UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – UFC CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA – CAEN
MESTRADO PROFISSIONAL EM ECONOMIA – MPE
JOÃO JOSÉ MELO DE CARVALHO
MODELOS DE PREVISÃO PARA CHEQUES COMPENSADOS NO
BRASIL
JOÃO JOSÉ MELO DE CARVALHO
MODELOS DE PREVISÃO PARA CHEQUES COMPENSADOS NO
BRASIL
Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Mestrado Profissional em Economia – MPE/CAEN, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Economia.
Orientador: Prof. Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes
JOÃO JOSÉ MELO DE CARVALHO
MODELOS DE PREVISÃO PARA CHEQUES COMPENSADOS NO
BRASIL
Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Mestrado Profissional em Economia – MPE/CAEN, da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Economia.
Aprovada em _____________________
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________ Prof. Dr. Ronaldo de Albuquerque e Arraes
Orientador
__________________________________ Prof. Dr. Pichai Chumvichitra
Membro
__________________________________ Prof. Dr. Roberto Tatiwa Ferreira
AGRADECIMENTOS
A Deus, início de tudo.
Ao meu Orientador Professor Ronaldo Arraes pela paciência, consideração e apoio que me reservou durante todo o tempo e que sem a sua ajuda, não teria chegando ao final, bem como aos Professores Pichai Chumvichitra e Roberto Tatiwa Ferreira, pelas recomendações realizadas durante a defesa.
A todos os professores do mestrado, notadamente os Professores Flávio Ataliba, Coordenador do Mestrado Profissional em Economia e José Raimundo, Coordenador do CAEN, que com competência e conhecimento nos conduziram pelos caminhos da ciência econômica.
Aos colegas mestrandos, especialmente aos amigos Milton Jacques, Antônio Suerlilton e Nádia Guedes, pelo compartilhamento de vida e conhecimentos acadêmico e profissional no decorrer deste mestrado.
Especialmente, ao apoio que recebi na Universidade Federal do Pará - UFPA, através do Professor Edson M. L. S. Ramos e do mestrando Dennison Carvalho, que mesmo em horários alternativos não mediram esforços na conclusão deste estudo. A todos os funcionários do CAEN/UFC, principalmente Mônica e Regina da Biblioteca, Carmem e Márcia na Secretaria e ao Bibi da Coordenação, a colaboração que sempre recebi mesmo quando distante.
A empresa Agropalma, através do Diretor José Hilário Rodrigues de Freitas, a FEBRABAN, através do Professor Dr. Roberto Luis Troster e ao Pastor Edmar Torres Alves, o apoio que recebi durante a execução deste trabalho.
Finalmente, a todas as pessoas que, de alguma maneira, contribuíram para a realização deste trabalho.
“Prediction is very difficult, especially if it’s about the future”
RESUMO
O objetivo deste estudo foi desenvolver um modelo de previsão para a quantidade de cheques compensados no Brasil visando a sua utilização como ferramenta de política bancária na manutenção de sua regulamentação eficiente, como antecipação de cenários dos meios de pagamentos e para planejamento estratégico das instituições financeiras. Considerando ser o cheque o instrumento fundamental nessa análise, utilizou-se a metodologia estatística de séries temporais, mais especificadamente o alisamento exponencial e a abordagem de Box-Jenkins. Também se buscou analisar a importância do aumento nos depósitos em poupança na redução das transações com cheques no Brasil, bem como a relação entre as transações com cartões e as quantidades de cheques compensados. Os dados utilizados foram obtidos no Banco do Brasil e IPEA e se referem às quantidades mensais compensadas durante o período de 1994 a 2005. As análises foram realizadas utilizando-se os aplicativos computacionais MINITAB/EVIEWS resultando que dos vários modelos de previsões avaliados, o melhor resultado foi com o modelo de alisamento exponencial duplo e Holt-Winters aditivo e multiplicativo.
ABSTRACT
The main objective of this dissertation was to develop a forecast model for the amount of compensated cheques in Brazil, aiming at its use as tool of bank politics for the maintenance of its efficient regulation, as anticipation of scenes of ways of payments and for strategical planning in financial institutions. Considering the cheque to be the basic instrument in this analysis, the statistic methodology of Time Series was used, specifically the exponential smoothing and the boarding of Box-Jenkins. The importance of the M1 (money supply) was also analyzed to study the reduction of the transactions with cheques in Brazil. The information used has been obtained from Bank of Brazil and IPEA and they relate to the monthly amounts compensated in the period between 1994 the 2005. The analyses have been carried through using MINITAB/EVIEWS (a computer programs) and several evaluated models of forecast, where the best result was using double exponential smoothing model and Holt-Winters models.
LISTADEFIGURAS
FIGURA 1 - Série Não-Estacionária Quanto ao Nível de Inclinação... 26
FIGURA 2 - Número de Cheques Compensados no Brasil (1994-2005)... 56
FIGURA 3 - Número Médio de Cheques Compensados no Brasil (1994-2005)... 57
FIGURA 4 - Histograma da Série Cheques Compensados no Brasil (1994-2005)... 57
FIGURA 5 - Gráficos da Decomposição da Série Cheques Compensados (Modelo Aditivo)... 60
FIGURA 6 - Gráfico da Série Ajustada por Decomposição e a Linha de Tendência (Modelo Aditivo)... 61
FIGURA 7 - Decomposição da Série Cheques Compensados (Modelo Multiplicativo)... 63
FIGURA 8 - Série Ajustada por Decomposição e a Linha de Tendência (Modelo Multiplicativo)... 63
FIGURA 9 - Série Ajustada por Alisamento Exponencial Simples... 66
FIGURA 10 - Série Ajustada por Alisamento Exponencial Duplo-Método de Brow... 67
FIGURA 11 - Modelo Exponencial de Holt-Winters Aditivo... 68
FIGURA 12 - Modelo Exponencial de Holt-Winters Multiplicativo... 70
FIGURA 13 - Gráfico da Série com a 1ª Diferença... 72
FIGURA 14 - Função de Autocorrelação da Série Quantidade de Cheques Compensados ... 73
FIGURA 15 - Função de Autocorrelação Parcial da Série Quantidade de Cheques Compensados... 74
FIGURA 16 - Função de Autocorrelação dos Resíduos do Modelo ARIMA (1,1,1)... 75
FIGURA 17 - Função de Autocorrelação dos Resíduos do Modelo ARIMA (0,1,1)... 76
FIGURA 18 - Gráfico da Média x o Desvio Padrão da Série... 78
FIGURA 19 - Função de Autocorrelação dos Resíduos do Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36... 79
FIGURA 20 - Função de Autocorrelação dos Resíduos do Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o Termo Constante... 81
FIGURA 21 - Gráfico de Dispersão para Cheques Compensados e Transações com Cartões... 84
FIGURA 22 - Teste de Normalidade para os Resíduos da Regressão entre Cheques Compensados e Transações com Cartões... 86
LISTADETABELAS
TABELA 1 - Operações sem uso de papel-moeda... 22
TABELA 2 - Exemplos dos Valores de λ para a Transformação de Box-Cox... 29
TABELA 3 - Estatísticas da Série Cheque Compensado... 56
TABELA 4 - Valores Observados e Esperados do Modelo de Decomposição Aditivo... 61
TABELA 5 - Modelo de Decomposição Aditivo – Índices de Sazonalidade... 62
TABELA 6 - Valores Observados e Esperados do Modelo de Decomposição Multiplicativo... 64
TABELA 7 - Modelo de Decomposição Multiplicativo – Índices de Sazonalidade... 64
TABELA 8 - Valores Observados e Esperados do Modelo de Alisamento Exponencial Simples... 66
TABELA 9 - Valores Observados e Esperados do Modelo de Alisamento Exponencial Duplo... 67
TABELA 10 - Constantes de Alisamento do Modelo de Holt-Winters Aditivo.... 69
TABELA 11 - Winters Aditivo – Previsão do Modelo... 69
