção do i-ésimo município do h-ésimo estrato;

• mhi número de setores selecionados no i-ésimo município do h-ésimo estrato;

• Phij probabilidade de seleção do j-ésimo setor do i-ésimo município do h-ésimo

estrato;

• Nhij número de domicílios particulares no j-ésimo setor do i-ésimo município do

h-ésimo estrato;

• nhij número de domicílios entrevistados no j-ésimo setor do i-ésimo município do

h-ésimo estrato;

• yhijk total de moradores no k-ésimo domicílio entrevistado do j-ésimo setor do i-ésimo

município do h-ésimo estrato;

O total populacional no domínio d é estimado por

∑

∑

∑

∑

= = = = = d h hi hij n k hijk m j hij hij hij l i hi hi H h d y P n N P m h Y 1 1 1 1 1 1 ˆ ₍₁₎

A variância de Yˆ_d pode ser obtida pela equação Vˆ(Yˆ_d)=Vˆ₁ +Vˆ₂, onde

(

)

2 1 ~ 1 ˆ ˆ 1 1 ˆ

∑

∑

= ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = h d l i h hi hi A h h h Y P Y l l V e

(

)

2 1 2 ˆ ˆ 1 1 ˆ

∑

∑

= ∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = hi d m j hi hij hij A hi hi hi Y P Y m m V

com Ad municípios auto-representativos pertencentes ao domínio de interesse d, Ad

~

estratos formados por municípios não auto-representativos pertencentes ao domínio de interesse d e,

∑

= = lh i hi hi h h P Y l Y 1 ˆ 1 ˆ _,

∑

= = mhi i hij hij hi hi P Y m Y 1 ˆ 1 ˆ _,

∑

= = hij n k hijk hij hij hij y n N Y 1 ˆ _.

3. Apresentação do Modelo

Como visto na seção 1, o problema de estimação em pequenas áreas vem recebendo atenção cada vez maior de pesquisadores, com o objetivo de aumentar a precisão das estimativas, e, por conseqüência, melhorar sua qualidade, possibilitando que sirvam de base para a tomada de decisão. Este trabalho se insere neste contexto, também utilizando modelos e dados obtidos a partir de pesquisa por amostragem para estimação em pequenas áreas, sendo que a variável de interesse é o tamanho populacional da pequena área. No que segue, o município é tratado como pequena área e ambos os termos passam a ter o mesmo significado.

A PNAD é uma pesquisa por amostragem que se constitui numa valiosa fonte de dados, sendo capaz de atualizar as informações populacionais mais rapidamente que os censos, uma vez que estes são realizados com periodicidade decenal, enquanto a pesquisa ocorre anualmente, exceto em anos censitários. No entanto, a pesquisa tem um plano amostral que determina a seleção de pequenas áreas, o que impossibilita a obtenção direta das estimativas para as áreas que não foram selecionadas para a amostra. Além disso, os tamanhos de amostras de segundo e terceiro estágios dentro das áreas selecionadas não são suficientemente grandes para que as estimativas obtidas através de estimador derivado diretamente do plano amostral apresentem precisão aceitável no nível de municípios. Na prática, os dados da PNAD não são utilizados para estimar as populações municipais. As estimativas de tamanhos populacionais das pequenas áreas são obtidas a partir de alguma técnica de projeção. As projeções são realizadas primeiro para um nível geográfico maior, formado por agregação das pequenas áreas, e depois para as áreas menores. Essas técnicas de projeção fornecem estimativas pontuais sem informações sobre o erro associado, fazendo uso apenas dos dados de censos recentes.

O objetivo deste trabalho é mostrar que é possível obter estimativas de populações municipais com precisão aceitável, combinando as informações de duas importantes fontes de dados: o censo e a PNAD. A técnica aqui empregada corrige as estimativas fornecidas pelo estimador derivado do plano amostral para os municípios selecionados pela PNAD e possibilita a obtenção de estimativas das populações dos municípios não selecionados nos períodos intercensitários. Outro aspecto importante é que o método permite avaliar a precisão das estimativas. O modelo proposto relaciona as diversas áreas, levando em conta seu comportamento no tempo. O método é semelhante àqueles mencionados na seção 1, no sentido de fazer uso de modelos que permitem a troca de informações entre as áreas na tentativa de aumentar a precisão das estimativas.

Modelos hierárquicos possibilitam descrever relações entre as áreas, explorando suas similaridades e aumentando a precisão das estimativas. O uso de modelos hierárquicos se encaixa em situações em que a população de interesse apresenta uma estrutura hierárquica que, no caso dos dados de população aqui utilizados, aparece no nível de município. Exemplos de dados com estrutura hierárquica podem ser vistos em Goldstein (1995).

