1 Sumário
Apresentação ... 2
Juros Simples ... 3
Juros Compostos ... 10
Taxa Aparente, Taxa Real e Taxa de Inflação ... 21
Descontos ... 25
Equivalência de Capitais ... 36
Rendas Uniformes ... 41
Análise de Investimentos ... 48
Sistemas de Amortização ... 57
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A PRESENTAÇÃO
Olá, caros amigos do Estratégia Concursos, tudo bem?
É com enorme prazer e satisfação que lanço este EBOOK de questões comentadas de Matemática Financeira com foco exclusivamente na banca CEBRASPE/CESPE. Iremos resolver 50 exercícios que irão abordar todo o conteúdo exigido da disciplina.
Antes de prosseguir, peço licença para me apresentar:
Vinícius Veleda: Sou Auditor Fiscal do Estado do Rio Grande do Sul. Professor de Matemática e Matemática Financeira do Estratégia Concursos. Aprovado nos Concursos de Auditor Fiscal da Secretaria da Fazenda dos Estados do Rio Grande do Sul (SEFAZ RS), Santa Catarina (SEFAZ SC) e Goiás (SEFAZ GO). Formado em Engenharia de Petróleo pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) com graduação sanduíche em Engenharia Geológica pela Universidade Politécnica de Madrid (UPM). Certificado pela PUC-RS em Tesouraria com foco em Matemática Financeira.
Você irá perceber que as resoluções das questões são todas feitas passo a passo e bem detalhadas. As respostas intermediárias terão um quadrado azul enquanto a resposta final terá um círculo vinho. Tudo bem detalhado e "limpo" para você absorver ao máximo o conteúdo.
O material abordará questões dos mais variados níveis, desde os mais simples aos mais complexos. Façam TODAS as questões. O segredo para o domínio das questões de exatas é a quantidade de exercícios resolvidos por você na hora da preparação.
Contem sempre comigo. Caso tenham dúvidas, enviem no Fórum de Dúvidas ou por e-mail vinicius.veleda@estrategiaconcursos.com.br.
“Seja qual for o seu sonho, batalhe, lute por ele, não o espere. Seja diferenciado. Não se sinta superior, seja humilde, mas seja diferenciado. Faça sua vida valer a pena. Crie um ideal para ela e siga a jornada até estar concluída, até ser aprovado! ”
Vinícius Veleda Vamos juntos até sua aprovação. Conte comigo!
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J UROS S IMPLES
1. (CESPE / EBSERH - 2018) No que se refere a matemática financeira e finanças, julgue o item seguinte.
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à Taxa de Juros simples de 12% ao ano, o Montante ao final do período será inferior a R$ 10.140.
Comentários:
Observe primeiramente que a Taxa de Juros e o Tempo estão em unidade de grandeza diferentes. Atente- se, então, para a conversão da unidade do tempo de aplicação e da unidade da Taxa de Juros para uma mesma unidade de grandeza.
Vamos transformar as duas unidades para a grandeza "mês".
𝑡 = 45 𝑑𝑖𝑎𝑠 → 𝑡 =45
30 𝑚ê𝑠 → 𝒕 = 𝟏, 𝟓 𝒎ê𝒔 𝑖 = 12% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 → 𝑖 =12
12% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 → 𝒊 = 𝟏% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔
Em Regime de Juros Simples, o Montante é calculado pela seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡)
Onde,
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = ? 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 10.000
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 1% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,01 𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 1,5 𝑚ê𝑠
Substituindo os valores e calculando o Montante:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡)
4 𝑀 = 10.000 × (1 + 0,01 × 1,5)
𝑀 = 10.000 × (1 + 0,015) = 10.000 × 1,015 → 𝑴 = 𝟏𝟎. 𝟏𝟓𝟎
Ou seja, o Montante ao final do período será SUPERIOR a R$ 10.140.
Gabarito: ERRADO
2. (CESPE / SEFAZ RS - 2018) Tendo aplicado determinado Capital durante N meses à Taxa de Juros de 48% ao ano, no regime de Juros simples, determinado investidor obteve o Montante de R$
19.731,60. Considerando que a rentabilidade era favorável, o investidor estendeu a aplicação do Capital inicial por mais um semestre, o que o levou a obter, ao final de todo o período, o Montante de R$ 23.814,00.
Nessa situação, o Capital inicial investido e a quantidade de meses que ele permaneceu aplicado são, respectivamente, iguais a
a) R$ 14.508,52 e 9 meses.
b) R$ 16.537,50 e 11 meses.
c) R$ 17.010,00 e 10 meses.
d) R$ 18.040,90 e 8 meses.
e) R$ 13.332,16 e 12 meses.
Comentários:
Um investidor aplicou um Capital 𝐶 obtendo um Montante de R$ 19.731,60 em N meses. Posteriormente, continuando com o mesmo Capital aplicado, obteve um Montante de R$ 23.814,00 em 6 meses.
Ou seja, nesses 6 meses ele obteve um Juros igual a diferença dos Montantes.
Ora, se eu ganho 1.000 reais em um tempo X meses e depois estou com 1.500 em um tempo X+2 meses, é porque eu ganhei 500 (diferença dos Montantes) nesse tempo a mais (que são os 2 meses).
Sendo assim, os Juros em 6 meses serão iguais a:
𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 23.814,00 − 19.731,60 → 𝑱 = 𝟒. 𝟎𝟖𝟐, 𝟒𝟎
Em Regime de Juros Simples, os Juros são calculados pela seguinte equação:
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡 Onde,
𝐽 = 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = 4.082,40
5 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = ?
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 48% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 = 4% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Atente-se para a conversão da unidade da Taxa de Juros (ano) para a unidade do tempo de aplicação (meses), pois necessariamente devem coincidir.
𝑖 = 48% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 → 𝑖 =48%
12 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 → 𝒊 = 𝟒% 𝒂𝒐 𝒎ê𝒔 Substituindo os valores na fórmula dos Juros e calculando o Capital teremos:
𝐽 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡
4.082,40 = 𝐶 × 4 100× 6
𝐶 =4.082,40 × 100
4 × 6 → 𝑪 = 𝟏𝟕. 𝟎𝟏𝟎
Observe que a única alternativa que traz esse Capital é a Alternativa C (nosso gabarito).
Porém, vamos calcular a quantidade N de meses que esse Capital ficou aplicado gerando um Montante de R$ 19.731,60.
Em Regime de Juros Simples, o Montante é calculado pela seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡)
Onde,
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = 19.731,60 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 17.010
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 4% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,04 𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝑁 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Vamos substituir os valores e calcular N:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡)
19.731,60 = 17.010 × (1 + 0,04 × 𝑁)
6 19.731,60
17.010 = 1 + 0,04𝑁 1,16 = 1 + 0,04𝑁
0,16 = 0,04𝑁 → 𝑵 = 𝟒 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
O Capital ficou aplicado por um total de N meses mais os 6 meses posteriores, totalizando assim um tempo total 𝑡 de aplicação igual a:
𝑡𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 = 4 + 6 → 𝒕𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂çã𝒐= 𝟏𝟎 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 Gabarito: Alternativa C
3. (CESPE / STM - 2018) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma dívida de R$ 20.000, cuja Taxa de Juros de mora é de 21% ao mês no regime de Juros simples.
Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias, julgue o item subsequente.
No regime de Juros simples, a taxa de 21% ao mês é equivalente à taxa de 252% ao ano.
Comentários:
Em Regime de Juros Simples, a Taxa Equivalente é sinônimo de Taxa Proporcional.