TABELA 12 - Constantes de Alisamento do Modelo de Holt-Winters Multiplicativo... 70
TABELA 13 - Winters Multiplicativo – Previsão do Modelo... 71
TABELA 14 - Autocorrelações da Série Cheques Compensados... 72
TABELA 15 - Autocorrelações Parciais da Série Cheques Compensados... 73
TABELA 16 - Estimativas dos Parâmetros para o Modelo ARIMA (1,1,1)... 75
TABELA 17 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo ARIMA (1,1,1)... 76
TABELA 18 - Estimativas dos Parâmetros para o Modelo ARIMA (0,1,1)... 76
TABELA 19 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo a ARIMA (0,1,1)... 77
TABELA 20 - Estimativas dos Parâmetros para o Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36... 78
TABELA 21 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36... 79
TABELA 22 - Valores Observados e Esperados do Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36... 80
TABELA 23 - Estimativas dos Parâmetros para o Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o Termo Constante... 80
TABELA 24 - Teste de Ljung-Box para a Autocorrelação dos Resíduos do Modelo SARIMA (2,1,0)(0,1,1)36 sem o Termo Constante... 81
TABELA 26 - Medidas de Acurácia dos Modelos Não Paramétricos... 82 TABELA 27 - Medidas de Acurácia dos Modelos Paramétricos... 83 TABELA 28 - Análise de Regressão para as Variáveis Cheques
Compensados e Transações com Cartões... 85 TABELA 29 - Análise da Variância para as Variáveis Cheques Compensados
e Cartões... 85 TABELA 30 - Erro Percentual Absoluto Médio (EPAM) para os Valores dos
Cheques Compensados e Quantidade de Transações com Cartões... 86 TABELA 31 - Análise de Regressão para as Variáveis Cheques
Compensados e Depósitos na Poupança... 88 TABELA 32 - Análise da Variância para as Variáveis Cheques Compensados
e Depósitos na Poupança... 88 TABELA 33 - Erro Percentual Absoluto Médio (EPAM) para os Valores dos
Cheques Compensados e Depósitos em Poupança... 89 TABELA 34 - Quantidade de Cheques Compensados no Brasil (1994-2005)... 96 TABELA 35 - Quantidade de Cheques Compensados no Brasil, Série
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO... 12
1.1 Aspectos Gerais... 12
1.2 Justificativa e Importância do Trabalho... 14
1.3 A Hipótese Básica do Trabalho... 14
1.4 Objetivos... 15
1.4.1 Objetivo Geral... 15
1.4.2 Objetivos Específicos... 15
1.5 As Limitações do Trabalho... 15
1.6 Estrutura do Trabalho ... 16
2. ASPECTOS GERAIS DO MEIO DE PAGAMENTO CHEQUE COMPENSADO... 17
2.1 Introdução... 17
2.2 Meios de Pagamento no Brasil e no Mundo... 19
2.3 O Mundo dos Cheques Compensados... 20
2.4 A História dos Cheques... 22
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA SOBRE SÉRIES TEMPORAIS... 24
3.1 Introdução... 24
3.2 Objetivos da Análise de Séries Temporais... 25
3.3 Estacionariedade... 26
3.4 Transformações... 27
3.4.1 Transformações de Box-Cox... 27
3.4.2 Transformações Matemáticas... 28
3.4.3 Teste de Seqüência de Wald-Wolfowitz... 29
3.4.4 Diferenças Sucessivas... 30
3.5 Teste de Normalidade de Jarque-Bera(JB)... 30
3.6 Alguns Modelos para Séries Temporais... 31
3.6.1 Método da Decomposição... 32
3.6.2 Alisamento Exponencial Simples... 33
3.6.3 Alisamento Exponencial Duplo – Método de Brow... 35
3.6.4 Alisamento Exponencial Sazonal Holt-Winters (HW)... 35
3.6.5 Previsões do Modelo de HW... 37
3.7 Modelos de Box e Jenkins... 38
3.7.1 Introdução... 38
3.7.2 Modelos Auto-Regressivos - AR(p)... 41
3.7.3 Modelo de Médias Móveis - MA(q)... 42
3.7.4 Modelos Auto-Regressivos e de Médias Móveis-ARMA(p,q)... 43
3.8.1 Modelos Auto-Regressivos Integrados de Médias Móveis
ARIMA(p,d,q)... 44
3.9 Modelos Sazonais... 45
3.10 Estimação dos Parâmetros de Modelos ARIMA... 49
3.11 Diagnóstico de Modelos ARIMA... 50
3.11.1Teste de Box-Pierce (Ljung e Box)... 50
3.12 Regressão Linear Simples... 52
3.12.1 Estimação de Parâmetros... 52
4. APLICAÇÃO... 55
4.1 Introdução... 55
4.2 Análise Exploratória... 55
4.2.1 Estatística Descritiva... 56
4.3 Teste Não-Paramétrico de Sequência de Wald-Wolfowitz... 57
4.4 Teste de Normalidade de Jarque-Bera (JB)... 58
4.5 Modelos e Previsão... 59
4.5.1 Modelo de Decomposição... 59
4.5.2 Alisamento Exponencial Simples... 65
4.5.3 Alisamento Exponencial Duplo-Método de Brow... 66
4.5.4 Alisamento Exponencial de Holt-Winters – HW... 68
4.5.5 Modelos de Box e Jenkins... 71
4.5.6 Modelos Ajustados... 74
4.6 Comparação e Escolha do Método de Previsão... 82
5. A IMPORTÂNCIA DAS VARIÁVEIS CARTÕES E DEPÓSITOS NA POUPANÇA NA SÉRIE CHEQUES COMPENSADOS... 84
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS E RECOMENDAÇÕES... 91
6.1 Considerações Finais... 91
6.2 Recomendações... 92
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 93
APÊNDICES... 96
Apêndice A – Tabelas e Anexos... 96
1. INTRODUÇÃO
1.1 Aspectos Gerais
É fator primordial no complexo mundo dos negócios a importância das organizações empresariais em anteciparem-se a mudanças no ambiente econômico, sendo a previsão empresarial uma função gerencial crucial, pois sem uma boa previsão, a empresa e sua administração perderão importantes oportunidades de negócios. Em todas as áreas e segmentos, nos setores públicos ou privados, da previsão de receita da Empresa Brasileira de Correios a quantidade de passageiros desembarcados no aeroporto de Belém, da quantidade de chuvas caídas em Montes Claros à receita do ICMS no estado do Ceará, a popularização das técnicas de estimativas formais estão crescendo e cada vez buscando construir modelos, por exemplo, de séries temporais, que extrapolem para o futuro as tendências passadas.
O dinâmico setor bancário também está integrado dentro desta busca constante de previsões, sendo comuns as divulgações pela imprensa das projeções de taxas de juros, PIB, taxa de inflação, cotação do dólar etc, realizadas pelas instituições financeiras ou entidades de classe como a Federação Brasileira de Bancos - FEBRABAN. Pode-se afirmar que para quase todas as variáveis que afetam o negócio bancário, a alta administração dos bancos tenha projeções que vão desde o resultado operacional para qualquer mês a quantidade de funcionarias afastadas por licença-maternidade. Buscando agregar estudos a essa área, este trabalho tem como objetivo desenvolver um modelo econométrico que estime a quantidade de cheques compensados em determinado agente bancário para o período que for desejado. Serão abordadas duas linhas de modelos univariados de séries temporais, os quais têm um perfil voltado para previsões de curto prazo, os modelos determinísticos de alisamento exponencial e os modelos estocásticos ARIMA. (Pinheiro,2004). De acordo com Castelar e Arraes (1996), os modelos de alisamento exponencial e ARIMA são de cunho nitidamente de curto prazo.
da implantação do Plano Real em 01/07/1994 aumentou a monetização da economia brasileira, uma vez que a baixa inflação leva os agentes econômicos a reterem maiores saldos monetários nominais, o que conseqüentemente os leva a reduzir as emissões de cheques para pagamentos de contas de pequenos valores como ocorria anteriormente. Os brasileiros efetuam os pagamentos no varejo basicamente, através de cinco instrumentos: a moeda manual, o cheque, a transferência de crédito, o débito e crédito diretos e, finalmente, os cartões de pagamento (débito, crédito, pré-pago e private-label). Apesar do crescimento excepcional observado no mercado dos cartões, os cheques no Brasil ainda respondem por cerca de 27% do volume de negócios no Brasil, sendo utilizados até como instrumento de crédito a partir dos tradicionais cheques pré-datados.
