para uma Classe de Equações de Ondas não Lineares de Sexta Ordem

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

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PROGRAMA DE P ´

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(Mestrado)

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Lineares de Sexta Ordem

(2)

CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA

Existˆ

encia e n˜

ao existˆ

encia de

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¸˜

ao global para uma classe de

equac

¸ ˜

oes de ondas n˜

ao lineares de

sexta ordem

Ademir Benteus Pampu

Disserta¸cão apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸cão em Matemática do Departamento de Ma-temática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como requisito para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

´

Area de concentra¸c˜ao: An´alise.

Orientador: Prof. Dr. Juan Amadeo Soriano Palo-mino.

(3)

RESUMO

Neste trabalho estudaremos o problema de existência e unicidade de solu¸cão local e global do seguinte problema de Cauchy para uma classe de equa¸cões de onda não lineares de sexta ordem

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = α|ux|px

u(0) = u0, ut(0) = u1

onde consideramos os dados iniciais em espa¸cos de Sobolev de ordem fracionária. De-terminamos a existência e unicidade de solu¸cão local aplicando o método do ponto fixo. Além disso, estudamos o problema de existência e não existência de solu¸cão global fazendo uso do método do po¸co potencial.

(4)

In this work we study the problem of existence and uniqueness of local and global solution of the following Cauchy problem for a class of nonlinear wave equations of sixth order

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = α|ux|px

u(0) = u0, ut(0) = u1

where we take the initial data in Sobolev spaces of fractional order. We stipulate the existence and uniqueness of local solution by applying the contraction mapping principle. Moreover, we study the problem of existence and nonexistence of global solutions making use of the pottential well method.

(5)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 6

1 RESULTADOS PRELIMINARES 9

1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis . . . 9

1.2 Distribui¸c˜oes e derivada distribucional . . . 12

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz . . . 15

1.4 Distribui¸c˜oes temperadas . . . 18

1.5 Espa¸cos de Sobolev . . . 20

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria . . . 21

1.7 Os Espa¸cos Lp(0, T ; X) . . . 27

1.8 O problema de Cauchy abstrato . . . 29

2 EXISTÊNCIA DE SOLUÇ ÃO LOCAL 33 2.1 O problema linear associado . . . 34

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear . . . 39

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local . . . 43

3 EXISTÊNCIA E N ÃO EXISTÊNCIA DE SOLUÇ ÃO GLOBAL 51 3.1 Funcional de energia e o po¸co potencial . . . 52

3.2 O caso E(0) ≤ d . . . 59

(6)

(7)

INTRODUC

¸ ˜

AO

Neste trabalho apresentaremos os resultados de [30] e [27] acerca do problema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local e global do seguinte problema de Cauchy:

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = α|ux|px (∗)

u(0) = u0, ut(0) = u1 (∗∗)

cujo os dados iniciais em (**) tomamos nos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria Hs_(R).

A equa¸cão (*) foi introduzida por P. Rosenau em [22] e possui muitas propriedades semelhantes a equa¸cão de Boussinesq que pode ser apresentadas, em duas formas básicas, como

utt+ γuxxxx− uxx = β(u2)xx

e

utt− γuxxtt− uxx = β(u2)xx.

Como refêrencias ao estudo das equa¸cões de Boussinesq podemos citar, por exemplo, [31], [21], [16] e [24]. Os trabalhos [28] e [32] estudaram a seguinte varia¸cão da equa¸cão (*)

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = (f (u))xx

sendo, em [28], f (u) = γ|u|p_{, para γ > 0. Em [32] prova-se a existˆ}_{encia e n˜}_{ao existˆ}_encia

de solu¸c˜ao global para f (u) = −γ|u|pu, γ > 0.

(8)

[26]. Este problema foi estudado em [30] no caso em que a energia inicial E(0) associado ao problema é suficientemente pequeno. No caso em que garante-se que não existe solu¸cão global u do problema (*) e (**) prova-se, ainda, que existe T1 > 0, tal que,

lim

t→T₁−

ku(t)kHs = ∞

dizemos assim que a solu¸cão do problema de Cauchy (*) e (**) explode (tem blows-up) em tempo finito. A contribui¸cão ao estudo do problema (*) e (**), dada em [27], consiste em introduzir um novo conjunto estável (um novo po¸co potencial) o que possibilita estipular um resultado que garante, sob as hipóteses adequadas, a existência e unicidade de solu¸cão global para este problema de Cauchy quando E(0) > 0.

Esta disserta¸cão esta organizada da seguinte maneira: No cap´ıtulo 1 apresentamos os principais resultados e nota¸cões a serem utilizados no estudo de nosso problema. No cap´ıtulo 2 estudamos o problema de existência e unicidade de solu¸cão local para o pro-blema de Cauchy (*) e (**), provando neste cap´ıtulo as estimativas necessárias para a aplica¸cão do método do ponto fixo e que também apresentam grande utilidade no es-tudo do problema de existência de solu¸cão global. No cap´ıtulo 3 introduzimos o po¸co potencial e fazemos o estudo do problema de existência e não existência de solu¸cão glo-bal. Por fim, no apêndice, apresentamos a demonstra¸cão de que Hs_{(R) ∩ L}∞

(R), s > 0 ´

e uma ´algebra, provando ainda uma ´util estimativa para a norma do produto uv, para u, v ∈ Hs_{(R) ∩ L}∞

(9)

Cap´ıtulo 1

RESULTADOS PRELIMINARES

Com o intuito de tornar o texto o mais autossuficiente poss´ıvel apresentaremos neste cap´ıtulo os principais resultados e nota¸c˜oes a serem utilizadas ao longo deste trabalho.

1.1 Espa¸

cos de fun¸

c˜

oes Lebesgue integr´

aveis

Seja Ω ⊂ Rn _{um conjunto aberto, denotamos por L}

p(Ω), 1 ≤ p < ∞, o conjunto das

fun¸c˜oes mensur´_{aveis de Ω em K (onde K denota o corpo dos n´umeros reais ou complexos)} tais que, kf kp := Z Ω |f (x)|p_dx 1_p < ∞ sendo, a integral acima, entendida no sentido de Lebesgue.

Proposi¸cão 1.1.1 (Desigualdade de Hölder). Sejam 1 < p, q < ∞, 1_p + 1_q = 1, tais que f ∈ Lp(Ω) e g ∈ Lq(Ω), então f.g ∈ L1(Ω) e

kf gk1 ≤ kf kpkgkq

Demonstra¸c˜ao: Ver [4].

Proposi¸c˜ao 1.1.2 (Desigualdade de Minkowski). Suponha que 1 ≤ p < ∞, se f, g ∈ Lp(Ω), ent˜ao f + g ∈ Lp(Ω) e

kf + gkp ≤ kf kp + kgkp

(10)

Em geral, k.kp n˜ao define uma norma em Lp(Ω) pois pode-se ter kf kp = 0 com f 6= 0.

Introduzimos, assim, uma rela¸cão de equivalência dizendo que duas fun¸c˜_{oes f, g : Ω → K} são equivalentes se f = g quase sempre, denotando por [f ] tal classe de equivalência obtemos o espa¸co quociente

Lp(Ω) = {[f ]; f ∈ Lp(Ω)} .

Al´em disso, definindo

k[f ]kLp := kf k_p

temos que (Lp_{(Ω), k.k}

Lp) ´e um espa¸co normado. Do mesmo modo, definimos L∞(Ω) como

o espa¸co vetorial das (classes de) fun¸c˜oes limitadas quase sempre e munimos tal espa¸co com a norma

k[f ]kL∞ = supess{|f (x)|; x ∈ Ω}.

Note que, neste caso, a desigualdade de H¨older 1.1.1 pode ser reescrita dizendo que, dados f ∈ L∞(Ω) e g ∈ L1_{(Ω), f g ∈ L}1_{(Ω) e} kf gkL1 = Z Ω |f (x)g(x)|dx ≤ kf kL∞ Z Ω |g(x)|dx = kf kL∞kgk_L1.

Por simplicidade de nota¸c˜ao, denotaremos as classes de fun¸c˜oes [f ] dos espa¸cos Lp_(Ω),

1 ≤ p ≤ ∞, simplesmente por f .

Teorema 1.1.3. Dados 1 ≤ p ≤ ∞ e Ω ⊂ Rn_{um conjunto aberto, os espa¸}_{cos (L}p_{(Ω), k.k} Lp)

são espa¸cos de Banach, em particular, L2(Ω) é um espa¸co de Hilbert, onde, dados u, v ∈ L2_(Ω), (u, v)L2 = Z Ω u(x)v(x)dx. Além disso,

(11)

1.1 Espa¸cos de fun¸c˜oes Lebesgue integr´aveis 11 g ∈ Lp(Ω), ϕ(g) = Z Ω f (x)g(x)dx e kϕk(Lp_(Ω))0 = kf k_Lq.

(ii) O espa¸co L1(Ω) é separável, no entanto não é reflexivo e L∞(Ω) não é reflexivo nem separável. Temos ainda que (L1_(Ω))0 _{= L}∞_{(Ω) e, dado ψ ∈ (L}1_(Ω))0_{, existe}

um ´unico f ∈ L∞(Ω) tal que, para todo g ∈ L1(Ω), ψ(g) =

Z

Ω

f (x)g(x)dx.

e kψk_(L1_(Ω))0 = kf k_L∞.

Demonstra¸c˜ao: Ver [2], cap´ıtulo 4.

Sejam f ∈ L1_(Rn_{) e g ∈ L}p_(Rn_{) com 1 ≤ p ≤ ∞, definimos a convolu¸c˜}_{ao de f por g}

como f ∗ g : Rn → R onde

(f ∗ g)(x) = Z

Rn

f (x − y)g(y)dy.

Proposi¸c˜ao 1.1.4 (Desigualdade de Young). Sejam f ∈ L1_(Rn) e g ∈ Lp_(Rn) com 1 ≤ p ≤ ∞, ent˜ao f ∗ g ∈ Lp_(Rn_{) e}

kf ∗ gkLp ≤ kf k_L1kgk_Lp.

Proposi¸c˜ao 1.1.5 (Lema de Lions). Seja (um) uma sequˆencia em Lq(Ω), Ω ⊂ Rn um

conjunto aberto, com 1 < q < ∞. Se,

(i) um → u quase sempre em Ω;

(ii) kumkLq ≤ C, para todo m ∈ N;

ent˜ao, um converge fraco `a u em Lq(Ω).

(12)

Proposi¸c˜ao 1.1.6 (Desigualdade de Gronwall). Sejam z ∈ L∞(0, T ) e f ∈ L1(0, T ) tais que z(t) ≥ 0, f (t) ≥ 0 e seja c uma constante n˜ao negativa. Se

f (t) ≤ c + Z t

0

z(s)f (s)ds,

para todo t ∈ [0, T ], ent˜ao,

f (t) ≤ ceR0tz(s)ds

para todo t ∈ [0, T ].