Os municípios do Estado de São Paulo formam a base de dados do estudo. Em anos censitários, dispomos dos tamanhos e das densidades populacionais de todos os seus m municípios. No período entre censos, é possível obter as estimativas dos tamanhos populacionais dos k municípios (k<m) selecionados para a amostra de primeiro estágio da PNAD através de adaptação do estimador de Klein e Moura (1998), derivado diretamente do plano amostral da pesquisa e mostrado na equação (1) da seção 2. As estimativas dessas k pequenas áreas calculadas, dessa forma, caracterizam-se por apresentar baixa precisão. No entanto, o que se espera é que as informações da PNAD combinadas com o censo, somadas

ao uso do modelo hierárquico possam promover uma correção nos dados de forma que o erro de estimação seja reduzido. As densidades populacionais foram calculadas, dividindo-se os totais populacionais estimados dos municípios por suas respectivas áreas geográficas. Assim, temos, no total, n pontos de tempo, representando os dados dos censos e da PNAD. As densidades demográficas são utilizadas em vez das populações para aumentar a similaridade entre os parâmetros do modelo.

Então denote por yij a densidade observada (quando censo) ou estimada (quando

PNAD) da pequena área i no tempo j e por πij e μij os verdadeiros valores da densidade e da

população, para i=1,...,m e j=1,...,n. O interesse é fazer inferência sobre as populações μij de

todos os m municípios a partir de πij.

Adota-se abordagem Bayesiana, sob a qual as previsões são descritas através de distribuições de probabilidade, propiciando ao tomador de decisão ou ao usuário das previsões examinar as incertezas envolvidas.

O modelo trabalhado nas próximas seções é um modelo hierárquico com curva de crescimento exponencial para πij e espacialmente estruturado. Para as variáveis aleatórias yij,

supõe-se distribuição normal com média πij e variância σij2. Antes da descrição do modelo é

apresentada a família exponencial modificada de curvas. 3.1. Família exponencial modificada de curvas

Considere que as observações obtidas a partir de um processo yt são modeladas a

partir de uma distribuição de probabilidade na família exponencial com função resposta média

(

t t

)

t E y θ

μ = |

onde θt é um vetor de parâmetros.

Uma ampla classe de modelos de crescimento exponencial, caracterizados pela parametrização (α, β, γ, φ) é definida como

( )

[

_{α β γ}

]

φ

μ 1/

exp t

t = + (2)

Alguns casos especiais e bem conhecidos na literatura são: (a) Logística: para φ =−1, μt

[

α βexp

( )

γt

]

1 = + −

;

(b) Gompertz: para φ =0, define-se (2) como log(μt)=

[

α +βexp

( )

γt

]

;

(c) Exponencial modificada: para φ =1, μt =

[

α+βexp

( )

γt

]

.

A principal vantagem de utilizar (2), é a possibilidade de manter as medições yt na

escala original, transformando apenas a trajetória de μt, o que torna a interpretação mais

simples. Além disso, os intervalos de tempo não precisam ser igualmente espaçados, permitindo que se trabalhe com dados provenientes de pesquisas com datas de referência distintas através de uma codificação da variável t. Quando ϕ=exp(γ)<1, é caracterizado um

processo não explosivo, significando que μt converge para α1/φ quando t→∞, com a

convenção de que, para φ=0, aquela quantidade será igual a log(α). Quando ϕ>1, as curvas

são côncavas para φ≥0 e β>0, caracterizando um processo explosivo. A expressão (2) é

não-linear nos parâmetros quando ϕ é desconhecido para qualquer valor de φ. Esta classe é chamada de modelos de crescimento exponencial generalizado e sua correspondência com os modelos dinâmicos lineares pode ser vista em Migon e Gamerman (1993).

3.2. Modelo hierárquico de crescimento exponencial espacialmente estruturado Dados hierarquizados aparecem em diversas situações, tais como em ciências sociais, onde as medições de uma dada variável de interesse são realizadas em diferentes níveis de agregação, como, por exemplo, de acordo com o local de residência, com o grupo social ou com a raça de um indivíduo. Modelos hierárquicos proporcionam uma forma de compartilhar a informação entre diferentes grupos, sem a necessidade de supor que estes pertençam a uma mesma população. No caso dos dados populacionais, as densidades nos n períodos de tempo aparecem por município. Se a densidade no tempo inicial e o seu crescimento forem similares entre as áreas, podemos supor um modelo hierárquico para estes parâmetros. Nesta subseção, propõe-se um modelo hierárquico espacialmente estruturado, denominado ao longo do texto de modelo espacial. A estrutura de vizinhança está representada na distribuição a priori conjunta dos efeitos espaciais. Aqui, são consideradas vizinhas, áreas contíguas, ou seja, áreas que compartilham um limite comum.

