/REGRA DE TRÊS GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS /PORCENTAGEM AUMENTO OU REDUÇÃO EM DETERMINADA PORCENTAGEM

/REGRA DE TRÊS

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

/PORCENTAGEM

AUMENTO OU REDUÇÃO EM DETERMINADA PORCENTAGEM

/GEOMETRIA PLANA

ENTES PRIMITIVOS DEFINIÇÕES INICIAIS POSTULADOS

/GEOMETRIA ESPACIAL

PLANIFICAÇÃO CUBOS E VOLUMES

/FUNÇÃO DO 1 ^O GRAU

ANÁLISE GRÁFICA PROPRIEDADES CONSTRUÇÃO DOS GRÂFICOS ESTUDO DO SINAL

/PROPORCIONALIDADE

TIPOS DE PROPORÇÃO PROPRIEDADES REGRA DE TRÊS

3 4 5

7 9

10 10 12 11

15 15 16

21 21 22 25

25

26 26

27

27

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A Regra de Três é uma ferramenta simples, mas muito poderosa. Ela é utilizada para descobrir um valor desconhecido, que segue a mesma razão de outros já conhecidos.

De maneira mais simples, trata-se de descobrir um quarto valor a partir de outros três – daí vem o nome da regra. Para começar, vamos esclarecer alguns conceitos importantes.

Razão é a divisão de um número por outro.

Vejamos um exemplo simples que utiliza as ideias apresentadas:

Na rua Alcântara, a razão entre o número de moradores pelo número de casas é de 3,4. Sabendo que há 40 casas na rua, quantos moradores habitam ela?

Aqui, ainda não há os três valores de um problema típico de regra de três, mas já é possível aplicar uma relação de proporção.

Embora 3,4 não seja uma fração comum, não deixa de ser uma razão, ou seja, uma divisão de um número por outro (número de moradores pelo número de casas). Assim, montamos a seguinte proporção:

Uma regra de três segue raciocínio semelhante e nada mais é do que usar uma proporção para encontrar um valor.

Proporção é a igualdade entre razões.

é a razão entre 3 e 9.

x = 136 moradores

é um exemplo de proporção

3 9

x 40 3

9

1

= 3

3,4 =

Por isso, ela só vale quando as grandezas relacionadas forem proporcionais, ou seja, se uma delas aumentar ou diminuir na mesma proporção que a outra. Uma grandeza pode ser o número de pacotes de biscoito e outra, o número de biscoitos, por exemplo.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma aumenta na mesma proporção que outra. Para ilustrar o raciocínio, vamos ver um exemplo simples:

Dois pacotes de biscoitos contêm, juntos, 10 biscoitos. Se Maria comprar seis pacotes, quantos biscoitos terá ao final?

A resposta é 30 biscoitos, mas é preciso enxergar o raciocínio por trás:

Podemos fazer um esquema com os três dados do problema:

2 pacotes 10 biscoitos 6 pacotes ? biscoitos

O número de biscoitos aumenta na mesma proporção que o número de pacotes aumenta, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais. Isso permite expressar o mesmo esquema da seguinte forma:

Aqui, temos duas razões, isto é, temos duas frações. A relação de igualdade entre essas razões forma a proporção, em que o numerador se altera conforme o denominador se altera.

Multiplicando em cruz, temos que:

2x = 60

x = 30 biscoitos

Podemos aplicar a regra de três neste outro exemplo:

No bar Hanói, servem-se quinze drinques em duas horas. Quantos drinques serão servidos em doze horas?

Aqui, temos de volta uma regra de três típica, com grandezas diretamente proporcionais.





2 6

10

= x

Em ambos os casos, as grandezas eram diretamente proporcionais.

Nem sempre uma grandeza aumenta junto com a outra. Por exemplo, quanto mais pedreiros trabalham em uma obra, menos tempo ela levará para ser concluída.