Denotaremos por Lp_loc(Ω), 1 ≤ p < ∞, o espa¸co das (classes de) fun¸c˜_{oes f : Ω → K} tais que |f |pé integrável no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K ⊂ Ω. Dado uma sequência (fn)n∈N em Lploc(Ω) e f ∈ L

p

loc(Ω) diremos que

fn→ f em L

p loc(Ω)

se, e somente se, para cada compacto K ⊂ Ω, tem-se

pK(fn− f ) = Z K |fn(x) − f (x)|pdx 1_p → 0.

1.2 Distribui¸

c˜

oes e derivada distribucional

A Teoria das Distribui¸cões, formulada rigorosamente por L. Schwartz por volta de 1945, nos fornece uma teoria geral e simples para tratarmos de problemas que envolvem equa¸cões diferenciais parciais. Apresentaremos, a seguir, uma breve introdu¸cão a tal teoria, com ˆ

enfase no conceito de derivada distribucional.

Dado α = (α1, ..., αn) ∈ N vamos denotar por |α| = α1+ ... + αn, assim a derivada

parcial de ordem |α| ser´a denotada por

Dα = ∂

|α|

∂xα1

1 ...∂xαnn

.

(13)

1.2 Distribui¸c˜oes e derivada distribucional 13

Considerando Ω ⊂ Rn um conjunto aberto, denotamos por C₀∞(Ω) o conjunto das fun¸c˜_{oes u : Ω → K infinitamente diferenci´aveis, tais que o suporte de u, definido por}

supp(u) = {x ∈ Ω; u(x) 6= 0}Ω ´

e um conjunto compacto de Rn. Diremos que, dado uma sequˆencia (φm)m∈N tem-se

φm → 0 em C0∞(Ω) (1.2.1)

se, e somente se,

• Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω tal que, para todo m ∈ N, supp(φm) ⊂ K.

• Para todo α = (α1, ..., αn) ∈ Nn, Dαφm → 0 uniformemente sobre K.

Definimos o espa¸co de fun¸cões teste D(Ω) como o conjunto C₀∞(Ω) munido da no¸cão de convergência dada em (1.2.1).

Proposi¸c˜ao 1.2.1. C₀∞(Ω) ´e denso em Lp_{(Ω), para 1 ≤ p < ∞.}

Defini¸c˜_{ao 1.2.2. Dado Ω ⊂ R}n um conjunto aberto, definimos uma distribui¸c˜ao sobre Ω como toda forma linear sequencialmente cont´ınua sobre D(Ω). Denotaremos por D0(Ω) o espa¸co vetorial das distribui¸c˜oes sobre Ω.

´

E importante observar que dizemos que uma aplica¸c˜_{ao T : D(Ω) → K ´e} sequencial-mente cont´ınua quando, dado (ϕm) uma sequˆencia em D(Ω),

T (ϕm) → 0 em K sempre que ϕm → 0 em D(Ω).

Dados uma sequˆencia (Tm) em D0(Ω) e T ∈ D0(Ω), diremos que (Tm)m∈N converge `a

(14)

Considere a distribui¸c˜_{ao T sobre Ω ⊂ R}n _{e α ∈ N}n. A derivada de ordem |α| de T ´e definida por:

hDαT, ϕi = (−1)|α|hT, Dαϕi . Temos que DαT ∈ D0(Ω), al´em disso a aplica¸c˜ao

Dα : D0(Ω) → D0(Ω) T 7→ Dα_T

´

e linear e sequencialmente cont´ınua.

Exemplo 1.2.3. _{(i) Vamos considerar Ω ⊂ R}n um conjunto aberto e u ∈ L1_loc(Ω). Definindo Tu : D(Ω) → K tal que, para cada ϕ ∈ D(Ω),

hTu, ϕi =

Z

Ω

u(x)ϕ(x)dx

temos que Tu ´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω. Mais precisamente, prova-se que

L1

loc(Ω) ,→ D

0_{(Ω), onde ,→ denota que L}1

loc(Ω) tem imers˜ao cont´ınua em D 0_(Ω).

(ii) Defina, para cada x0 ∈ Ω, δx0 : D(Ω) → K tal que, para cada ϕ ∈ D(Ω),

hδx0, ϕi = ϕ(x0).

Prova-se que δx0 é uma distribui¸cão sobre Ω e, além disso, não existe u ∈ L

1 loc(Ω)

tal que δx0 = Tu.

(iii) Dado u ∈ Ck_(Rn_{) temos que as derivadas distribucionais e derivadas no sentido}

cl´assico coincidem, isto ´e, DαTu = TDα_u, para todo |α| ≤ k. Por outro lado,

considerando a fun¸c˜_{ao de Heaviside u : R → R tal que,}

u(x) =    1 , se x ≥ 0. 0 , se x < 0.

apesar de u não ser derivável, no sentido clássico, em x = 0 prova-se que u admite derivada distribucional e _dxdTu = δ0. Observe que não existe v ∈ L1loc(R) tal que

d

(15)

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz 15

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸

co de Schwartz

Dado f ∈ L1_(Rn_{) definimos a transformada de Fourier de f como}

F [f ](ξ) = (2π)−n2 Z Rn e−i<ξ,y>f (y)dy onde, dados ξ = (ξ1, ..., ξn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn, < ξ, y >= n X i=1 yiξi.

Teorema 1.3.1. A transformada de Fourier de f ∈ L1_(Rn_{) ´}_{e uma fun¸}_c˜_{ao cont´ınua,}

limitada e satisfaz a desigualdade

kF [f ]kL∞ ≤ (2π)− n

2kf k_L1. (1.3.2)

Em particular, a aplica¸c˜ao f 7→ F [f ] ´e um operador linear e cont´ınuo de L1_(Rn) em L∞_(Rn_{). Mais ainda,}

lim

kξk→∞F [f ](ξ) = 0. (1.3.3)

Proposi¸c˜ao 1.3.2. Sejam f, g ∈ L1_(Rn), ent˜ao F [f ∗ g] ∈ L1_(Rn_{) e, para todo ξ ∈ R}n, F [f ∗ g](ξ) = (2π)n2F [f ](ξ)F [g](ξ) (1.3.4)

Prova: Ver [13].

O Espa¸co de Schwartz, ou espa¸co das fun¸c˜oes rapidamente decrescentes, que denota-mos por S(Rn_{) ´}_{e o subespa¸co vetorial de C}∞

(Rn_{) formado pelas fun¸c˜}_{oes ϕ ∈ C}∞

(Rn_{) tais}

que

lim

kxk→∞kxk

k_Dα_{ϕ(x) = 0}

quaisquer que sejam k ∈ N0 e α ∈ Nn0, onde N0 = N ∪ {0}.

Note que C₀∞_(Rn_{) ⊂ S(R}n_{), isto ´}_{e, toda fun¸c˜}_{ao teste ´}_{e uma fun¸c˜}_{ao de decrescimento}

r´apido.

(16)

´

e limitado em Rn, quaisquer que sejam k ∈ N0 e α ∈ Nn0.

Prova: Ver [5]. Proposi¸c˜_{ao 1.3.4. Seja ϕ ∈ S(R}n_{) e q = (q} 1, ..., qn) ∈ Nn, ent˜ao xqϕ ∈ S(Rn), onde dado x = (x1, ..., xn) ∈ Rn denotamos xq= xq11x q2 2 ...xqnn. Prova: Ver [5].

Uma seminorma em um espa¸co vetorial X ´e uma aplica¸c˜_{ao p : X → R que satisfaz as} propriedades:

(i) p(x) ≥ 0, para todo x ∈ X;

(ii) p(αx) = |α|p(x), para todo α ∈ K e todo x ∈ X; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) para quaisquer x, y ∈ X.

Note que uma seminorma difere de uma norma por p(x) = 0 n˜ao necessariamente ser equivalente a x = 0.

Vamos considerar P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial X. Dados x0 ∈ X,

n ∈ N, > 0 e p1, p2, ..., pn ∈ P defina

V (x0, p1, ..., pn; ) = {x ∈ X; pi(x − x0) < , i = 1, 2..., n.}.

Para cada x ∈ X chamamos de Vx a cole¸c˜ao de todos os subconjuntos de X da forma

V (x, p1, ..., pn; ), com n ∈ N, p1, ..., pn ∈ P e > 0.

Teorema 1.3.5. Seja P uma fam´ılia de seminormas no espa¸co vetorial X. Ent˜ao:

(i) Existe uma topologia τP que, cada x ∈ X, admite Vx como base de vizinhan¸cas, isto

´ e,

τP = {G ⊂ X; para cada x ∈ G existe U ∈ Vx tal que U ⊂ G}.

(ii) (E, τP) ´e um espa¸co vetorial topol´ogico localmente convexo, ou seja, toda vizinhan¸ca

(17)

1.3 Transformada de Fourier e Espa¸co de Schwartz 17

(iii) (E, τP) ´e um espa¸co de Hausdorff se, e somente se, para cada 0 6= x ∈ X existir

uma seminorma p ∈ P tal que p(x) 6= 0.

Introduzimos, em S(Rn_{), a topologia τ}

P dando a seguinte fam´ılia enumer´avel de

se-minormas P = {pm,k : S(Rn) → R; pm,k(ϕ) = sup |α|≤m sup x∈Rn (1 + kxk2)k|Dα_ϕ(x)|}.

Proposi¸c˜ao 1.3.6. _{(i) S(R}n_{) tem imers˜}_{ao cont´ınua em L}p_(Rn_{), 1 ≤ p ≤ ∞, sendo tal}

imers˜ao densa se 1 ≤ p < ∞. (ii) C₀∞_(Rn_{) ´}_{e denso em S(R}n_).

Demonstra¸c˜ao: Veja [5].

Uma das principais vantagens de trabalharmos com o espa¸co de Schwartz é que, res-trito a este espa¸co, a transformada de Fourier é rica em propriedades, o que nos fornece muitas ferramentas para estudarmos equa¸cões diferenciais. Listamos abaixo algumas des-tas propriedades.

Proposi¸c˜_{ao 1.3.7. Se ϕ ∈ S(R}n), ent˜_{ao F [ϕ] ∈ S(R}n) e, al´em disso, (i) (−i)|α|F [Dα_{f ] = ξ}α_{F [f ].}

(ii) (−i)|α|F [xα_{f ] = D}α_{F [f ].}

Prova: Ver [13].

Teorema 1.3.8 (Identidade de Parseval). Sejam f, g ∈ S(Rn). Ent˜ao, (f, g)L2 = (F [f ], F [g])_L2

equivalentemente,

kf kL2 = kF [f ]k_L2,

(18)

Teorema 1.3.9. Seja f ∈ S(Rn_{). Ent˜}_ao,

f (x) = (2π)−n2

Z

Rn

eihξ,xiF [f ](ξ)dξ. Demonstra¸c˜ao: Ver [13].

