IV SEPMAT
Simpósio de Estudos e Pesquisas em Matemática
Grandezas Direta e
Inversamente Proporcionais
Marco Aparecido Queiroz Duarte
Cassilândia – MS
Agosto de 2011
Este minicurso tem como objetivo principal ajudar os participantes a compreenderem de forma bem simplificada os conceitos de razão e proporcionalidade. Pois se trata de um assunto muito aplicável em nosso cotidiano. O assunto está organizado de forma que se possa estudar a teoria e depois a prática com bastantes exercícios envolvendo situações rotineiras. Teoria e exercícios foram tirados de livros e sites, todos devidamente referenciados no final do texto.
Prof. Marco.
IV SEPMAT – SIMPÓSIO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM MATEMÁTICA Curso de Matemática – UEMS – Cassilândia
29/08/2011 a 02/09/2011
1 Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
1. Razão
A razão entre dois números a e b≠0, nessa ordem, é o quociente .
O número a é chamado de antecedente ou primeiro termo e o número b é o consequente ou segundo termo.
2. Proporção
Os números a, b, c, d com b≠0 e d≠0, formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b for igual a razão entre c e d. Esta proporção é representada por:
= e lê-se: a está para b assim como c está para d.
Neste caso, a e d são chamados de extremos e os números b e c são os meios.
Propriedades
Se os números a, b, c, d formam, nessa ordem, uma proporção, então:
P1 - O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
= ⇔ =
P2 -A soma dos dois primeiros está para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está o para o último.
= ⇔ +
= +
P3 - A diferença entre os dois primeiros está para o segundo, assim a diferença entre osdois últimos está o para o último.
= ⇔ −
= −
P4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como assim como cada antecedente está para o correspondente consequente.
= ⇔ +
+ = =
P5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como assim como cada antecedente está para o correspondente consequente.
= ⇔ −
− = = 3. Grandezas Proporcionais
Usa-se a notação = ( , , , … )para indicar que , , , …são valores assumidos pela grandeza .
Se num determinado problema relacionamos as grandezas
= ( , , , … ) e = ( , , , … ), queremos dizer que quando a grandeza assumir o valor , a grandeza assumirá o valor . Isto significa que e são valores correspondentes das grandezas e . Da mesma forma, e são valores correspondentes, acontecendo o mesmo com e e, assim sucessivamente.
3.1. Grandezas Diretamente Proporcionais (GDP)
Uma grandeza é diretamente proporcional a uma grandeza se, e somente se, as razões entre os valores de e os correspondentes valores de são iguais. Isto é, se = ( , , , … ) e = ( , , , … ) são grandezas diretamente proporcionais, então:
= = = ⋯ = e o número k é a constante de proporcionalidade.
3.2. Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP)
Uma grandeza é inversamente proporcional a uma grandeza se, e somente se, os produtos entre os valores de e os correspondentes valores de são iguais. Isto é, se = ( , , , … ) e = ( , , , … ) são grandezas inversamente proporcionais, então:
. = . = . = ⋯ = Aqui, também, k é a constante de proporcionalidade.
Observações:
a) Se a grandeza = ( , , , … ) for inversamente proporcional à grandeza,
= ( , , , … ) então será diretamente proporcional à grandeza ( , , , … ),isto é,
. = . = . ⇔ = =
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3 Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
b) Existem grandezas que não são nem diretamente nem inversamente proporcionais. Basta, portanto que as razões ou os produtos entre seus valores correspondentes não sejam iguais a uma constante.
c) A dizer que e são grandezas proporcionais subentende-se que são grandezas diretamente proporcionais.
4. Divisão Proporcional
4.1. Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais aos números a, be c significa determinar os números x, y e z tais que:
i – as sequências ( , , ) e ( , , ) sejam diretamente proporcionais;
ii – + + =
Para isso, usando a definição de GDP e as propriedades das proporções, podemos nos valer da seguinte técnica operatória:
= = + + =
⇔
+ +
+ + = = = + + =
⇔
+ + =
+ + =
+ + =
⇔
= . + +
= . + +
= . + +
4.2. Divisão em partes inversamente proporcionais
Dividir um número em partes inversamente proporcionais aos números a, b e c é o mesmo que dividir em partes diretamente proporcionais aos inversos de a, b e c com a.b.c≠0.
5. Regra de Três
5.1. Regra de três simples
Sendo a e b dois valores da grandeza e c e d os valores correspondentes da grandeza , a regra de três simples é o processo prático de determinar um desses quatro valores quando os outros três já são conhecidos.
Técnica Operatória
GRANDEZA A GRANDEZA B
a c
b d
Se e forem grandezas diretamente proporcionais, então:
= ⇔ =
Se e forem grandezas inversamente proporcionais, então:
= ⇔ =
5.2. Regra de três composta
A regra de três composta é o método prático empregado para resolver problemas análogos à regra de três simples, porém envolvendo mais de duas grandezas proporcionais.
