Departamento de Matemática Pura
Programa ∆
Um programa ∆iferente para fazer a ∆iferen¸ca...
Fundamentos de Matemática
Combinatória e Algoritmos
Álgebra e Criptografia
20 de Janeiro de 2012
◮ Descri¸ c˜ ao e objectivos
O programa∆ consta de 3 cursos que, por ordem de lecciona¸c˜ao, s˜ao:
NCombinat´oria e Algoritmos NFundamentos de Matem´atica NAlgebra e Criptografia´
Cada curso tem 9 sess˜oes, de 2 horas por semana. O curso deCombinat´oria e Algoritmos´e oferecido no segundo semestre do primeiro ano da licenciatura, o curso deFundamentos de Matem´atica´e oferecido no primeiro semestre do segundo ano eAlgebra e Criptografia´ no segundo semestre do segundo ano.
Por forma a motivar os alunos, a complementar e a consolidar os conhecimentos, ser´a fomentado o trabalho individual em todos os cursos.
Este programa pretende dar uma forma¸c˜ao complementar em Matem´atica aos alunos de Engenharia Electrot´ecnica, focalizada nos seguintes objectivos:
◮ Apresentar uma abordagem mais conceptual, essencial a uma compreens˜ao mais precisa e profunda de algumas ferramentas e conhecimentos matem´aticos j´a adquiridos.
◮ Explorar duas ´areas da Matem´atica que tradicionalmente n˜ao fazem parte do elenco de disciplinas dos cursos de Engenharia, mas que hoje em dia revelam ser fundamentais na resolu¸c˜ao de problemas de v´arias ´areas, nomeadamente nas telecomunica¸c˜oes, na distribui¸c˜ao de tarefas nos mais variados contextos e em diversos sistemas de seguran¸ca.
Para al´em dos conhecimentos matem´aticos que se pretende transmitir, real¸camos o aspecto formativo aqui valorizado pela exposi¸c˜ao a novos tipos de racioc´ınio e a novas formas de organizar informa¸c˜ao.
Descri¸ c˜ ao sum´ aria dos cursos ◭
H Combinat´ oria e Algoritmos
A combinat´oria ´e um ramo da matem´atica pura que estuda os objectos discretos (em geral, mas n˜ao exclusivamente, finitos). Est´a relacionada com muitas outras ´areas da matem´atica como a ´algebra, a geometria e a teoria das probabilidades, bem como com ´areas aplicadas das ciˆencias da computa¸c˜ao.
Aspectos da combinat´oria incluemcontar objectos que satisfazem determinados crit´erios (combinat´oria enumerativa), decidir quando um dado crit´erio ´e verificado (combinat´oria existencial), construir e analisar objectos que cumprem um certo crit´erio (combinat´oria construtiva) e procuraro maiordeles (ouo menor, ouo ´optimo) (optimiza¸c˜ao combinat´oria), e tamb´em encontrar as estruturas alg´ebricas que estes objectos podem admitir (combinat´oria alg´ebrica).
adapta¸c˜ao e tradu¸c˜ao livres de http://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics O enorme crescimento da combinat´oria na segunda metade do s´ec. XX justifica-se em parte pelo grande impacto que os computadores tiveram, e continuam a ter, na sociedade contemporˆanea. Por atingirem velocidades cada vez maiores, os computadores tˆem sido capazes de resolver problemas de grande escala, algo que n˜ao seria poss´ıvel anteriormente. Mas os computadores tˆem de ser programados para executarem qualquer tarefa. A base destes programas consiste frequentemente em algoritmos com- binat´orios para a resolu¸c˜ao de problemas. A an´alise da eficiˆencia destes algoritmos no que diz respeito
`a mem´oria e tempo necess´arios para a sua execu¸c˜ao requere ainda uma an´alise combinatorial.
Outra raz˜ao para o crescimento recente da combinat´oria ´e a sua aplicabilidade a ´areas que tinham anteriormente pouca interac¸c˜ao s´eria com a matem´atica. Neste sentido, verificamos que as ideias e t´ecnicas da combinat´oria est˜ao a ser usadas n˜ao apenas nas tradicionais ´areas de aplica¸c˜ao da matem´atica, nomeadamente as ciˆencias da f´ısica, mas tamb´em nas ciˆencias sociais, ciˆencias biol´ogicas, teoria da informa¸c˜ao, etc. Al´em disso, a combinat´oria e o pensamento combinat´orio tˆem-se tornado cada vez mais importantes em muitas ´areas da matem´atica.
tradu¸c˜ao livre de Brualdi, Introductory Combinatorics, p´ag. 1.
Longe est˜ao os dias em que a an´alise era tida como a rainha da matem´atica aplic´avel.
tradu¸c˜ao livre de Anderson, A First Course in Combinatorial Mathematics, pref. da primeira ed.
Este curso pretende ser uma introdu¸c˜ao a alguns m´etodos da combinat´oria e a algoritmos que lhe est˜ao naturalmente associados. Os trˆes t´opicos principais a tratar s˜ao:
1. Combinat´oria enumerativa, que visa a contagem. Ap´os uma breve revis˜ao de alguns m´etodos e conceitos j´a familiares aos alunos (embora talvez num contexto menos familiar) falaremos de fun¸c˜oes geradoras, do princ´ıpio da inclus˜ao-exclus˜ao e dos n´umeros de Stirling, entre outros.
2. Combinat´oria existencial, que se ocupa do estudo da existˆencia ou n˜ao de determinadas confi- gura¸c˜oes. Neste contexto falaremos principalmente de grafos e redes.