Pelo Teorema 1.3.9, podemos introduzir a Transformada de Fourier Inversa pela f´ormula,

F−1[f ](x) = (2π)−n2

Z

Rn

f (ξ)eihξ,xidξ para toda f ∈ S(Rn_).

Proposi¸c˜_{ao 1.3.10. Para ϕ, ψ ∈ S(R}n), tem-se

(2π)n2F [ϕψ] = F [ϕ] ∗ F [ψ].

Prova: Ver [17].

Teorema 1.3.11. A transformada de Fourier

F : L2_(Rn) → L2_(Rn)

definida como a ´unica extens˜_{ao da transformada de Fourier F de S(R}n_{) a L}2_(Rn_{) ´}_{e um}

operador unit´ario.

1.4 Distribui¸

c˜

oes temperadas

Defini¸cão 1.4.1. Definimos como uma distribui¸cão temperada todo funcional linear cont´ınuo T ∈ S0_(Rn), onde S0_(Rn) é o dual topol´_{ogico de S(R}n).

(19)

1.4 Distribui¸c˜oes temperadas 19

Dada T ∈ S0_(Rn), podemos definir a transformada de Fourier F [T ] como hF [T ], ϕi = hT, F [ϕ]i para toda ϕ ∈ S(Rn_).

Do mesmo modo, a transformada de Fourier inversa de uma distribui¸c˜ao temperada T ∈ S0_(Rn) ´e dada por

F−1_{[T ], ϕ = T, F}−1

[ϕ] _{para toda ϕ ∈ S(R}n).

Tanto a transformada de Fourier, quanto a transformada de Fourier inversa, de uma distribui¸cão temperada T são distribui¸cões temperadas e

F [F−1[T ]] = F−1[F [T ]] = T.

Dizemos que uma fun¸c˜ao Φ ∈ C∞_(Rn_{) ´}_{e de crescimento lento se, para todo α ∈ N}n_,

existirem > 0, C(α) > 0 e um inteiro N (α) > 0 tais que

|Dα_{Φ(x)| ≤ C(α)(1 + kxk}2₎N (α)

para todo x ∈ Rn _{com kxk > . Denotamos o conjunto das fun¸c˜}_{oes de crescimento lento}

como Q(Rn).

Proposi¸c˜ao 1.4.2. Seja T ∈ S0_(Rn_{), Φ ∈ Q(R}n_{) e α ∈ N}n_,

(i) O funcional linear ΦT definido por

hΦT, ϕi = hT, Φϕi

´

e um elemento de S0_(Rn), chamado produto da distribui¸c˜ao temperada T com a fun¸c˜ao Φ.

(ii) (−i)|α|F [Dα_{T ] = ξ}α_{F [T ], onde o produto ξ}α_{F [T ] ´}_{e definido como no item (i).}

(iii) DαF [T ] = (−i)|α|_{F [x}α_{T ].}

(20)

1.5 Espa¸

cos de Sobolev

Assim como vimos no exemplo (1.2.3)−(iii) nem sempre a derivada distribucional de uma fun¸cão u ∈ L1_loc_{(Ω), Ω ⊂ R}n aberto, é ainda uma distribui¸cão definida por uma fun¸cão localmente integrável, tal fato nos motiva introduzir o conceito de Espa¸co de Sobolev. Defini¸c˜_{ao 1.5.1. Seja Ω ⊂ R}n _{um conjunto aberto, 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N} defini-mos o Espa¸co de Sobolev Wm,p_{(Ω) como o espa¸}_{co vetorial de toda u ∈ L}p_{(Ω), tal que}

Dαu ∈ Lp(Ω), para todo |α| ≤ m, e munimos tal espa¸co com a norma kukWm,p =   X |α|≤m kDα_ukp Lp   1 p , se 1 ≤ p < ∞; kukWm,∞ = X |α|≤m kDα_uk L∞.

Proposi¸c˜ao 1.5.2. O espa¸co de Sobolev Wm,p_{(Ω) ´}_{e um espa¸}_{co de Banach, para m ∈ N}

e 1 ≤ p ≤ ∞. Se 1 < p < ∞, Wm,p_{(Ω) ´}_{e um espa¸}_{co reflexivo.}

Observa¸c˜ao 1.5.3. No caso em que p = 2, representamos Wm,2_{(Ω) por H}m_{(Ω), devido}

ao fato de sua norma provir do produto interno

(u, v)Hm =

X

|α|≤m

(Dαu, Dαv)L2, u, v ∈ Hm(Ω)

sendo assim, Hm(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert. Definimos o espa¸co W₀m,p(Ω) = C₀∞(Ω)W

m,p_(Ω)

.

Teorema 1.5.4. D(Rn_{) ´}_{e denso em W}m,p_(Rn_{), para m ∈ N e 1 ≤ p < ∞, em outras}

palavras, W₀m,p_(Rn) = Wm,p_(Rn). Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

Suponha 1 ≤ p < ∞ e q > 1 tais que 1 p +

1

q = 1. Representa-se por W

−m,q_{(Ω) o dual}

topol´ogico de W₀m,p(Ω). Deste modo, (Hm 0 (Ω))

(21)

1.6 Espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria 21

Teorema 1.5.5. Seja T uma distribui¸cão sobre Ω, então T ∈ W−m,p(Ω) se, e somente se, existem fun¸cões gα ∈ Lq(Ω), |α| ≤ m, tais que

T = X

|α|≤m

Dαu. Demonstra¸c˜ao: Ver [5].

1.6 Espa¸

cos de Sobolev de ordem fracion´

aria

Proposi¸c˜_{ao 1.6.1. Para todo m ∈ N temos}

Hm_(Rn) = {u ∈ S0_(Rn); (1 + kξk2)m2 F [u] ∈ L2(Rn)}. Al´em disso, kuk = Z Rn (1 + kξk2)m|F [u](ξ)|2_dξ 1₂

define uma norma em Hm_(Rn), que ´e equivalente a k.kHm.

Motivados pela proposi¸c˜ao acima definiremos os espa¸cos de Sobolev de ordem fra-cion´aria Hs_(Rn_).

Defini¸c˜_{ao 1.6.2. Seja s ∈ R, definimos os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria} Hs_(Rn) como o espa¸co vetorial

Hs_(Rn) = {u ∈ S0_(Rn); (1 + kξk2)s2F [u] ∈ L2(Rn)}

e consideramos este espa¸co munido do produto interno

(f, g)Hs =

Z

Rn

(1 + kξk2)sF [f ](ξ)F [g](ξ)dξ para todo f, g ∈ Hs_(Rn_).

(22)

de Hilbert.

Proposi¸c˜ao 1.6.3. Dados s, s0 _{∈ R,}

(i) Hs_(Rn_{) ⊂ H}s0_(Rn_{) se s ≥ s}0_{. Al´}_{em disso, esta inclus˜}_{ao ´}_{e cont´ınua e densa.}

(ii) O dual topológio de Hs_(Rn) é isometricamente isomorfo a H−s_(Rn). Demonstra¸cão: Ver [13], página 304.

Observa¸cão 1.6.4. Segue da proposi¸cão (1.6.3) que, se s ≥ 0, Hs_(Rn) está imerso continuamente em L2_(Rn_{), note que isto ´}_{e falso, em geral, se s < 0. Por exemplo,}

δ0 ∈ H−s(Rn) para todo s > n₂.

Proposi¸c˜_{ao 1.6.5. Dado s ∈ R, s ≥ 0, segue que,} (i) S(Rn) tem imersão cont´ınua e densa em Hs_(Rn). (ii) D(Rn) tem imersão cont´ınua e densa em Hs_(Rn). Demonstra¸cão: Ver [5].

Teorema 1.6.6. Sejam k ∈ N e s ∈ R. Se s > n2 + k, ent˜ao H s (Rn) est´a continuamente imerso em Ck_(Rn_{) ∩ L}∞ (Rn_{), assim,} X |α|≤k kDαukL∞ ≤ Ckuk_Hs. (1.6.5)

Corol´ario 1.6.7. Para todo s > 1₂ e p > 1, Hs_{(R) est´a continuamente imerso em}

Lp+1_(R).

Prova: Veja que, por p > 1, podemos escrever p + 1 = q + 2, com q > 0, e como s > 1₂ temos pelo teorema 1.6.6 que Hs_{(R) ,→ L}∞_{(R) al´em disso H}s_{(R) ,→ L}2_{(R), pois s > 0,} sendo assim, para todo u ∈ Hs_(R),

(23)

Provando que Hs_{(R) est´a continuamente imerso em L}p+1_(R).

Proposi¸c˜ao 1.6.8. Considere s > n₂ e f ∈ Hs_(Rn_{), ent˜}_{ao F [f ] ∈ L}1_(Rn_{) com}

kF [f ]kL1 ≤ Ckf k_Hs.

Prova: Observe que, Z Rn |F [f ](ξ)|dξ = Z Rn (1 + kξk2)−2s(1 + kξk2) s 2|F [f ](ξ)|dξ ≤ Z Rn (1 + kξk2)−sdξ 1₂ Z Rn (1 + kξk2)s|F [f ](ξ)|2_dξ 1₂

onde, nesta ´ultima desigualdade, usamos a desigualdade de H¨older pois, sendo s > n 2,

c = Z

Rn

(1 + kξk2)−sdξ < ∞. Do exposto acima podemos concluir que F [f ] ∈ L1_(Rn_{) e}

kF [f ]kL1 ≤ ckf k_Hs.

Antes de enunciarmos a próxima proposi¸cão vamos relembrar um resultado clássico de Análise Funcional.

Lema 1.6.9 (Teorema de Aplica¸cão Aberta). Sejam X, Y espa¸cos de Banach e T : X → Y linear, cont´ınuo e sobrejetor. Então T é uma aplica¸cão aberta, isto é, T (A) é aberto em Y , sempre que A é aberto em X. Em particular, todo operador linear cont´ınuo e bijetor entre espa¸cos de Banach é um isomorfismo.

Proposi¸c˜ao 1.6.10. Temos que,

(24)

Al´em disso, existe C > 0 tal que kukH2 ≤ C kuk2_L2 + n X i=1 ∂2u ∂x2 i 2 L2 !1₂ . (1.6.6)

Prova: Denotando por

X = u ∈ L2_(Rn); ∆u = ∂ 2_u ∂x2 1 , ..., ∂ 2_u ∂x2 n ∈ (L2 (Rn))n

da defini¸c˜ao dos Espa¸cos de Sobolev, H2_(Rn_{) ⊂ X, devemos ent˜}_{ao provar que}

X ⊂ H2_(Rn_{). Como L}2_(Rn_{) ,→ S}0

(Rn_{), dado u ∈ X, pela proposi¸c˜}_{ao 1.4.2,}

−F ∂ 2_u ∂x2 i = ξ_i2F [u] assim, do Teorema 1.3.11 segue que,

∂2_u ∂x2 i L2 = F ∂ 2_u ∂x2 i L2 = kξ_i2F [u]kL2.