Sabemos que em 1 ano há 12 meses. Então, a taxa de juro simples anual 𝑖 proporcional a 21% ao mês será:
𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙× 12
𝑖 = 21% × 12 → 𝒊 = 𝟐𝟓𝟐% 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐 Gabarito: CERTO
4. (CESPE / FUNPRESP - 2016) José aplicou determinado valor presente — VP1 — à Taxa de Juros simples de j% a.m., durante 6 meses, e obteve o Montante M1. João aplicou a mesma quantia, também a Juros simples e à mesma taxa mensal, por 4 meses. Posteriormente, João reaplicou o Montante obtido por mais dois meses, nas mesmas condições, obtendo, ao final, o Montante M2.
Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o próximo item.
7 Independentemente do valor de j, os Montantes M1 e M2 serão sempre iguais.
Comentários:
Observe que, na segunda aplicação, quando João reinveste o valor, o Capital reinvestido é igual ao Montante originado nos 4 meses anteriores e não igual ao Capital Inicial.
Sendo assim, certamente 𝑀2 > 𝑀1.
Ainda resta dúvida? Sem problemas. Vamos atribuir valores ao Capital e à Taxa de Juros e você entenderá o que ocorreu.
Vamos admitir um Capital de R$ 100 e uma Taxa de Juros de 10% ao mês. Iremos calcular o Montante para José (1) e para João (2).
1. José aplicou o Capital de R$ 100 à Taxa de Juros simples de 10% a.m., durante 6 meses, e obteve o Montante M1 igual a:
𝑀1 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡) 𝑀1 = 100 × (1 + 0,1 × 6)
𝑀1 = 100 × (1 + 0,6) 𝑀1 = 100 × 1,6 → 𝑴𝟏= 𝟏𝟔𝟎
2. João aplicou a mesma quantia, também a Juros simples e à mesma taxa mensal, por 4 meses. Sendo assim, o Montante após 4 meses será igual a:
𝑀𝑎𝑝ó𝑠 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡) 𝑀𝑎𝑝ó𝑠 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 100 × (1 + 0,1 × 4)
𝑀𝑎𝑝ó𝑠 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠= 100 × 1,4 → 𝑴𝒂𝒑ó𝒔 𝟒 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 = 𝟏𝟒𝟎
Posteriormente, João irá reaplicar o Montante obtido por mais dois meses, nas mesmas condições, obtendo, ao final, o Montante M2.
Perceba que, nesse reinvestimento, o Capital que será aplicado é o próprio Montante (140) após 4 meses e não o valor inicial (100).
Logo, o Montante final (M2) será igual a:
𝑀1 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡)
8 𝑀2 = 𝑀𝑎𝑝ó𝑠 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠× (1 + 𝑖 × 𝑡)
𝑀2 = 140 × (1 + 0,1 × 2) 𝑀2 = 140 × 1,2 → 𝑴𝟐 = 𝟏𝟔𝟖 Logo, 𝑀2 > 𝑀1.
Gabarito: ERRADO
5. (CESPE / ANAC - 2012) Acerca de juros, no item subsequente apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada.
Um investidor aplicou por 4 meses um capital C em um banco que paga uma taxa de juros simples de 2,5 % ao mês e, ao final desses 4 meses, ele aplicou por 5 meses o montante auferido e mais R$ 6.600,00 em outro banco que paga juros simples de 4% ao mês. Nessa situação, se, ao final dos 5 meses, o montante dessa segunda aplicação for igual a R$ 13.200,00, então C será superior a R$ 4.500,00.
Comentários:
Vamos desenvolver o enunciado por partes.
"Um investidor aplicou por 4 meses um capital C em um banco que paga uma taxa de juros simples de 2,5 % ao mês..."
Iremos calcular o Montante ao final desta primeira operação:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡) 𝑀 = 𝐶 × (1 + 0,025 × 4) 𝑀 = 𝐶 × (1 + 0,1) → 𝑴 = 𝟏, 𝟏𝑪
"... ao final desses 4 meses, ele aplicou por 5 meses o montante auferido e mais R$ 6.600,00 em outro banco que paga juros simples de 4% ao mês."
Ou seja, ele aplicou o valor de 1,1𝐶 + 6.600.
"Nessa situação, se, ao final dos 5 meses, o montante dessa segunda aplicação for igual a R$
13.200,00..."
9 Por fim, vamos aplicar a fórmula do Montante em Regime de Juros Simples e calcular o valor do Capital inicial.
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖 × 𝑡)
13.200 = (1,1𝐶 + 6.600) × (1 + 0,04 × 5)
Observe que, nessa segunda operação, o Capital aplicado, como vimos, é igual ao Montante da primeira operação (1,1𝐶) mais os R$ 6.600. E a taxa de juros, por sua vez, é igual a 4% ao mês.
Desenvolvendo a equação e calculando o valor do Capital:
13.200 = (1,1𝐶 + 6.600) × (1 + 0,04 × 5) 13.200 = (1,1𝐶 + 6.600) × 1,2
13.200
1,2 = 1,1𝐶 + 6.600 11.000 = 1,1𝐶 + 6.600 1,1𝐶 = 11.000 − 6.600
1,1𝐶 = 4.400
𝐶 = 4.400
1,1 → 𝑪 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎
Nessa situação, se, ao final dos 5 meses, o montante dessa segunda aplicação for igual a R$ 13.200,00, então C será INFERIOR a R$ 4.500,00.
Gabarito: ERRADO
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J UROS C OMPOSTOS
6. (CESPE / PGE PE – 2019 - Adaptada) Julgue o item seguinte, relativo a juros, taxas de juros e rendas uniformes e variáveis.
Situação hipotética: Raul fez duas aplicações semestrais e consecutivas de R$ 50.000 cada uma (sendo a primeira no tempo 0), que renderam juros à taxa de juros compostos de 10% ao semestre. Raul resgatou o saldo total ao final do terceiro semestre. Assertiva: Nessa situação, Raul resgatou menos de R$ 120.000.
Comentários:
Raul fez duas aplicações semestrais e consecutivas de R$ 50.000 cada uma (sendo a primeira no tempo 0).
Perceba graficamente o que o problema nos trouxe:
Observe que as duas aplicações são semestrais e consecutivas e a primeira realizada no tempo 0. O montante final será igual a soma dos Montantes de cada aplicação separadamente. Perceba que a primeira aplicação será capitalizada por 3 semestres enquanto e que a segunda será capitalizada apenas por 2. Então,
𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑀1+ 𝑀2
Em regime de Juros compostos, o Montante é calculado pela seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 Onde,
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 50.000
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 10% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 0,1 𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 3 𝑒 2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
11 Iremos substituir os valores e calcular o Montante final da aplicação.
𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑀1+ 𝑀2
𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 50.000 × (1 + 0,1)3+ 50.000 × (1 + 0,1)2 𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 50.000 × 1,13+ 50.000 × 1,12 𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 50.000 × 1,331 + 50.000 × 1,21 𝑀𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 66.550 + 60.500 → 𝑴𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟏𝟐𝟕. 𝟎𝟓𝟎
Ou seja, Raul resgatou MAIS de R$ 120.000,00.
Gabarito: ERRADO
7. (CESPE / STM – 2018 - Adaptada) Uma pessoa atrasou em 15 dias o pagamento de uma dívida de R$ 20.000, cuja taxa de juros de mora é de 21% ao mês no regime de juros simples.
Acerca dessa situação hipotética, e considerando o mês comercial de 30 dias e adotando a convenção exponencial para o regime de juros compostos, julgue o item subsequente.