Então, suponha que yij, a densidade observada do município i, i=1,...,m, no tempo j, j=1,...,n possa ser modelada segundo o modelo hierárquico (3):

ij ij ij y =π +ε , εij ~N

(

0,σij2

)

( )

{

}

φ π 1/ exp _{i j} i i ij = a +b ct ai i a =α +ξ bi i b =β +ξ ci i c =γ +ξ ξ_ci ~N

( )

0,τ_c2 (3)

No modelo definido em (3), para prever a densidade de uma pequena área particular, são utilizadas as informações das áreas vizinhas.

Nos censos demográficos, apesar do objetivo ser investigar inteiramente a população, ocorrem omissões ou inclusões indevidas que se constituem no erro de cobertura. Então faz sentido, para anos censitários, considerar o valor observado como sendo igual à população verdadeira mais um erro, da forma que está descrito na primeira equação do modelo. Por sua vez, a PNAD é uma pesquisa por amostragem e, portanto, εij representa a principal

componente do erro de estimação. Além disso, assume-se que a função média πij seja dada

por uma curva de crescimento exponencial. A curva de crescimento permite que ocorra tanto crescimento quanto decréscimo de densidade e, portanto de população. As fontes de dados trabalhadas possuem datas de referência diferenciadas e não são igualmente espaçadas. Neste caso, a utilização da curva de crescimento exponencial constitui-se numa vantagem, já que é possível fazer uma simples codificação do tempo para compatibilizar as datas, como pode ser visto na seção 4.

Supondo que a função média, πij, é não explosiva, o parâmetro αφ pode ser

interpretado como o ponto de estabilização populacional. Os parâmetros β e γ controlam o crescimento da densidade. As distribuições a priori de α, β e γ podem ser escolhidas aproveitando-se algum conhecimento da demografia.

Neste trabalho, faz-se uso de um modelo de crescimento exponencial em que φ=1, ou seja, a média do processo yij é dada por uma curva do tipo exponencial modificada. No

modelo (3), quando t=0, a média da população inicial do município i é dada por ai+bi. O

crescimento do município i no tempo é dado por exp(ci), que juntamente com bi, constitui um

fator de acréscimo ou de redução populacional. A hierarquia em a e b mostra que, em média, a população inicial dos municípios é α+β, sofrendo deslocamento devido aos efeitos de município ξai e ξbi, que sofre influência apenas de seus vizinhos. Considerar ci hierárquico

equivale a dizer que os municípios experimentam crescimentos populacionais diferenciados, mas similares, dependendo de um efeito ξci. Como os ci's são desconhecidos, no modelo (3), a

função média é não linear. A distribuição a priori de τc2 foi considerada tal que: τc-2∼G(αc,βc), onde G(a,b) denota a distribuição Gama de parâmetros a, escala e b, forma. As

distribuições a priori de ξai e ξbi foram consideradas da mesma forma que em Molliè (1996) para acomodar a estrutura de vizinhança, possuindo variâncias τda-2 _{e τdb}-2

, respectivamente. 3.3. Modelagem da variância das observações

Como neste trabalho são utilizados os dados de duas pesquisas com diferentes tipos de erros, uma abordagem é a consideração das variâncias das observações como sendo diferentes entre os anos. Ainda, as variâncias podem ser tratadas como distintas entre as pequenas áreas.

Então é proposta uma equação para modelagem das variâncias das observações tal que:

( )

ij 0 1fi

2

logσ =η +η , se no ano j utiliza-se o dado da PNAD, onde fi é a fração amostral

de setores da pequena área i, sendo dada por ni/Ni, com ni e Ni representando,

respectivamente, o número de setores selecionados pela PNAD e o número total de setores no município; e log(σij2

)=log(varcij) onde varcij é a variância do censo no município i no tempo j, calculada em função do erro de cobertura do censo, considerado como sendo de 5% para

todos os municípios.