Dado α ∈ Nn, caso |α| = 1 temos que α = (0, ..., 1, 0, ..., 0), neste caso, pelo Teorema 1.3.11, se provarmos que −iξiF [u] = F [Dαu] ∈ L2(Rn) teremos que Dαu ∈ L2(Rn).

Temos que, Z Rn |ξiF [u](ξ)|2dξ ≤ Z Rn (1 + ξ_i2) | {z } ≤(1+ξ2 i)2 |F [u](ξ)|2_dξ ≤ Z Rn (|F [u](ξ)| + ξ_i2|F [u](ξ)|)2 | {z }

(a+b)2_≤2a2_+2b2_,∀a,b∈R

dξ ≤ 2 Z Rn |F [u](ξ)|2dξ + 2 Z Rn (ξ_i2|F [u](ξ)|)2dξ < ∞

deste modo Dα_{u ∈ L}2_(Rn_{), se |α| = 1. Caso |α| = 2 e α = (0, ..., 1, 0, ..., 1, 0, ...0),}

(25)

Observando que, por hip´otese, ∆u ∈ (L2_(Rn))n temos que, Z Rn |ξiξjF [u](ξ)|2dξ ≤ Z Rn ((ξ2_i + ξ_j2)|F [u](ξ)|)2dξ ≤ 2 Z Rn |ξ2 iF [u](ξ)| 2_{dξ + 2} Z Rn |ξ2 jF [u](ξ)| 2_{dξ < ∞}

Donde segue que Dα_{u ∈ L}2_(Rn_). _{Nos demais casos onde |α| ≤ 2, por hip´}_otese,

Dα_{u ∈ L}2_(Rn_{), sendo assim, u ∈ H}2_(Rn_{), isto ´}_{e, X ⊂ H}2_(Rn_{). Donde X = H}2_(R).

Vamos provar agora a desigualdade (1.6.6). Observe, em primeiro lugar que,

kuk = kuk2_L2 + n X i=1 ∂2_u ∂x2 i 2 L2 !1₂

define uma norma em X e a aplica¸c˜ao identidade

I : (H2_(Rn), k.k_H2) → (X, k.k)

´

e linear, cont´ınua e bijetora. Em face do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, caso (X, k.k) seja um Espa¸co de Banach, I−1 : (X, k.k) → (H2_(Rn_{), k.k}

H2) ´e linear e cont´ınua, ou seja,

(1.6.6) é verificado para todo u ∈ H2_(Rn). Vamos mostrar, então, que (X, k.k) é um espa¸co de Banach, para isto considere (um)m∈N uma sequência de Cauchy em X, assim,

(um), ∂2_u m ∂x2 i

(26)

por´em, sendo o operador deriva¸c˜ao cont´ınuo em D0_(Rn), ∂2um ∂x2 i → ∂ 2_u ∂x2 i em D0_(Rn₎

pela unicidade do limite em D0_(Rn_), ∂2_u

∂x2 i

= uαi para todo i = 1, ..., n. Portanto u ∈ X e

un → u em X

logo X é um Espa¸co de Banach. Assim, como já observamos, pelo Teorema da Aplica¸cão Aberta existe C > 0 tal que, para todo u ∈ H2_(Rn),

kukH2 ≤ C kuk2_L2 + n X i=1 ∂2u ∂x2 i 2 L2 !1₂ . De modo alternativo a defini¸c˜ao 1.6.2, podemos definir, para s ∈ (0, 1) e 1 ≤ p < ∞, os espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria Ws,p_(Rn_{) como}

Ws,p_(Rn) = u ∈ Lp_(Rn); Z Rn Z Rn |u(x) − u(y)|p |x − y|n+sp dxdy < ∞ (1.6.7)

tais espa¸cos s˜ao tamb´em conhecidos como espa¸cos de Aronszajn, Gagliardo ou Slobodeckij. Os espa¸cos de Sobolev Ws,p_(Rn_{) s˜}_{ao espa¸cos de Banach quando munidos da norma}

kukWs,p = Z Rn |u(x)|p_{dx +} Z Rn Z Rn |u(x) − u(y)|p |x − y|n+sp dxdy 1_p . (1.6.8)

Proposi¸c˜ao 1.6.11. Para s ∈ (0, 1), C₀∞_(Rn_{) ´}_{e denso em W}s,p_(Rn_).

Teorema 1.6.12. Seja s ∈ (0, 1). O espa¸co de Sobolev de ordem fracion´aria Hs_(Rn), dado na Defini¸c˜ao 1.6.2 coincide com o espa¸co de Sobolev Ws,2_(Rn_{) definido em (1.6.7).}

Al´em disso tais espa¸cos tem normas equivalentes.

(27)

1.7 Os Espa¸cos Lp(0, T ; X) 27

1.7 Os Espa¸

cos L

p

(0, T ; X)

Definiremos, nesta se¸cão, os espa¸cos Lp(0, T ; X), a constru¸cão de tais espa¸cos está ba-seada na teoria de integra¸cão vetorial, a qual é tratada, de forma resumida em [4]. Um tratamento mais detalhado das propriedades dos espa¸cos Lp(0, T ; X) pode ser encontrado em [29].

Teorema 1.7.1. Seja X um espa¸co de Banach. Uma fun¸cão f : [0, T ] → X fortemente mensurável é integrável (à Bochner) se, e somente se, t → kf (t)kX é Lebesgue-integrável.

Neste caso, Z T 0 f (t)dt X ≤ Z T 0 kf (t)kXdt e, ψ, Z T 0 f (t)dt X0_,X = Z T 0 hψ, f (t)i_X0_,Xdt para cada ψ ∈ X0.

Defini¸c˜ao 1.7.2. Seja X um espa¸co de Banach e 0 ≤ T < ∞.

(i) O espa¸co Cm([0, T ]; X), com m = 0, 1, ..., consiste de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas u : [0, T ] → X que tem derivadas cont´ınuas at´e a ordem m. Munimos tal espa¸co com a norma kukCm_{([0,T ];X)} = m X i=1 max 0≤t≤Tku i_(t)k X. (1.7.9)

(ii) O espa¸co Lp_{(0, T ; X), com 1 ≤ p < ∞ consiste de todas as (classes de) fun¸}_c˜_oes

fortemente mensur´aveis u :]0, T [→ X com

kukLp_{(0,T ;X)} := Z T 0 ku(t)kp_Xdt 1p < ∞ (1.7.10)

(28)

(iii) O espa¸co L∞(0, T ; X) consiste de todas as (classes de) fun¸cões fortemente men-suráveis u :]0, T [→ X essencialmente limitadas em ]0, T [, isto é, fun¸cões tais que existe um número real B > 0 e tem-se

ku(t)kX ≤ B quase sempre em ]0, T [.

Munimos este espa¸co com a norma

kukL∞_{(0,T ;X)} = inf{B; ku(t)k_X ≤ B, quase sempre em ]0, T [}

= sup

0≤t≤T

essku(t)kX. (1.7.11)

Proposi¸c˜ao 1.7.3. Dado X um espa¸_{co de Banach, m ∈ N e 1 ≤ p ≤ ∞ temos que,}

(i) Os espa¸cos Cm([0, T ]; X) e Lp(0, T ; X) munidos das normas k.kCm_{([0,T ];X)}e k.k_Lp_{(0,T ;X)},

respectivamente, s˜ao espa¸cos de Banach.

(ii) Se 1 ≤ p < ∞, C([0, T ]; X) ´e denso em Lp_{(0, T ; X) e a imers˜}_ao

C([0, T ]; X) ⊂ Lp(0, T ; X). ´

e cont´ınua.

(iii) Se 1 ≤ p < ∞ e X é separável então Lp_{(0, T ; X) ´}_{e separ´}_avel.

Prova-se (veja [29]) que, dado um espa¸co de Banach reflexivo e separ´avel e 1 < p < ∞, ent˜ao Lp_{(0, T ; X) ´}_{e reflexivo e separ´}_{avel, al´}_{em disso ´}_{e v´}_{alida a seguinte identifica¸c˜}_ao

(Lp(0, T ; X))0 = Lq(0, T ; X0)

onde 1_p + 1_q = 1. No caso em que p = 1 temos a seguinte identifica¸c˜ao (L1(0, T ; X))0 = L∞(0, T ; X0)

(29)

1.8 O problema de Cauchy abstrato 29

um ´unico v ∈ L∞(0, T ; X0) tal que hv, ui = Z T 0 hv(t), u(t)i_X0_,Xdt, para todo u ∈ L1_{(0, T ; X) e kvk} (L1_{(0,T ;X))}0 = kvk_L∞_{(0,T ;X}0₎.

Veja que, da discuss˜ao acima, dada uma sequˆencia limitada (un) em

L∞(0, T ; X0) = (L1(0, T ; X))0, por L1(0, T ; X) ser separável, temos que existe uma sub-sequência (uni) que converge fraco-*, isto é, para todo u ∈ L

1_{(0, T ; X),} Z T 0 hvni(t), u(t)idt → Z T 0 hv(t), u(t)idt, quando ni → ∞.

1.8 O problema de Cauchy abstrato

Nesta se¸cão abordaremos o problema de determinar a existência e unicidade de solu¸cão u : [0, T ] → X, X um espa¸co de Banach, para o problema de Cauchy

u0(t) = Au(t) + f (t) (1.8.12)

u(0) = u0 (1.8.13)

u0 ∈ X, A : D(A) ⊂ X → X, onde D(A) ´e o dom´ınio do operador linear A, e

f : [0, T [→ X. Note que, quando X = Rn _{e A : R}n _{→ R}n _{o problema (1.8.12)-(1.8.13) ´}_e

um sistema de equa¸cões diferenciais ordinárias e o teorema de existência e unicidade de solu¸cão é bem conhecido.

Defini¸cão 1.8.1. Seja X um espa¸co de Banach e L(X) a álgebra dos operadores line-ares cont´ınuos de X. Dizemos que uma aplica¸c˜_{ao S : R}+ → L(X) é um semigrupo de

operadores lineares cont´ınuos de X se:

(i) S(0) = I, onde I ´e o operador identidade de L(X); (ii) S(t + s) = S(t)S(s), para todo t, s ∈ R+_.

Dizemos que o semigrupo S ´e de classe C0 se

(iii) lim

(30)

Denominamos o gerador infinitesimal do semigrupo S como o operador A : D(A) ⊂ X → X, onde D(A) = x ∈ X; lim h→0+ S(h) − I h x existe Ax = lim h→0+ S(h) − I

h x, para todo x ∈ D(A).

Pode-se provar (veja [8]) que, D(A) ´e um subespa¸co vetorial de X e A ´e um operador linear.