No regime de juros compostos, o valor dos juros de mora na situação apresentada será R$ 100 menor que no regime de juros simples.
Comentários:
Vamos calcular separadamente o valor dos Juros no regime de Juros Simples e no regime de Juros Compostos e calcular a diferença questionada pelo enunciado.
O enunciado nos informa que:
𝐶 = 20.000
𝑡 = 15 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 0,5 𝑚ê𝑠 𝑖 = 21% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,21
Atente-se para a conversão da unidade do tempo de aplicação (dia) para a unidade da taxa de juros (mês) pois necessariamente devem coincidir. 15 dias é equivalente a metade do mês de 30 dias, ou seja, 0,5 mês.
12
• Em Regime de Juros Simples:
𝐽𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡
𝐽𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = 20.000 × 0,21 × 0,5 → 𝑱𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔 = 𝟐. 𝟏𝟎𝟎
• Em Regime de Juros Compostos:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 𝑀 = 2.000 × (1 + 0,21)0,5
𝑀 = 2.000 × 1,210,5
𝑀 = 2.000 × 1,1 → 𝑀 = 22.000
Abrindo um parêntese: Lembrando que elevar a meio é a mesma operação que extrair a raiz quadrada.
Vamos fazer passo a passo e relembrar as aulas de exponenciação da matemática básica.
1,210,5= 1,211 2⁄ = √1,21 = 1,1
De posse do Montante e do Capital, calculamos os Juros Compostos.
𝐽𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 = 𝑀 − 𝐶
𝐽𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 = 22.000 − 20.000 → 𝑱𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎
Sendo assim, no regime de Juros Compostos os Juros (R$ 2.000,00) serão R$ 100,00 A MENOS que em regime de Juros Simples (R$ 2.100,00).
Gabarito: CERTO
8. (CESPE / FUNSPREV - 2016) Um poupador de pequenas quantias aplicou R$ 100 esperando obter rendimento de 1% de juros compostos ao mês.
Nesse caso, ao final de três meses, o montante da aplicação, em reais, poderá ser calculado pela expressão 102 × (1,01)3.
Comentários:
13 Iremos utilizar a fórmula do Montante em Regime de Juros Compostos para calcular a expressão que fornecerá o Montante da aplicação ao final de 3 meses.
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 Onde,
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = ? 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 100
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 1% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,01 𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Vamos substituir os valores e achar a expressão.
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡
𝑀 = 100 × (1 + 0,01)3 → 𝑴 = 𝟏𝟎𝟎 × (𝟏, 𝟎𝟏)𝟑
Observe que a expressão fornecida pelo enunciado 102 × (1,01)3 não é equivalente à expressão que acabamos de calcular. Logo, a assertiva está errada.
Gabarito: ERRADO
9. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Um indivíduo aplicou R$ 10.000 em um investimento que paga taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização bimestral.
Considerando 1,27 como valor aproximado para 𝟏, 𝟎𝟐𝟏𝟐, julgue o item que se segue.
O montante 2 anos após o início da aplicação terá sido superior a R$ 12.000.
Comentários:
Primeiro passo é converter a Taxa Nominal para a Taxa Efetiva.
Taxa Nominal é a taxa de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização. Observe que a taxa fornecida no enunciado é uma taxa nominal.
𝑖𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 12% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
Nunca resolva um exercício usando a taxa nominal. Sempre devemos passar para a unidade de tempo do período de capitalização. Então tenha em mente: “quem manda é o período de capitalização”.
14 E como passamos da unidade de tempo do período da taxa nominal para a unidade de tempo do período de capitalização?
Basta fazermos uma simples divisão/multiplicação. Em 1 ano há 6 bimestres. Então, a Taxa Efetiva bimestral será um sexto da taxa anual.
𝑖𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 12%
6 → 𝑖𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 = 2% 𝑎𝑜 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 Ou, simplesmente,
𝒊𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 = 𝟐% 𝒂. 𝒃.
✓ Essa será a taxa que devemos utilizar no exercício.
Depois desse primeiro passo (perceba que a explicação é extensa para que você possa entender o passo a passo. Mas, na hora da prova, você consegue fazer essa passagem em apenas uma linha ou até mesmo fazer a divisão “de cabeça”), iremos calcular o Montante após 2 anos de aplicação.
Em regime de Juros Compostos, o Montante é calculado pela seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 Onde,
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = ? 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 10.000
𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 2% 𝑎𝑜 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 = 12 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
Atente-se para a conversão da unidade do tempo de aplicação (ano) para a unidade da taxa de juros (bimestre) pois necessariamente devem coincidir. Em 1 ano há 6 bimestres. Logo, em 2 anos haverá 12 bimestres.
Vamos substituir os valores e calcular o Montante.
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 𝑀 = 10.000 × (1 + 0,02)12
𝑀 = 10.000 × 1,0212
15 𝑀 = 10.000 × 1,27 → 𝑴 = 𝟏𝟐. 𝟕𝟎𝟎
Ou seja, o montante 2 anos após o início da aplicação terá sido SUPERIOR a R$ 12.000.
Gabarito: CERTO
10. (CESPE / Pref. São Cristóvão - 2019) Um indivíduo aplicou R$ 10.000 em um investimento que paga taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização bimestral.
Considerando 1,27 como valor aproximado para 1,0212, julgue o item que se segue.
A taxa efetiva mensal desse investimento é de 1% ao mês.
Comentários:
Primeiro, vamos converter a Taxa Nominal para Taxa Efetiva Bimestral. Taxa Nominal é a taxa de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.
𝑖𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 12% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
Para passarmos da unidade de tempo do período da taxa nominal para a unidade de tempo do período de capitalização basta fazermos uma simples divisão/multiplicação.
Em 1 ano há 6 bimestres. Então, a Taxa Efetiva bimestral será um sexto da taxa anual.
𝑖𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐵𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 12%
6 → 𝒊𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝑩𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 = 𝟐% 𝒂. 𝒃.
Segundo passo é calcular a Taxa Efetiva mensal equivalente à Taxa Efetiva bimestral de 2%.
Ou seja, estamos buscando uma Taxa mensal que capitalizada por 2 meses (1 bimestre) será igual a 2% ao bimestre. Para acharmos a taxa equivalente tomamos como base a potenciação.
(1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)2 = (1 + 𝑖𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙) (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)2 = (1 + 0,02) (1 + 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙)2 = 1,02 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 (𝐼)
16 Nesse ponto, não vamos extrair a raiz. Vamos utilizar a taxa fornecida pelo enunciado (1% ao mês) e saber se é igual a 1,02.
(1 + 0,01)2 = 1,012 = 1,0201
Ou seja, a taxa não será de 1% ao mês. Se fosse, a potência (1 + 𝑖)2 seria igual a 1,0201 e não igual a 1,02 estabelecida na equação (I).
Gabarito: ERRADO
11. (CESPE / MPU – 2015) Julgue o item subsequente considerando que um investidor tenha aplicado R$ 10.000,00 a juros compostos por um semestre e que 1,1 e 1,34 sejam, respectivamente, os valores aproximados para 1,0482 e 1,056.
Se for proposta ao investidor uma taxa de juros nominal semestral de 30%, com capitalização mensal, o valor do juro obtido com a aplicação será superior a R$ 3.300,00.
Comentários:
Primeiro passo é converter a Taxa Nominal para a Taxa Efetiva.
𝑖𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 30% 𝑎𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 Em 1 semestre há 6 meses. Então, a Taxa Efetiva mensal será um sexto da taxa semestral.