Então a verdadeira população (e também a densidade, sob a hipótese de que a extensão territorial do município permanece inalterada no período em estudo) estaria localizada no intervalo dado pela população observada no censo mais ou menos 5% de seu valor. Uma estimativa do desvio padrão é a diferença entre o extremo superior do intervalo menos a população observada, dividindo-se a diferença por dois. A variância da densidade é então obtida, dividindo-se a variância da população pelo quadrado da área geográfica do município. Estabelecer variâncias conhecidas nos anos de censos é uma forma de dar mais peso a suas observações, uma vez que se espera que um censo produza informações mais confiáveis para pequenas áreas que uma pesquisa por amostragem. As distribuições a priori dos parâmetros η0 e η1 foram tais que η0∼N(μη0, ϕη0) e η1∼N(μη1, ϕη1). O esperado é que a variância se reduza com o aumento do tamanho da amostra de segundo estágio, ou seja, de setores.

4. Aplicação

4.1. Descrição dos dados

Os dados disponíveis são as populações de todos os municípios do Estado de São Paulo apuradas pelos censos demográficos de 1991 e de 2000 e pela contagem populacional de 1996. Nos períodos entre censos, dispõe-se das populações estimadas dos municípios selecionados para a amostra de primeiro estágio da PNAD. A estimação das populações municipais foi feita utilizando-se o estimador descrito em (1), que leva em conta somente o desenho amostral. Os dados da PNAD de 1992 a 1999 foram utilizados nesta aplicação, excetuando-se o ano de 1994, para o qual a pesquisa não foi realizada. Ao longo do período, houve modificações na malha municipal do estado, ocorrendo criação de novos municípios a partir de alguns existentes. Esse fato levou à decisão de converter os dados seguindo a base territorial vigente em 1991. Com essa base, tem-se ao todo 572 municípios, sendo que 111 foram selecionados pela PNAD na década de 90. O objetivo é estimar as populações dos municípios não selecionados pela pesquisa nos períodos intercensitários, bem como reduzir os erros de estimação daqueles que foram selecionados cujas estimativas foram obtidas com base no estimador derivado do desenho amostral. A figura 1 mostra os municípios selecionados pela PNAD segundo sua classificação no processo de amostragem: metropolitanos, auto-representativos e não-auto-representativos.

Figura 1

Municípios selecionados pela PNAD no Estado de São Paulo segundo a classificação no processo de amostragem.

É importante lembrar que censo, contagem e PNAD possuem datas de referência diferentes e foi preciso compatibilizar estas datas. Para tal, codificou-se a variável tempo na curva de crescimento exponencial do modelo (3), considerando-se o censo de 1991 como sendo o tempo zero e um mes como 1/12 do ano. Assim, o valor da variável tempo numa dada pesquisa é igual ao tempo decorrido após a realização do censo de 1991. Por exemplo, para uma pesquisa realizada um ano e seis meses após o censo, o valor da variável tempo é igual a 1,5.

Trabalhou-se com a densidade populacional do município definida como a população dividida pela área, neste caso medida em km2. A densidade permite explorar melhor as similaridades dos municípios.

Os coeficientes de variação (c.v.) das populações estimadas foram calculados para os seis anos em que utiliza-se os dados da PNAD. A figura 2 mostra o boxplot dos coeficientes em cada um desses anos. Observa-se uma grande variabilidade dos coeficientes de variação entre os municípios e uma tendência de crescimento entre os anos a qual pode ser explicada pelo envelhecimento das medidas de tamanho dos setores e dos municípios utilizadas para definir as probabilidades de seleção (Menezes et al. 1991). Além disso, os valores elevados do c.v. demonstram a dificuldade de utilizar apenas o estimador derivado diretamente do plano amostral da pesquisa para estimar as populações das pequenas áreas.

Figura 2

Boxplot dos coeficientes de variação dos municípios

nos anos em que são utilizados os dados da PNAD.

A situação para o Estado como um todo é diferente daquela verificada para os municípios: os coeficientes de variação ficam entre 2,62% e 4,98%, revelando que o estimador direto fornece melhores resultados para níveis geográficos mais agregados.

Vale lembrar que a PNAD tem como domínio de divulgação os vinte e sete Estados Brasileiros e nove Regiões Metropolitanas, não havendo, portanto informações para municípios. As justificativas para não se disponibilizar os dados em nível municipal seriam a ausência de unidades amostrais para municípios não selecionados para a amostra e o erro grande nas estimativas daqueles que foram selecionados devido ao tamanho pequeno das amostras de segundo e terceiro estágios. Os modelos propostos neste trabalho são justamente uma tentativa de reduzir o erro das estimativas obtidas a partir do estimador derivado do plano amostral, fazendo uma correção dos dados disponíveis.