O Banco Central regula o volume total do meio circulante, retirando parte do dinheiro em circulação ou restaurando a liquidez quando necessária, sendo que o volume da oferta de moeda em circulação na economia mais a moeda escritural constituem os meios de pagamento. É especificadamente numa das séries que compõe os meios de pagamento, a M-1, ou seja, o papel-moeda em poder do público e nos depósitos a vista no setor bancário, que o mundo dos cheques compensados se realiza operacionalmente. Instrumento básico no sistema bancário o cheque foi um dos responsáveis pela elevada quantidade de funcionários no setor em meados dos inflacionários anos oitenta. Atualmente, com a existência dos pagamentos eletrônicos e com a disponibilidade de caixas automáticos em cada esquina e a facilidade gerada pela Internet, a utilização do cheque foi reduzida, mas ainda não pode ser desprezada. O volume desses cheques faz com que as instituições financeiras continuem a manter áreas especificas para compensação de cheques, e a Centralizadora de Compensação de Cheques e Outros Papeis (COMPE) do Banco do Brasil a funcionar ininterruptamente. Porém, conforme Bacha (2004) é importante ressaltar que o cheque não é moeda, mas apenas um instrumento de transferência de moeda bancária (que são os depósitos a vista nos bancos) entre os agentes econômicos.
visando maior satisfação no atendimento. Com este objetivo, esta dissertação pretende fornecer uma ferramenta para uma boa política de gerenciamento bancário na antecipação de cenários do meio de pagamento cheque compensado.
1.2 Justificativa e Importância do Trabalho
Justifica-se inicialmente a realização desta pesquisa pelo próprio desafio de realizar um trabalho científico que venha trazer novas visões da Microeconomia, Economia de Empresas e Métodos Quantitativos ao tema proposto, um campo pouco conhecido e explorado no ambiente acadêmico brasileiro. Percebe-se atualmente a ausência de trabalhos científicos sobre a história dos cheques compensados no Brasil, bem como enfocando especificadamente o comportamento futuro desse mercado, visto que em sua maioria ele é utilizado apenas como instrumento para outros tipos de abordagens, Em recente pesquisa do Banco Central sobre pagamentos de varejo, não constou na bibliografia qualquer trabalho brasileiro sobre o tema.
Em virtude disso, faz-se necessário a criação de um modelo de previsão para os cheques compensados no Brasil, com o objetivo que essa previsão possa ser utilizada como ferramenta de política bancária na manutenção de sua regulamentação eficiente, como antecipação de cenários dos meios de pagamentos e para planejamento estratégico das instituições financeiras.
1.3 A Hipótese Básica do Trabalho
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo Geral
O objetivo desta dissertação é propor um modelo de previsão para a quantidade de cheques compensados a partir da utilização de modelos estatísticos e econométricos na análise das séries temporais de 1994 a 2005, a partir das técnicas de Decomposição, Alisamento Exponencial e da abordagem de Box-Jenkins. Essas previsões devem caracterizar-se pela precisão ou acurácia nos resultados obtidos, pela simplicidade dos diversos métodos utilizados e pelo grau de confiança dos modelos empregados para gerar as previsões.
1.4.2 Objetivos Específicos
Como objetivos específicos podem-se relacionar:
• Mostrar a Econometria como ferramenta fundamental na previsão da quantidade de cheques compensados;
• Analisar o comportamento histórico da série;
• Pesquisar e avaliar diversos modelos de previsão;
• Demonstrar a aplicabilidade e resultados do trabalho.
1.5 As Limitações do Trabalho
Estrutura do Trabalho
Este estudo está dividido em 6 capítulos, a saber:
• Capítulo 1: Refere-se a uma breve apresentação do cheque compensado no contexto dos meios de pagamento no Brasil e no mundo, bem como a apresentação dos objetivos, as justificativas e as limitações deste trabalho;
• Capítulo 2: Descreve-se uma breve história do cheque, além de uma visão geral dos meios de pagamento;
• Capítulo 3: Mostra as definições dos métodos para análise de séries temporais e os testes para verificações dos resultados;
• Capítulo 4: São apresentados os resultados das análises realizadas, comparando se os modelos obtidos com os resultados reais em análise;
• Capítulo 5: Verifica a importância da variável depósito na conta de poupança interna na série cheques compensados, bem como a relação existente entre as quantidades de cheques compensados com os cartões transacionados;
2. ASPECTOS GERAIS DO MEIO DE PAGAMENTO CHEQUE COMPENSADO
2.1 Introdução
Na historiografia do dinheiro existiu o escambo, a mercadoria como moeda, o metal como moeda, a moeda em forma de objeto, as moedas antigas, ouro, prata e cobre como moeda, a moeda de papel, o formato do dinheiro em moedas e cédulas e a formação do sistema monetário. Posteriormente ocorreu o surgimento da moeda escritural: o cheque, o documento de crédito. Fato é que nas sociedades as transações comerciais passaram por diversas mudanças, sendo que atualmente o dinheiro é transacionado por diversas formas. Uma delas é a partir do cheque, que apesar de não ser um instrumento de crédito, mas um meio rápido de pagamento, facilita bastante às operações comerciais e se enquadra na categoria de moeda escritural. Com base em dados de 2004, o cheque em termos de quantidade de transações, era o instrumento de pagamento não em espécie mais utilizado no Brasil. Uma das razões para que isso ocorra decorre da própria cultura do brasileiro e das variadas utilizações que o comércio faz com os cheques recebidos de seus clientes.
No entanto, fundamentalmente a redução na quantidade de cheques compensados está ligada ao controle da inflação, iniciado quando do lançamento do Plano Real em 01/07/1994. Outra explicação para essa queda foi a implantação, em 22/04/2002, do Sistema de Pagamentos Brasileiro (SPB), que entre um de seus vários resultados foi que os correntistas tiveram que se preparar para pagarem tarifas mais elevadas na utilização dos cheques.
Conforme Sandroni (2005), o cheque é uma ordem escrita, emitida por uma pessoa em talão especial, para que uma instituição financeira pague certa quantia à outra pessoa, não sendo instrumento de crédito, mas um meio de pagamento rápido que facilita muito as operações comerciais e se enquadra na categoria de moeda escritural. Trata-se de um documento que pode ser recebido diretamente na agência bancária que o emitente mantém a conta corrente ou depositado em outra agência para ser compensado e creditado na conta do correntista.
Segundo o Banco Central, os agentes envolvidos em um pagamento com cheque, desde a emissão até a liquidação financeira interbancária, são os seguintes:
a) Emitente: pessoa física ou jurídica, detentora da conta corrente, que emite o cheque;
b) Beneficiário: pessoa física ou jurídica favorecida pelo pagamento que apresenta o cheque diretamente ao banco sacado ou o deposita no banco em que tem conta corrente;
c) Banco acolhedor: banco no qual o beneficiário tem conta corrente e deposita o cheque;
d) Banco sacado: banco no qual o emitente possui a conta corrente;
f) Sistema de liquidação: efetua a liquidação financeira das transações com cheques.