Dois pedreiros levam nove dias para erguer um muro. Se mais um pedreiro for contratado, quanto tempo levarão para fazer a mesma obra?

Caso as grandezas fossem diretamente proporcionais, seria aplicada a seguinte proporção:

2 pedreiros 9 dias 3 pedreiros ? dias

Como elas são inversamente proporcionais, basta inverter uma das razões:

É possível ainda haver uma regra de três composta, com uma proporção que relaciona mais de duas razões. É o caso dos seguintes exemplos:

Cinco operários trabalham 8 horas por dia e produzem 100 peças por dia. Se a jornada de trabalho reduzisse para 6 horas diárias, quantos operários seriam necessários para produzir 90 peças por dia?

15 2

x

= 12

x = 90 drinks

x = 6 dias





(incorreto)

(correto)

2 3

2 3

9 x

x 9

=

=

Analisemos: se apenas o número de operários aumenta, o número de horas por dia diminui e o número de peças por hora aumenta.

5 operários 8 horas por dia e 100 peças por dia x operários 6 horas por dia e 90 peças por dia

Faremos a seguinte proporção: no lado esquerdo, escrevemos a primeira razão; no lado direito, o produto das outras razões. Como “horas por dia” é inversamente proporcional à primeira razão (“operários”), esta razão é escrita de modo invertido.

Três torneiras enchem uma piscina de 1600 litros em duas horas. Quanto tempo cinco torneiras levarão para encher uma piscina de 2000 litros?

Vamos analisar: se apenas o número de torneiras aumenta, o número de litros enchidos aumenta e o número de horas diminui.

3 torneiras 1600 litros e 2 horas 5 torneiras 2000 litros e x horas

Faremos a seguinte proporção: no lado esquerdo, escrevemos a primeira razão; no lado direito, o produto das outras razões. Como “horas” é inversamente proporcional à primeira razão (“torneiras”), esta razão é escrita de modo invertido.









600 . x = 3600

20 . x = 30 x = 6 operários

x = 1,5 hora

5 x

3 5

6 8

1600 2000

100 90

x 2

=

=

.

.

Porcentagem ou percentagem é um conceito da matemática que é muito utilizado nos campos da ciência, do mercado financeiro, no campo das vendas e da administração.

A ideia de porcentagem está muito ligada à ideia de frações ou de relações parte por um todo (proporções), visto que sempre tem-se como referência o inteiro, ou nesse caso, o 100%.

Quando introduzimos o conceito de porcentagem (“por cento” – “sobre 100”) temos que notar que o nome nos sugere que é uma medida ou valor dado em relação a uma fração cujo denominador é 100 (divisão por 100).

Ou seja, quando expressamos x%, é o mesmo que expressar x/100. Exemplo:

22% = 22/100 = 0,22

Vejamos alguns exemplos clássicos de utilização prática das porcentagens.

Os gráficos de pizza são gráficos nos quais colocamos as informações na superfície de um círculo e dividimos a área desse círculo de acordo com predominância de determinada informação ou dado proporcionalmente à porcentagem desse dado em relação a um total.

Ou seja, se o dado é 10% do total, então terá uma “fatia de pizza (círculo)” equivalente a 10% da área total. Veja a figura a seguir:

Carrinhos Bonecas Bolas Bicicletas

Brinquedos doados

40%

20%

10%

30%

Como calcular:

Note que no gráfico que mostra a divisão de tipos de brinquedos doados para a caridade, há uma subdivisão de acordo com o que foi explicado acima.

Poderíamos pensar nessa representação das porcentagens como por exemplo carrinhos, que equivalem a 40% do total de brinquedos doados.

A cada 100 brinquedos 40 são carrinhos. Isso valeria para a interpretação de qualquer medida dada em percentagem.

Para um número de brinquedos doados diferente de 100 podemos descobrir quantos carrinhos foram doados, tanto com uma regra de 3, quanto por uma multiplicação direta de 40% vezes N, sendo N o número total de brinquedos doados, perceba:

Caso N = 350 brinquedos doados.