4.2. Aspectos computacionais

A distribuição a posteriori obtida sob o modelo (3) não é tratável, sendo necessário recorrer a métodos de simulação indireta, tais como os baseados em Markov Chain Monte

Carlo (MCMC), para gerar uma amostra de tal distribuição e fazer inferências com base na mesma. O pacote Winbugs versão 1.4 (Spiegelhalter, 2004) foi utilizado para gerar as amostras da posteriori. Uma amostra de 10000 observações foi gerada, sendo as últimas 5000 utilizadas para inferência.

Seja μij a população do i-ésimo município no tempo j. O processo seguinte resume

como se obtém uma observação da distribuição a posteriori de μij a partir de πij:

Gerar a_i(l), b , _i(l) c_i(l),α(l), β(l), γ(l), τda-2(l), τdb-2(l), c2 l()

−

τ , η₀(l) e η₁(l), l=1,..,M, com base nas distribuições condicionais completas, onde M é o número de iterações do Gibbs sampler; Calcular π_ij(l) =a_i(l) +b_i(l)exp

(

c_i(l)t_j

)

;

Calcular μ_ij(l)=π_ij(l)A_i, onde Ai é a área do município i.

Um aspecto importante no uso dos métodos MCMC para fazer inferências é garantir que as distribuições empíricas dos parâmetros tenham atingido equilíbrio. Para verificar a convergência dos parâmetros, podem ser utilizadas técnicas informais baseadas na observação do histograma, do traço e da autocorrelação dos dados da amostra gerada. Os critérios apresentados em Brooks e Gelman (1998) e Geweke (1992) também podem ser utilizados.

4.3. Resultados e Avaliação do modelo

Nesta subseção, são apresentados os resultados do ajuste do modelo (3) aos dados dos municípios selecionados pela PNAD. A estimativa pontual adotada para os parâmetros do modelo considerado foi a média a posteriori. Os valores estimados para os parâmetros do modelo (3) são apresentados na tabela 1. Os valores de η0 e η1 foram estimados como sendo, respectivamente, 11,770 e -9,379, significando que quanto maior a fração amostral de setores, menor será log(σij2) e, portanto, o mesmo acontece para σij2.

Tabela 1

Resumo da distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo. parâmetro média desvio

α -69,380 1,919 β 313,500 2,115 γ 0,007 0,001 η0 11,670 0,070 η1 -9,278 0,222 τc-2 868,300 67,590 τda-2 4,70E-07 2,89E-08 τdb-2 5,84E-04 8,24E-05

O interesse é fazer inferência sobre as populações municipais em cada ano representadas por μij. Sua distribuição a posteriori foi obtida pelo Gibbs sampler através da

inclusão do passo μ_ij(l) =π_ij(l)A_i. A média a posteriori de μij foi utilizada como estimativa

pontual da população municipal.

Como já foi mencionado anteriormente, o menor domínio de divulgação dos dados da PNAD é o nível de região metropolitana. Como forma de validar os resultados encontrados com o modelo (3), foram obtidas as estimativas da população da região metropolitana do estado de São Paulo a partir da aplicação desse modelo. O objetivo era compará-las aos resultados oficiais. A região metropolitana é formada pela agregação de um conjunto de municípios para os quais já obtivemos as estimativas dos tamanhos populacionais. Estamos interessados na distribuição a posteriori de D

r i ij | 1

∑

= μ , ou seja, A D r i i ij | 1

∑

= π , que é facilmente

obtida, acrescentando-se no algoritmo do Gibbs sampler o passo

∑

= = r i i l ij l j A 1 ) ( ) ( π θ onde θj

representa a população da região metropolitana no tempo j, r é o número de municípios pertencentes à região e D é o conjunto de toda informação disponível.

Na figura 3, temos o gráfico comparativo das estimativas da população da região metropolitana do Estado de São Paulo dadas pelo modelo (3) e pelo método de estimação utilizado pelo IBGE. A média a posteriori de θj é utilizada como estimativa pontual da

população da região metropolitana. As linhas cheias representam os limites do intervalo de 95% de credibilidade para a população θt, enquanto a linha tracejada é a média a posteriori.

O símbolo (+) representa a população calibrada e o que foi observado nos censos em 1991, 1996 e 2000. Claramente, os resultados obtidos pelo modelo proposto são bem próximos daqueles obtidos pelo método de calibração. As distâncias relativas em percentual entre as estimativas do modelo e as estatísticas oficiais aparecem no quadro 1. Na tabela 2, são apresentados os limites do intervalo de 95% de credibilidade, a média e o desvio a posteriori, em cada ano, o observado na contagem e nos censos e as populações divulgadas pela PNAD. Em anexo, são apresentadas as estimativas populacionais para um grupo de municípios.