Proposi¸c˜ao 1.8.2. (i) O gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 ´e um

operador linear fechado e seu dom´ınio ´e denso em X.

(ii) Um operador linear A, fechado e com dom´ınio denso em X, ´e o gerador infinitesimal de, no m´aximo, um semigrupo de classe C0.

Dado um semigrupo de operadores lineares S : R+ → L(X), dizemos que S ´e

uni-formemente cont´ınuo se, além de serem válidos os itens (i) e (ii) da defini¸cão (1.8.1) for válido que

lim

t→0+kS(t) − IkL(x)= 0. (1.8.14)

Note que como a condi¸cão (1.8.14) implica que a condi¸cão (iii) da defini¸cão 1.8.1 seja válida, todo semigrupo uniformemente cont´ınuo é de classe C0.

Teorema 1.8.3. Dado X um espa¸co de Banach, um operador A : X → X ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo se, e somente se, A ´e um operador linear cont´ınuo.

(31)

1.8 O problema de Cauchy abstrato 31

solu¸c˜ao do problema de Cauchy abstrato homogˆeneo du

dt(t) = Au(t), t > 0 (1.8.15)

u(0) = x (1.8.16)

toda fun¸c˜_{ao u : R}+ → X, cont´ınua para t ≥ 0, continuamente diferenci´avel para t > 0,

tal que, para todo t ≥ 0 satisfaz a equa¸cão (1.8.15) e verifica a condi¸cão inicial (1.8.16). Teorema 1.8.4. Se A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 então,

para cada x ∈ D(A), o problema de Cauchy (1.8.15), (1.8.16) tem uma única solu¸cão, continuamente diferenciável em todo t ≥ 0.

Vamos considerar o problema de Cauchy n˜ao homogˆeneo du

dt(t) = Au(t) + f (t) (1.8.17)

u(0) = x (1.8.18)

onde f : [0, T [→ X e A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S.

Defini¸cão 1.8.5. Uma fun¸cão u : [0, T [→ X é dita solu¸cão (clássica) do problema de Cauchy (1.8.17), (1.8.18) sobre [0, T [ se u é cont´ınua sobre [0, T [, continuamente dife-renciável sobre ]0, T [, u(t) ∈ D(A) para 0 < t < T e (1.8.17), (1.8.18) é satisfeito sobre [0, T [.

Defini¸c˜ao 1.8.6. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S. Dado

x ∈ X e f ∈ L1_{(0, T ; X). A fun¸}_c˜_{ao u ∈ C([0, T ]; X) dada por}

u(t) = S(t)x + Z t

0

S(t − s)f (s)ds, 0 ≤ t ≤ T (1.8.19)

´

e denominada solu¸cão generalizada (solu¸cão mild) do problema (1.8.17) e (1.8.18). Proposi¸cão 1.8.7. Dado X um espa¸co de Banach se f ∈ L1_{(0, T ; X) ent˜}_{ao, para todo}

(32)

Em oposi¸cão a proposi¸cão 1.8.7 nem toda solu¸cão mild é uma solu¸cão no sentido clássico do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18), no entanto, temos o seguinte Teorema. Teorema 1.8.8. Seja f ∈ L1_{(0, T ; X), X um espa¸}_{co de Banach. Se u ´}_{e a solu¸}_c˜_{ao mild}

do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18) sobre [0, T ], então, para todo T0 < T , u é o limite uniforme, sobre [0, T0], de solu¸cões (clássicas) de (1.8.17) e (1.8.18).

(33)

Cap´ıtulo 2

EXISTˆ

ENCIA DE SOLUC

¸ ˜

AO

LOCAL

Neste cap´ıtulo vamos investigar a existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao local para o seguinte problema de Cauchy,

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = ϕ(ux)x (2.0.1)

u(0) = u0, ut(0) = u1 (2.0.2)

onde consideramos a > 0, ϕ(x) = α|x|p _{com α 6= 0 e p > 1 inteiro. Al´}_{em disso}

conside-ramos os dados iniciais pertencentes aos espa¸cos de Sobolev de ordem fracion´aria Hs_(R).

Procederemos da seguinte maneira, associado ao problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) consideraremos o seguinte problema linear

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = f

u(0) = u0, ut(0) = u1

(34)

2.1 O problema linear associado

Lema 2.1.1. Os operadores L = (I + ∂4 x) −1 _{: H}s−2_{(R) → H}s_{(R) e A} 1 = (I + ∂4x) −1_(a∂2 x− ∂_x4) : Hs_{(R) → H}s_{(R), onde} L(u) = F−1(1 + ξ4)−1F [u] , u ∈ Hs−2_(R) A1(v) = F−1 −aξ2_{− ξ}4 1 + ξ4 F [v] , v ∈ Hs_(R) s˜ao lineares e cont´ınuos.

Demonstra¸c˜ao: _{Defina g : R → R tal que,}

g(x) = (1 + x

2₎2

(1 + x4₎2 =

1 + 2x2_{+ x}4

1 + 2x4_{+ x}8

temos que g ´e cont´ınua e

lim

x→∞g(x) = limx→−∞g(x) = 0

sendo assim g ´e limitada. Deste modo, para todo u ∈ Hs−2_(R), Z R (1 + |ξ|2)s|F [Lu](ξ)|2_dξ ₌ Z R (1 + ξ2)s−2(1 + ξ 2₎2 (1 + ξ4₎2|F [u](ξ)| 2_dξ ≤ sup ξ∈R g(ξ)kuk2_Hs−2 (2.1.3)

ou seja, L est´a bem definido, ´e linear, pelo fato dos operadores F e F−1 serem lineares, e por (2.1.3) existe C > 0 tal que,

kL(u)kHs ≤ Ckuk_Hs−2.

Do mesmo modo, considerando h : R → R tal que, h(x) = (ax

2_{+ x}4₎2

(1 + x4₎2 =

a2_x4_{+ 2ax}6_{+ x}8

1 + 2x4_{+ x}8

temos que h ´e cont´ınua, limitada, pois

lim

(35)

2.1 O problema linear associado 35

e assim, para todo u ∈ Hs_(R), Z R (1 + |ξ|2)s|F [A1(u)](ξ)|2dξ = Z R (1 + |ξ|2)s aξ 2_{+ ξ}4 1 + ξ4 2 |F [u](ξ)|2dξ ≤ sup ξ∈R h(ξ)kuk2_Hs (2.1.4)

ou seja, A1 está bem definido, por F e F−1 serem lineares, A1 é linear e por (2.1.4) A1 é

cont´ınuo.

Lema 2.1.2. Seja s ∈ R. Para qualquer T > 0, suponha u0, u1 ∈ Hs(R) e

f ∈ L1_{([0, T ]; H}s−2_{(R)). Ent˜ao o problema de Cauchy}

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt= f em L1(0, T ; Hs−4(R)) (2.1.5)

u(0) = u0, ut(0) = u1, (2.1.6)

possui uma única solu¸cão mild u ∈ C1_{([0, T ]; H}s_{(R)). Além disso, a solu¸cão u satisfaz a}

estimativa: ku(t)kHs + ku_t(t)k_Hs ≤ C₂(1 + T ) ku0kHs + ku₁k_Hs + Z t 0 kL(f )(τ )kHsdτ . (2.1.7)

Demonstra¸cão: Provaremos que existe uma única solu¸cão mild u ∈ C1([0, T ]; Hs_(R)) do problema de Cauchy:

utt = A1u + Lf em L1(0, T ; Hs(R))

u(0) = u0, ut(0) = u1

(2.1.8)

onde A1 e L s˜ao definidos como no lema 2.1.1. Assim aplicando o operador linear

I + ∂4

x : Hs(R) → Hs−4(R), onde, dado u ∈ Hs(R),

(36)

teremos que (I + ∂_x4)utt = (I + ∂x4)A1u + (I + ∂x4)Lf em L 1_{(0, T ; H}s−4 (R)) entretanto, (I + ∂_x4)(A1u) = F−1[(1 + ξ4)F [A1u]] = F−1[(−aξ2− ξ4)F [u]] = auxx− uxxxx e (I + ∂_x4)(Lf ) = F−1[(1 + ξ4)F [Lf ]] = f obtemos assim que existe u ∈ C1_{([0, T ]; H}s_{(R)) tal que}

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt= f em L1(0, T ; Hs−4(R))

e u satisfazendo as condi¸c˜oes iniciais (2.1.6) resolvendo assim o problema de Cauchy (2.1.5), (2.1.6). Vamos ent˜ao resolver o problema (2.1.8), para isso denotando por v = ut

temos, vt= A1u + Lf assim fazendo U =   u v 

 podemos reescrever o problema (2.1.8) como,

d

dtU = AU + F

U (0) = U0

(2.1.9)

onde A : Hs_{(R) × H}s_{(R) → H}s_{(R) × H}s_{(R) ´e dado por}

(37)

2.1 O problema linear associado 37

e considerando sobre Hs_{(R) × H}s_{(R) a norma} k(u, v)kHs_×Hs = kuk2 Hs + kvk2_Hs 1₂ temos que kAU kHs_×Hs = kvk2_Hs + kA₁uk2_Hs 1₂ ≤ kvk2_Hs + K₁2kuk2_Hs 1₂ ≤ K2kU kHs_×Hs

K2 =pmax{1, K12}, isto ´e, A ´e um operador linear e cont´ınuo definido em Hs(R)×Hs(R).

Temos, portanto, que A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S, sobre

Hs_{(R) × H}s_{(R). Al´em disso,} F (x, t) =   0 Lf (x, t)  

e, pelo Lema 2.1.1, temos que F ∈ L1([0, T ]; Hs_(R)×Hs_{(R)), posto que f ∈ L}1([0, T ]; Hs−2_(R)). Do exposto acima segue que, existe uma ´unica solu¸c˜ao mild U ∈ C([0, T ]; Hs_{(R) ×} Hs_{(R)) do problema (2.1.9) na forma} U (t) =   u(t) ut(t)  = S(t)U0+ Z t 0 S(t − s)F (s)ds

donde segue que o problema de Cauchy (2.1.8) tem uma ´unica solu¸c˜ao u ∈ C1([0, T ], Hs_(R)). Vamos provar agora a seguinte estimativa:

ku(t)kHs + ku_t(t)k_Hs ≤ C₂(1 + T ) ku0kHs + ku₁k_Hs + Z t 0 kL(f )(τ )kHsdτ .