Por regra de 3:

Multiplicando meio pelos extremos, temos:

100 . x = 40.350 x = 140

Logo, para uma doação de 350 brinquedos, são 140 carrinhos.

Pode-se obter tal resultado mais rapidamente se pensarmos que o número de carrinhos é igual a 40% (0,4) do número de brinquedos.

Tal expressão remete à multiplicação do número de brinquedos por 0,4. Logo, rapidamente obtemos:

x = 0,4.350 x = 140

Essa representação decimal de uma porcentagem vai ser de ótimo uso quando passarmos para o tópico de acréscimos e decréscimos relativos a uma determinada quantidade.

Isso se remete a quando se expressa “tal elemento teve aumento de x%”, quando poderemos calcular o valor mais rapidamente se pensarmos tal qual a última resolução.

Número de carrinhos Número total de brinquedos

40 100

x 350

Esse é um conceito muito pertinente ao ramo do mercado financeiro e ao ramo de vendas.

Respectivamente, nos sentidos de determinada ação “valorizar” em tantos por cento. No outro, determinado produto ter “desconto” de tantos por cento em uma promoção.

Apesar da ilustração superficial, o conceito está centrado no mesmo raciocínio e lógica matemática.

Primeiramente, o preço da ação agora é o preço antes de valorizar multiplicado por 100%, mais a porcentagem que valorizou x%. E, no mesmo sentido, o preço promocional do produto é o preço antes da promoção multiplicado por 100% menos a porcentagem de desconto x%.

Confira alguns exemplos:

Um trabalhador recebia R$ 2000 de salário mensal, mas seu chefe deu um aumento de 10% no salário do seu empregado. Quanto o trabalhador recebe após o aumento? Resolução:

Chamemos de x o novo salário:

x = 2000.(100%+10%) x = 2000.(1+0,1)

x = 2000 . 1,1 x = R$ 2200

O novo salário do trabalhador é de R$ 2200.

Perceba que toda ideia de acréscimo ou aumento soma-se a percentagem que modifica o valor. O mesmo ocorre quando há ideia de decréscimo ou redução, só que com subtração.

Perceba que a notação decimal foi um facilitador à resolução. Com o tempo você pode chegar à terceira linha de resolução mentalmente, mas por enquanto siga o método.

Outro exemplo. Em uma promoção, o preço do refrigerante que era de R$ 4,00 foi reduzido de 25%, qual o novo preço? Resolução:

Chamemos de x o novo preço do refrigerante:

x = 4 . (100%-25%) x = 4 . (1-0,25) x = 4 . 0,75 x = R$ 3,00

O novo preço é de R$ 3,00. Note que como é uma redução, o sinal de menos foi utilizado.

Foi o matemático grego Euclides de Alexandria, na sua obra Os Elementos, quem organizou de maneira sistemática os axiomas (afirmações que são aceitas sem demonstração), resultados tais como proposições e teoremas de geometria plana, que também hoje é conhecida como geometria euclidiana em homenagem ao matemático.

A geometria euclidiana é aquela que estuda as figuras geométricas sem volume, que existem apenas no plano, ou seja, triângulos, quadriláteros, circunferências, polígonos, etc.

Na geometria euclidiana, trabalharemos a partir de três elementos iniciais: são os chamados entes primitivos que são: o ponto, a reta e o plano. Eles são chamados de entes primitivos pois não conseguimos defini-los de maneira formal e sistemática. Nós apenas sabemos o que são a partir da nossa própria intuição.

Iremos representá-los da seguinte maneira:

Observe que:

• um ponto é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino;

• uma reta é denotada por uma letra minúscula do alfabeto latino;

• e um plano é representado por uma letra grega minúscula.

A partir de tais conceitos, veremos como eles se relacionam entre si.

