PROBLEMAS DE CONTAGEM

(1)

PROBLEMAS DE CONTAGEM

QUESTÕES

SANDRO CURIÓ

(2)

Há muitos anos, grandes professores se juntaram e construíram um lar para acolher concurseiros de todo o Brasil. Naquela época, fomos inovadores, com metodologia diferenciada, didática e brincadeiras. Criamos muitas novidades, como pré-provas, questões comentadas em vídeo, assinatura de cursos – realmente quebramos muitos paradigmas.

Essa receita foi o que levou à aprovação de dezenas de milhares de alunos do Brasil todo, nos mais diferentes concursos.

Hoje, esses mesmos professores se juntaram para uma nova proposta, um novo formato. Muito mais condizente com os tempos atuais, onde as relações são virtuais. Entendemos que os cursos de hoje oferecem apenas aulas gravadas, sem foco, sem experiência, sem interação, sem emoção.

É com esse desafio que nasce o Concurseiro Live! Não é à toa que escolhemos um nome onde o concurseiro é o protagonista, e não apenas um mero espectador.

Temos a certeza de que, mais uma vez, vamos mudar a maneira de como se preparar para um concurso público, e o resultado disso será demonstrado como todos os demais – aprovando as primeiras colocações – dessa vez, no concurso do Banco do Brasil.

Vem com a gente?

@concurseirolive Concurseiro Live Concurseiro Live

(3)

Olá friend!

Sou Sandro Curió, professor de matemática e vou te contar um pouco da minha história.

Minha paixão pela matemáticacomeçou no Colégio Naval onde estudei por 3 anos e concluí o ensino médio.

Cheguei a fazer Escola Naval por 2 anos, mas o sonho de ser professor falou mais alto, foi onde decidi cursar licenciatura na UFF, onde me formei.

Em 2018 criei nas redes sociais o Dicas de Mat, com o objetivo de mudar a vida de muitos friends pelo Brasil.

Meu principal objetivoera desmistificar a matemática mostrando que ela pode ser aprendida de forma fácil e acessível a todos.

E assim surgiu o Método Curió, onde ensino com uma didática única, de fácil entendimento e rápida absorção. Conquistando a cada dia mais fãs que se identificam com a minha forma alegre de ensinar e evoluem aprendendo com o meu método inovador.

Sempre juntos rumo ao topo!

PROF. SANDRO CURIÓ

Onde me encontrar?

@dicasdemat Dicasdemat Sandro Curió

(4)

Essa é uma Apostila do Bem, para ter acesso a ela existe dois caminhos:

Por esse motivo, chamamos de apostila do bem! Você estuda com um material melhor do que os materiais que são vendidos como curso, pagando por ele o valor que desejar, e ainda ajuda alguém que possui dificuldades financeiras e quer mudar de vida!

Além disso, os primeiros 30 minutos de todas as nossas aulas são disponibilizados de graça em nosso canal do Youtube. Basta se inscrever, ativar o “sininho” e se preparar com a melhor equipe de professores!

Todos os nossos alunos que compraram o curso do Banco do Brasil têm acesso a todas as apostilas, disponíveis na plataforma e em nossos grupos de whats.

Você deverá escolher um valor qualquer, pode ser R$3,00, R$10,00 ou R$100,00. Isso mesmo, vocês escolhe o valor e faz o download da apostila em nosso site.

A cada R$100,00 arrecadados em doação de apostilas, iremos doar uma bolsa para um aluno que quer estudar, mas não tem condições financeiras.