Propriedades
R1 – Se uma grandeza = ( , , , … )é diretamente proporcional às grandezas = ( , , , … ) e = ( , , , … ), então:
= .
ou seja, a grandeza
é diretamente proporcional ao produto das grandezas e . R2 – Se uma grandeza = ( , , , … ) é diretamente proporcional a uma grandeza= ( , , , … ) e inversamente proporcional a uma grandeza = ( , , , … ), então:
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5 Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
= .
R3 – Se uma grandeza = ( , , , … ) é diretamente proporcional às grandezas
= ( , , , … ), = ( , , , … ), ! = ( , , , … ) e
" = (# , # , # , … ) então:
= . . .#
# Regra prática para aplicação da regra de três
Quando as regras de três simples ou composta são aplicadas, deseja-se obter um valordesconhecidotendo três ou mais conhecidos. Esses valores aparecem no problema em pares e cada par representa uma grandeza. Geralmente, setas verticais são usadas para indicar a relação entre as grandezas. Grandezas com setas no mesmo sentido são diretamente proporcionais, já aquelas cujas setas estão invertidas são inversamente proporcionais.
Assim, ao se resolver um problema usando uma das regras de três, deve-se colocar uma seta na grandeza que tem o valor desconhecido. A partir daí, comparar esta grandeza com cada umadas outras envolvidas. Sempre perguntando: “aumentando o valor da grandeza marcada com a seta a outra aumenta ou diminui?”, se aumentar, coloca-se uma seta no mesmo sentido, caso contrário, coloca-se uma seta em sentido diferente.
Exemplo 1 - (Regra de Três Simples)
a) Um grupo de 4 operários constrói um muro em três dias . Em quantos dias 6 operários, com o mesmo potencial de produção que os anteriores, construiriam o mesmo muro?
Resolução - No problematemos duas grandezas envolvidas, operários (O) e dias (D). O valor a determinar corresponde à grandeza D. Montamos o esquema abaixo e colocamos uma seta para baixo ao lado dos valores de D:
Percebemos que, na construção do mesmo muro, aumentando o número de dias, diminuiremos o número de operários necessários. Logo, O e D são GIP. Assim, O deve receber uma seta no sentido contrário à de D.
O D
4 3
6 x
E, resolvemos da seguinte forma:
=$
% ⇔ $ = ⇔ = Portanto, 6 operários construiriam o mesmo muro em 2 dias.
b) 8 metalúrgicos produzem 1200 peças de um determinado automóvel por dia.
Quantos metalúrgicos são necessários para produzir 3000 peças por dia?
Resolução – Neste caso as grandezas envolvidas são metalúrgicos (M) e peças (P).
O valor a determinar corresponde à grandeza M. Montamos um esquema semelhante ao do problema anterior e colocamos uma seta para baixo ao lado dos valores de M:
M P
8 1200
x 3000
Agora, aumentando a grandeza Maumentaremos também a grandeza P, pois quanto mais metalúrgicos, maior será o número de peças produzidas. Logo, M e P são GDP.
Ou seja, a seta de P deve ter o mesmo sentido da de M.
M P
8 1200
x 3000
E resolvemos:
&
= ''
''' ⇔ '' = %''' ⇔ = '
Portanto, serão necessários 20 metalúrgicos para que 3000 peças sejam produzidas em um dia.
Exemplo 2 - (Regra de Três Composta)
Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas.
Resolução – Neste caso as grandezas envolvidas são torneiras (T), horas (H) e piscinas(P). O valor a determinar corresponde à grandeza H. Montamos o esquema da regra de três para três grandezascolocamos uma seta para baixo ao lado dos valores de H:
T H P
3 10 1
10 x 2
Comparamos as grandezas:
Aumentando o número H de horas aumentamos o número Pde piscinas que podem ser cheias. Ou seja, H e P são GDP e suas setas devem estar no mesmo sentido.
Aumentando o número H de horas diminuiremos o número T de torneiras utilizadas no processo. Logo, H e T são GIP e suas setas devem estar em sentidos contrários.
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T H P
3 10 1
10 x 2
Resolvemos então:
'= . '
⇔ ' = $' ⇔ = $ Portanto, 10 torneiras levarão 6 horas para encher duas piscinas.
EXERCÍCIOS
1) Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Calcule o produto desses dois números.
2) Determine os valores de x e y para que (2,x,3,...) e (8,y,4,...) sejam duas sucessões diretamente proporcionais.
3) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números?
4) São dados três números reais, a<b<c. Sabe-se que o maior deles é igual à soma dos outros dois e que o menor é equivale a um quarto do maior. Nessas condições, a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
a) 1, 2 e 3 b) 1, 2 e 5 c) 1, 3 e 4 d) 1, 3 e 6 e) 1, 5 e 12
5) Divida o número 70 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.
6) Divida o número 36 em partes inversamente proporcionais a 6, 4 e 3.
7) Divida o número 630 em partes diretamente proporcionais a 6, 7, 8 e 9
8) Divida o número 248 em partes inversamente proporcionais a 3, 5, 7 e 9
9) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?
10)Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
11)Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga?
12)Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta?
13)Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes?
14)Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio?
15)Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
16) Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km?
17)Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
18)Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m?
19)Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede?
20) Há 40 dias, uma torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
21)Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão.
Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
22)Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?
23) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?
24)Com certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90 cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?
25)Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