Ponto P Reta r Plano α

Euclides, a fim de conseguir demonstrar suas proposições, fez inicialmente um total de 23 definições:

• Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma.

• Linha é o que tem comprimento sem largura.

• As extremidades da linha são pontos.

• Linha reta é aquela que está posta igualmente entre as suas extremidades.

• Superfície é aquilo que tem comprimento e largura.

• As extremidades da superfície são linhas.

• Superfície plana é aquela que as retas sobre si foram traçadas de maneira uniforme.

• Ângulo plano é a inclinação de duas linhas, que se cruzam em um plano, mas sem estarem em uma mesma reta.

• Ângulo plano retilíneo é aquele quando as linhas que o contém são retas.

• Quando uma linha reta, colocada sobre outra linha reta, fizer com esta dois ângulos iguais, então cada um destes ângulos iguais se chama ângulo reto; e a linha incidente se diz perpendicular a outra linha.

• Ângulo obtuso é aquele maior que um ângulo reto.

• Ângulo agudo é aquele menor que um ângulo reto.

• Fronteira é uma extremidade de alguma coisa.

• Figura é um espaço fechado por uma ou mais fronteiras.

• Círculo é uma figura plana fechada por uma só linha chamada de circunferência, de modo que todas as linhas retas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circunferência, são iguais entre si.

• O dito ponto se chama centro do círculo.

• Diâmetro do círculo é uma linha reta que passa pelo centro e termina por ambas as partes na circunferência.

• Semicírculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e aquela parte da circunferência do círculo, que é cortada pelo diâmetro.

• Figuras retilíneas são aquelas formadas usando linhas retas.

• As triláteras são as formadas com três linhas retas.

• As quadriláteras são as formadas com quatro linhas retas.

• As multiláteras são as aquelas formadas por mais de quatro linhas retas.

• Linhas paralelas, que existindo no mesmo plano, e prolongando-se de maneira indefinida, nunca se cruzam.

É interessante notar que muitas das definições acima não seguem o rigor que a matemática moderna (e a geometria plana) exige, porém é inegável a importância da obra para o desenvolvimento da geometria plana que hoje conhecemos.

As afirmações que são aceitas seja por consenso ou porque simplesmente não é possível demonstrá- las são chamadas de postulados ou axiomas.

Abaixo, introduzimos e classificamos postulados que relacionam os entes primitivos apresentados anteriormente.

/POSTULADOS DA EXISTÊNCIA

• Existem infinitos pontos dentro e fora de uma reta: isso significa que podemos tomar quantos pontos quisermos em uma reta ou fora dela, conforme ilustra a figura a seguir.

• Existem infinitos pontos dentro e fora de um plano: do mesmo modo, podemos tomar quantos pontos quisermos em um plano ou fora dele.

A

A

B

C D

E

α B

C D

E

F

F G

G r

/POSTULADOS DE POSIÇÃO

• Dados dois pontos A e B, então ou A e B são coincidentes:

• Dado um ponto P e uma reta r, então ou P está na reta r (e escrevemos P ∈ r):

• Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. Abaixo, a reta r é determinada pelos pontos A e B:

ou P não está em r ( P ∉ r):

isto é, são o mesmo ponto, só apresentam nomes diferentes; ou eles são distintos:

É evidente que dados quaisquer dois pontos distintos, conseguiremos traçar uma reta entre eles.

Mas a partir de três pontos ou mais, isso não necessariamente é verdade. Assim, dizemos que pontos colineares são aqueles pertencentes a uma mesma reta. E três ou mais pontos serão chamados de não-colineares caso não consigamos traçar uma única reta que os contém.

A B

A B

P

A

B P

r

r r

/ POSTULADO DA INCLUSÃO

• Se dois pontos distintos de uma reta também forem pontos de um plano, então esta reta também estará nesse plano.

Os postulados da existência, da determinação e da inclusão são os mais importantes e o que mais costumam ser cobrados em exercícios.