𝑖𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑀𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 =30%
6 → 𝒊𝑬𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 𝑴𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍 = 𝟓% 𝒂. 𝒎.
✓ Essa será a taxa que devemos utilizar no exercício.
Depois desse primeiro passo, iremos calcular o Montante após 6 meses de aplicação.
Em regime de Juros Compostos, o Montante é calculado pela seguinte equação:
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡
Onde,
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = ? 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 10.000
17 𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 5% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,05
𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 1 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Atente-se para a conversão da unidade do tempo de aplicação (semestre) para a unidade da taxa de juros (mês) pois necessariamente devem coincidir. Em 1 semestre há 6 meses.
Vamos substituir os valores e calcular o Montante.
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 𝑀 = 10.000 × (1 + 0,05)6
𝑀 = 10.000 × (1,05)6
𝑀 = 10.000 × 1,34 → 𝑴 = 𝟏𝟑. 𝟒𝟎𝟎
De posse do Montante e do Capital, calculamos os Juros (que é dado pela diferença do Montante recebido menos o Capital aplicado).
𝐽 = 𝑀 − 𝐶
𝐽 = 13.400 − 10.000 → 𝑱 = 𝟑. 𝟒𝟎𝟎
Ou seja, o valor do juro obtido com a aplicação será SUPERIOR a R$ 3.300,00.
Gabarito: CERTO
12. (CESPE / CGE PI - 2015) Considerando que uma instituição financeira empreste a quantia de R$
5.000,00 para ser quitada em um ano, sob taxa de juros compostos anual e capitalização semestral, julgue o item que se segue.
Considere que um cliente tenha feito o referido empréstimo e que, ao fim do ano, tenha pagado à instituição em questão o montante de R$ 6.050,00. Nessa situação, sabendo-se que √1,21 = 1,1 , a taxa nominal anual cobrada no empréstimo foi superior a 18%.
Comentários:
Iremos aplicar a fórmula do Montante em regime de Juros Compostos e calcular a taxa efetiva da operação.
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 Onde,
18 𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 6.050
𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 5.000 𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = ?
𝑡 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 1 𝑎𝑛𝑜 = 2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠
Vamos substituir os valores e calcular a taxa efetiva semestral.
𝑀 = 𝐶 × (1 + 𝑖)𝑡 6.050 = 5.000 × (1 + 𝑖)2
6.050
5.000= (1 + 𝑖)2 1,21 = (1 + 𝑖)2
1 + 𝑖 = √1,21
1 + 𝑖 = 1,1 → 𝒊 = 𝟎, 𝟏 𝒐𝒖 𝟏𝟎% 𝒂𝒐 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆
Observe que o enunciado nos questiona qual a taxa NOMINAL e não a equivalente.
Estamos acostumados, nos exercícios, a transformar a Nominal em Efetiva. Porém, essa questão nos pede a
"volta" dessa transformação.
Para transformar taxa nominal em efetiva (ou vice-versa) fazemos uma simples divisão/multiplicação.
Em 1 ano há 2 semestres. Então, a taxa nominal anual capitalizada semestralmente será igual a:
𝑖𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙 = 𝑖𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙× 2
𝑖𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐴𝑛𝑢𝑎𝑙 = 10% × 2 → 𝒊𝑵𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍 = 𝟐𝟎%
Ou seja, a taxa nominal anual cobrada no empréstimo foi SUPERIOR a 18%.
Gabarito: CERTO
19 13. (CESPE / TJ CE - 2014) Considere que dois capitais de mesmo valor C tenham sido aplicados, um
no regime de juros simples e outro no regime de juros compostos, às mesmas taxas de juros anuais e no mesmo prazo, o que gerou, respectivamente, os montantes M e N. Nessa situação, é correto afirmar que
a) M > N, para prazo inferior a um ano.
b) N > M, para prazo inferior a um ano.
c) M = N, visto que são calculados com a mesma taxa de juros e com o mesmo prazo.
d) M > N, qualquer que seja o prazo da operação.
e) N > M, qualquer que seja o prazo da operação.
Comentários:
Essa é uma boa questão para revisarmos os aspectos conceituais entre Juros Simples e Juros Compostos abordados na aula inicial do curso teórico.
Dado 2 Capitais de mesmo valor inicial submetidos a uma mesma Taxa de Juros, 3 hipóteses de cenários serão possíveis em função do tempo de aplicação:
1. 𝑡 < 1: Para 𝑡 menor que 1 unidade de tempo, o Regime de Juros Simples irá proporcionar um Montante (e logicamente um Juros) maior que o Regime de Juros Compostos.
𝑀𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 > 𝑀𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ∴ 𝐽𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 > 𝐽𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠
2. 𝑡 = 1: Para o tempo igual a 1 unidade: Há indiferença nas aplicações.
𝑀𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = 𝑀𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ∴ 𝐽𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 = 𝐽𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠
3. 𝑡 > 1: Para 𝑡 maior que 1 unidade de tempo, o Regime de Juros Compostos irá proporcionar um Montante (e logicamente um Juros) maior que o Regime de Juros Simples.
𝑀𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 > 𝑀𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 ∴ 𝐽𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 > 𝐽𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 Vamos esquematizar esses cenários:
20 Perceba então, que para prazo inferior a 1 ano, o Montante em regime de Juros Simples M será maior que o Montante em regime de Juros Compostos N.
Logo, M > N, para prazo inferior a um ano.
Gabarito: Alternativa A
21
T AXA A PARENTE , T AXA R EAL E T AXA DE I NFLAÇÃO
14. (CESPE / PGE PE – 2019) Julgue o item seguinte, relativo a juros, taxas de juros e rendas uniformes e variáveis.
Situação hipotética: Paulo aplicou R$ 20.000 em determinado investimento e resgatou o total dois anos depois. O juro real recebido por Paulo no período foi de 30% e o valor resgatado foi de R$
31.200. Assertiva: Nessa situação, a inflação acumulada no período foi inferior a 15%.
Comentários:
A banca nos informa o valor do Capital aplicado e do Montante resgatado. Sendo assim, vamos aplicar a equação de relação adaptada entre as taxas e calcular a taxa de inflação.
𝑀
𝐶 = (1 + 𝑖𝑟) × (1 + 𝑖𝑖) Onde,
𝑀 = 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 31.200 𝐶 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 = 20.000 𝑖𝑟 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 30% = 0,3 𝑖𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜 = ?
Observe que a única incógnita da equação é a Taxa de inflação. Iremos substituir os valores e calculá-la para constatar se será inferior ou superior a 15% no período.
𝑀
𝐶 = (1 + 𝑖𝑟) × (1 + 𝑖𝑖)
31.200
20.000= (1 + 0,3) × (1 + 𝑖𝑖) 1,56 = 1,3 × (1 + 𝑖𝑖)
(1 + 𝑖𝑖) =1,56 1,3 1 + 𝑖𝑖 = 1,2
𝑖𝑖 = 1,2 − 1 → 𝒊𝒊= 𝟎, 𝟐 𝒐𝒖 𝟐𝟎% 𝒏𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐
22 Ou seja, nessa situação, a inflação acumulada no período foi SUPERIOR a 15%.
Gabarito: ERRADO
15. (CESPE / BNB – 2018) No que se refere a matemática financeira, julgue o seguinte item.
Se em determinado ano a taxa de juros aparente for de 10% ao ano e se a taxa real de juros nesse período for de 12%, então, nesse ano, a taxa de inflação será negativa, ou seja, haverá deflação.