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3. Algoritmos, ou seja, m´etodos de resolu¸c˜ao de problemas recorrendo a um computador. Este t´opico ser´a estudado a par com os dois anteriores, especialmente no estudo de problemas em grafos.
Dependendo do tempo dispon´ıvel e do interesse dos alunos, os t´opicos a abordar poder˜ao incluir:
◮ teorema de contagem de Polya;
◮ planaridade em grafos;
◮ colora¸c˜ao de grafos e mapas (cf. teorema das quatro cores);
◮ fluxos em redes;
◮ teoria de Ramsey;
◮ problemas de atribui¸c˜ao optimal de tarefas;
◮ desenho de blocos, sistemas de Steiner e c´odigos correctores de erros;
◮ complexidade de algoritmos.
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H Fundamentos de Matem´ atica
Todos os cursos cient´ıficos ou tecnol´ogicos contemplam uma componente mais ou menos significativa de forma¸c˜ao superior em Matem´atica. Destaca-se em geral a ´area de An´alise — na sua vertente mais pr´atica e familiar, o C´alculo Diferencial e Integral — de onde provˆem uma boa parte dos modelos matem´aticos tradicionais, com muitas provas dadas ao longo dos tempos, usados no desenvolvimento de outras ´areas disciplinares, como por exemplo a F´ısica, a Economia e a Engenharia.
Por outro lado, as bases te´oricas das Ciˆencias da Computa¸c˜ao, tamb´em essenciais na forma¸c˜ao de um estudante de Engenharia, assentam numa das ´areas mais fundamentais da Matem´atica, a L´ogica Matem´atica; e actualmente partes importantes destas duas ´areas continuam a ser desenvolvidas em intera¸c˜ao.
No entanto, em geral, ´e assumida no ensino da Matem´atica uma perspectiva “instrumentalista”
omitindo-se frequentemente os aspectos de car´acter mais fundamental, indispens´aveis a uma compreens˜ao mais precisa e profunda dos conceitos e das aplica¸c˜oes mais subtis, que constituem, para muitos, o lado mais fascinante desta disciplina.
Neste curso pretende-se abordar alguns t´opicos de Matem´atica numa abordagem mais focada nos seus fundamentos do que aos aspectos calculat´orios, em complemento com a forma¸c˜ao curricular dos estudantes de Engenharia.
Dependendo do tempo dispon´ıvel e do interesse dos alunos, os t´opicos a abordar poder˜ao incluir:
H Fundamentos da Teoria de Conjuntos
◮ No¸c˜oes b´asicas de cardinalidade. Os conjuntos infinitos em Matem´atica — paradoxos e con- trov´ersia (nomeadamente sobre quest˜oes levantadas na An´alise). Argumento diagonal de Cantor.
H Fundamentos de An´alise
◮ O conjunto dos n´umeros reais e seus subconjuntos. Propriedades e constru¸c˜ao. Limites, s´eries e outros “processos infinitos”.
◮ Os teoremas b´asicos da An´alise Real — Teorema do valor interm´edio, Teorema de Weierstrass, Teorema da M´edia de Lagrange — e aplica¸c˜oes.
◮ O integral de Riemann e outras formaliza¸c˜oes do conceito de ´area. Algumas no¸c˜oes de Teoria da Medida e aplica¸c˜oes.
H L´ogica Matem´atica
◮ Alguns aspectos da Hist´oria da L´ogica Matem´atica e da sua liga¸c˜ao com as Ciˆencias da Com- puta¸c˜ao. Linguagens b´asicas da L´ogica Matem´atica. Referˆencia (necessariamente superficial) aos trabalhos de G¨odel e Turing, que esclareceram e estabeleceram importantes limites `a no¸c˜ao de computabilidade.
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H Algebra e Criptografia ´
A ´Algebra dita abstracta (Teoria de Grupos e An´eis) ´e um dos grandes ramos da Matem´atica que tradicionalmente n˜ao ´e abordado em cursos de Engenharia. Mesmo a maioria dos cursos de Matem´atica Aplicada tendem a dar pouco ˆenfase `a ´Algebra. Todavia, h´a in´umeras aplica¸c˜oes tecnol´ogicas, mais ou menos recentes, que fazem uso de alguns resultados e t´ecnicas alg´ebricas, nomeadamente:
N os c´odigos correctores de erros, que desempenham um papel fundamental nas telecomunica¸c˜oes, em particular, nos telem´oveis e nos leitores de CDs;
N os sistemas criptogr´aficos contemporˆaneos, essenciais em muitas aplica¸c˜oes civis, como transac¸c˜oes seguras via internet e assinaturas digitais.
Neste curso pretende-se dar uma introdu¸c˜ao a alguns aspectos da ´Algebra relevantes na Criptografia Moderna. Os assuntos a abordar s˜ao os seguintes:
◮ Os n´umeros inteiros, a sua aritm´etica e o problema da factoriza¸c˜ao, incluindo a descri¸c˜ao de importantes problemas em aberto.
◮ Congruˆencias e an´eis modulares.
◮ O≪pequeno≫teorema de Fermat e a sua generaliza¸c˜ao por Euler.
◮ Descri¸c˜ao detalhada da cifraRSA.
◮ Corpos finitos e as suas extens˜oes.
◮ Estrutura alg´ebrica do corpo finito usado no AES (Advanced Encryption Standard) e descri¸c˜ao detalhada desta cifra.
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