Figura 3

Comparação entre as populações estimadas pelo modelo (3) e pela PNAD, mais as observadas nos censos e na contagem, para a região

metropolitana do Estado de São Paulo.

1992 1994 1996 1998 2000 15 000000 165 00000 1800 0000 ano popul aç ão estimativa IBGE limites 95% de credibilidade estimativa modelo

Tabela 2

Limites do intervalo de 95% de credibilidade, média e desvio a posteriori, em cada ano, valores observados na contagem e nos censos e populações estimadas pela PNAD para a região metropolitana do Estado de São Paulo.

ano lim. 2.5% pnad/censo média lim. 97.5% desvio

1991 15190000 15391795 15590000 15980000 201400 1992 15370000 15751523 15740000 16100000 187100 1993 15550000 15973940 15890000 16230000 173300 1995 15940000 16402029 16240000 16530000 150000 1996 16110000 16513474 16400000 16680000 146200 1997 16320000 16915433 16610000 16900000 151100 1998 16510000 17148046 16840000 17180000 170100 1999 16710000 17380475 17090000 17500000 204700 2000 16890000 17797364 17340000 17870000 249800 Quadro 1

Distâncias relativas entre as estatísticas oficiais e o previsto pelo método.

1991 1992 1993 1995 1996 1997 1998 1999 2000 1.29% 0.07% 0.53% 0.99% 0.69% 1.81% 1.80% 1.67% 2.57%

Na Figura 4, temos os gráficos de dois municípios: um selecionado para a amostra da PNAD e outro não. As populações estimadas pelo ajuste do modelo são comparadas com as projeções populacionais fornecidas pelo IBGE nos anos não censitários, com a contagem populacional e os censos demográficos. As projeções foram obtidas pela aplicação do método dos coeficientes (IBGE, 2002). As linhas cheias representam os limites do intervalo de credibilidade 95% para a população verdadeira μij obtida pelo modelo, enquanto a linha

tracejada é a média a posteriori. O símbolo (+) representa a população projetada nos anos não censitários e o que foi observado nos censos. É possível observar que o modelo consegue estimar os tamanhos populacionais bem próximos ao que foi projetado e ao que foi coletado pelos censos, que são informações oficiais, fornecendo o erro das estimativas, o qual não é calculado pelo método de projeção utilizado. Isso mostra que o modelo proposto foi capaz de corrigir os dados expandidos pelo desenho amostral, fornecendo o erro das estimativas, se aproximando das estatísticas oficiais. Na tabela 3, são apresentados os limites do intervalo de 95% de credibilidade, a média e o desvio a posteriori, em cada ano, o observado na contagem e nos censos e as populações divulgadas pela PNAD. A vantagem do modelo sobre as projeções populacionais é o fato de que este possibilita a obtenção do erro das estimativas.

Figura 4

Comparação entre as populações estimadas pelo modelo e as populações projetadas pelo método dos coeficientes, mais as observadas nos censos e na contagem, para os

municípios Cubatão e Várzea Paulista.

1992 1994 1996 1998 2000 85000 950 00 105000 ano popul aç ã o Cubatão 1992 1994 1996 1998 2000 65 000 75000 850 00 95000 ano popul aç ã o Várzea Paulista Tabela 3

Limites do intervalo de 95% de credibilidade, média e desvio a posteriori, em cada ano, valores observados na contagem e nos censos e populações projetadas para os

municípios Cubatão e Várzea Paulista

Cubatão Várzea Paulista

ano _lim. 2.5% projeção IBGE média a posteriori lim. 97.5% desvio lim. 2.5% projeção IBGE média a posteriori lim. 97.5% desvio 1991 84484 91136 91048 97555 3371 66115 68921 70980 75810 2453 1992 86830 91960 92650 98327 2982 67865 71042 72345 76755 2275 1993 89018 92870 94180 99328 2660 69615 73220 73745 77805 2104 1995 92979 94425 97383 101759 2265 73430 77078 77035 80605 1835 1996 94380 97257 98784 103175 2268 75005 78156 78575 82145 1817 1997 95767 99158 100515 105320 2438 76895 81304 80640 84420 1938 1998 96854 100767 102302 107751 2781 78540 83968 82915 87290 2255 1999 97869 102372 104133 110625 3265 79940 86626 85435 90790 2777 2000 98556 108309 105877 113428 3808 81270 92800 87990 94605 3429

5. Conclusão

Conclui-se que é possível a aplicação de modelos hierárquicos para a obtenção das estimativas de densidades ou de tamanhos populacionais de municípios, sendo possível obter o erro das estimativas, através da combinação das informações de diferentes fontes de dados. Ainda, as estimativas encontradas apresentam boa precisão, com valores próximos ao que é obtido por outras técnicas. Além disso, obtemos pelo modelo proposto, a distribuição de probabilidade da população μij do município i no tempo j, o que pode auxiliar na tomada de

decisão.