2.2 Meios de Pagamento no Brasil e no Mundo
Meios de pagamento são o “volume da oferta de moeda em circulação na economia, excluídos os montantes mantidos em caixa pelas autoridades monetárias e pelos bancos comerciais, mais a moeda escritural que são os depósitos a vista do público nos bancos” (SANDRONI, 2005). Desde 2001, o Banco Central adotou as seguintes séries distintas de meios de pagamento que são: a M-1 constituída pela soma das moedas manual (papel-moeda e moedas metálicas em poder do público) e escritural (depósitos a vista do público nos bancos comerciais, bancos múltiplos e caixas econômicas); a M-2 que inclui a M-1 mais os depósitos especiais remunerados, mais os de poupança e os títulos privados emitidos por instituições depositárias; a M-3 que engloba a M-2 mais as quotas de fundo de renda fixa e as operações compromissadas com títulos federais e a M-4, que adiciona a M-3 o saldo dos títulos públicos federais, estaduais e municipais de alta liquidez. O elemento principal deste trabalho está localizado na série M-1 e representa ainda em plena era da internet um dos meios de pagamento mais utilizados pela população brasileira, o tradicional cheque bancário. Apesar da baixa interoperabilidade da infra-estrutura dos canais de distribuição dos instrumentos de pagamentos como os terminais ATM e POS, aliado as restrições dos bancos ao fornecimento de talões e o custo cobrado, os cheques continuam sendo transacionados em todo o território nacional como instrumento de pagamento e operador de crédito na modalidade cheque pré-datado.
compensados, no capitulo 5 será demonstrada a relação das variáveis cartões e depósitos em contas de poupança com a serie.
O cheque, que detinha a maior parcela na utilização agora vem sendo substituído por instrumentos eletrônicos como o cartão e até mesmo pelo pagamento em espécie. Em 1995, do total de pagamentos no Brasil, 7% eram com cartões, 26% com cheque e 55% com dinheiro. Dez anos depois, a participação dos cartões subiu para 20%, a dos cheques caiu para 14% e a do dinheiro ficou praticamente estável, em 53%, o que se configura que pelos menos nos próximos anos, os cartões irão continuar mantendo taxas de crescimento superiores a 10%, resultado do potencial do mercado brasileiro, aliado ao baixo índice de ativação e o pequeno alcance nas classes de menor poder aquisitivo. Registros da Associação Brasileira das Empresas de Cartões e Serviços - ABECS indicam que ao final de 2006 definitivamente os cartões de crédito, débito e de lojas se consolidam como o segundo meio de pagamento mais utilizado no mercado brasileiro. As transações realizadas com dinheiro continuam em primeiro e os cheques em terceiro lugar. Segundo a ABECS o uso dos cheques vem caindo em média 7% ao ano, enquanto as transações com cartões aumentam 22%. Dados do próprio Banco Central informam que em 2005 as transações com cartões de pagamento cresceram cerca de 40% em relação a 2004, enquanto as com cheques tiveram uma redução de 6,5%.
O dinheiro em espécie é utilizado principalmente para pagamentos de baixo valor, relacionados com as compras básicas do consumo doméstico. Como outras formas de pagamento que não envolvam a utilização do papel-moeda ou do cheque, existem os cartões de crédito e de débito, os caixas eletrônicos - ATMS, os cheques eletrônicos, os smart cards, a moeda eletrônica, as transferências de crédito e a compensação automatizada.
2.3 O Mundo dos Cheques Compensados
um dos maiores usuários mundiais de cheques. Dados do Banco Central registram que em 1994, a média mensal de cheques compensados através da Centralizadora de Compensação de Cheques e Outros Papéis - COMPE foi de 344 milhões, sendo que em setembro de 2006 essa média reduziu para 132 milhões de cheques. No período de 1994 a 2005 a compensação diária teve uma queda da média de 17 milhões para 7 milhões, ou seja, a cada dia útil os bancos deixaram de compensar, em média, 10 milhões de cheques. Também quando se compara o volume dos cheques compensados nesse período, a queda mantém-se, pois, se em 2001 o volume mensal médio de cheques compensados totalizava 159 bilhões de reais, em setembro de 2006 esse volume caiu para 78 bilhões.
As dificuldades que o comércio tinha ao tentar resgatar um cheque devolvido, bem como o aumento dos caixas automáticos e a utilização maciça que os bancos fazem com a internet, de certa maneira foram fatores que levaram cada vez mais o emitente de cheque a fazer menor uso do seu talonário. Mesmo com o potencial de crescimento calculado pela relação entre o crédito total e o PIB de cerca de 27% que o mercado bancário brasileiro apresenta em comparação a países como o Chile com 53%, a Coréia do Sul com 74%, 120% com a Alemanha, cada vez mais os cheques são menos emitidos pelos brasileiros. Isso resultou que após muitos anos na composição dos instrumentos de pagamento o uso dos cartões de pagamento superasse o do cheque, resultando que a quantidade de pagamentos por meio de instrumentos eletrônicos já seja responsável por aproximadamente 85% dos pagamentos não em espécie. Entretanto a importância do cheque continua forte no mercado brasileiro, pois somente em 2005 foram emitidos cerca de 2,6 bilhões de cheques, no valor total de R$ 2,3 trilhões e com o valor médio por cheque de R$ 893,00.
Europa já está caindo para zero em alguns países e em outros está muito baixa, conforme pode ser visualizado na Tabela 1:
TABELA – 1 – Operações sem uso de papel-moeda
País 1999 2002
Holanda 1 0
Alemanha 3,1 1,1
Suíça 0,8 0,5
Espanha 10,7 6
Itália 25,2 17,2
Reino Unido 28,8 21
Portugal 34,1 24,1
França 40,1 34,2
Estados Unidos 61,9 49,9
Brasil 62,9 46
Fonte: Banco Central do Brasil
2.4 A História dos Cheques
A substituição do dinheiro em metal por papel-moeda foi difícil. Em junho de 1716, o aventureiro inglês, jogador apaixonado e banqueiro audacioso, John Low, no prédio de um velho hotel, fundou o primeiro banco emissor da Franca, chamado Banque General. Foi o milagre da criação da moeda por um banco o que John Low demonstrou e que pode estimular a indústria e o comércio e fornecer a todos um sentido de bem estar.
cheques nos seus próprios bancos e depois realizavam a coleta com seus mensageiros em diversas viagens aos bancos sacados. Para reduzir o número dessas viagens os banqueiros resolveram se encontrar em uma taverna, onde trocavam seus maços de cheques. Apesar da resistência dos banqueiros a esse sistema, foi percebida a sua utilidade e criada as caixas de Compensação a que são levadas todos os cheques entregues a um banco sacado contra os outros, atualmente conhecidas como Câmaras de Compensação.
Ainda conforme o Banco Central, em 1865, na Franca foi criada a primeira legislação específica sobre cheques, apesar de ter sido na Inglaterra o país que ele mais se expandiu, porém somente em 1882 foi aprovada a legislação competente. Já no Brasil a primeira referência sobre cheque surgiu em 1845, quando da fundação do banco Comercial da Bahia, mas mesmo assim sob a denominação de cautela. Somente em 1893, pela Lei 149- B, surgiu a primeira referência ao cheque, no seu artigo 16 letra A, vindo a posterior regulamentação pelo decreto 2.591 de 1912.
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA SOBRE SÉRIES TEMPORAIS
3.1 Introdução
Uma série temporal é um conjunto de informações feitas sequencialmente ao longo do tempo. A característica mais importante deste tipo de dados é que as observações vizinhas são dependentes e estamos interessados em analisar e modelar esta dependência. Enquanto em modelos de regressão, por exemplo, a ordem das observações é irrelevante para a análise, em séries temporais a ordem dos dados é crucial.