Considerando, ent˜ao, u ∈ C1_{([0, T ]; H}s_{(R)) e tomando a transformada de Fourier em}

(2.1.5) e (2.1.6) temos,

F [u]tt+ aξ2F [u] + ξ4F [u]tt+ ξ4F [u] = F [f ](t)

(38)

resolvendo a equa¸c˜ao acima, em rela¸c˜ao a t, obtemos F [u](ξ, t) = cos(ρ(ξ)t)F [u0](ξ) + sen(ρ(ξ)t) ρ(ξ) F [u1](ξ) + Z t 0 sen(ρ(ξ)(t − τ )) ρ(ξ) F [f ](ξ, τ ) 1 + ξ4 dτ onde ρ(ξ) = q aξ2_+ξ4

1+ξ4 . Assim, aplicando a desigualdade de Minkowski e a express˜ao acima,

ku(t)kHs ≤ Z R (1 + ξ2)s|cos(ρ(ξ)t)|2_{|F [u} 0](ξ)|2dξ 1₂ + Z R (1 + ξ2)s sen(ρ(ξ)t) ρ(ξ) |F [u1](ξ)|2dξ 1₂ + Z t 0 sen(ρ(.)(t − τ )) ρ(.) (1 + . 2₎s/2F [f ](., τ ) 1 + .4 dτ L2

Note que, para todo ξ ∈ R e todo t ∈ [0, T ], sen(ρ(ξ)t)

ρ(ξ) ≤

ρ(ξ)t

ρ(ξ) = t e | cos(ρ(ξ)t)| ≤ 1 assim, para todo t ∈ [0, T ],

ku(t)kHs ≤ ku₀k_Hs+ tku₁k_Hs+ Z t 0 (t − τ )kLf (τ )kHsdτ ≤ ku0kHs+ T ku₁k_Hs + T Z t 0 kL(f )(τ )kHsdτ.

Uma vez que,

F [u]t(ξ, t) = −ρ(ξ)sen(ρ(ξ)t)F [u0](ξ) + cos(ρ(ξ)t)F [u1](ξ) +

+ Z t

0

cos(ρ(ξ)(t − τ ))F [f ](ξ, t) 1 + ξ4 dτ

obtemos, de modo analogo ao que fizemos acima, que

kut(t)kHs ≤ Cku₀k_Hs + ku₁k_Hs + C

Z t

0

kL(f )(τ )kHsdτ

(39)

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear 39 ku(t)kHs + ku_t(t)k_Hs ≤ C₂(1 + T ) ku0kHs + ku₁k_Hs + Z t 0 kL(f )(τ )kHsdτ .

2.2 Estimativas para o termo n˜

ao linear

Lema 2.2.1. Dado s > 0 temos que

• Se 0 < s < 1 , Hs

(R) ∩ L∞(R) ´e uma ´algebra com

kuvkHs ≤ C(kuk_L∞kvk_Hs + kuk_Hskvk_L∞).

• Se 1

2 < s < ∞, H s

(R) é uma álgebra de Banach generalizada, isto é, kuvkHs ≤ Ckuk_Hskvk_Hs.

Demonstra¸c˜ao: Ver apˆendice A.1.

Lema 2.2.2. Assuma que p > 1, 0 < s < p e u ∈ Hs_{(R) ∩ L}∞_{(R), ent˜ao existe uma} constante C > 0 tal que

k|u|p_k

Hs ≤ Ckukp−1_L∞kukHs. (2.2.10)

Demonstra¸c˜ao: Ver [23], p´agina 363.

Lema 2.2.3. Sejam p ∈ N, p > 1 e s ∈ R onde 32 < s < p + 1. Dados u, v ∈ H s

(R) tais que kukHs ≤ R e kvk_Hs ≤ R, para algum R > 0 fixo, ent˜ao temos

k|ux|p− |vx|pkHs−2 ≤ CpRp−1ku − vk_Hs. (2.2.11)

Demonstra¸c˜ao: Denotando por f (z) = |z|p, temos |ux|p− |vx|p =

Z 1 0

(40)

onde, f0(z) =    pzp−1 _{, z ≥ 0} −p(−z)p−1 _{, z < 0} =    p|z|p−1 _{, z ≥ 0} −p|z|p−1 _{, z < 0} ou seja, k|ux|p − |vx|pkHs−2 ≤ Z 1 0 pk|(1 − λ)ux− λvx|p−1(ux− vx)kHs−2dλ. (2.2.12) Como 3₂ < s < p + 1, temos −1₂ < s − 2 < p − 1. • Caso −1 2 < s − 2 ≤ 0. Da imers˜ao L2_{(R) ,→ H}s−2_(R), k|(1 − λ)ux+ λvx|p−1(ux− vx)k2Hs−2 ≤ Ck|(1 − λ)u_x+ λv_x|p−1(u_x− v_x)k2_L2 = C Z R ||(1 − λ)ux(x) − λvx(x)|p−1(ux(x) − vx(x))|2dx

como u, v ∈ Hs_{(R) segue que u}

x, vx ∈ Hs−1(R) e por s − 1 > 1₂, do Lema 1.6.6,

Hs−1_{(R) ,→ L}∞_{(R), assim,}

|λvx(x) + (1 − λ)ux(x)|2(p−1) ≤ |(1 − λ)kuxkL∞+ λkv_xk_L∞|2(p−1)

≤ C|(1 − λ)kuxkHs−1 + λkv_xk_Hs−1|2(p−1) ≤ CR2(p−1)

observe que, esta ´ultima desigualdade segue pois kuxkHs−1 ≤ kuk_Hs ≤ R, por hip´otese.

Do mesmo modo, kvxkHs−1 ≤ R. Do exposto acima,

k|(1 − λ)ux− λvx|p−1(ux− vx)kHs−2 ≤ CRp−1ku_x− v_xk_L2

≤ CRp−1_{ku − vk} Hs.

(41)

2.2 Estimativas para o termo n˜ao linear 41 Suponha p = 2, assim 0 < s − 2 < 1 = p − 1 e Z R Z R

||(1 − λ)ux− λvx|(x) − |(1 − λ)ux− λvx|(y)|2

|x − y|1+2(s−2) dxdy ≤ ≤ Z R Z R

|(1 − λ)ux(x) − λvx(x) − (1 − λ)ux(y) + λvx(y)|2

|x − y|1+2(s−2) dxdy = Z R Z R

|(1 − λ)(ux(x) − ux(y)) − λ(vx(y) − vx(x))|2

|x − y|1+2(s−2) dxdy ≤ 2 Z R Z R (1 − λ)2_|u x(x) − ux(y)|2 + λ2|vx(x) − vx(y))|2 |x − y|1+2(s−2) dxdy < ∞

onde, nesta ´ultima desigualdade, fizemos uso do Teorema 1.6.12 e do fato de ux, vx ∈ Hs−1(R) ,→ Hs−2(R). Concluimos assim que |(1 − λ)ux − λvx| ∈ Hs−2(R)

e k|(1 − λ)ux− λvx|kHs−2 ≤ C k|(1 − λ)u_x− λv_x|k2_L2 + Z R Z R

||(1 − λ)ux− λvx|(x) − |(1 − λ)ux− λvx|(y)|2

|x − y|1+2(s−2) dxdy 1₂ ≤ C kuxk2L2 + Z R Z R |ux(x) − ux(y)|2 |x − y|1+2(s−2) dxdy 1₂ + C kvxk2L2 + Z R Z R |vx(x) − vx(y)|2 |x − y|1+2(s−2) dxdy 12 = C(kuxkHs−2 + kv_xk_Hs−2) ≤ C(ku_xk_Hs−1 + kv_xk_Hs−1) deste modo, k|(1 − λ)ux− λvx|kHs−2 ≤ C(kuk_Hs + kv_xk_Hs) ≤ 2CR. (2.2.13)

Agora se p > 2 ent˜ao p − 1 > 1 e s − 2 < p − 1, pelo Lema 2.2.2 temos que |(1 − λ)ux− λvx|p−1 ∈ Hs−2 e

(42)

observe que,

kuxkHs−2 ≤ ku_xk_Hs−1 ≤ kuk_Hs ≤ R

do mesmo modo kvxkHs−2 ≤ R, al´em disso, aplicando (1.6.5) obtemos que,

k(1 − λ)ux− λvxk p−2 L∞ ≤ Ck(1 − λ)u_x− λv_xk p−2 Hs−1 ≤ ((1 − λ)kuxkHs−1+ λkv_xk_Hs−1)p−2 ≤ CRp−2 donde segue que,

k|(1 − λ)ux− λvx|p−1kHs−2 ≤ CRp−1 (2.2.14)

em qualquer caso, |(1 − λ)ux − λvx|p−1 ∈ Hs−2(R), para qualquer p > 1 inteiro e vale

(2.2.14). Aplicando, ent˜ao, o Lema 2.2.1,

k|(1 − λ)ux− λvx|p−1(ux− vx)kHs−2 ≤ C k|(1 − λ)u_x− λv_x|p−1k_L∞ku_x− v_xk_Hs−2

+ k|(1 − λ)ux− λvx|p−1kHs−2ku_x− v_xk_L∞ .

Note que, sendo s − 1 > 1₂,

kux− vxkL∞ ≤ Cku_x− v_xk_Hs−1

≤ Cku − vkHs (2.2.15)

e

k|(1 − λ)ux− λvx|p−1kL∞ku_x− v_xk_Hs−2 ≤ CRp−1ku − vk_Hs (2.2.16)

sendo assim, por (2.2.14), (2.2.15) e (2.2.16) obtemos que,

(43)

2.3 Existˆencia de solu¸c˜ao local 43

• Caso s − 2 ≥ 1.

Note que, por 1 ≤ s − 2 < p − 1 e ux, vx ∈ Hs−2(R) ,→ L∞(R) temos, pelo Lema 2.2.2,

|(1 − λ)ux+ λvx|p−1∈ Hs−2(R) e

k|(1 − λ)ux+ λvx|p−1kHs−2 ≤ Ck(1 − λ)u_x+ λv_xkp−2_L∞k(1 − λ)u_x+ λv_xk_Hs−2

≤ CRp−2_{k(1 − λ)u}

x+ λvxkHs−1 ≤ CRp−1

assim, aplicando o Lema 2.2.1,

k|(1 − λ)ux+ λvx|p−1(ux− vx)kHs−2 ≤ Ck|(1 − λ)u_x+ λv_x|p−1k_Hs−2ku_x− v_xk_Hs−2

≤ CRp−1ku − vkHs.

Em qualquer caso, obtemos de (2.2.12),

k|ux|p− |vx|pkHs−2 ≤ CpRp−1ku − vk_Hs.

2.3 Existˆ

encia de solu¸

c˜

ao local

Uma vez provada a existência e unicidade de solu¸cão para o problema linear associado, passamos agora ao problema de provar a existência e unicidade de solu¸cão local para o problema (2.0.1), (2.0.2) para isto faremos uso do seguinte Teorema de Ponto Fixo. Lema 2.3.1 (Teorema de ponto fixo de Banach). Seja (M, d) um espa¸co métrico completo e Φ : M → M uma contra¸cão, isto é, existe 0 ≤ c < 1 tal que, para todo x, y ∈ M tem-se

d(Φ(x), Φ(y)) ≤ cd(x, y).