Comentários:
Vamos aplicar diretamente a equação de relação entre as taxas e calcular a taxa de inflação do período.
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟) × (1 + 𝑖𝑖) Onde,
𝑖𝑎 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = 10% = 0,1 𝑖𝑟 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 12% = 0,12 𝑖𝑖 = 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎çã𝑜 = ?
Iremos substituir os valores e calcular a Taxa de inflação.
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟) × (1 + 𝑖𝑖) (1 + 0,1) = (1 + 0,12) × (1 + 𝑖𝑖)
1,1 = 1,12 × (1 + 𝑖𝑖)
(1 + 𝑖𝑖) = 1,1 1,12 1 + 𝑖𝑖 ≅ 0,98
𝑖𝑖 ≅ 0,982 − 1 → 𝒊𝒊≅ −𝟎, 𝟎𝟏𝟖 𝒐𝒖 − 𝟏, 𝟖% 𝒂𝒐 𝒂𝒏𝒐
Isto é, a taxa de inflação será NEGATIVA (deflação).
Gabarito: CERTO
16. (CESPE / FUB - 2018) A respeito de sistemas de amortização e de taxas de juros de empréstimos bancários, julgue o item a seguir.
23 Em uma economia inflacionária, a taxa real de juros para um empréstimo bancário será sempre maior que a correspondente taxa nominal.
Comentários:
Estudamos que, em uma economia inflacionária, isto é, inflação positiva (> 0), a Taxa real de Juros é sempre MENOR que a Taxa aparente. Vamos relembrar o esquema aprendido no curso teórico.
Vamos entender essa passagem tanto conceitual quanto numericamente (explicação que consta na parte teórica da aula em PDF).
Vimos que a Taxa real é a taxa de juros descontada da inflação. Ou seja, para calcular a Taxa real, pegamos a Taxa Nominal e descontamos a inflação. Ora, se a taxa de inflação for positiva e descontarmos esse valor da Taxa Nominal, certamente iremos encontrar um valor menor que esta última. Este valor menor é a Taxa real.
Ainda ficou confuso? Tenho certeza que numericamente tudo irá se esclarecer. Imagine que a Taxa Aparente seja de 20% no período e a Taxa de inflação seja de 10%. Qual será o valor da Taxa real?
Estamos diante de um exemplo de uma economia inflacionária, uma vez que, a taxa de inflação é positiva.
Vamos utilizar a equação que correlaciona as taxas e calcular a taxa real.
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟) × (1 + 𝑖𝑖) (1 + 0,2) = (1 + 𝑖𝑟) × (1 + 0,1)
1,2 = (1 + 𝑖𝑟) × 1,1
1,2
1,1= (1 + 𝑖𝑟) 1 + 𝑖𝑟 = 1,091
𝑖𝑟 = 1,091 − 1 → 𝒊𝒓= 𝟎, 𝟎𝟗𝟏 𝒐𝒖 𝟗, 𝟏% 𝒏𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐
Constatamos então que a Taxa real (9,1%), em uma economia inflacionária, é MENOR que a Taxa aparente (20%).
24 Percebeu? Tínhamos uma Taxa Aparente de 20% e descontamos um valor positivo sobre ela (10%).
Resultando, assim, em uma Taxa menor que ela (que é a Taxa real). Logo, a assertiva está errada.
Gabarito: ERRADO
17. (CESPE / PF - 2013) Acerca de questões atinentes a matemática financeira, julgue o item subsecutivo.
Considerando-se que a inflação nos últimos três meses tenha sido de 1%, 2% e 3%, é correto afirmar que a inflação média no período foi de 2%.
Comentários:
Intuitivamente, você já imaginaria que a média não será igual a 2%, uma vez que para calcular a inflação acumulada NÃO SOMAMOS as inflações.
O resultado 2% somente seria encontrado se somássemos as inflações e dividíssemos por 3. O que seria um erro grave em inflação acumulada como já estudamos.
A inflação acumulada é dada pela seguinte fórmula:
(𝟏 + 𝒊𝒊𝒂𝒄) = (𝟏 + 𝒊𝒊𝟏) × (𝟏 + 𝒊𝒊𝟐) × (𝟏 + 𝒊𝒊𝟑) × … × (𝟏 + 𝒊𝒊𝒏) Então, para 3 meses teremos inflação acumulada igual a:
(1 + 𝑖𝑖𝑎𝑐) = (1 + 𝑖𝑖1) × (1 + 𝑖𝑖2) × (1 + 𝑖𝑖3) (1 + 𝑖𝑖𝑎𝑐) = (1 + 0,01) × (1 + 0,02) × (1 + 0,03)
(1 + 𝑖𝑖𝑎𝑐) = 1,01 × 1,02 × 1,03 1 + 𝑖𝑖𝑎𝑐 ≅ 1,0611
𝑖𝑖𝑎𝑐 ≅ 1,0611 − 1 → 𝒊𝒊𝒂𝒄 ≅ 𝟎, 𝟎𝟔𝟏𝟏 𝒐𝒖 𝟔, 𝟏𝟏%
E para achar a inflação média, dividimos a inflação acumulada em 3 meses pela quantidade de meses.
𝑖𝑚é𝑑𝑖𝑎 = 6,11%
3 → 𝒊𝒎é𝒅𝒊𝒂= 𝟐, 𝟎𝟑𝟔𝟕%
Logo, é INCORRETO afirmar que a inflação média no período foi de 2%.
Gabarito: ERRADO
25
D ESCONTOS
18. (Cespe / Pref. São Cristóvão – 2019) Uma pessoa pagou um título 3 meses antes do seu vencimento à taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês. O valor descontado (valor atual) foi de R$ 910.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item subsequente.
O valor nominal desse título era superior a R$ 1.200.
Comentários:
No Desconto Comercial Simples, o Valor Atual é calculado pela seguinte fórmula:
𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖 × 𝑡) Onde,
𝐴 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐴𝑡𝑢𝑎𝑙 = 910 𝑁 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = ?
𝑖 = 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜 = 10% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 = 0,1 𝑡 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
Observe que a única incógnita da equação é o Valor Nominal. Vamos substituir os valores e calculá-lo.
𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖 × 𝑡) 910 = 𝑁 × (1 − 0,1 × 3)
910 = 𝑁 × (1 − 0,3) 910 = 𝑁 × 0,7
𝑁 =910
0,7 → 𝑵 = 𝟏. 𝟑𝟎𝟎
Ou seja, o valor nominal desse título era SUPERIOR a R$ 1.200.
Gabarito: CERTO
26 19. (Cespe / Pref. São Cristóvão – 2019) Uma pessoa pagou um título 3 meses antes do seu
vencimento à taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês. O valor descontado (valor atual) foi de R$ 910.
Considerando essa situação hipotética, julgue o item subsequente.
Se na operação de desconto fosse usado o desconto racional de 10% ao mês e as outras condições fossem mantidas sem alteração, então o desconto do título seria de R$ 673.
Comentários:
Primeiro passo é calcular o Valor Nominal desse título. Uma pessoa pagou um título 3 meses antes do seu vencimento à taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês. O valor descontado (valor atual) foi de R$
910. No Desconto Comercial Simples, o Valor Atual é calculado pela seguinte fórmula:
𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖 × 𝑡) Vamos substituir os valores e calcular o Valor Nominal.
𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖 × 𝑡) 910 = 𝑁 × (1 − 0,1 × 3)
910 = 𝑁 × (1 − 0,3) 910 = 𝑁 × 0,7
𝑁 =910
0,7 → 𝑵 = 𝟏. 𝟑𝟎𝟎
A banca nos questiona qual seria o Desconto caso esse mesmo título (de Valor Nominal que acabamos de calcular) fosse descontado em uma operação de desconto racional simples.
Vamos utilizar a fórmula do Valor Atual em Desconto Racional Simples e calcular seu valor.
𝐴 = 𝑁
(1 + 𝑖 × 𝑡)
𝐴 = 1.300 (1 + 0,1 × 3)
𝐴 = 1.300 (1 + 0,3) 𝐴 =1.300
1,3 → 𝑨 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎
27 De posse do Valor Nominal e do Valor Atual, calculamos o Desconto Racional Simples, uma vez que, o Desconto, em qualquer modalidade, é calculado pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual.
𝐷𝑅𝑆= 𝑁 − 𝐴
𝐷𝑅𝑆 = 1.300 − 1.000 → 𝑫𝑹𝑺 = 𝟑𝟎𝟎
Logo, se na operação de desconto fosse usado o desconto racional de 10% ao mês e as outras condições fossem mantidas sem alteração, então o desconto do título seria de R$ 300.
Outro modo de se fazer, seria utilizar a fórmula de relação entre os Descontos. Vejamos.
Calculamos o Valor Nominal do título que foi de R$ 1.300,00. Logo, o Desconto Comercial Simples será igual a:
𝐷𝐶𝑆 = 𝑁 − 𝐴
𝐷𝐶𝑆 = 1.300 − 910 → 𝑫𝑪𝑺 = 𝟑𝟗𝟎
Vamos utilizar a fórmula de relação entre o Desconto Comercial Simples e o Desconto Racional Simples e calcular este último.
𝐷𝐶𝑆 = 𝐷𝑅𝑆× (1 + 𝑖 × 𝑡) 390 = 𝐷𝑅𝑆× (1 + 0,1 × 3)
390 = 𝐷𝑅𝑆× 1,3
𝐷𝑅𝑆= 390
1,3 → 𝑫𝑹𝑺 = 𝟑𝟎𝟎 Gabarito: ERRADO
20. (Cespe / TCU – 2013) Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
28 Se for decidida a utilização de desconto racional simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento das duas últimas parcelas, o valor total do desconto será superior a R$ 35.000,00.
Comentários:
Vamos representar graficamente os pagamentos para melhor compreensão do problema.
No final do segundo ano, a empresa concluiu satisfatoriamente o serviço e foi negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela.
Sendo assim, ao final do segundo ano teremos a seguinte situação:
Logo, teremos que descontar a terceira e quarta parcelas, sendo a terceira descontada por um período 𝑡 de 1 ano e a quarta por um período 𝑡 de 2 anos.
Obs. Logicamente, na hora da prova, você não precisa desenhar. Basta raciocinar em cima do enunciado. O desenho está sendo feito para melhor compreensão da situação.
Então, se for decidida a utilização de desconto racional simples, a uma taxa de 10% ao ano para pagamento das duas últimas parcelas, os valores atuais serão:
𝐴1 = 𝑁
(1 + 𝑖 × 𝑡1)= 132.000
(1 + 0,1 × 1)=132.000
1,1 → 𝑨𝟏 = 𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎
29
𝐴2 = 𝑁
(1 + 𝑖 × 𝑡2) = 132.000
(1 + 0,1 × 2)=132.000
1,2 → 𝑨𝟐= 𝟏𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 Logo, haverá um pagamento total de:
𝐴𝑇 = 𝐴1+ 𝐴2
𝐴𝑇 = 120.000 + 110.000 → 𝑨𝑻= 𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Ainda restavam 2 pagamentos de R$ 132.000 (total de R$ 264.000) que resultou um Valor Atual de R$
230.000,00. Logo, o valor total do desconto será:
𝐷 = 𝑁 − 𝐴
𝐷 = 264.000 − 230.000 → 𝑫 = 𝟑𝟒. 𝟎𝟎𝟎 Ou seja, INFERIOR a R$ 35.000,00.
Gabarito: ERRADO
21. (Cespe / TCU – 2013) Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Se for utilizado desconto comercial simples a uma taxa de 10% ao ano para pagamento das duas últimas parcelas, o valor total a ser pago à empresa no final do segundo ano será inferior a R$ 350.000,00.
Comentários:
Conforme vimos na questão anterior, ao final do segundo ano, a empresa concluiu satisfatoriamente o serviço e foi negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela.
Sendo assim, ao final do segundo ano teremos a seguinte situação:
30 Ou seja, a empresa pagará a segunda parcela mais o valor da terceira parcela descontada por 1 ano mais o valor da quarta parcela descontada por 2 anos, certo?!
Vamos calcular então o Valor Atual da terceira e da quarta parcelas na modalidade de Desconto Comercial Simples.
• Terceira Parcela:
𝐴3 = 𝑁 × (1 − 𝑖 × 𝑡) 𝐴3 = 132.000 × (1 − 0,1 × 1)
𝐴3 = 132.000 × (1 − 0,1)
𝐴3 = 132.000 × 0,9 → 𝑨𝟑= 𝟏𝟏𝟖. 𝟖𝟎𝟎
Logo, o Valor Atual da terceira parcela ao final do ano 2 será de R$ 118.800.
• Quarta Parcela:
𝐴4 = 𝑁 × (1 − 𝑖 × 𝑡) 𝐴4 = 132.000 × (1 − 0,1 × 2)
𝐴4 = 132.000 × (1 − 0,2)
𝐴4 = 132.000 × 0,8 → 𝑨𝟒= 𝟏𝟎𝟓. 𝟔𝟎𝟎
Logo, o Valor Atual da quarta parcela ao final do ano 2 será de R$ 105.600.
No final do segundo ano, a empresa antecipou o pagamento das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Sendo assim, a empresa pagou um total de:
31
$ = 132.000 + 118.800 + 105.600 → $ = 𝟑𝟓𝟔. 𝟒𝟎𝟎
Ou seja, o valor total a ser pago à empresa no final do segundo ano será SUPERIOR a R$ 350.000,00.
Gabarito: ERRADO
22. (Cespe / TCU – 2013) Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples.
Comentários:
Como vimos, a terceira parcela será descontada do final do ano 3 para o final do ano 2, ou seja, durante um período 𝑡 de 1 ano.
Vamos obter a fórmula do Valor Atual para o Desconto Racional Composto e para o Desconto Racional Simples e verificar se serão iguais ou não para um período 𝑡 de 1 ano.
Desconto Racional Composto:
𝐴 = 𝑁
(1 + 𝑖)𝑡 → 𝐴 = 𝑁
(1 + 𝑖)1 → 𝑨 = 𝑵 𝟏 + 𝒊
32 Desconto Racional Simples:
𝐴 = 𝑁
(1 + 𝑖 × 𝑡) → 𝐴 = 𝑁
(1 + 𝑖 × 1) → 𝑨 = 𝑵 𝟏 + 𝒊
Observe que não precisamos fazer as contas (assim poupamos tempo na hora da prova). Perceba que, para um período 𝒕 de 1 ano, o Valor Atual, tanto para o desconto racional composto quanto para o desconto racional simples, terá a mesma fórmula e logicamente o mesmo resultado.
Sendo assim, se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela SERÁ O MESMO que seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples.
Gabarito: CERTO
23. (Cespe / TCU – 2013) Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas para serem pagas juntamente com a segunda parcela. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Se na antecipação for utilizado desconto comercial composto, a uma taxa de 10% ao ano, para pagamento das duas últimas parcelas, o valor do desconto obtido com a quarta parcela será igual a R$ 25.080,00.