• Três pontos não-colineares determinam um único plano que os contém. Na figura a seguir, A, B e C são não-colineares e assim determinam o plano α:

Neste caso, dizemos que os pontos A, B e C são coplanares, pois eles pertencem a um mesmo plano.

A

B

C

α

α A

B r

A geometria espacial é o ramo da geometria que faz o estudo e análise dos objetos tridimensionais, ou seja, aqueles que são representados no espaço, em uma região de três dimensões e, portanto, possuem comprimento, largura e altura.

No ensino médio, a geometria espacial em si faz o estudo das principais formas, tais como: cubo, paralelepípedo, prisma, poliedro, esfera, cone, cilindro, pirâmide.

Neste estudo, são trabalhados conceitos como área e volume de tais objetos, além de suas diversas aplicações.

A planificação, como seu próprio nome diz, é uma ferramenta que utilizamos para planificar sólidos geométricos. Ou seja, planificar significa exibir todas as faces que constituem um sólido em um mesmo plano.

Porém, nem todos sólidos podem ser planificados. É o caso da esfera, por exemplo.

Para se ter uma ideia melhor, a planificação pode ser vista como modelos que usamos para cortar e dobrar, a fim de montarmos um objeto tridimensional.

Uma das planificações de um cubo é:

Questões referentes a sólidos (figuras geométricas espaciais) costumam ser extensivamente cobradas em provas e vestibulares. Assim, é de grande importância que conteúdos como cubos, prismas, pirâmides, cilindros, cones e suas características sejam aprendidos!

Vamos estudar cada sólido separado e aprender a calcular seus volumes!

/PRISMA

O prisma é formado a partir de um polígono qualquer, que será a sua base, com uma altura. A figura abaixo apresenta alguns tipos deste sólido.

Assim, perceba que podemos ter prismas de diversos tipos, variando em função do polígono da base deste sólido. Nesse sentido, a fórmula geral para o cálculo do volume do prisma é:

V = área da base . altura

Note que a área da base varia conforme o tipo de polígono que forma o prisma! Portanto, se estamos trabalhando com um prisma hexagonal, devemos determinar a área do hexágono do prisma e multiplicar pela sua altura.

Caso especial: paralelepípedo reto-retângulo e cubo

O paralelepípedo reto-retângulo é um nome especial para o prisma quadrangular reto de base regular.

Lembre-se! Prismas retos são aqueles quando a face lateral for um retângulo, portanto, as arestas laterais são iguais a altura deste prisma. Já prismas regulares são prismas retos cujas bases são polígonos regulares.

O volume deste sólido é dado por:

V = 5 . 4 . 3 = 60 cm³

V = a³

= 3,5

= 42,875 cm

O cubo, por sua vez, é um paralelepípedo reto-retângulo em que todas as arestas são iguais, ou seja, a=b=c. Assim, seu volume é dado por:

V = a . b . c

V = a . b . c V = a . a . a V = a

a

5

3,5 b

3

c

4

 

/PIRÂMIDE

Pirâmides são sólidos formados por um polígono, que serve como base, e pela junção dos vértices desse polígono, gerando uma altura para a pirâmide.

O cálculo do volume de qualquer pirâmide é feito através de :

O cálculo do volume de qualquer pirâmide é feito através de :

Como a base é um círculo e a área do círculo é A_b = π . r², temos:

Sendo que:

• Ab = Área da base

• h = altura h

h

A

. h 3

r

V =

V = A

. h V = π . r

. h

/CILINDRO

Um cilindro pode ser considerado como um prisma cuja base é um círculo, observe.

/CONE

/ESFERA

De forma semelhante ao cilindro, o cone pode ser considerado como uma pirâmide cuja base é um círculo.