Considerando o parâmetro t como sendo o tempo, a série Z(t) poderá ser função de algum outro parâmetro físico, como espaço ou volume. Morettin e Toloi (2006) afirmam de um modo bastante geral que, uma série temporal poderá ser um vetor Z(t), de ordem r x 1 onde, por sua vez, t é um vetor p x 1. Por exemplo,
Z(t) = [ Z1(t), Z2(t), Z3(t) ]
onde as 3 (três) componentes denotam, respectivamente, a altura, a temperatura e a pressão de um ponto do oceano e t = (tempo, latitude, longitude). Diz-se que a série é multivariada (r=3) e multidimensional (p=3).
Uma série de tempo é uma série de observações de alguma quantidade de interesse em relação ao tempo. Para Kazmier (2007), uma série temporal é um conjunto de valores observados, tais como dados de venda ou produção, para uma série sequencialmente ordenada de períodos de tempo. De um modo geral, pode-se considerar que uma série temporal é qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo, ainda segundo Morettin e Toloi (2006), que cita abaixo como exemplos de séries temporais:
a) valores diários de poluição na cidade de São Paulo (i);
d) precipitação atmosférica anual na cidade de Fortaleza (iv); e) número médio anual de manchas solares (v);
f) registro de marés no porto de Santos (vi).
Nas séries (i) - (v) tem-se séries temporais discretas, enquanto (vi) é um exemplo de uma série contínua.
Objetivos da Análise de Séries Temporais
Segundo Morettin e Toloi (2006), obtida uma série temporal Z(t),..., Z(tn)
observada nos instantes t1,..., tn, podemos estar interessados em:
• Investigar o mecanismo gerador da série temporal;
• Fazer previsões de valores futuros da série; estas podem ser a curto prazo, como por exemplo, para séries de vendas, produção ou estoque, ou a longo prazo, como por exemplo, para séries populacionais, de produtividade, etc;
• Descrever apenas o comportamento da série; neste caso, a construção do gráfico, a verificação da existência de tendências, ciclos e variações sazonais, a construção de histogramas e diagramas de dispersão etc, podem ser ferramentas úteis;
• Procurar periodicidades relevantes nos dados; neste caso, a análise espectral pode ser de grande utilidade.
ICMS no estado do Ceará. Rocha (2003) realizou a previsão do ISS da cidade do Rio de Janeiro analisando três modelos de séries temporais: Decomposição Clássica, o de Holt-Winters e o SARIMA. Liebel (2003), buscou a aplicação das principais técnicas quantitativas de previsão a uma série temporal de arrecadação de ICMS no estado do Paraná, enquanto Passos (2004), apresentou detalhes sobre o comportamento da série ICMS do estado do Pará e sua modelagem através dos modelos automáticos de Decomposição e Exponencial Linear de Winter.
3.3 Estacionariedade
Uma das suposições mais freqüentes que se faz a respeito de uma série temporal é a de que ela é estacionária. Segundo Morettin e Toloi (2006) dizer que uma série é estacionária, é dizer que ela se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média constante, refletindo alguma forma de equilíbrio estável. Todavia, a maior parte das séries que encontramos na prática apresentam alguma forma de estacionariedade. A Figura 1 ilustra uma forma de série não-estacionária com comportamento explosivo. Segundo Morettin e Toloi (2006) este tipo de não-estacionariedade é chamado homogêneo. A série pode ser estacionária, flutuando ao redor de um nível, por certo tempo, depois mudar de nível e flutuar ao redor de um novo nível e assim por diante, ou então mudar de inclinação, ou ambas as coisas.
Na prática, não é muito comum encontrar-se séries estacionárias. Nestes casos é necessário fazer uma transformação nos dados originais, conforme será abordado na próxima seção.
3.4 Transformações
Para Morettin e Toloi (2006), existem duas razões básicas para se transformar os dados originais: estabilizar a variância e tornar o efeito sazonal aditivo. É comum em séries econômicas e financeiras a existência de tendência e pode ocorrer um acréscimo da variância da série à medida que o tempo passa. Neste caso uma transformação logarítimica pode ser adequada.
Entretanto, Nelson (1976) conclui que transformações não melhoram a qualidade da previsão. Makridakis e Hibon (1979) verificaram que os dados transformados têm pouco efeito na melhoria da previsão e, sob bases mais teóricas, Granger e Newbold (1976) mostram que as previsões dos antilogaritimos dos dados transformados são estimadores viesados e deveriam, portanto, serem ajustados, mas isto não é feito em alguns programas de computador, o que significa que, depois que os dados são transformados, um viés é introduzido nas previsões, decorrente de tal transformação. Além disso, Granger e Newbold observam que a heterocedasticidade não afeta a adequação da previsão, pois ela não implica em estimadores viesados, como no caso de regressão múltipla.
3.4.1 Transformações de Box-Cox
Na prática é muito comum em séries temporais, em particular séries econômicas, que os dados sejam não estacionários e por conseguinte, estes dados apresentam padrões de aumento na variância a medida que o tempo passa. Portanto, os principais motivos para se fazer transformações em uma série, são:
λ t t Z
W =
Em muitos casos, uma série temporal torna-se extremamente difícil de ser modelada por apresentar o seu desvio padrão proporcional a média. Quando este padrão é detectado é necessário fazer uma transformação na série.
Segundo Morettin e Toloi (2006), em geral é necessário aplicar à série original, uma transformação não-linear, como a transformação logarítima. De um modo geral utiliza-se uma transformação da forma:
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − = 0 , log , 0 , ) ( λ λ λ λ λ se Z se c Z Z t t t
Esta transformação é denominada transformação de Box-Cox. Onde λ e c são os parâmetros a serem estimados. Para verificar se o desvio padrão é proporcional a média de uma série temporal qualquer, bastar dividi-la em grupos e, posteriormente, calcular a média e o desvio padrão destes. Utiliza-se de um gráfico que traz nos seus eixos os valores da média e do desvio padrão. Vale ressaltar que, pode-se utilizar uma outra medida de variabilidade além do desvio padrão, assim como, pode-se também utilizar uma outra medida de tendência central além da média, porém, o desvio padrão e a média são utilizados com maior freqüência.
3.4.2 Transformações Matemáticas
A transformação de Box-Cox automaticamente identifica uma transformação a partir de uma família de transformações de potência de Zt. A família
de transformações de potência é dada por: (MAKRIDAKIS e WHEELWRIGHT, 1998).
onde pode-se observar que Wt é o novo valor da série transformada.
1 . 2 1 2
+ = N n n µ ) 1 ( ) . 2 ( . 2 2 2 1 2 1 − − = N N N n n n n σ
TABELA – 2 - Exemplos dos Valores de λ para a transformação de Box-Cox.
λ Wt = Ztλ
2 Wt = Zt2
0.5 Wt =
t
Z
-0.5 Wt =
t
Z
1 0 Wt = Zt
3.4.3 Teste de Seqüência de Wald-Wolfowitz
Outra forma de análise da estacionariedade é obtida através do teste não-paramétrico de Wald-Wolfowitz. Neste teste supõe-se inicialmente que m = mediana da série e atribui-se a cada valor Zt os símbolos: A se Zt ≥ m e B se Zt < m.
Tem-se então N = (n1 pontos A) + (n2 pontos B).
A estatística do teste ´e: T1 = número total de sequências (isto é, grupos
de símbolos iguais).
Portanto, rejeita-se H0 se há poucas sequências, ou seja, se T1 é
pequeno. Para dado nível de significância α , rejeita-se H0 se T1 <ωα, onde w é o α
- quantil da distribuição T1, que é tabelado.