Comentários:
Vimos que a quarta parcela será descontada do final do quarto ano para o final do segundo ano, ou seja, por um período 𝑡 de 2 anos.
Vamos aplicar a fórmula do Valor Atual no Desconto Comercial Composto e calcular o Valor Atual da quarta parcela:
𝐴 = 𝑁 × (1 − 𝑖)𝑡 𝐴 = 132.000 × (1 − 0,1)2
𝐴 = 132.000 × (0,9)2
𝐴 = 132.000 × 0,81 → 𝑨 = 𝟏𝟎𝟔. 𝟗𝟐𝟎
Logo, o valor do Desconto será igual a:
33 𝐷 = 𝑁 − 𝐴
𝐷 = 132.000 − 106.920 → 𝑫 = 𝟐𝟓. 𝟎𝟖𝟎 Gabarito: CERTO
24. (Cespe / PEFOCE - 2012) O valor da anuidade cobrada por determinado conselho regional de contabilidade de seus associados é de R$ 400,00 para pagamento até 31 de maio de cada ano.
Para pagamento antecipado, até 31 de março, dá-se um desconto comercial simples de 2,5% ao mês. O associado Marcos dispunha, em 31/3/2012, de apenas R$ 200,00 em sua conta corrente e só receberia o seu salário em 4/4/2012. Tanto o salário de Marcos quanto o limite de sua conta corrente especial são suficientes para o pagamento da anuidade, e a taxa de juros compostos cobrada pelo banco pelo uso de valor disponível na conta especial é de 9% ao mês com capitalização diária.
Considerando a situação apresentada acima e 1,094 e 1,012 como valores aproximados para 1,00330 e 1,0034, respectivamente, julgue o item seguinte.
Caso o desconto dado para o pagamento da anuidade no dia 31/3/2012 fosse calculado pelo critério racional simples, com a mesma taxa de 2,5% ao mês, o valor do desconto seria superior àquele obtido pelo critério comercial simples.
Comentários:
Essa questão trata da parte conceitual entre Desconto Racional e Comercial. Estudamos na parte teórica que:
Para um mesmo título de Valor Nominal 𝑁, descontado a uma taxa de 𝑖% em um prazo 𝑡 de antecipação:
𝑫𝑪 > 𝑫𝑹 𝑒 𝑨𝑪< 𝑨𝑹
Se você não se recorda do porquê deste resultado, então, essa é uma boa hora de voltar na parte teórica e revisar o assunto.
Então, caso o desconto dado para o pagamento fosse calculado pelo critério racional simples, com a mesma taxa de 2,5% ao mês, o valor do desconto seria INFERIOR àquele obtido pelo critério comercial simples.
Vamos provar matematicamente?
Iremos calcular separadamente o Desconto Comercial Simples e o Desconto Racional Simples e provar o que acabamos de apresentar. (Lembrando, mais uma vez, que essa questão era para ser feita com conhecimentos teóricos de Descontos).
Desconto Comercial Simples
34 𝐷𝐶𝑆 = 𝑁 × 𝑖 × 𝑡
𝐷𝐶𝑆 = 400 × 0,025 × 2 → 𝑫𝑪𝑺 = 𝟐𝟎
Observe que o tempo de antecipação é igual a 2 meses (mês de abril todo e mês de maio todo).
Desconto Racional Simples Primeiro calculamos o Valor Atual:
𝐴 = 𝑁
(1 + 𝑖 × 𝑡)
𝐴 = 400
(1 + 0,025 × 2)
𝐴 = 400
(1 + 0,05)
𝐴 = 400
1,05 → 𝑨 ≅ 𝟑𝟖𝟏 Segundo, calculamos o Desconto Racional Simples:
𝐷𝑅𝑆= 𝑁 − 𝐴
𝐷𝑅𝑆 = 400 − 381 → 𝑫𝑹𝑺 = 𝟏𝟗
Perceba, então, que o 𝑫𝑪𝑺 > 𝑫𝑹𝑺 como queríamos demonstrar.
Gabarito: ERRADO
25. (Cespe / Pref. São Cristóvão - 2019) Sandra possui duas dívidas: uma no valor nominal de R$
600, que ela pretende quitar 4 meses antes do vencimento; e outra, no valor nominal de R$
1.000, que ela pretende quitar 8 meses antes do vencimento.
Considerando que, nas duas operações de desconto, seja usado o desconto comercial simples de 5% ao mês, julgue o item seguinte.
A taxa efetiva mensal no pagamento da dívida de R$ 600 será superior a 6%.
Comentários:
No Desconto Comercial, a taxa (que incide sobre o Valor Nominal) é uma taxa NÃO efetiva.
35 A Taxa efetiva da operação de desconto é calculada pela seguinte fórmula:
𝑖𝑒𝑓 = 𝑖𝐶𝑆 1 − 𝑖𝐶𝑆× 𝑡
Vamos substituir o valor da Taxa Comercial Simples 𝑖𝐶𝑆 = 5% = 0,05 e calcular a taxa efetiva.
𝑖𝑒𝑓 = 𝑖𝐶𝑆 1 − 𝑖𝐶𝑆× 𝑡
𝑖𝑒𝑓 = 0,05 1 − 0,05 × 4
Observe que a dívida de R$ 600,00 tem período de antecipação de 4 meses. Logo, 𝑡 = 4. Continuando as contas:
𝑖𝑒𝑓 = 0,05 1 − 0,2
𝑖𝑒𝑓 =0,05
0,8 → 𝒊𝒆𝒇 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓 𝒐𝒖 𝟔, 𝟐𝟓%
Então, a taxa efetiva mensal no pagamento da dívida de R$ 600 será SUPERIOR a 6%.
Gabarito: CERTO
36
E QUIVALÊNCIA DE C APITAIS
26. (CESPE / TCDF - 2021) Certo produto foi anunciado por um preço P, valor que o vendedor aceita dividir em até três parcelas iguais, mensais e sucessivas, com ou sem entrada, conforme o desejo do cliente. No caso de pagamento à vista, o vendedor aceita entregar o produto por 0,9P.
Considerando a situação hipotética apresentada, julgue o item a seguir.
Se, ao adquirir o produto, o cliente optar por pagar o valor P com um cheque para o mês seguinte, ele pagará uma taxa de juros efetiva de 10% a.m.
Comentários:
Vamos representar graficamente a opção de compra:
Vamos fazer a equivalência de capitais e calcular o valor da taxa.
0,9𝑃 × (1 + 𝑖) = 𝑃
Perceba que transportamos a parcela "0,9𝑃" para o futuro, e para isso, devemos multiplicar por (1 + 𝑖).
Nesse caso, a banca não especifica o regime de juros. Porém, para a unidade de tempo igual a 1 (1 mês no nosso problema), tanto para regime simples quanto para composto, o fator multiplicativo será (1 + 𝑖).
Sendo assim, o valor da taxa será:
0,9𝑃 × (1 + 𝑖) = 𝑃 0,9 × (1 + 𝑖) = 1
0,9 + 0,9𝑖 = 1 0,9𝑖 = 1 − 0,9
0,9𝑖 = 0,1
37 𝑖 =0,1
0,9
Na hora da prova, utilize um pouco da experiência de resolução de questões. Você não precisa fazer essa conta e calcular o valor exato da taxa. Perceba que essa divisão certamente não será exata e, logo, não será igual a 0,1 (10%).