Sendo aluno

Não aluno

Cursos Grátis

LINK QR CODE

30 minutos de Videoaulas

grátis

https://www.youtube.com/channel/

UCd7Dk9VvlvXZiD4z9cqV7AQ

Apostilas

do Bem https://concurseirolive.com.br/

(5)

PROBLEMAS DE CONTAGEM

QUESTÕES DE APOIO

1. Um auditório em forma de um salão circular dispõe de 6 portas, que podem ser utilizadas tanto como entrada ou para saída do salão. De quantos modos distintos uma pessoa que se encontra fora do auditório pode entrar e sair do mesmo, utilizando como porta de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar?

a) 6 b) 5 c) 12 d) 30 e) 36

2. Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de carne, 5 tipos de massa, 8 tipos de salada e 6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos escolher uma refeição composta por 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa?

a) 23 b) 24 c) 401 d) 572 e) 960

(6)

3. De acordo com o DETRAN de uma certa cidade, ainda estão disponíveis os prefixos de placa de automóveis com três letras, conforme modelo a seguir:

M

Se estiverem disponíveis para o 2º espaço as letras X, Y e Z, e para o 3º espaço as letras A, B, C, D, E, F, G e H, então o número de prefixos disponíveis para emplacamento é:

a) 18 b) 24 c) 28 d) 36 e) 60

4. A bandeira de um estado é formada por cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.

A B

D C E

Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam pintadas com a mesma cor.

O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, é

a) 1×2×1×1×2 b) 3×2×1×1×2 c) 3×2×1×1×3 d) 3×2×1×2×2 e) 3×2×2×2×2

(7)

CURSO PREPARATÓRIO | BANCO DO BRASIL 2021

5. A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é

a) 12 b) 31 c) 36 d) 63 e) 720

6. Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.

Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados apenas os números primos que aparecem no teclado?

a) 6 b) 24 c) 80 d) 120 e) 720

(8)

7. Cada um dos círculos da figura deverá ser pintado com uma cor, escolhida dentre três disponíveis.

Sabendo que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor, o número de formas de se pintar os círculos é

a) 72 b) 68 c) 60 d) 54 e) 48

8. Quantos números inteiros positivos pares, com três dígitos distintos, podemos formar com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7?

a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 42

9. Uma montadora de carros oferece a seus clientes as seguintes opções na montagem de um carro:

2 tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (manual ou automático), 6 cores (branco, preto, vermelho, azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples, intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras distintas pode-se montar esse carro?

a) 4 b) 13 c) 24 d) 36 e) 72

(9)

10. Para ir da cidade A para a cidade D, Álvaro obrigatoriamente passa pelas cidades B e C, nessa ordem.

Sabendo que existem cinco estradas diferentes de A para B, quatro estradas diferentes de B para C e três estradas diferentes de C para D, quantos trajetos diferentes existem de A para D?

a) 12 b) 15 c) 30 d) 60 e) 120

11. O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a:

a) 120 b) 240 c) 360 d) 540 e) 720

12. Newton possui 7 livros distintos, sendo 3 de Álgebra, 2 de Cálculo e 2 de Geometria. O número de maneiras diferentes que Newton pode organizar esses livros em uma estante, de forma que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos, é

a) 24 b) 36 c) 56 d) 72 e) 144

(10)

13. Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:

(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)

O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a:

a) 6 b) 90 c) 180 d) 720 e) 850

14. Três casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 6 poltronas de uma determinada fileira. O número de maneiras que essas 6 pessoas podem se acomodar nas 6 poltronas, sabendo que nenhum casal se separa é:

a) 12 b) 24 c) 48 d) 60 e) 120

15. Nos jogos escolares do sertão, dez equipes disputam um campeonato de queimado. Cada equipe enfrenta as demais uma única vez.

Quantos jogos compõem esse campeonato de queimado?

a) 10 b) 20 c) 45 d) 50 e) 100

(11)

16. Um supermercado está selecionando, entre 15 candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para desempenhar a função de “caixa”.

De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa escolha?

a) 5 b) 45 c) 215 d) 360 e) 455

17. Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007.

Um desses grupos está apresentado a seguir.

Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente.

Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a:

a) 24 b) 35 c) 70 d) 140 e) 180

(12)

Gabarito Comentado das Questões de Apoio:

Resposta da questão 1:

[D]

Princípio Fundamental da Contagem

 × =

entrar sair

6 5 30

[E]

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos: 4.5.8.6 = 960.

[B]

Com base no enunciado, pode-se deduzir:

M 3 possibilidades 8 possibilidades Logo, o número total de possibilidades de prefixos será de 3 8 24.⋅ =

[B]

Por ordem: a faixa A pode ser pintada por qualquer uma das três cores; a faixa B pode ser pintada por duas das três cores (pois é adjacente à A, que já foi pintada por alguma cor); a faixa C só pode ser pintada pela cor restante (pois é adjacente à A e B, que já foram pintadas pelas outras duas cores); a faixa D só pode ser pintada pela mesma cor da faixa B (pois é adjacente à A e C, que já foram pintadas pelas outras duas cores); por fim, a faixa E pode ser pintada pelas duas cores diferentes da faixa D, da qual é adjacente. Assim, o cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira é 3 2 1 1 2.× × × ×

(13)

[D]

Cada ponto pode ou não se destacar em relação aos demais. Logo, pelo Princípio Fundamental da contagem, há

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 2 2 64

conjuntos possíveis, sendo que em um deles nenhum dos pontos se destaca em relação aos demais. Portanto, o número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é

64 1 63.− =

[B]

Números primos do teclado: 2, 3, 5 e 7.

Número de senhas: 4.3.2.1 = 24.

[E]

Temos três possíveis cores para o primeiro círculo e duas para cada um dos demais.

[A]

Para a última casa decimal, temos 2 possibilidades (4 ou 6) já que o número é par. Como o número é formado por algarismos distintos temos 4 possibilidades para a primeira casa decimal e 3 possibilidades para a segunda casa decimal. Portanto, o total de números inteiros positivos que podemos formar será dada por:

⋅ ⋅ = 4 3 2 24.

(14)

[E]

O resultado será o produto do número de opções para cada item.

⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 6 3 72

[D]

Para saber a quantidade de caminhos diferentes basta multiplicar o número de estradas diferentes entre as cidades. Sabendo que entre A e B possui cinco estradas diferentes, de B para C quatro e de C para D três, temos:

= × × = trajetos 5 4 3 60

[E]

Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples:

= = =



P 6! 6.5.4.3.2.1 7206

VE _ _ _ _ _ _ AR

[E]

Tem-se P3 ⁼3! maneiras de dispor os três blocos de livros, P3 ⁼3! modos de organizar os livros de Álgebra, P2 ⁼2! maneiras de dispor os livros de Cálculo e P2 ⁼2! modos de dispor os livros de Geometria. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 3! 3! 2! 2! 144.^{⋅ ⋅ ⋅} ⁼

[B]

Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é dado por

(15)

[C]

3!.2!.2!.2! = 6.2.2.2= 48

[C]

Basta determinar o número de combinações simples de 10 elementos tomados dois a dois.

= =

10,2 10!⋅

C 45

2! 8!

[E]

A resposta corresponde ao número de combinações simples de 15 objetos tomados 3 a 3 ou seja,

 

= =

  ⋅

 

15 15! 455.

3 3! 12!

[B]

Você tem um combinação de 7 elementos, tomados 4 a 4:

C7,4 = 7!/(3!4!) = 35

(16)

QUESTÕES DA BANCA

QUESTÃO 1 – (CESGRANRIO - 2014 - EPE - Assistente Administrativo - Apoio Administrativo)

Mauro nasceu em 26/05/1984. Suponha que, ao criar uma senha de quatro dígitos, distintos ou não, Mauro resolva utilizar somente algarismos que compõem o dia e o ano de seu nascimento: 2, 6, 1, 9, 8 e 4. Quantas são as senhas possíveis nas quais o primeiro e o último dígitos são pares?

a) 64 b) 144 c) 256 d) 576 e) 864

QUESTÃO 2 – (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Técnico Administrativo)

Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto.