Para n1 ou n2 maior que 20 pode-se usar a aproximação para a
distribuição normal, isto é, T1 ~N(µ,σ2)onde:
(3.4)
e
(3.5)
), 1 ( ) ( ) ( = − −
∆Z t Z t Z t
[
( )] [
( ) ( 1)]
, ) ( 2 − − ∆ = ∆ ∆ =∆ Z t Z t Z t Z t
), 2 ( ) 1 ( 2 ) ( ) (
2 = − − + −
∆ Z t Z t Z t Z t
[
( )]
, )(t 1Z t
Z n
n =∆∆−
∆
3.4.4 Diferenças Sucessivas
Uma das razões para transformar os dados originais é a presença de não-estacionariedade. Em Morettin e Toloi (2006), a transformação mais comum consiste em tomar diferenças sucessivas da série original, até se obter uma série estacionária. A primeira diferença de Z(t) é definida por:
(3.6)
a segunda diferença é:
(3.7)
ou seja,
(3.8)
de modo geral, a n-ésima diferença de Z(t) é:
(3.9)
Em situações normais, será suficiente tomar uma ou duas diferenças para que a série se torne estacionária.
3.5 Teste de Normalidade de Jarque-Bera (JB)
Uma outra suposição a respeito das séries temporais é a de normalidade (evento puramente aleatório), sendo que um teste para que se verifique esta suposição é o teste de Jarque-Bera (JB), utilizado desde 1981.
, 24
) 3 ( 6
2 2
⎥ ⎦ ⎤ ⎢
⎣
⎡ + −
=n A C
BJ
, ,..., 1 , )
(t a t N
f
Zt = + t =
(3.10)
em que A representa assimetria e C representa a curtose.
Uma vez que, em uma distribuição normal (simética e mesocúrtica), o valor de assimetria é zero e o valor de curtose é 3, (C - 3) representa em (3.10), o excesso de curtose. Sob a hipótese nula de que os resíduos se distribuem normalmente, Jarque e Bera (1987) mostraram que, assintoticamente (isto é, em grandes amostras), a estatística BJ dada em (3.10), segue a distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade. Se o valor p da estatística qui-qui-quadrado calculada em uma aplicação for suficientemente baixo, pode-se rejeitar a hipótese de que os resíduos têm distribuição normal. Mas se o valor p for razoavelmente alto, não rejeita-se a hipótese de normalidade.
3.6 Alguns Modelos para Séries Temporais
Morettin e Toloi (2006) afirmam que os modelos utilizados para descrever séries temporais são processos estocásticos, isto é, processos controlados por leis probabilísticas.
Definição 3.6.1. Seja T um conjunto arbitrário. Um processo estocástico é uma
família Z =
{
Z(t),t∈T}
; tal que, para cada t∈T, Z(t) é uma variável aleatória.Sendo uma possibilidade de escrever uma série temporal observada na forma:
(3.11)
t j jt j m j j j
t t D a
Z =
∑
+∑
+= = 12 1 0 α β
∑
= = 12 1 j jt j t D S α∑
==
m j j j tt
T
0β
t t tt T S a
Z = + +
3.6.1 Método da Decomposição
Para Morettin e Toloi (2006), dada uma série temporal {Zt; t =1,...,N}, um
modelo de decomposição consiste em escrever Zt como uma soma de três
componentes não observáveis,
(3.12)
onde St, corresponde à componente sazonal para o período t ; Tt é a componente de
tendência no período t; at é a componente aleatória, de média zero e variância
constante σa2.
sendo que:
(3.13)
onde j é o grau do polinômio e:
(3.14)
sendo que αjsão as constantes sazonais (médias mensais) e Djt são variáveis
periódicas, neste caso dados por:
1, se o período t corresponde ao mês j, j=1,2, ... 12
-1 se o período t corresponde ao mês 12; (3.15)
0 caso contrário.
Assim o modelo de decomposição aditivo pode ser escrito da seguinte forma:
(3.16) =
t t t
t T S a
Z = × ×
O modelo de decomposição multiplicativo é escrito da seguinte forma:
(3.17)
Segundo Makridakis e Wheelwrigth (1998), um modelo aditivo é apropriado se a amplitude das variações sazonais não variam com o nível da série. Porém, se as flutuações sazonais aumentam ou diminuem proporcionalmente com o aumento ou decréscimo do nível da série, então o modelo multiplicativo é mais adequado. O modelo de decomposição multiplicativo é mais prevalecente com séries econômicas, pois séries econômicas mais sazonais têm variação sazonal que aumenta com o nível das séries.
Segundo Morettin e Toloi (2006), a componente sazonal representa as flutuações da série de acordo com algum fator de sazonalidade, e que ocorrem dentro de um curto período de tempo. O ciclo apresenta um comportamento similar à componente sazonal, embora tenha normalmente comprimento maior que aquela. A tendência representa o aumento ou declínio gradual nos valores das observações de uma série temporal.
Com a remoção das componentes de sazonalidade, ciclo e tendência, a componente aleatória fica determinada. Vários procedimentos para a decomposição de séries temporais foram desenvolvidos, cada qual tentando isolar as componentes não observáveis da série o mais acuradamente possível. O objetivo desses procedimentos consiste em remover cada uma das componentes, permitindo que o comportamento da série temporal seja melhor compreendido e, consequentemente, prognosticar valores futuros mais apropriados (MAKRIDAKIS e WHEELWRIGTH, 1985).
3.6.2 Alisamento Exponencial Simples
(
)
t tt x F
F+1 =α + 1−α
simples advém do fato de este método atribuir pesos diferentes a cada observação
da série. Enquanto que na média móvel as observações usadas para encontrar a previsão do valor futuro contribuem em igual proporção para o cálculo dessa previsão, (MORETTIN e TOLOI, 2006), no alisamento exponencial simples as informações mais recentes são evidenciadas pela aplicação de um fator que determina essa importância.
Para Pindyck e Rubinfeld (1991), a técnica de alisamento providencia um meio de se remover ou, pelo menos, reduzir as flutuações de curto prazo presentes em séries temporais. O método de alisamento exponencial baseia-se em um sistema de médias ponderadas móveis que atribuem um peso maior aos dados mais recentes da série temporal (KRAJEWSKI & RITZMAN, 1998). Os pesos atribuídos aos elementos da série temporal decaem exponencialmente (razão do nome alisamento ou suavização exponencial), do mais recente para o mais antigo. Conforme Makridakis e Wheelwrigth (1985), o argumento para o tratamento diferenciado das observações da série temporal é fundamentado na suposição de que as últimas observações contém mais informações sobre o futuro, e, portanto, são mais relevantes para a previsão. Wheelwrigth (1985), especifica o método através da equação:
(3.18)
onde Ft+1 representa a previsão no tempo t + 1 e α é o peso atribuído à observação
xt, 0 < α < 1.
(
)
1 ~ 1 ~ − − += t t
t Y Y
Y α α
(
)
∗ − ∗ = + − 1 ~ 1 ~ t tt Y Y
Y α α
k Yˆt+k =σˆt +βˆt
∗
−
= t t
t Y Y
~ ~ 2 ˆ σ
(
− ∗)
−= t t
t Y Y
~ ~ 1 ˆ α α β
O alisamento exponencial simples é apropriado para séries localmente constantes, isto é, séries temporais sem tendência ou sazonalidade.
3.6.3 Alisamento Exponencial Duplo - Método de Brow
Holt apub Makridakis (1998) realizou estudos que permitiram a aplicação de um modelo de alisamento exponencial a uma série temporal com padrão de tendência acrescentado a série estacionária. Morettin e Toloi (2006) comentam que o alisamento exponencial duplo processa-se em duas fases: primeiro, realiza-se o alisamento exponencial simples, obtendo-se a série alisada Yt
~
,
(3.19)
Em seguida, alisa-se esta série novamente através do operador de alisamento exponencial, obtendo-se a série de segunda ordem:
(3.20)
Assim, a previsão de valores futuros é feita através do modelo:
(3.21) onde: (3.22) e (3.23)
É apropriado utilizarmos o alisamento exponencial duplo, em séries temporais com tendência, mas sem o fator de sazonalidade. De acordo com Bowerman e OConell (1987), este método serve como ferramenta de previsão para séries que exibem tendência linear.