Ou seja, a assertiva do enunciado está INCORRETA. A taxa de juros efetiva não será igual a 10%.
Vamos fazer a divisão para constatar tal fato.
𝑖 =0,1
0,9 → 𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒐𝒖 𝟏𝟏, 𝟏𝟏%
Um outro modo de se fazer, que eu acredito que seja até mais rápido, é testar a taxa de 10% e conferir o valor do fluxo de caixa de "0,9𝑃" um mês depois. Ficaríamos com:
= 0,9𝑃 × (1 + 0,1)
= 0,9𝑃 × 1,1
= 0,99𝑃
Ou seja, com a taxa de 10% não teríamos P e sim 0,99P. Logo, a assertiva está INCORRETA.
Gabarito: ERRADO
27. (CESPE / TCE SC – 2019) No item que se segue, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de investimentos e de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
João comprou um equipamento, cujo preço à vista era de R$ 800, em duas prestações mensais, consecutivas e distintas. A primeira prestação, de R$ 440, foi paga um mês após a compra, e a taxa de juros compostos desse negócio foi de 10% ao mês. Nessa situação, o valor da segunda prestação foi superior a R$ 480.
Comentários:
Como sempre, primeiramente, vamos representar graficamente o comando da questão.
38 Vamos proceder com a equivalência de capitais na data focal 𝑡 = 2 (onde se encontra a parcela P).
Geralmente, iremos escolher datas futuras para comparar, uma vez que, como estudamos, para transportar para o futuro, multiplicamos as parcelas. Enquanto que, para transportar do futuro para o presente, dividimos. E acredito que multiplicar, na hora da prova, é mais fácil e mais rápido que dividir.
Observe que, no capital vermelho, a parcela de 800 será deslocada 2 unidades para a direita. Já no capital azul, a parcela de 440 será deslocada 1 unidade para a direita e a parcela P já está sobre o tempo focal 𝑡 = 2.
Em regime de juros compostos, quando deslocamos para a direita, multiplicamos por (1 + 𝑖)𝑡. Logo,
800 × (1 + 0,1)2 = 440 × (1 + 0,1)1+ 𝑃 800 × 1,12 = 440 × 1,1 + 𝑃 800 × 1,21 = 440 × 1,1 + 𝑃
968 = 484 + 𝑃
𝑃 = 968 − 484 → 𝑷 = 𝟒𝟖𝟒
Ou seja, nessa situação, o valor da segunda prestação foi SUPERIOR a R$ 480.
Gabarito: CERTO
28. (CESPE / TCE SC – 2016) No item que se segue, é apresentada uma situação hipotética a respeito de avaliação de investimentos e de taxas de juros, seguida de uma assertiva a ser julgada.
Uma casa foi colocada à venda por R$ 120.000 à vista, ou em três parcelas, sendo a primeira de R$ 20.000 no ato da compra e mais duas mensais e consecutivas, sendo a primeira no valor de R$ 48.000 a ser pago um mês após a compra e a segunda, no final do segundo mês, no valor de R$ 72.000. Se a taxa de juros compostos na venda parcelada for de 20% ao mês, a melhor opção de compra é pela compra parcelada.
39 Comentários:
Vamos representar graficamente a segunda opção de compra da casa, isto é, uma entrada de R$ 20.000 e mais duas mensais e consecutivas, sendo a primeira no valor de R$ 48.000 a ser pago um mês após a compra e a segunda, no final do segundo mês, no valor de R$ 72.000.
Nesse caso, o Valor Presente será igual a soma do Valor Presente da primeira parcela mais o Valor Presente da segunda parcela mais o Valor Presente da terceira parcela.
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1+ 𝑉𝑃2+ 𝑉𝑃3
Para calcular o Valor Presente vamos utilizar a fórmula estudada para o regime de juros compostos e calcular cada parcela separadamente.
Perceba que a primeira parcela já está na data focal 𝑡 = 0.
𝑽𝑷𝟏 = 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎
A segunda parcela será descontada pelo período de 1 mês enquanto que a terceira parcela será descontada pelo período de 2 meses.
𝑉𝑃2 = 𝑉𝐹2
(1 + 𝑖)𝑡2 → 𝑉𝑃2 = 48.000
(1 + 0,2)1 =48.000
1,2 → 𝑽𝑷𝟐= 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝑉𝑃3 = 𝑉𝐹3
(1 + 𝑖)𝑡3 → 𝑉𝑃3 = 72.000
(1 + 0,2)2 =72.000
1,44 → 𝑽𝑷𝟑= 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎
40 Logo, o Valor Presente desse fluxo de caixa será igual a:
𝑉𝑃 = 𝑉𝑃1+ 𝑉𝑃2+ 𝑉𝑃3
𝑉𝑃 = 20.000 + 40.000 + 50.000 → 𝑽𝑷 = 𝟏𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
Ou seja, comparando as 2 situações na data focal 𝑡 = 0, percebe-se que a melhor opção de compra seria a compra parcelada, uma vez que se gastaria menos que a compra à vista de R$ 120.000,00.
Gabarito: CERTO
41
R ENDAS U NIFORMES
29. (CESPE / Pref. São Cristóvão – 2019) Sandra possui duas dívidas: uma no valor nominal de R$
600, que ela pretende quitar 4 meses antes do vencimento; e outra, no valor nominal de R$
1.000, que ela pretende quitar 8 meses antes do vencimento.
Considerando que, nas duas operações de desconto, seja usado o desconto comercial simples de 5% ao mês, julgue o item seguinte.
Se Sandra fizer 5 aplicações mensais, consecutivas e iguais a R$ 100, à taxa de juros compostos de 10% ao mês, então, considerando-se 1,61 como valor aproximado para 1,15, é correto afirmar que, quando Sandra fizer a 5.ª aplicação, o montante nesse momento será superior ao valor nominal da primeira dívida.
Comentários:
Vamos calcular o Valor Futuro das 5 aplicações mensais feitas por Sandra e saber se essa soma é superior ou não ao valor nominal da primeira dívida (R$ 600,00).
O Valor Futuro (VF) de uma série de rendas certas é o valor no momento “n” que equivale a soma de todas as n rendas certas P capitalizadas pela mesma taxa de juros i.
Em outras palavras, VF é a soma de todos os pagamentos/recebimentos na mesma data do último pagamento/recebimento.
Vejamos graficamente:
O Valor Futuro (VF) de uma Série de Rendas Certas é calculado pela seguinte equação:
𝑉𝐹 = 𝑃 × [(1 + 𝑖)𝑛− 1
𝑖 ]
Vamos substituir os valores e calcular VF.
42 𝑉𝐹 = 100 × [(1 + 0,1)5− 1
0,1 ]
𝑉𝐹 = 100 × [1,61 − 1 0,1 ]
𝑉𝐹 = 100 ×0,61
0,1 → 𝑽𝑭 = 𝟔𝟏𝟎
Ou seja, é correto afirmar que, quando Sandra fizer a 5.ª aplicação, o montante nesse momento será SUPERIOR ao valor nominal da primeira dívida que é de R$ 600,00.
Gabarito: CERTO
30. (CESPE / MTE – 2014) Fabiana comprou um veículo financiado, sem entrada, em 50 prestações mensais e consecutivas de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir, considerando 0,37 como valor aproximado de 1,02−50.
À vista, o preço do veículo é superior a R$ 32.000,00.
Comentários:
Vamos representar graficamente a compra feita por Fabiana.
Observe que se trata de uma série postecipada, uma vez que não houve pagamento de entrada na compra.