Ainda, a informação passada pode ser atualizada a cada entrada de novas observações, sejam elas provenientes do censo ou de uma estimativa da PNAD. O modelo hierárquico proposto permite que os dados da pesquisa sejam corrigidos, mesmo para níveis como o de município.

Uma lei de variância bem escolhida pode contribuir para a redução das variâncias das observações, representada por σij2 e para a convergência de parâmetros, como pode ser visto

em Souza (2004). A lei adotada neste trabalho considerava as variâncias do censo conhecidas. Uma alternativa mais realista seria adotar uma lei geral com todas as variâncias desconhecidas, mas que levasse em conta que as observações censitárias apresentam menor variabilidadde que aquelas provenientes de uma pesquisa por amostragem. No modelo dado por (3), podemos supor que a variância das observações, σij2, seja tal que σij2= kπijV onde kπij

é uma lei de variância que atribui pesos à variância de acordo com alterações no nível da série. Uma possibilidade é supor a variância como potência do nível, ou seja, tal que

p ij

ij Vπ

σ2 =

, para i=1,...,m e j=1,...,n, com base em West e Harrison (1997).

Referências

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Anexo - Previsões populacionais anuais para os municípios selecionados e não selecionados pela PNAD

mun. estatística 1991 1992 1993 1995 1996 1997 1998 1999 2000 lim. 2.5% 29575 30091 30541 31202 31326 31355 31293 31194 31041 proj./censo 32091 32085 32099 32106 32766 33044 33280 33514 33497 1 média 31999 32177 32342 32672 32813 32978 33147 33317 33470 lim. 97.5% 34382 34221 34139 34159 34320 34572 34932 35415 35877 desvio 1200 1100 920 760 760 820 930 1100 1200 lim. 2.5% 2802 2863 2916 3013 3049 3091 3123 3152 3176 proj./censo 3272 3230 3198 3132 3368 3394 3415 3437 3684 2 média 3228 3275 3319 3406 3441 3486 3528 3572 3612 lim. 97.5% 3661 3688 3720 3800 3836 3889 3939 3998 4051 desvio 220 210 210 200 200 200 210 220 220 lim. 2.5% 21532 22330 23023 24244 24667 25132 25555 25935 26244 proj./censo 23363 24008 24705 25909 26360 27422 28320 29217 28195 3 média 23422 24011 24558 25660 26125 26681 27237 27802 28315 lim. 97.5% 25303 25698 26092 27070 27560 28210 28909 29669 30410 desvio 970 860 790 720 740 780 860 960 1100 lim. 2.5% 6200 6319 6415 6561 6602 6632 6652 6655 6654 proj./censo 6692 6747 6798 6893 7171 7305 7418 7531 7131 4 média 6745 6801 6853 6957 7000 7053 7104 7157 7204 lim. 97.5% 7292 7287 7294 7357 7405 7469 7555 7655 7753 desvio 280 250 220 200 200 210 230 250 280 lim. 2.5% 10968 11520 12024 12954 13296 13674 14040 14382 14688 proj./censo 11966 12211 12374 12741 13542 14112 14594 15076 16190 5 média 11856 12300 12714 13584 13956 14412 14880 15360 15804 lim. 97.5% 12738 13068 13410 14214 14616 15126 15708 16320 16926 desvio 450 400 360 320 330 370 420 490 570 lim. 2.5% 4485 4755 5004 5494 5690 5926 6153 6363 6554 proj./censo 6049 3963 4024 4140 6935 4403 4475 4546 8278 6 média 5926 6186 6426 6908 7109 7350 7591 7833 8055 lim. 97.5% 7414 7659 7887 8347 8550 8802 9070 9330 9573 desvio 740 730 730 720 730 730 740 750 760 lim. 2.5% 1556 1591 1621 1674 1689 1702 1712 1717 1720 proj./censo 1697 1744 1791 1876 1720 1733 1744 1755 1883 7 média 1679 1698 1716 1753 1769 1788 1808 1828 1846 lim. 97.5% 1800 1805 1810 1834 1850 1874 1906 1943 1979 desvio 62 54 48 41 41 44 49 57 65 lim. 2.5% 28417 28994 29436 30184 30405 30638 30773 30896 30933 proj./censo 31706 32247 32797 33776 32892 31577 31802 32026 34263 8 média 31546 31865 32147 32724 32969 33264 33546 33841 34111 lim. 97.5% 34712 34773 34884 35313 35583 35927 36307 36798 37239 desvio 1600 1500 1400 1300 1300 1300 1400 1500 1600 lim. 2.5% 3152 3208 3252 3319 3341 3362 3376 3379 3379 proj./censo 3493 3449 3414 3343 3630 3658 3681 3704 3697 9 média 3488 3515 3539 3588 3608 3632 3656 3682 3703 lim. 97.5% 3824 3818 3824 3852 3872 3907 3946 3991 4037 desvio 170 160 150 130 130 140 150 160 170