Por fim, no caso da esfera, o seu volume é calculado através da fórmula abaixo:

h

r

h

r r

Nos dois casos, o volume do cone é dado por :

Porém, como a base é um círculo, temos que o volume pode ser calculado por:

A

. h 3

π . r

. h 3

4 . π . r

3 V =

V =

V =

/MINHAS ANOTAÇÕES

/CONCLUSÃO E DICAS

Agora que vimos os volumes dos principais sólidos, perceba que as fórmulas são bem parecidas entre si, envolvendo sempre a área da base e altura (exceto no caso da esfera). São fórmulas fáceis de decorar e também de entender! Assim, este é um conteúdo tranquilo em que você pode garantir algumas questões sem complicação na prova.

Uma função é dita do primeiro grau quando é da forma:

f

(

) = a .

+ b

• a e b pertencem ao conjunto dos Reais e a é diferente de zero.

• a,b ∈ R a ≠ 0 Exemplos:

• f (x) = 2 . x + 3

• f (3) = 2 . 3 + 3 = 9

• f (−2,5) = 2 .(−2,5) + 3 = −2

A função do 1º grau é sempre representada por uma reta.

Função constante

Perceba que se a = 0, tem-se que f (x) = b (não é uma função do primeiro grau). Nesse caso, não temos mais a variável x na função, já que ela não depende mais de x e sua imagem sempre será b.

Ou seja, é uma função constante.

Por exemplo: f (x) = 5

Observe que a função constante não é injetora, e que se for R  R, ela é par.

Raiz de uma função

A raiz de uma função é o valor de x tal que f (x) = 0. No gráfico, isso representa y = 0.

Considerando que a nossa expressão é y = a . x + b, logo:

0 = a . x + b Portanto:

Com isso, podemos determinar um ponto da reta: .

Esse ponto é especial, pois é o ponto onde a reta corta o eixo x (abscissas). Portanto, é o ponto onde ocorre a mudança de sinal de y.

Função identidade

Caso a = 1 e b = 0, tem-se que f (x) = x, tem-se a chamada função identidade.

Na função identidade, os elementos do domínio se relacionam com os mesmos elementos no contradomínio. O gráfico é uma reta que contém as diagonais do 1º e do 3º quadrante do plano cartesiano.

b

a b

a ; 0

) (

x = -

-

Coeficiente Linear

A parcela b da função é denominada coeficiente linear. Esse valor é importante pois representa o ponto onde a reta corta o eixo y (ordenadas). Ou seja, é o ponto onde a variável x tem valor 0.

Considerando a nossa expressão:

y = a . x + b

Como x = 0, temos:

y = a . 0 + b = b.

Agora, temos outro ponto da reta: (0; b)

• Exemplo 1:

• Exemplo 2:

Coeficiente angular (taxa de variação)

Considerando dois pontos quaisquer da reta de uma função y = a . x + b, precisamos calcular a razão:

Considerando dois pontos quaisquer:

• Ponto 1: ( x₁ ; y₁ )

• Ponto 2: ( x₂ ; y₂ )

Como ambos são pontos da mesma reta, temos:

y₁ = a . x₁ + bey₂ = a . x₂ + b

Precisamos calcular agora a razão das variações:

O coeficiente a é a variação da função em relação a x. Por isso, se a for positivo, o valor da função sempre aumentará com o crescimento de x. Analogamente, se a for negativo, o valor da função sempre diminuirá com o crescimento de x.

Logo, se:

• a é positivo: a função do primeiro grau é estritamente crescente (exemplo 1).

• a é negativo: a função do primeiro grau é estritamente decrescente (exemplo 2).

Δ y Δ x

y

− y

x

− x

a . x

+ b − (a . x

+ b) x

− x

a . x

+ b − a . x

− b x

− x

a (x

− x

) x

− x

= = = = = a

Dada uma função afim, como o seu gráfico é sempre uma reta, precisamos de apenas 2 pontos para determiná-la. E vimos acima como encontrar dois pontos importantes em uma função afim.