O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco.

De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?

a) 13 b) 14 c) 16 d) 17 e) 18

(17)

QUESTÃO 3 – (CESGRANRIO - 2012 - EPE - Assistente Administrativo)

Dois adultos e seis crianças aguardavam um táxi. Quando o táxi chegou, o motorista informou-lhes que o carro só pode transportar 5 pessoas e, portanto, só poderiam viajar ele, o motorista, e mais 4 passageiros. Os adultos decidiram que um deles embarcaria no táxi, levando consigo o maior número possível de crianças, e que o outro ficaria com as crianças restantes, aguardando outro táxi.

De quantos modos distintos é possível escolher os passageiros que embarcarão nesse táxi?

a) 12 b) 15 c) 20 d) 40 e) 70

QUESTÃO 4 – (CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Téc de Administração e Controle Júnior)

A vitrinista de uma loja de roupas femininas dispõe de 9 vestidos de modelos diferentes e deverá escolher 3 para serem exibidos na vitrine.

Quantas são as escolhas possíveis?

a) 84 b) 96 c) 168 d) 243 e) 504

QUESTÃO 5 – (CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Piloto de Helicóptero)

Solicitou-se que João criasse uma senha de segurança bancária formada por 5 dígitos, a serem tomados entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, de tal forma que o segundo dígito fosse par, o primeiro dígito fosse igual ao quarto dígito, e o terceiro dígito fosse igual ao quinto dígito. Seguindo tais critérios, quantas senhas distintas podem ser criadas por João?

a) 25 b) 27 c) 450 d) 500 e) 1.000

(18)

QUESTÃO 6 – (CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Inspetor de Segurança)

De um grupo de seis operadores de equipamentos de produção e refino de petróleo, quatro serão escolhidos para trabalhar na mesma equipe. De quantos modos distintos é possível escolher os operadores que integrarão esta equipe?

a) 15 b) 30 c) 60 d) 125 e) 360

QUESTÃO 7 – (CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás - Técnico de Administração e Controle Júnior)

Em um setor de uma empresa, trabalham 3 geólogos e 4 engenheiros. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com, pelo menos, 1 geólogo?

a) 28 b) 31 c) 36 d) 45 e) 60

QUESTÃO 8 – (CESGRANRIO - 2010 - Petrobras - Todos os Cargos - Conhecimentos Básicos)

Um treinador de futebol dispõe de 3 goleiros, 5 atacantes, 6 jogadores de meio de campo e 4 zagueiros para compor um time de 11 jogadores. Se o time será composto por 1 goleiro, 3 atacantes, 5 jogadores de meio de campo e 2 zagueiros, de quantos modos diferentes esse time poderá ser montado?

a) 25 b) 120 c) 360 d) 745 e) 1080

(19)

QUESTÃO 9 – (CESGRANRIO - 2008 - TJ-RO - Agente Judiciário – Informática)

Pedrinho precisava inventar uma bandeira para representar seu grupo em um trabalho escolar. Ele criou uma bandeira simples, de quatro listras verticais, representada abaixo.

Pedrinho decidiu pintar sua bandeira utilizando as quatro cores da bandeira do Estado de Rondônia. De quantos modos essa bandeira poderá ser pintada, se duas listras seguidas devem, obrigatoriamente, ser de cores diferentes?

a) 24 b) 48 c) 72 d) 96 e) 108

QUESTÃO 10 – (CESGRANRIO - 2008 - BR Distrib - Téc de Enfermagem do Trabalho Júnior)

Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?

a) 336 b) 392 c) 448 d) 556 e) 612

(20)

Gabarito das Questões da Banca:

1 – [D]

2 – [C]

3 – [D]

4 – [A]

5 – [D]

6 – [A]

7 – [B]

8 – [E]

9 – [E]

10 – [B]