Ent˜ao existe um ´unico ponto x0 ∈ M tal que Φ(x0) = x0.

(44)

Teorema 2.3.2. Suponha que 3₂ < s < p + 1, u0, u1 ∈ Hs(R). Ent˜ao o problema de

Cauchy

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = α|ux|px em L1(0, T ; Hs−4(R))

u(0) = u0, ut(0) = u1

(2.3.17)

onde α 6= 0, a > 0 e p > 1 é inteiro, admite uma única solu¸cão local u = u(x, t) definida sobre um intervalo de tempo maximal [0, T0) com u ∈ C1([0, T0); Hs(R)).

Demonstra¸c˜ao: Considere

B(R, T∗) =u ∈ C1([0, T∗]; Hs(R)); kukC1_([0,T

∗];Hs(R)) ≤ R

onde R, T∗ ser˜ao convenientemente definidos, munido da m´etrica d induzida quando

con-siderado como subconjunto do espa¸co de Banach C1([0, T∗]; Hs(R)), sendo assim, como

B(R, T∗) é fechado em C1([0, T∗]; Hs(R)), (B(R, T∗), d) é um espa¸co métrico completo.

Dado u ∈ B(R, T∗) temos que |ux|px ∈ L1(0, T∗; Hs−2(R)). Com efeito,

ux ∈ Hs−1(R) ,→ L∞(R), pois, por hip´otese, 1₂ < s − 1 < p e assim, do lema 2.2.2,

|ux|p(t) ∈ Hs−1(R), donde segue que |ux|px(t) ∈ Hs−2(R). Al´em disso,

k|ux|px(t)k 2 Hs−2 = Z R (1 + |ξ|2)s−2|F [|ux|px](ξ, t)| 2_dξ ≤ Z R (1 + |ξ|2)s−1 ξ 2 1 + ξ2|F [|ux| p_{](ξ, t)|}2_dξ ≤ C Z R (1 + |ξ|2)s−1|F [|ux|p](ξ, t)|2dξ = Ck|ux|p(t)k2Hs−1 ≤ C1kux(t)k 2(p−1) L∞ ku_x(t)k2_Hs−1

(45)

obtemos assim que,

k|ux|px(t)kHs ≤ Cku(t)kp

Hs ≤ CRp (2.3.18)

portanto |ux|px ∈ L1(0, T∗; Hs−2(R)), para todo T∗ < ∞ fixo.

Considere agora,

R > (ku0kHs + ku₁k_Hs)C₂+ 1, (2.3.19)

onde C2 ´e a constante dada no lema 2.1.2. Assim vamos definir o operador

S : B(R, T∗) → B(R, T∗)

tal que, para cada u ∈ B(R, T∗), associamos S(u) = v solu¸c˜ao do problema linear

vtt− avxx+ vxxxx+ vxxxxtt = α|ux|px em L 1_{(0, T}

∗; Hs−4(R))

v(0) = u0, vt(0) = u1.

Por α|ux|px ∈ L1(0, T∗; Hs−2(R)) do lema 2.1.2, para todo u ∈ B(R, T∗), existe uma ´unica

v = S(u) solu¸c˜ao do problema linear acima. Al´em disso, para todo t ∈ [0, T∗], do lema

2.1.2 e por (2.1.7), (2.3.18), kv(t)kHs + kv_t(t)k_Hs ≤ C₂(1 + T_∗) ku0kHs+ ku₁k_Hs + |α| Z t 0 kL(|ux|px)(τ )kHsdτ ≤ C2(1 + T∗) ku0kHs+ ku₁k_Hs + |α|C Z t 0 k|ux|px(τ )kHs−2dτ ≤ C2(1 + T∗) (ku0kHs + ku₁k_Hs + |α|CRpT_∗) .

Definindo f : [0, ∞) → R tal que, f (t) = C2(1 + t)(ku0kHs + ku₁k_Hs + C|α|Rpt) temos

f (0) = C2(ku0kHs + ku₁k_Hs) e

f0(t) = C2(1 + t)(C|α|Rp) + C2(ku0kHs+ ku₁k_Hs + C|α|Rpt)

(46)

logo f ´e estritamente crescente. Como R > f (0), existe T1∗ ∈ [0, ∞) tal que

f (T1∗) = C2(1 + T1∗)(ku0kHs + ku₁k_Hs + C|α|RpT_1∗) = R (2.3.20)

al´em disso, como f ´e estritamente crescente, para todo T_1∗0 ≤ T1∗ temos que

kvkC1_([0,T0

1∗];Hs) = sup

t∈[0,T0 1∗]

{kv(t)kHs + kv_t(t)k_Hs} ≤ R.

Vamos provar agora que, escolhendo R, T∗ adequadamente S ´e uma contra¸c˜ao. Para isto,

considere u, ˜u ∈ B(R, T∗) e v1 = S(u), ˜v = S(˜u) assim, denotando por v = v1 − ˜v, v ´e

solu¸c˜ao do problema de Cauchy,

(47)

deste modo, podemos reescrever (2.3.21) como

kS(u)(t) − S(˜u)(t)kHs + kS(u)_t(t) − S(˜u)_t(t)k_Hs = kv(t)k_Hs + kv_t(t)k_Hs ≤

≤ |α|C(1 + T∗)T∗

Z t

0

Rp−1ku(τ ) − ˜u(τ )kHsdτ

≤ |α|C(1 + T∗)T∗Rp−1d(u, ˜u)

donde segue que,

d(S(u), S(˜u)) ≤ |α|C(1 + T∗)T∗Rp−1d(u, ˜u)

definindo g : [0, ∞) → R tal que g(t) = C(1 + t)tRp−1 _{temos que g ´}_{e crescente e g(0) = 0,}

como lim

t→∞g(t) = ∞, existe T∗2 tal que,

g(T∗2) = C(1 + T∗2)T∗2Rp−1= k (2.3.22)

onde 0 < k < 1. Assim, tomando T∗ = min{T∗1, T∗2} > 0 e R > (ku0kHs + ku₁k_Hs)C₂+ 1

temos que S está bem definido e é uma contra¸cão. Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, S admite um único ponto fixo em B(R, T∗), ou seja, existe um único

u ∈ B(R, T∗) ⊂ C1([0, T∗]; Hs(R)) tal que

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = α|ux|px em L 1_{(0, T}

∗; Hs−4(R))

u(0) = u0, ut(0) = u1.

O Teorema do Ponto Fixo de Banach nos garante a unicidade de solu¸c˜ao em B(R, T∗),

no entanto almejamos provar a existência de uma única solu¸cão em C1([0, T∗]; Hs(R)).

Para isto considere u, v1 ∈ C1([0, T∗]; Hs(R)) solu¸c˜oes do problema de Cauchy (2.3.17),

assim v = u − v1 satisfaz

vtt− avxx+ vxxxx+ vxxxxtt = α|ux|px− α|v1x|px

(48)

logo, por (2.1.7), ku(t) − v1(t)kHs + ku_t(t) − v_1t(t)k_Hs ≤ C₂(1 + T_∗) Z t 0 kL(α|ux|px− α|v1x|px)(τ )kHsdτ ≤ C(1 + T∗)|α| Z t 0 k|ux|p(τ ) − |v1x|p(τ )kHs−2dτ ≤ C(1 + T∗)|α| Z t 0 ku(τ ) − v1(τ )kHsdτ

sendo assim, pela Desigualdade de Gronwall, u = v1, provando assim a unicidade de

solu¸c˜ao.

Obtemos até aqui que existe uma única solu¸cão u ∈ C1_{([0, T}

∗]; Hs(R)) para o problema

de Cauchy (2.3.17), agora nosso objetivo ser´a estender a solu¸c˜ao a um intervalo de tempo maximal [0, T0). Uma vez que u ∈ C1([0, T∗]; Hs(R)) temos u(T∗), ut(T∗) ∈ Hs(R), assim

ao considerarmos o problema de Cauchy

vtt− avxx+ vxxxx+ vxxxxtt= α|vx|px (2.3.23)

v(0) = u(T∗) vt(0) = ut(T∗) (2.3.24)

provamos, via m´etodo do ponto fixo, que existe T1 > 0 e v ∈ C1([0, T1]; Hs(R)) solu¸c˜ao

do problema (2.3.23) e (2.3.24), assim definindo

˜ u(x, t) =    u(x, t); 0 ≤ t ≤ T∗ v(x, t − T∗); T∗ ≤ t ≤ T∗+ T1 obtemos ˜u ∈ C1_{([0, T}

∗+ T1]; Hs(R)) e ˜u ´e solu¸c˜ao do problema (2.3.17) sobre o intervalo

[0, T∗+ T1]. Aplicando o mesmo racioc´ınio usado para provar a unicidade de solu¸c˜ao em

C1_{([0, T}

∗]; Hs(R)) provamos a unicidade de solu¸c˜ao em C1([0, T∗+ T1]; Hs(R)). Podemos

assim encontrar uma fam´ılia de intervalos [0, Ti], i ∈ I, I um conjunto de ´ındices arbitr´ario,

e solu¸c˜oes ui ∈ C1([0, Ti]; Hs(R)) que estendem a solu¸c˜ao u do problema de Cauchy

(2.3.17), donde segue que, existe T0 > 0 m´aximo tal que

[0, T0) =

[

i∈I

(49)

e u ∈ C1([0, T0); Hs(R)) ´e solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.3.17).

Corol´ario 2.3.3. Sob as hip´oteses do Teorema 2.3.2 temos que se

sup

t∈[0,T0)

(ku(t)kHs + ku_t(t)k_Hs) < ∞

ent˜ao T0 = ∞.

Demonstra¸cão: Temos, pelo Teorema 2.3.2, que o problema (2.3.17) admite uma única solu¸cão u ∈ C1_{([0, T}

0); Hs(R)), onde [0, T0) é o intervalo maximal de existência da solu¸cão.