As séries não estacionárias além de exibir tendência crescente ou decrescente, também podem apresentar sazonalidade. O modelo de Holt-Winters pode ser entendido como uma técnica a ser aplicada quando a série temporal Z (t) mostra esses dois componentes, sendo que a incorporação do efeito sazonal pode ser feita de forma aditiva ou multiplicativa, o que permite presumir serem modelos mais completos que os citados anteriormente. Para Morettin e Toloi (2006) existem dois tipos de procedimentos cuja utilização depende das características da série considerada. Tais procedimentos são baseados em três equações com constantes de suavização diferentes, que são associadas a cada uma das componentes do padrão da série: nível, tendência e sazonalidade.
I. Série Sazonal Multiplicativa
De acordo com Morettin e Toloi (2006), dada uma série temporal qualquer com período s, o método de HW considera o fator sazonal como sendo multiplicativo e as outras componentes do modelo permanecem aditiva, isto é,
N t
a T F
Zt =µt t + t + t, =1,2,..., (3.24)
onde as três equações de suavização são dadas por:
(
D)
F D t s N ZZ D
F t s
t t
t 1 ˆ , 0 1, 1,...,
ˆ + − < < = +
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛
= − (3.25)
N s t A T Z A F Z A
Z t t
s t
t
t ˆ +(1− )(ˆ 1+ ˆ 1), 0< <1, = +1,..., ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = − − − (3.26) N s t C T C Z Z C
Tˆt = ( t − t−1)+(1− )ˆt−1, 0< <1, = +1,..., (3.27)
Estas equações representam estimativas do fator sazonal, do nível e da tendência, respectivamente; A, C e D são as constantes de suavização.
(
)
(
1)
ˆ , 0 1,ˆ = − + − < <
− D F D Z Z D
Ft t t t s
(
− ˆ)
+(1− )( 1+ ˆ 1), 0< <1,= AZ F− A Z− T− A
Zt t t s t t
, 1 0 ˆ ) 1 ( ) ( ˆ , 1
1 + − < <
−
=C Z Z− C T− C
Tt t t t
(
)
ˆ , 1,2, ,) (
ˆ h Z hT F h s
Zt = t + h t+h−s = K
(
)
ˆ , 1, 2 ,) ( ˆ
2 h s s
F T h Z h
Zt = t + h t+h− s = + K
(
)
t s tt
t D F
Z Z D
F +−
+ +
+ = ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞+ − 1 1
1
1 1 ˆ
ˆ
(
)
(
t t)
st t
t A Z T
F Z A
Z 1 ˆ
ˆ
1 1
1 + − +
⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = − + + +
O procedimento anterior pode ser modificado para tratar com situações onde o fator sazonal é aditivo,
t t t t
t T F a
Z =µ + + + (3.28)
as estimativas do fator sazonal, nível e tendência da série aditiva (3.26) são dadas por:
(3.29) (3.30) (3.31)
onde A, C e D são as constantes de suavização, respectivamente.
3.6.5 Previsões do Modelo de Holt-Winters (HW)
I. Modelo Multiplicativo
(3.32)
(3.33)
Para fazer novas previsões quando tem-se uma nova observação Zt+1,
utiliza-se as seguintes equações:
(3.34)
(3.35)
Tˆt+1 =C
(
Zt+1 −Zt)
+(
1−C)
Tˆt, (3.36)( )
(
1 ˆ)
ˆ 1,2,..., 1, ) 1 ( ˆ , 1 1 11 − = + + − + ++ − = +
+ h Z h T F h s
Zt t t t h s
( )
(
1 ˆ)
ˆ 2,...,2 1. ) 1 ( ˆ , 2 1 1 11 − = + + − + ++ − = + +
+ h Z h T F h s s
Zt t t t h s
; ..., , 2 , 1 , 1 ˆ 1 s j Z s Z F s k k j j = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
∑
=∑
= = = s k s ks Z T
s Z 1 . 0 ˆ ; 1 , ..., , 2 , 1 ˆ ˆ ) ( ˆ
, h s
F T h Z h
Zt = t+ t+ t+h−s =
s s h F T h Z h
Zˆt( )= t + ˆt+ ˆt+h−2s, = +1,...,2
(
)
(
1)
ˆ ,ˆ
1 1
1
1 t t t s
t D Z Z D F
F+ = + − + + − +−
(
1 ˆ 1)
(1 )( ˆ),1 t t s t t
t AZ F A Z T
Z+ = + − +− + − +
, 1
1 ( ) (1 )ˆ
ˆ
t t
t
t C Z Z C T
T+ = + − + −
( )
1 ˆ ˆ 1,2,..., 1, ) 1 ( ˆ , 1 1 11 − = + + − + + ++ − = +
+ h Z h T F h s
Zt t t t h s
( )
1 ˆ ˆ 2,...,2 1. ) 1 ( ˆ , 2 1 1 11 − = + + − + + ++ − = + +
+ h Z h T F h s s
Zt t t t h s
(3.37)
(3.38)
Os valores iniciais das equações de recorrência são calculados por meio das seguintes fórmulas:
(3.39)
(3.40)
II. Modelo Aditivo
(3.41)
(3.42)
Para fazer novas previsões quando tem-se uma nova observação Zt+1,
utiliza-se as seguintes equações:
(3.43)
(3.44)
(3.45)
e a nova previsão para o valor Zt+h será:
(3.46)
(3.47)
3.7.1 Introdução
Os modelos de Box e Jenkins são modelos paramétricos conhecidos genericamente como modelos ARIMA. De acordo com Maddala (2003), a abordagem Box-Jenkins é uma das metodologias mais usadas para a análise de dados em séries temporais. Ela é popular em conseqüência de sua generalidade; ela pode lidar com qualquer série, estacionária ou não, com ou sem elementos sazonais e tem programas de computador bem documentados. Tratam-se de modelos matemáticos que objetivam captar o comportamento da correlação seriada ou da autocorrelação entre os valores da série temporal e, com base nesse comportamento, realizar previsões. Os modelos ARIMA resultam da combinação de três componentes denominados ”filtros”: o componente auto-regressivo (AR), o filtro de integração (I) e o componente de médias móveis (MA). Uma série de tempo pode conter os três filtros ou apenas um subconjunto desses, resultando daí várias alternativas de modelos passíveis de análise pela metodologia de Box e Jenkins (VASCONCELLOS, 2000). Esta metodologia consiste em ajustar modelos autoregressivos e integrados de médias móveis, ARIMA (p,d,q), a uma série qualquer. Onde p, d e q são os parâmetros a serem estimados, sendo que:
p= número de parâmetros autoregressivos; d= número de diferenças aplicadas na série; q= número parâmetros de médias móveis.