mun. estatística 1991 1992 1993 1995 1996 1997 1998 1999 2000 lim. 2.5% 2662 2714 2758 2837 2863 2895 2926 2953 2973 proj./censo 3239 3323 3419 3580 3509 3578 3636 3694 3530 10 média 3246 3284 3319 3389 3417 3452 3487 3522 3554 lim. 97.5% 3848 3871 3899 3956 3985 4023 4064 4105 4143 desvio 300 290 290 290 290 290 290 300 300 lim. 2.5% 11523 11802 12034 12453 12611 12788 12927 13067 13169 proj./censo 13642 13733 13841 14019 13888 14004 14101 14199 15481 11 média 13373 13587 13783 14164 14331 14527 14722 14917 15094 lim. 97.5% 15261 15410 15559 15912 16080 16275 16517 16787 17010 desvio 960 920 900 880 880 890 920 950 980 lim. 2.5% 4086 4048 4007 3911 3866 3802 3726 3656 3582 proj./censo 4787 4733 4679 4581 4382 4308 4246 4184 4261 12 média 4724 4661 4603 4485 4434 4377 4316 4259 4204 lim. 97.5% 5388 5299 5219 5078 5034 4973 4922 4878 4839 desvio 330 320 310 300 300 300 300 310 320 lim. 2.5% 4258 4193 4135 3997 3939 3862 3779 3684 3595 proj./censo 5050 5001 4967 4893 4546 4493 4447 4402 4316 13 média 4988 4897 4817 4654 4588 4505 4425 4345 4269 lim. 97.5% 5710 5594 5492 5311 5245 5165 5100 5028 4966 desvio 370 350 350 330 330 330 340 340 350 lim. 2.5% 17478 18106 18658 19644 19980 20341 20653 20921 21153 proj./censo 18865 19195 19509 20087 21431 22333 23097 23858 22661 14 média 18974 19439 19869 20733 21094 21531 21969 22409 22815 lim. 97.5% 20490 20799 21101 21854 22225 22739 23280 23856 24432 desvio 770 680 620 560 570 610 670 750 840 lim. 2.5% 2625 2745 2847 3043 3115 3202 3277 3349 3412 proj./censo 3133 3091 3062 2998 3103 3051 3007 2963 4109 15 média 2973 3072 3163 3346 3423 3514 3606 3698 3784 lim. 97.5% 3319 3397 3479 3658 3735 3836 3940 4050 4159 desvio 180 170 160 160 160 160 170 180 190 lim. 2.5% 2292 2347 2391 2469 2496 2522 2542 2559 2570 proj./censo 2541 2510 2484 2432 2661 2681 2698 2716 2837 16 média 2526 2561 2593 2658 2685 2717 2751 2783 2813 lim. 97.5% 2764 2780 2798 2851 2878 2916 2961 3007 3056 desvio 120 110 100 97 98 100 110 120 120 lim. 2.5% 144988 148204 151286 157316 159326 161470 163346 164686 165758 proj./censo 153840 156610 159248 164102 167945 171462 174439 177409 182593 17 média 155708 157986 160130 164686 166830 169376 172190 175004 177818 lim. 97.5% 166160 167366 168572 172056 173932 177148 180900 185322 190146 desvio 5400 4900 4400 3800 3700 4000 4500 5300 6200 lim. 2.5% 18513 19592 20559 22419 23126 23920 24676 25395 26028 proj./censo 20067 20663 21220 22254 23993 24959 25777 26593 28287 18 média 20001 20906 21750 23510 24254 25184 26127 27094 27999 lim. 97.5% 21514 22221 22940 24577 25383 26437 27590 28780 29958 desvio 760 670 600 550 580 640 750 870 1000