Suponha que

sup

t∈[0,T0)

(ku(t)kHs+ ku_t(t)k_Hs) < ∞ (2.3.25)

e T0 < ∞. Dado 0 ≤ T0 < T0 considere o problema de Cauchy

vtt− avxx+ vxxxx+ vxxxxtt = α|vx|px

v(0) = u(T0) vt(0) = ut(T0)

(2.3.26)

de maneira análoga ao que fizemos no Teorema 2.3.2 podemos encontrar, via método do ponto fixo, uma única solu¸cão, v, para (2.3.27) tal que v ∈ B(R, T0) ⊂ C1_{([0, T}0_{]; H}s_(R)),

onde

B(R, T0) = v ∈ C1([0, T0]; Hs_{(R); kvk}C1_([0,T0_];Hs₎ ≤ R)

e, de acordo com (2.3.19), (2.3.20) e (2.3.22), devemos ter que R, T0 sejam tais que, R > (ku(T0)kHs + ku_t(T0)k_Hs)C₂+ 1

R = C2(1 + T0)(ku(T0)kHs + ku_t(T0)k_Hs+ C|α|RpT0)

(50)

para algum 0 < k < 1. Deste modo, por (2.3.25) podemos tomar R, T₁0 que verifiquem, R > ( sup t∈[0,T0) (ku(t)kHs + ku_t(t)k_Hs))C₂+ 1 R = C2(1 + T10)( sup t∈[0,T0) (ku(t)kHs + ku_t(t)k_Hs) + C|α|RpT₁0) k = C(1 + T₁0)T₁0Rp−1

assim, considerando este T₁0, para qualquer T ∈ [0, T0) o problema de Cauchy (2.3.27)

tem solu¸c˜ao v ∈ B(R, T₁0) ⊂ C1_{([0, T}0 1]; Hs(R)). Em particular, para T 0 2 = T0− T0 1 2 vamos

considerar v a solu¸c˜ao do problema de Cauchy

vtt− avxx+ vxxxx+ vxxxxtt = α|vx|px

v(0) = u(T₂0) vt(0) = ut(T20)

definindo, ent˜ao, u :h0, T0+ T10 2 i → R por u(x, t) =    u(x, t); 0 ≤ t ≤ T₂0 v(x, t − T₂0); T₂0 ≤ t ≤ T0+ T₁0 2

teremos que u ´e solu¸c˜ao do problema de Cauchy (2.3.17) e u ∈ C1h_{0, T} 0+

T₁0 2

i

; Hs_(R)_,

contrariando a maximalidade de T0. Portanto T0 = ∞.

(51)

Cap´ıtulo 3

EXISTˆ

ENCIA E N ˜

AO

EXISTˆ

ENCIA DE SOLUC

¸ ˜

AO

GLOBAL

Assim como vimos no Teorema 2.3.2, o problema de Cauchy

utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt = ϕ(ux)x (2.0.1)

u(0) = u0, ut(0) = u1 (2.0.2)

onde ϕ(z) = α|z|p, α 6= 0 e p > 1 inteiro, admite uma ´unica solu¸c˜ao u ∈ C1([0, T0); Hs(R))

quando consideramos u0, u1 ∈ Hs(R) e 3₂ < s < p + 1. Neste cap´ıtulo abordaremos

o problema de existência e não existência de solu¸cão global, ou seja, estudaremos os casos onde se pode garantir que existe solu¸cão u ∈ C1_{([0, ∞); H}s_{(R)) ou não. Para tal}

propósito faremos uso do método do po¸co potencial, seguindo as ideias de [30] na se¸cão 3.2. É interessante observar que, na se¸cão 3.2, obtemos, sob as hipóteses adequadas, que a solu¸cão u ∈ C1([0, T0); Hs(R)) explode (tem blows-up) em tempo finito, isto é, existe

T1 < ∞ tal que

lim

t→T₁−

ku(t)kHs = ∞.

(52)

3.1 Funcional de energia e o po¸

co potencial

Teorema 3.1.1. Suponha que 2 ≤ s < p + 1, u0, u1 ∈ Hs(R) e [0, T0) o intervalo maximal

de existˆencia da solu¸c˜ao u ∈ C1([0, T0); Hs(R)) do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2).

Defina E(t) = 1 2 kut(t)k 2 L2 + aku_x(t)k2_L2 + ku_xx(t)k2_L2 + ku_xxt(t)k2_L2 + α p + 1 Z R |ux(t)|pux(t)dx

ent˜ao, vale que E(t) = E(0), para todo t ∈ (0, T0), onde,

E(0) = 1 2 ku1k 2 L2 + aku0xk2L2 + ku0xxk2L2 + ku1xxk2L2 + α p + 1 Z R |u0x|pu0xdx.

Demonstra¸c˜ao: Temos que, dado u ∈ Hs_{(R), s ≥ 2, u ∈ H}2_{, pois H}s_{(R) ,→ H}2_(R).

Al´em disso, d dtE(t) = (ut(t), utt(t))L2 + a(ux(t), uxt(t))L2 + (uxx(t), uxxt(t))L2 + +(uxxt(t), uxxtt(t))L2 + α Z R |ux(t)|puxt(t)dx = (ut(t), utt(t))L2 + (au_x(t), u_xt(t))_L2 + (u_xx(t), u_xxt(t))_L2 + +(uxxt(t), uxxtt(t))L2 + (ϕ(u_x(t)), u_xt(t))_L2

onde ϕ(ux(t)) = α|ux(t)|p observe que,

uxxxx= d2 dx2 d2 dx2u e d 2 dx2 d2 dx2utt onde uxx, uxxtt ∈ L2(R), pois u ∈ H2(R) e utt = A1u + Lf ∈ H2(R)

sendo assim, por ut∈ H2(R),

(53)

3.1 Funcional de energia e o po¸co potencial 53

do mesmo modo, como utt, ux, ϕ(ux) ∈ L2(R),

hutt, utiH−2_,H2 = (utt, ut)L2

hϕ(ux)x, utiH−2_,H2 = −(ϕ(ux), uxt)L2

hauxx, utiH−2_,H2 = −a(ux, uxt)L2

logo,

d

dtE(t) = h(utt− auxx+ uxxxx+ uxxxxtt− ϕ(ux)x)(t), ut(t)iH−2,H2 e, por (2.0.1),

d

dtE(t) = 0

portanto, integrando a express˜ao acima de 0 a t, t ∈ (0, T0),

E(t) = E(0).

No que segue, vamos considerar o funcional J (energia potencial) definido por,

J (u(t)) = 1 2 akux(t)k 2 L2 + ku_xx(t)k2_L2 + α p + 1 Z R |ux(t)|pux(t)dx.

Deste modo, para todo t ∈ [0, T0),

J (u(t)) ≤ E(t) = E(0),

al´em disso, como p > 1, o corol´ario 1.6.7 garante que, para todo u ∈ H2_(R),

kux(t)kLp+1 ≤ K ku_x(t)k2_L2 + kuxx(t)k2L2

1₂ ≤ K1 akux(t)k2L2 + kuxx(t)k2L2

(54)

vamos, ent˜ao, denotar por C0 = sup 06=u∈H2_(R) kux(t)kLp+1 akux(t)k2_L2 + kuxx(t)k2_L2 1₂

onde C0 ´e uma constante que independe de t.

Afirmamos que, 1 2 akux(t)k 2 L2 + kuxx(t)k2L2 − |α| p + 1C p+1 0 akux(t)k2L2 + kuxx(t)k2L2 p+1₂ ≤ J(u(t)). Com efeito, −α p + 1 Z R |ux(t)|pux(t)dx ≤ |α| p + 1 Z R |ux(t)|p+1dx ≤ |α| p + 1C p+1 0 akux(t)k2L2 + kuxx(t)k2L2 p+1₂ assim, − |α| p + 1C p+1 0 akux(t)k2L2 + ku_xx(t)k2_L2 p+1₂ ≤ α p + 1 Z R |ux(t)|pux(t)dx logo, 1 2 akux(t)k 2 L2 + ku_xx(t)k2_L2 − |α| p + 1C p+1 0 akux(t)k2L2+ ku_xx(t)k2_L2 p+1₂ ≤ ≤ 1 2 akux(t)k 2 L2 + ku_xx(t)k2_L2 + α p + 1 Z R |ux(t)|pux(t)dx = J (u(t)). Defina a fun¸c˜_{ao g : [0, ∞) → R} g(y) = 1 2y − |α| p + 1C p+1 0 y p+1 2 e note que g0(y) = 1 2 − |α|C₀p+1 2 y p−1 2

assim g0(y) = 0 se, e s´o se,

(55)

3.1 Funcional de energia e o po¸co potencial 55

al´em disso, g0(y) > 0 se y ∈ [0, y0) e g0(y) < 0 se y ∈ (y0, ∞) , donde segue que g ´e

estritamente crescente em [0, y0) e g ´e estritamente decrescente em (y0, ∞). Portanto,

d = max y∈[0,∞) g(y) = g(y0) onde, g(y0) = p − 1 2(p + 1)|α| − 2 p−1C −2(p+1) p−1 0

observe tamb´em que,

y0 =

2(p + 1) p − 1 d.

Para uma melhor compreensão do comportamento da fun¸cão g, apresentamos abaixo o seu gráfico quando p = 4 e α = 35

C5 0

.

Figura 3.1: Gr´afico da fun¸c˜ao g

Definimos os conjuntos est´avel (po¸co potencial) e inst´avel como

W = u(t) ∈ H2_{(R); aku}x(t)k2L2 + kuxx(t)k2L2 < 2(p + 1) p − 1 d V = u(t) ∈ H2_{(R); aku}x(t)k2L2 + kuxx(t)k2L2 > 2(p + 1) p − 1 d .

Lema 3.1.2. Suponha que u0, u1 ∈ H2(R) e u ∈ C1([0, T0); H2(R)) é a única solu¸cão

do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2), onde T0 é o tempo máximo de existência da

solu¸c˜ao. Assuma que E(0) < d. Ent˜ao, para todo t ∈ [0, T0),

(i) u(t) ∈ W , se u0 = u(0) ∈ W .

(56)

Prova: Em primeiro lugar observe que, para todo t ∈ [0, T0),

J (u(t)) ≤ E(t) = E(0) < d

isto ´e, J (u(t)) < d. Suponha ent˜ao que u0 = u(0) ∈ W , deste modo,

akux(0)k2L2 + ku_xx(0)k2_L2 <

2(p + 1) p − 1 d, e que exista t ∈ (0, T0) tal que u(t) /∈ W , assim,

akux(t)k2L2 + kuxx(t)k2L2 ≥

2(p + 1) p − 1 d,

logo, pela continuidade da aplica¸c˜ao t 7→ akux(t)k2_L2 + kuxx(t)k2_L2, existe t0 ∈ (0, T0)

tal que,

akux(t0)k2L2 + ku_xx(t₀)k2_L2 =

2(p + 1) p − 1 d uma vez que d = _2(p+1)p−1 y0, temos,

akux(t0)k2L2 + kuxx(t0)k2L2 = y0 sendo assim, J (u(t0)) = 1 2 akux(t0)k 2 L2 + kuxx(t0)k2L2 + α p + 1 Z R |ux(t0)|pux(t0)dx ≥ 1 2 akux(t0)k 2 L2 + ku_xx(t₀)k2_L2 − |α| p + 1C p+1 0 akux(t0)k2L2 + ku_xx(t₀)k2_L2 p+1₂ = 1 2y0− |α| p + 1C p+1 0 y p+1 2 0 = g(y0) = d

ou seja, d ≤ J (u(t0)), no entanto, assim como observamos acima, por hip´otese

J (u(t0)) < d, temos assim um absurdo!

Por outro lado, suponha que u(0) ∈ V e que exista t ∈ [0, T0) tal que u(t) /∈ V , assim,

akux(t)k2L2 + kuxx(t)k2L2 ≤