Dessa maneira, para construir o gráfico de uma função do primeiro grau, apenas precisamos encontrar esses dois pontos e ligá-los por uma reta.

Estudar o sinal de uma equação significa encontrar os pontos de uma equação onde:

f (x) = 0, f (x) > 0 e f (x) < 0.

O pontos onde f (x) = 0 é a raiz. Já vimos, acima, como encontrá-la.

Observe os exemplos 1 e 2 explicando os coeficientes linear e angular.

• No exemplo 1, a > 0 e f (x) < 0 até a raiz, depois passou a ser f (x) >0.

• No exemplo 2, a < 0 e f (x) > 0 até a raiz, depois passou a ser f (x) < 0.

Portanto, o sinal de uma função do primeiro grau pode ser visto como:

• Igual ao de a depois da raiz.

• Oposto ao de a antes da raiz.

Ou seja, se a for positivo, o sinal da função é positivo depois da raiz e negativo antes da raiz. Se a for negativo, o sinal da função é negativo depois da raiz e positivo antes da raiz.

Uma proporção é a equivalência entre duas divisões, sendo que o resultado da operação demonstra uma relação entre estes dois valores. De uma forma geral, a proporção dá a ideia de que, por exemplo, entre dois elementos x e y:

• Se x crescer, y também crescerá (elementos diretamente proporcionais);

• Se x crescer, y será reduzido (elementos inversamente proporcionais).

Como foi apresentado na introdução acima, existem dois tipos de proporções entre os elementos:

diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Vamos entender cada uma delas.

/GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

/GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

É o caso de elementos que estão relacionados por uma razão:

É o caso de elementos que estão relacionados por um produto:

Sendo que k é o resultado dessa razão. Perceba que k não muda de valor. Assim, caso x₂ seja maior que x₁, note que y₂ também deverá ser maior que y₁, para que o valor de k continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se x₂ for menor que x₁, y₂ deverá ser menor que y₁.

Grandezas diretamente proporcionais

Note agora que, caso x₂ seja maior que x₁, y₂ deverá ser menor que y₁ para que o valor de k continue o mesmo. O contrário também é verdadeiro: se x₂ for menor que x₁, y₂ deverá ser maior que y₁.

x

y

x

. y

x

. y

x

. y

x

y

x

y

=

=

=

=

=

= ...

...

= k

= k

A proporcionalidade possui algumas propriedades que podem ser muito úteis em determinadas situações. Vamos ver quais são elas?

• 1)

• 2)

• 3)

A regra de três é amplamente aplicável e até define, de certo modo, o conceito de proporcionalidade.

Através da igualdade de duas razões, podemos multiplicar em cruz as grandezas e determinar o elemento de interesse.

Exemplo 1

Determine o valor de x na expressão . Solução pela regra de três:

a b

10 x a

b a b

10 x

c d

16 5 c

d c d

16 5

10 . 5 16

50 16

25

10 . 5 16x x x x 8

a

b

c

d

a+b

b a+c b+d ac bd

c+d

= d

=

=

=

= = = = =

= =

=

=

=



   

Regra de três

Um grande artifício que contempla o conceito da proporcionalidade é o Teorema de Tales. Segundo o teorema, se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão (ou seja, a divisão) entre dois pares de segmentos correspondentes é igual. Não entendeu? Dá uma olhada nas imagens e no exemplo a seguir:

Nesse sentido, a partir da figura 2 e do enunciado do teorema, vemos que a seguinte relação é verdadeira:

a partir do Teorema de Tales, temos que:

Exemplo 2

A t₁

t₁

r₁

r₁ r₂

r₂ r₃

r₃ t₂

t₂ B

D

x F

9 C

4 E

15

AC CE

4 15

BD DF

x 9

4 . 9 15

36 15

15 5

=

=  15x = 4 . 9  x =  x =  x =

/MINHAS ANOTAÇÕES