Segundo Makridakis e Wheelwright(1998), a estratégia para a construção destes modelos consiste em três fases: identificação, estimação e teste, e aplicação. Onde na verdade, antes da aplicação é feito o diagnóstico do modelo ajustado a partir, principalmente, da análise das autocorrelações e autocorrelações parciais.
a) Especificação: uma classe geral de modelos é considerada para análise;
b) Identificação: É com base na análise de autocorrelações, autocorrelações parciais e outros critérios. Esta etapa consiste em identificar quais dos filtros AR, I, MA fazem parte do processo estocástico que gerou a série temporal Z (t), bem como identificar as suas respectivas ordens (VASCONCELLOS e ALVES, 2000). Conforme Gujarati (2005), as principais ferramentas dessa etapa são a função de autocorrelação (FAC), a função de autocorrelação parcial (FACP) e os correlogramas resultantes, que são simplesmente as representações gráficas das FACs e FACPs contra o tamanho da defasagem;
c) Estimação: É a fase na qual os parâmetros do modelo identificado são estimados. Caso a condição de estacionariedade esteja presente, e verificadas as possíveis configurações de modelos na fase anterior da identificação, a etapa de estimação leva em consideração três aspectos a parcimômia do modelo, as condições de estacionariedade e de invertibilidade e a quantidade do ajuste (ENDERS, 1995);
d) Verificação ou Diagnóstico: é feita através da análise de resíduos, para saber se o modelo é adequado para os objetivos, por exemplo, de realizar previsões. Na verificação da correta especificação do modelo ARIMA (p,d,q) ou SARIMA (p,d,q) (P,D,Q), analisa-se o termo aleatório
t
ε , que deve apresentar as características de um ruído branco.
A notação de operadores, alguns já comentados na sub-seção (3.4.2), será muito usada neste capítulo, sendo que para Morettin e Toloi (2006) estes operadores são:
a) operador translação para o passado, definido por:
; ;
1 t t m
m t
t Z B Z Z
BZ = − = −
b) operador translação para o futuro, definido por:
; ;
1 t t m
m t
t Z F Z Z
FZ = + = +
c) operador diferença já definido antes,
(
1)
;1 t
t t
t Z Z B Z
Z = − = −
∆ −
Segue-se que:
B
− =
∆ 1 ; e
d) operador soma, denotado por S e definido por:
(
)
∑
∞= − = + − + = + + + =0
2
1 ... 1 ... ;
j t t t j t
t Z Z Z B B Z
SZ
do que segue:
(
1)
1 t 1 t;t B Z Z
SZ = − − =∆− ou seja, 1 − ∆ = S ;
3.7.2 Modelos Auto-Regressivos - AR(p)
t p t p t t
t Z Z Z a
Z~ =φ1~−1+φ2~−2 +...+φ ~− +
( )
B Zt =at ~φ
t t
t Z a
Z~ =φ~−1+
0 ; ... 2 2 1
1 + + + >
= j− j− p j−p j
j φ ρ φ ρ φ ρ
ρ q t q t t
t a a a
Z =µ + −θ1 −1−...−θ −
seus valores realizados e pelos termos aleatórios. No modelo Auto-Regressivo (AR), o comportamento de uma variável é explicado pelo seu próprio passado. Seja at um
processo puramente aleatório com média µ e variância 2
a
σ . Um processo Zt é
chamado de processo autoregressivo de ordem p, ou AR(p), se
(3.48)
Reescrevendo-se o modelo em termos de operador atraso, temos o operador autoregressivo de ordem p:
p pB
B B
B φ φ φ
φ =1− 1 − 2 2 −...− (3.49)
Então pode-se escrever:
(3.50)
O caso mais simples de um modelo auto-regressivo é o de ordem p = 1, ou seja, um AR(1) dado por:
(3.51)
A função de autocorrelação de um modelo AR(p) é dada por:
(3.52)
3.7.3 Modelo de Médias Móveis - MA(q)
Nestes modelos, a serie temporal Z (t) é resultado da combinação linear dos choques aleatórios (ruídos brancos) ocorridos no período corrente t e em períodos anteriores. Seja at um processo puramente aleatório com média µ e
variância 2
a
σ . Um processo Zt é chamado de média móveis de ordem q, ou MA(q),
se:
t t
q q
t B B B a B a
Z~ =(1−θ1 −θ2 2−...θ ) =θ( )
( )
B (1 θ1B θ2B2 ...θqBq)θ = − − −
ou a a
Z~t = t −θ t−1;
. ) 1 ( ~ t
t B a
Z = −θ
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− + > =
∑
∑
= − = + 0 1 ; ,... 1 , 0 0 2 0 k se q k se q k se q j j k q j j k j k k θ θ θ θ ρO processo MA(q) pode ser expresso usando-se o operador atraso da seguinte maneira:
(3.54)
onde:
(3.55)
É o operador de médias móveis de ordem q.
O caso mais simples de um modelo de médias móveis é o de ordem q = 1, ou seja, um MA(1) dado por:
(3.56)
(3.57)
A função de autocorrelação de um modelo MA(q) é dada por:
(3.58)
3.7.4 Modelos Auto-Regressivos e de Médias Móveis - ARMA (p,q)
q t q t
t p t p t
t
t Z Z Z a a a
Z~ =φ1~−1+φ2~−2 +...+φ ~− + −θ1 −1−...−θ −
( )
B Zt θ( )
B atφ ~ =
1 1 −
= j j φ ρ
ρ
t t t
t
t Z Z B Z Z
W = − −1 =(1− ) =∆
( )
BWt θ( )
B atφ =
Segundo Morettin e Toloi (2006) para muitas séries na encontradas na prática, se quisermos um modelo com um número não muito grande de parâmetros, a inclusão de termos auto-regressivos e de médias móveis é a solução adequada.
A forma da combinação de modelos auto-regressivos e de média móveis é a seguinte:
(3.59)
Da forma compacta:
(3.60)
Para o caso mais simples de um ARMA(1,1) temos que:
(3.61)
3.8 Modelos não Estacionários
Os modelos estudados na seção 3.7 são apropriados para descrever séries estacionárias, isto é, que se desenvolvem no tempo ao redor de uma média comum (MORETTIN e TOLOI, 2006). É comum se encontrar séries econômicas e financeiras não estacionárias, mas quando diferenciadas tornam-se estacionárias (não estacionariedade homogênea). Por exemplo, se a série Zt é não estacionária,
mas sua primeira diferença é estacionária, então podemos representá-la como,
(3.62)
3.8.1 Modelos Auto-Regressivos Integrados de Médias Móveis - ARIMA(p,d,q)
Conforme Morettin e Toloi (2006), se a série d t
t Z
W =∆ for estacionária,
pode-se representar Wt por um modelo ARMA (p,q), ou seja,
( )
( )
t d a B Z B θφ ∆ =
( )
B Zt θ( )
B atϕ =
( ) ( )
d( )
dB B B
B =φ ∆ =φ (1− )
ϕ
1
1 −
− + −
= t t t
t Z a a
Z θ q t q t t d p t d p t t
t Z Z Z a a a
Z =ϕ1 −1+ϕ2 −2+...+ϕ + − − + −θ1 −1−...−θ −
Se Wt for uma diferença de Zt, então Zt é uma integral de Wt, daí dizermos
que Zt segue um modelo auto-regressivo integrado de médias móveis, ou modelo
ARIMA,
(3.64) de ordem (p,d,q) e escreve-se ARIMA(p,d,q), se p e q são as ordens de φ
( )
B e θ( )
B , respectivamente.No modelo (3.63) todas as raízes estão fora do círculo unitário. Escrever (3.64) é equivalente a escrever:
(3.65)
onde ϕ
( )
B é um operador auto-regressivo não-estacionário, de ordem p+d, com d raízes iguais a um (sobre o círculo unitário) e as restantes p fora do círculo unitário, ou seja,(3.66)
Alguns casos particulares do modelo (3.64) são:
1. ARIMA(0,1,1):∆Zt =
(
1−θB)
at2. ARIMA(1,1,1):
(
1−φB)
∆Zt =(
1−θB)
at 3. ARIMA(p,0,0) = AR(p);4. ARIMA(0,0,q) = MA(q); 5. ARIMA(p,0,q) = ARMA(p,q).
Observe que o caso 1, é muito importante e conhecido como modelo integrado de média móveis, IMA(1,1),
(3.67)
A forma usual do modelo (3.63), útil para fazer previsões é dado por:
