Sobre teorema de comparação de autovalores de Cheng

CENTRO DE CIÊNCIAS

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

LEONARDO TAVARES DE OLIVEIRA

SOBRE TEOREMA DE COMPARAÇÃO DE AUTOVALORES

DE CHENG

SOBRE TEOREMA DE COMPARAÇÃO DE

AUTOVALORES DE CHENG

Dissertacão submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Matemática, da Universidade Federal do Ceará, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática.

Área de concentracão: Geometria

Diferencial

Orientador: Prof. Dr. Gregório Pacelli Feitosa Bessa

Fortaleza

Sobre teorema de comparação de autovalores de Cheng/

Leonardo Tavares de Oliveira. - 2012.

69f. :enc.; 31 cm

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Ceará,

Centro de Ciências, Departamento de Matemática, Curso de

Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-2012.

Área de Concentração: Geometria Diferencial

Orientação: Prof. Dr. Gregório Pacelli Feitosa Bessa

1-Geometria diferencial. 2.Variedades riemannianas. I. Título

irmãs Neily e Cilane, amigos e a minha namorada Raquel ,

Antes de tudo agradeço a Deus, por ter feito essa promessa em minha vida. O Senhor que me deu forças e ajuda nos momentos mais difíceis da minha vida. A Ele devo essa vitória, pois sem Ele não teria chegado até aqui.

A minha querida e amada família, minha mãe Lúcia Maria, que por dois anos, apesar da distância, esteve sempre ao meu lado me ouvindo e ajudando através de suas orações, meu pai Francisco Felipe, que é um exemplo para mim de superação e que acreditou sempre na minha vitória, as minhas irmãs Lucineide Tavares e Lucilane Tavares, que não mediram esforços para me ajudar sempre que estivesse ao alcance delas, a minha tia Franscisca Claudelúcia, que esteve sempre se lembrando de mim em suas orações, e ao meu cunhado Wilderval, pela sua amizade e por me ajudar sempre que pôde.

Agradeço a esta pessoa tão especial, minha querida namorada Raquel Costa da Silva, pelo seu carinho, amizade, amor, paciência comigo nos momentos difíceis e por acreditar na minha vitória. Ela que é mais um presente do Senhor para mim.

Aos meus amigos da pós-graduação em matemática da UFC, em especial a Renivaldo Sena por toda a ajuda, paciência, boa vontade e contribuição em todo o trabalho, a Rafael Diógenes e Elaine Sampaio, pelo apoio e amizade durante esses dois anos, a João Nunes, Léo Ivo, Selene e João Vítor, por termos passado juntos o terceiro semestre e pela grande amizade, a Vanderlândia, Fátima, Rafael Marques, Oslenne Nogueira, Francisco Chaves, Tiarlos, Loester Carneiro e Zé Eduardo pelo apoio. Também agardeço aos meus dois amigos André Pinheiro e Renato Araújo.

Agradeço também ao professor Gregório Pacelli Feitosa Bessa, pela orientação e paciência. Aos professores Fábio Montenegro e Luciano Mari por terem aceitado ao convite de participar da banca.

Não podia deixar de agradecer aos meus professores da UECE Francisco Valdomiro, por ter acreditado em mim e pela sua amizade, Francisco Enio, pelo ensino e incentivo. Aos meus amigos de graduação, Ana Cristina, José Iranildo, Antônio Nunes e Ricardo Marculino. E ao meu amigo Dirceu, pela sua ajuda durante o curso de verão.

Também agradeço aos meus amigos Luciano, Tarcísio, Matheus, Marcio e Macsuelma, Ana Erica e Marcio, Gisely, Sebastião, Maria e Assis Lucas, pela suas amizades.

À Andrea pela paciência, competência e toda sua atenção.

No presente trabalho apresentamos uma versão do Teorema de Comparação de Autovalores de Cheng, onde a limitação das curvaturas seccional e Ricci é trocada pela limitação da curvatura média das esferas geodésicas. Além disso, apresentamos a construção de métricas suaves,gκ, em[0,r]×S3, não isométrica a métrica canônica de curvatura seccional constanteκ, canκ, tal que as bolas geodésicasBgκ(r) = ([0,r]×S

3_,g

κ), Bcanκ(r) = ([0,r]×S

3_,can

κ)têm o

mesmo primeiro autovalor, mesmo volume e as esferas geodésicas∂Bgκ(s)e∂Bcanκ(s), 0<s≤

r, tem a mesma curvatura média. Finalmente, aplicamos esta versão do Teorema de Comparação

de Autovalores de Cheng para a construção de exemplos de variedades RiemannianaMcom tom

fundamental positivo.

Palavras-Chaves: Autovalores de Dirichlet, Teorema de Comparação de Cheng, Teorema

We present a version of Cheng’s Eigenvalue Comparison Theorem, where the limitation of the sectional and Ricci curvature is changed by limiting the mean curvature of the ball away. Furthermore, the present construction of smooth metricsgκ, in[0,r]×S3, non-isometric

to the canonical metric of constant sectional curvature κ, canκ, such that the balls geodesic Bgκ(r) = ([0,r]×S

3_,g

κ), Bcanκ(r) = ([0,r]×S

3_,can

κ) have the same first eigenvalue, the

same volume and the distances spheres ∂Bgκ(s) and ∂Bcanκ(s), 0< s ≤ r, has the same

mean curvature. Finally, this version of Cheng’s Eigenvalue Comparison Theorem to construct examples of Riemannian manifoldsMwith positive fundamental tone.

Keywords: Dirichlet eigenvalues, Cheng’s Eigenvalue Comparison Theorem, Barta’s Theorem,

1 Preliminares p. 3

1.1 Métrica Riemanniana e conexão . . . p. 4

1.2 Geodésicas e aplicação exponencial . . . p. 6

1.3 Curvaturas e campos de Jacobi . . . p. 8

1.4 O Gradiente, a Divergência e o Laplaciano . . . p. 14

2 Teoremas de Comparação p. 18

2.1 Problema de autovalor de Dirichlet . . . p. 18

2.2 Coordenadas geodésicas . . . p. 20

2.3 O Teorema de Barta . . . p. 21

2.4 Os Teoremas de Bishop e de Cheng . . . p. 23

2.5 Teorema Principal . . . p. 35

3 Exemplos p. 41

3.1 Exemplo 1 . . . p. 42

3.2 Exemplo 2 . . . p. 45

4 Generalização do Teorema Principal p. 51

Seja BM(r) uma bola geodésica de raio r em uma variedade Riemanniana completa

n-dimensional M e denote por λ1(BM(r)) seu primeiro autovalor de Dirichlet. E por λ1(BMn_(κ)(r))o primeiro autovalor de Dirichlet da bola geodésicaB_Mn_(κ)(r)de raiorno espaço

forma simplesmente conexoMn_(κ)de curvatura seccional constante_κ.

Cheng em [6], usando o resultado de Barta [1], provou que se a curvatura seccional deMé

limitada por cimaKM≤κ er<min{inj(p),π/√κ},(π/√κ=∞seκ≤0)entãoλ1(BM(r))≥ λ1(BMn_(κ)(r)). E se a curvatura de Ricci de M é limitada por baixo Ric_M ≥(n−1)κ então

λ1(BM(r))≤λ1(BMn_(κ)(r))parar<inj(p). Está implícito na prova de Cheng queλ1(B_M(r)) =

λ1(BMn_(κ)(r))implica que as bolas geodésicasB_M(p,r)eB_Mn_(κ)(r)são isométricas.

Bessa e Montenegro em [11] observaram que o resultado do Cheng das desiguladades de autovalores, citado acima, é válido sob hipótese geométrica mais fraca. Ou seja, dadasBM(r)

eBMn_(κ)(r)bolas geodésicas dentro do cut locus dos seus centros e seja(t,θ)∈(0,r]×Sn−1

coordenadas geodésicas deBM(r) eBMn_(κ)(r). Sejam H_M(t,θ)eH_Mn_(κ)(t,θ) =H_Mn_(κ)(t)as

curvaturas média das esferas geodésicas∂BM(t)e∂BMn_(κ)(t)em(t,θ)com respeito ao campo

de vetor unitário₋∂/∂t. Então, a seguinte versão do Teorema de Comparação de Autovalor de Cheng é válida

Teorema.Se HM(s,θ)≥HMn_(κ)(s)para todo s∈(0,r]e todoθ ∈Sn−1então

λ1(BM(r))≥λ1(BMn_(κ)(r)). (1)

Se HM(s,θ)≤HMn_(κ)(s)para todo s∈(0,r]e todoθ ∈Sn−1então

λ1(BM(r))≤λ1(BMn_(κ)(r)). (2)

A igualdade em (1) ou em (2) ocorre se, e somente se, HM(s,θ) =HMn_(κ)(s)para todo s∈(0,r]

Usando o Teorema de Comparação do Hessiano e do Laplaciano concluímos que seKM≤κ

implica queHM(s,θ)≥HMn_(κ)(s) eRic_M ≥(n−1)κ implica queH_M(s,θ)≤HMn_(κ)(s). No

entanto, as demonstrações inversas em geral não são sempre verdadeiras. No terceiro capítulo foi construído métricas suaves emRncom curvaturas seccionais limitadas por cima_{K(∂/∂s) >}

κ fora de um conjunto compacto com HM(s,θ)≥HMn_(κ)(s) para todo s≥0, ver exemplo 1.

No segundo exemplo, é construído métricas suavesgκ em[0,r]×S3, não isométrica a métrica

canônicacanκ de curvatura seccional constanteκ, tal que as bolas geodésicasBgκ(r) = ([o,r]×

S3_,gκ), _{Bcanκ(r) = ([o,r]×}S3_,canκ)têm o mesmo primeiro autovalor, o mesmo volume e as

esferas ∂Bgκ(s) e ∂Bcanκ(s), 0<s≤r, tem a mesma curvatura média. Por outro lado, se

a métrica de uma variedade Riemanniana n-dimensional restrita a uma bola geodésica de raio

r é rotacionalmente simétrica, isto é, sua expressão é dada por ds2= dt2+ f2(t)dθ2, com

f(0) =0, f′(0) =1, f(t)>0 parat >0, então a igualdade dos autovalores λ1(BM(r),ds2) = λ1(BMn_(κ)(r),can_κ)implica queB_M(r)eB_Mn_(κ)(r)são isométricas, veja a observação 3.1.

Capítulo

1

Preliminares

Conteúdo

1.1 Métrica Riemanniana e conexão . . . p.4

1.2 Geodésicas e aplicação exponencial . . . p.6

1.3 Curvaturas e campos de Jacobi . . . p.8

1.4 O Gradiente, a Divergência e o Laplaciano . . . p.14

Na presente seção apresentamos fatos fundamentais para o desenvolvimento deste trabalho. As principais referências são [2], [3], [4] e [7].

SejaMuma variedade diferenciável conexa de dimensãon. Para cada p_∈M, indicaremos

porTpM o espaço tangente aM em pe T M seu fibrado tangente, isto é, a união de todos os

espaços tangentes aM.

Um campo de vetoresX em uma variedade diferenciávelMé uma aplicação deMno fibrado

tangenteT M

X :M_−→T M.

Podemos também pensar nos campos de vetores como uma aplicaçãoX :D_→F(M)definido por

(X f)(p) =

_∑

(p),

1.1 Métrica Riemanniana e conexão

Uma métrica Riemanniana g em uma variedade diferenciável M é uma aplicação que

associa a cada pontop_∈Mum produto interno

gp=h.ip:TpM×TpM→R

satisfazendo a seguinte propriedade: SeU é um aberto qualquer em M e X,Y são campos de

vetores diferenciáveis emU, então a funçãog(X,Y):U _→Rdada por

g(X,Y)(p) =gp(Xp,Yp) =hXp,Ypi

é diferenciável emU.

Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da métrica é dizer que para todo par X,Y

de campos de vetores diferenciáveis em M, numa vizinhança V de M, a função _hX,Y_i é

diferenciável emV. As funçõesgi j são chamadas expressões da métrica Riemanniana em um

sistema de coordenadasx:U _⊂Rn_→M.

Uma conexão afim∇em uma variedade diferenciávelMé uma aplicação

∇:X(M)_×X(M)_→X(M)

indicada por(X,Y)_→∇_XY e que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) ∇_{f X+gY}Z= f∇_XZ+g∇_YZ;

(ii) ∇_X(Y+Z) =∇_XY+∇_XZ;

(iii) ∇_X(f Y) = f∇_XY+X(f)Y,

ondeX,Y,Z_∈X(M), f,g_∈D(M).

Proposição 1.1 Sejam M uma variedade diferenciável com conexão afim∇eα :(₋ε,ε)_→M uma curva diferenciável. Então existe uma única correspondência que associa a uma campo de

vetores V ao longo deα a um outro campo de vetores DV

dt ao longo deα, denominado derivada covariante de V ao longo deα, tal que

(i) D

dt(V+W) = DV

dt + DW

dt .

(ii) D

dt(f V) = d f

dtV+f DV

(iii) Se V é induzido por um campo de vetores Y _∈X(M), isto é, V(t) =Y(α(t)), então DV

dt =∇ddtα

Y .

Para uma demonstração desta proposição veja [7]

Podemos expressar ∇_XY em coordenadas locais. Seja x :U _⊂Rn _→M um sistema de coordenadasx= (x1,x2, . . . ,xn)em p∈Mescrevendo

X =

n

∑

i=1

xiXi, Y = n

∑

j=1

yjYj,

ondexi:U →ReXi= ∂ ∂xi

. Assim, temos que

∇_XY = ∇_∑xiXi

_∑

∑

∑

=

_∑

i

xi

∑

yj∇XiXj+

∑

j

Xi(yj)Xj

!

=

_∑

i,j

xiyj∇XiXj+

∑

i,j

xiXi(yj)Xj.

Fazendo∇_XiXj=∑ Γk_{i j}Xk, conclui-se queΓki j são diferenciáveis e

∇_XY =

_∑

k

∑

i,j

xiyjΓki j+X(yk)

!

Xk,

onde as funçõesΓk

i j são os coeficientes da conexão∇emU, chamado desímbolos de Christoffel

da conexão. Podemos expressar os símbolos de Christoffel da seguinte forma

Γm_{i j} = 1 2

∑

∂ ∂xi

gjk+ ∂ ∂xj

gki− ∂ ∂xk

gi j

gkm, (1.1)

ondegi j=hXi,Xjie(gkm)é a inversa da matriz(gi j). Essa é a expressão clássica dos símbolos

de Christoffel da conexão Riemanniana em termos da métrica.

O teorema a seguir é fundamental. Ele garante que em toda variedade Riemanniana existe uma única conexão afim.

Teorema 1.1 (Levi-Civita) Dada uma variedade Riemanniana M, existe uma única conexão

afim∇em M satisfazendo as condições:

a) ∇é simétrica, isto é,

b) ∇é compatível com a métrica Riemanniana, isto é,

X_hY,Z_i=_h∇_XY,Z_i+_hY,∇_XZ_i.

A conexão dada pelo Teorema acima é chamada de conexão de Levi-Civita ou conexão Riemanniana deM.

1.2 Geodésicas e aplicação exponencial

Seja M uma variedade Riemanniana com conexão afim ∇, e seja γ uma curva em M. A

aceleração deγ é o campo de vetores Dγ ′

dt ao longo deγ. A curvaγ é chamadageodésicacom

respeito a∇se a aceleração é zero, ou seja, Dγ

′

dt ≡0.

Um campo de vetoresV ao longo de uma curva γ é dito ser paralelo ao longo de γ com respeito a∇se DV

dt ≡0. Da mesma formaV é dito ser um campo paralelo aMse éparaleloao

longo de todo curva.

Um fato fundamental sobre campos de vetores paralelo é que qualquer vetor tangente em qualquer ponto de uma curva na variedade Riemanniana pode ser unicamente estendido a uma campo de vetores paralelos ao longo da curva inteira. É o que diz o

Teorema 1.2 Dadas uma curva γ :I_→M, t0∈I, e um vetor V0∈Tγ(t0)M. Então, existe um

único campo de vetores paralelo V ao longo deγ tal que V(t0) =V0.

O campo de vetoresV do Teorema acima é chamado detransporte paralelo de V₀ao longo

de γ. Uma observação importante é que se γ :I _→M é uma curva e t0,t1∈I, o transporte paralelo define um operador

Pt0,t1:Tγ(t0)M−→Tγ(t1)M

dado por Pt0,t1V0 =V(t1), onde V é o transporte paralelo de V0 ao longo de γ. Pt0,t1 é um

isomorfismo linear entreT_γ(t0)M eT_γ(t1)M.

Seja γ uma curva diferenciável em M. Essa curva determina uma curvat _→(γ(t),γ ′(t)) emT M. Assim dado um sistema de coordenadas (U,x)em torno de γ(t0), se γ é uma curva geodésica então, a curva

t_→

x1(t), . . . ,xn(t), dx1(t)

dt , . . . , dx1(t)

dt

satisfaz o sistema

   

  

dx_k dt =yk, dyk

dt =−

∑

i jyiyj, k=1.. . . ,n.

emTU.

Lema 1.1 Existe um único campo G em T M cujas as trajetórias são da forma t_→(γ(t),γ′(t)), ondeγ é uma geodésica em M.

O campoGdefinido acima é chamado decampo geodésicoemT Me seu fluxoϕ(t,ξ)é o fluxo geodésico deT M, ondeξ _∈T Met_∈R. Então, definimos

γ_ξ(t) =π_◦ϕ(t,ξ),

onde π :T M _−→M é a projeção canônica, γ_ξ(t) é a única geodésica em M satisfazendo as

condiçõesγξ(0) =π(ξ)eγ ′ξ(0) =ξ.

Para todoξ _∈T M existe um intervalo aberto maximal I_ξ emRcontendo a origem e uma única geodésicaγξ :Iξ →Msatisfazendo γξ(0) =π(ξ)eγ ′_ξ(0) =ξ. SeMé geodesicamente

completa, isto é,I_ξ =Rpara todo_{ξ ∈T M}, então

γ_ξ(αt) =γ_αξ(t), _|γ ′_ξ|=_|ξ_{| ∀}α,t _∈R_.

SejaTMum subespaço deT M, definido por

T M:=_{ξ _∈T M; 1_∈I_ξ},

SejaMuma variedade Riemanniana. Definimos a aplicação exponencial exp :T M_−→Mdada

por

expξ =γξ(1).

Então, exp(tξ) =γtξ(1) =γξ(t),para todot∈R,ξ ∈T M. Além disso, dado p∈Mdefinimos

1.3 Curvaturas e campos de Jacobi

Definição 1.1 O tensor curvatura R da variedade Riemanniana M com conexão ∇ é uma

aplicação multilinear R:χ(M)_×χ(M)_×χ(M)_{× →}χ(M)dada por

R(X,Y)Z=∇_X∇_YZ₋∇_Y∇_XZ+∇_[X,Y]Z (1.2)

para todo X,Y,Z_∈χ(M).

Iremos denotar(X,Y,Z,W) =_hR(X,Y)Z,W_i.

Proposição 1.1 O tensor curvatura R satisfaz as seguintes propriedades

(1) (X,Y,Z,W) =₋(Y,X,Z,W) = (Y,X,W,Z) (2) (X,Y,Z,W) = (Z,W,X,Y)

(3)Primeira Identidade de Bianchi

R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y =0

Para uma prova veja Capítulo 3 de [7].

Definição 1.2 Seja P_⊂TpM um subespaço bi-dimensional do espaço tangente. A curvatura

seccional de P em p é dada por

K(X,Y) = hR(X,Y)X,Yi |X_|2_|Y_|2_{− h}X,Y_i2

onde X,Y _∈P são dois vetores linearmentes independentes de TpM.

É possível mostrar que essa definição não depende da escolha dos vetores veja Capítulo 4 de [7]. Observe que, se_{e1,e2}é uma base ortornormal deP, então

K(e1,e2) =hR(e1,e2)e1,e2i.

Lema 1.2 Dados M uma variedade Riemanniana e p um ponto de M. Definimos uma aplicação

multilinear R′:TpM×TpM×TpM→TpM por

hR′(X,Y,Z),W_i=_hX,Z_ihY,W_{i − h}Y,Z_ihX,W_i,

A demostração encontra-se em [7].

Definição 1.3 Para cada p_∈M definimos o tensor curvatura de Ricci Ric:TpM×TpM →R

por

Ric(X,Y) =tr_{Z_7→R(X,Z)Y_},

onde X,Y,Z_∈X(M).

Se_{e1, ...,en}é uma base ortonormal deTpMentão,

Ric(ξ,η) =

n

∑

j=1h

R(ξ,ej)η,eji. (1.3)

Sejam Mn e ¯Mn+k variedades diferenciaveis. Uma aplicação diferenciável ϕ :M_→M¯ é

uma imersão, se dϕp :TpM →Tϕ(p)M é injetiva para todo p ∈M. Se além disso, ϕ é um

homeomorfismo sobreϕ(M)_⊂M¯, ondeϕ(M)tem a topologia induzida por ¯M, diz-se queϕ é um mergulho. Neste caso,ϕ(M)é uma subvariedade de ¯M.

Seja f :M_→M¯n+k uma imersão, se ¯M tem estrutura Riemanniana, f induz uma métrica

Riemanniana emMpor

hu,v_ip=hd fp(u),d fp(v)if(p),

para todou,v_∈TpM. Neste caso dizemos que f é uma imersão isométrica deMem ¯M.

Considere uma imersão isométrica x: Mn _→M¯k de uma variedade diferenciável M de

dimensãon em uma variedade Riemanniana ¯M de dimensão igual a n+m=k. Como usual,

identificaremosMcom a sua imagem porx,x(M). Com esta identificação o espaço tangente de

Mem um dado ponto p_∈M,TpMé um subespaço do espaço tangente de ¯Mem p,TpM¯.

Para cada p_∈M, o produto interno em TpM¯ decompõeTPM¯ na soma direta deTpM com

seu complemento ortogonal(TpM)⊥. Para todo p∈M, ¯v∈TpM¯, denotaremos a projeção de ¯v

sobreTpMpor ¯v⊤, e a projeção de ¯vsobre(TpM)⊥por ¯vN

Sejam∇,∇a conexão Riemanniana deMe ¯M, respectivamente. SeX,Y são campos locais

de vetores emM, e ¯X e ¯Y são estensões locais a ¯M, definimos

∇_XY = ∇¯_X¯Y⊤.

No que se segueX(U)⊥ representa os campos de vetores normais a x(U)_≈U, ondeU é um

aberto deM. A aplicação

definida por

B(X,Y) = (∇_XY)N =∇_X¯Y¯₋∇_XY,

é chamada segunda forma fundamental deMem ¯M.

Proposição 1.2 A aplicãção B é uma forma bilinear e simétrica.

A demonstração encontra-se em [7].

Seja p_∈Meη _∈(TpM)⊥. Definimos a aplicaçãoS:X(U)×X(U)⊥→X(U)por

hS(X,η),Y_i:=_hB(X,Y),η_i.

DenotandoSη(X) =S(X,η)obtemos um operador autoadjuntoSη:X(U)→X(U)denominado

operador deWeingartenda imersão na direção deη.

Proposição 1.3 Seja p_∈M, x_∈TpM eη∈(TpM)⊥. Seja N uma extensão local deη normal a M. Então,

Sη(x) =−(∇xN)T.

Prova.Sejay_∈TpMeX,Y extensões locais dex,y, respectivamente. Queremos mostrar que

hSη(x),yi=hB(x,y),ηi=−h(∇xN)T,yi.

Então, como_hN,Y_i=0 segue

−h(∇_xN)T,y_i = _−h∇_xN,y_i=_−h∇_xN,Y_i

= ₋x_hN,Y_i+_hN,∇_xY_i

= _hη,(∇xY)Ni

= _hη,B(x,y)_i

para todoy_∈TpM.

Considere a x:M _→ Mn+m uma imersão. Dizemos que _{e₁, ...,e_n+k} é um referencial

ortonormal adaptado em um abertoU _⊂M se as restrições de e1, ...,en ao abertoU =U∩M

formarem um referencial emU_⊂M.

um referencial adaptado a um abertoU_⊂M, considere o campo

H=

n

∑

i=1

B(ei,ei) ∈X(U)⊥.

Como B(ei,ei) ∈ (TpM)⊥ então, se B(ei,ei) = aηj com ηj ∈ (TpM)⊥. Daí, vemos que

hB(ei,ei),ηji=haηj,ηji=a. Portanto, temos as seguintes igualdades n

∑

i=1

B(ei,ei) = n

∑

i=1h

B(ei,ei),ηjiηj

=

n

∑

i=1h

Sηj(ei),eiiηj

H = (trSηj)ηj, (1.4)

ondeH aplicado num ponto p_∈Mé conhecido como vetor curvatura média dexem p. Agora

fixadoη_∈(TpM)⊥, definimos a curvatura média deMna direçãoη por

H=trSη (1.5)

ou seja, o traço da aplicação de Weingarten é a curvatura média deM.

Sejamx:M _→Mn+1 uma imersão isométrica eN um campo unitário emM normal a M.

Note que dado um referencial ortonormal_{e₁, ...,en,N_}, temos que

div_MN =

n+1

∑

i=1h

∇_eiN,eii

=

n

∑

i=1h

∇_eiN,eii+h∇NN,Ni

=

n

∑

i=1h

∇_eiN,eii+

1

2NhN,Ni.

Como _hN,N_i= 1 temos que eihN,Ni=0 e h∇eiN,Ni =0 para todo i ∈ {1, ...,n}. Logo,

(∇_eiN)T _{= (∇}

eiN). Assim,

div_MN=₋tr(SN).

Portanto,

H=₋div_MN. (1.6)

Agora iremos definir e apresentar alguns resultados básico sobre campos de Jacobi de uma variedade RiemannianaM.

campo de Jacobi se satisfaz a equação de Jacobi

D2J dt2 +R(γ

′_(t),J(t))γ′_{(t) =0, ∀t ∈[0,a].}

DenotaremosJ o conjunto dos campos de Jacobi ao longo deγ.

Proposição 1.4 Para X,Y _∈J, temos que

h_dtDX,Y_{i − h}X,D

dtYi=const.

Assim, para qualquer campo de Jacobi Y temos que existem constantes a,b_∈R_{tais que}

hY,γ′_i=at+b.

Prova.Derivando

hD

dtX,Yi − hX, D dtYi

encontra-se

D2 dt2X,Y

−

X,D

2

dt2Y

.

Agora, usando a equação de Jacobi obtemos

h−R(γ′,X)γ′,Y_{i − h}R(γ′,X)γ′,Y_i=0.

Logo,

D dtX,Y

−

X,D dtY

=const.

isto é,

D

dthX,Yi=const.

e, portanto,

hX,Y_i=at+b.

Em particular, definimos o subespaço deJ

J⊥:=_{Y _∈J :_hY,γ′_i=0 em [0,a]_},

Para o que se segue os campos de JacobiJ pertencem aJ⊥.

Dado um valor realκ, temosSκ(t)como a solução da equação diferencial ordinária

satisfazendo as condições iniciais

Sκ(0) =0, S′κ(0) =1.

Então, podemos escrever

Sκ(t) =

      

     

sen(√κ t) √

κ , seκ>0;

t, seκ=0;

senh(√₋κ t) √

−κ , seκ<0.

(1.7)

Além disso, seS′_κ :=Cκ então vale

C_κ′ = ₋κSκ, Cκ2+κS2κ =1,

Cκ Sκ

′

=₋S−_κ2. (1.8)

O seguinte exemplo é fundamental. Ele diz como são os campos de Jacobi em uma variedade Riemanniana de curvatura seccional constante.

Exemplo: SejamMuma variedade Riemanniana com curvatura seccional constanteκ eγ

uma geodésica tal que,_|γ′_{|=1 . SejaJum campo de Jacobi ao longo deγ, normal aγ}′_{. Então,}

pelo Lema (1.2) segue que

hR(γ′,J)γ,T_i = κ(_hγ′,γ′_ihJ,T_{i − h}J,γ′_ihγ′,T_i

= κ_hJ,T_i

para todo campo vetorialT ao longo deγ. Daí,R(γ′,J)γ=κJe a equação do campo de Jacobi, fica

D2J

dt2 +κJ=0 (1.9)

Com isso, a expressão acima diz que a derivada covariante segunda deJ é um múltiplo de J,

e é razoável tentar construir uma solução escolhendo um campo de vetor paraleloE normal a γ e fazendoJ(t) =u(t)E(t)para alguma funçãoua ser determinada. Assim, a expressão (1.9)

passa a ser

u′′(t) +κu(t) =0

a qual, implica que o campo de Jacobi ao longo deγ, que satisfazJ(0) =0 eJ′(0) =E poder

1.4 O Gradiente, a Divergência e o Laplaciano

Nesta seção definiremos o Gradiente , o Divergênte e o Laplaciano. Esses operadores serão utilizados ao longo deste trabalho.

Definição 1.5 Seja f :M_→R_{uma função suave. O}gradiente_{de f é o campo vetorial suave} grad f , definido em M por

hgrad f,X_i=X(f), (1.10)

para todo X _∈X(M).

Decorre da definição que se f,g_∈F(M), então:

(i) grad(f+g) =grad f+gradg.

(ii) grad(f g) =g(grad f) + f(gradg).

Proposição 1.5 Se f :M_→R _{é uma função suave e U ⊂M é uma vizinhança coordenada,}

com campos coordenados_∂∂_x

1, ...,

∂

∂xn, então o gradiente de f é dado em U por

grad f =

n

∑

k,l=1

gkl∂f ∂xl

∂ ∂xk

. (1.11)

Em particular,

kgrad f_k2=

n

∑

k,l=1

gkl ∂f ∂xk

∂f ∂xl

. (1.12)

Prova. Se grad f =∑n_k=1a_k∂x∂

k, então

∂f ∂xl

=

grad f, ∂ ∂xl

=

*

n

∑

j=1

aj ∂ ∂xj

, ∂ ∂xl

+

=

n

∑

j=1

aj

∂ ∂xj

, ∂ ∂xl

=

n

∑

j=1

ajgjl,

de modo que

gkl∂f ∂xl

=

n

∑

j=1

ajgklgjl= n

∑

j=1

Para o que falta, temos

kgrad f_k2 = *

n

∑

k,l=1

gkl∂f ∂xl

∂ ∂xk

, m

∑

i,j=1

gi j∂f ∂xj

∂ ∂xi

+

=

_∑

i,j,k,l

gklgi jgki ∂f ∂xl

∂f ∂xj

=

_∑

j,k,l gklδjk

∂f ∂xl

∂f ∂xj

=

_∑

k,l gkl∂f

∂xl ∂f ∂xk

.

Definição 1.6 Seja X um campo vetorial suave em M. A divergênciade X é a função suave

divX:M_→R_{, dada para p∈M por}

(divX)(p) =tr _{v_7→(∇_vX) (p)_}, (1.13)

onde v_∈TpM etr denota o traço do operador linear entre chaves.

Decorre da definição que seX,Y _∈X(M)e f _∈F(M), então

(i) div(X+Y) =divX+divY.

(ii) div(f X) = fdivX+_hgrad f,X_i.

Proposição 1.6 Seja X um campo vetorial suave em M e U_⊂M uma vizinhança coordenada

com campos coordenados _∂x∂

1, ...,

∂

∂xn. Se X for dado em U por X =

n

∑

i=1

ai ∂ ∂xi

, então a

divergência de X é dada em U por

divX =√1

G n

∑

i=1

∂ ∂xi

(ai

√

G), (1.14)

onde G=det(gi j).

Prova. Temos que

Γ_{i j}j = 1 2

n

∑

k=1

∂gjk ∂xi

+∂gik

∂xj − ∂gjk

∂xk gi j

= 1

2

n

∑

k=1 _∂

gjk ∂xi

gk j+∂gik

∂xj

gk j₋∂gi j ∂xk

gk j

= 1

2

n

∑

k=1

∂gjk ∂xi

gk j+∂gi j

∂x_kg jk

−∂_∂g_xi j

k gk j

= 1

2

n

∑

k=1

∂gjk ∂xi

Afirmamos agora que

∂gjk ∂xi

gjk= 1

G ∂G ∂xi

. (1.15)

Para provar a relação acima, seja(gk)i a matriz obtida de (gi j) derivando as entradas de sua

k-ésima coluna na direção de _∂∂_x

i, i.e.,

(gk)i=

         

g11 · · · ∂_∂g_x1_ik · · · g1n

g21 · · · ∂_∂g_x2_ik · · · g2n

· · · ·

gn1 · · · ∂_∂g_xnk_i · · · gnn

          .

Desde queG=det(gi j)é uma função linear de cada uma de suas colunas, tem-se

1

G ∂G ∂xi

=det(gi j)−1det((gk)i) =det(g−1(gk)i).

Segue agora de serg−1g=Id que

g−1(gk)i=

                    

1 _{· · ·} 0 A1k 0 · · · 0

· · · ·

0 _{· · ·} 1 A_(k−1)k 0 _{· · ·} 0

0 _{· · ·} 0 Akk 0 · · · 0

0 _{· · ·} 0 A_(k+1)k 1 _{· · ·} 0

· · · ·

0 _{· · ·} 0 Ank 0 · · · 1

                     ,

ondeAlk=gl j ∂gjk

∂xi . Portanto,

1

G ∂G ∂xi

=det(g−1(gk)i) =Akk =gk j ∂gjk

como queríamos provar. Segue então daí e do lema anterior que

divX =

n

∑

i,j=1

∂ai ∂xi

+aiΓ_{i j}j

=

n

∑

i=1

∂ai ∂xi

+ ai 2G

∂G ∂xi

=

n

∑

i=1 "

∂ai ∂xi

+√ai

G ∂√G

∂xi

#

= √1

G n

∑

i=1 "

√

G∂ai ∂xi

+ai ∂√G

∂xi

#

= √1

G n

∑

i=1

∂ ∂xi

(ai

√

G).

Definição 1.7 Seja f :M _→R _{uma função suave. O} Laplaciano_{de f é a função suave} ∆f :

M_→R_{dada por}

∆f =div grad f. (1.16)

Usando as propriedades do gradiente e da divergência, temos, para quaisquer f,g_∈F(M),

que

(i) ∆(f+g) =∆f+∆g.

(ii) ∆₍f g) = f∆g+g∆f+2_hgrad f,gradg_i.

Proposição 1.7 Se f:M_→R_{é uma função suave e U⊂M é uma vizinhança coordenada com}

campos coordenados _∂x∂

1, ...,

∂

∂xm, então o Laplaciano de f é dado em U por

∆f = _√1

G n

∑

i,j=1

∂ ∂xi

gi j√G∂f ∂xj

(1.17)

onde G=det(gi j).

Prova. Seja grad f =∑n_i=1ai_∂x∂_i, comai=∑nj=1gi j∂∂xfj. Segue-se de (1.14) que

∆f = _√1

g n

∑

i=1

∂ ∂xi

(ai

√

G) = √1

G n

∑

i,j=1

∂ ∂xi

gi j√G∂f ∂xj

.

Capítulo

2

Teoremas de Comparação

Conteúdo

2.1 Problema de autovalor de Dirichlet . . . p.18

2.2 Coordenadas geodésicas . . . p.20

2.3 O Teorema de Barta . . . p.21

2.4 Os Teoremas de Bishop e de Cheng . . . p.23

2.5 Teorema Principal . . . p.35

2.1 Problema de autovalor de Dirichlet

Nesta seção estabeleceremos algumas terminologias necessárias para o desenvolvimento deste trabalho. Uma referência para este Capítulo é [4] e [3].

SejaL2(M)o espaço das funções mensuráveis f emMna qual

Z

M|

f_|2dV <+∞

EmL2(M)consideremos o seguinte produto interno e norma induzida dados por

(f,h) =

Z

M

f h dV, _kf_k2= (f,f),

Nosso interesse está no seguinte problema de autovalor.

Problema de Autovalor de Dirichlet: ParaMuma variedade Riemanniana conexa com fecho

compacto e fronteira suave, ache todos os números reaisλ na qual existe uma solução não trivial

φ _∈C2(M)_∩C0(M)da equação

∆φ+λ φ =0 (2.1)

satisfazendo a condiçãoφ =0 na fronteira deM.

Os números reaisλ são chamados de autovalores do Laplaciano∆deM, e o espaço vetorial

das soluções do problema acima para um dado autovalorλ, é denominado seu autoespaço. Os

elementos de cada autoespaço são chamadas de autofunções. O seguinte resultado pode ser encontrado em [3].

Teorema 2.1 No problema Dirichlet, o conjunto dos autovalores consiste de uma sequência

0<λ1<λ2< ...↑+∞,

e cada autoespaço associado tem dimenão finita. Além disso, autoespaços pertencentes a

autovalores distintos são ortogonais em L2(M)e cada autofunção é C∞em M.

Observe que, como a autofunção φ _∈C2(M)_∩C0(M) então o seu primeiro autovalor λ1 deve ser não-negativo. De fato, aplicando a fórmula de Green aφ temos

Z

M

(φ∆φ+_|gradφ_|2)dV =0

Usando (2.1) segue que

λ Z

M

φ2dV =

Z

M|

gradφ_|2dV (2.2)

λ_kφ_k2_L2 =

Z

M|

gradφ_|2dV (2.3)

λ = _kφ_k−_L22

Z

M|

gradφ_|2dV _≥0 (2.4)

Veja que se λ =0 implicaR

M|gradφ|2dV =0. Daí, φ é constante. Aplicando a condição

de fronteira do problema de Dirichlet segue queφ =0. Logo, os autovalores do problema de Dirichlet são todos positivos. Uma demonstração completa deste teorema encontra-se em [4].

fundamentalλ∗(Ω)como

λ∗(Ω) =inf (_R

Ω|∇f |2 R

Ωf2

, f _∈H₀1(Ω), f ₆=0 )

,

ondeH₀1(Ω)é o fecho deC₀∞(Ω)com respeito a norma

kϕ_k2Ω= Z

Ωϕ

2₊Z

Ω|

∇ϕ_|2. (2.5)

No entanto, seΩé limitado com fronteira suave, então o Teorema de Rayleigh (ver [4]) implica queλ∗(Ω)coincide com o menor autovalor do problema de Dirichlet,λ1(Ω).

2.2 Coordenadas geodésicas

SejamM uma variedade Riemanniana completa e pum ponto deM. Dadoξ _∈TpM, seja γ_ξ :[0,+∞)_→M a única geodésica satisfazendoγ_ξ(0) =peγ ′_ξ(0) =ξ.

Dados p_∈M,ξ _∈TpMdefinimosc(ξ), por

c(ξ):=sup_{t>0; distM(p,γξ(t)) =t}

Além disso, chamamos deraio de injetividade de p, injp, por

inj p:=inf_{c(ξ);ξ _∈TpM,|ξ|=1}

Observe que se distM(p,γξ(t1)) =t1 para algum t1 >0, então distM(p,γξ(t)) =t para todo t _∈[0,t1]. Assim, a geodésica minimiza a distância entre p e γ_ξ(t) para todo [0,c(ξ)) e não minimiza distância parat>c(ξ). Daí, seγ_ξ([0,t])minimiza a distância de paγ_ξ(t)para todo

t>0, entãoc(ξ) = +∞.

Para todo p_∈Mdefinimos ocut locusdepemM, como

Cut(p):=_{expc(ξ)ξ; c(ξ)<+∞, ξ _∈TpM, |ξ|=1}.

Considere o maior subconjunto aberto deT pM

Dp={tξ ∈TpM; 0≤t≤c(ξ), |ξ|=1},

tal que para todoξ_∈Dpa geodésicaγξ(t) =expp(tξ)minimiza a distância depaγξ para todo t_∈[0,c(ξ)]e expDp=M/Cut(p). Além disso, a aplicação exponencial expp:Dp→expp(Dp)

veja [3] ou [4].

Fixado um vetor ξ _∈TpM, |ξ|=1, sejaξ⊥ o complemento ortogonal de {Rξ}em TpM,

e seja τt :TpM→Texp(tξ)M o transporte paralelo ao longo de γξ. Definimos o caminho das

transformações lineares

A(t,ξ):ξ⊥_→ξ⊥

por

A(t,ξ)η= (τt)−1Y(t)

ondeY(t)é o campo de Jacobi ao longo deγξ determinado pelas condições iniciaisY(0) =0 e

(∇_γ′

ξY)(0) =η.

Definimos agora a aplicaçãoR:ξ⊥ _→ξ⊥dada por

R(t)η = (τt)−1R(γ _ξ′(t),τtη)γ ′_ξ(t)

ondeRé o tensor curvatura deM. A partir daí, verifica-se queR(t)é uma aplicação autoadjunta e o caminho de transformações linearesA(t,ξ)satisfazem a equação diferencial

A′′+RA =0 (2.6)

com as condições iniciaisA(0,ξ) =0 eA′(0,ξ) =I.

No conjunto exp(Dp)a métrica Riemanniana deMpode ser expressa por

ds2(exp_p(tξ)) =dt2+_|A(t,ξ)dξ_|2, (2.7)

e comoMtem curvatura seccional constante igual aκ obtemos

A(t,ξ) =Sκ(t)I,

ondeSκ(t)é dado por (2.39).

2.3 O Teorema de Barta

Na presente seção, é apresentado o Teorema de Barta. Tal resultado é uma poderosa ferramenta para obter limitação para o primeiro autovalor de Dirichlet de um domínio suave e limitado de uma variedade Riemanniana. Uma referência para esta seção é [4].

é o primeiro autovalor de Dirichlet deΩ, então

sup

Ω

−∆f

f

≥λ1(Ω)_≥inf

Ω

−∆f

f

. (2.8)

Além disso, cada igualdade em (2.8) ocorre se, e somente se, f é uma primeira autofunção

positiva deΩ.

Prova. Sejaφ _∈C2(Ω)_∩C0(Ω) uma autofunção positiva associada aλ1(Ω) com φ_|Ω>0 e

φ_|∂Ω=0. Então

λ1(Ω) =₋∆φ

φ =−

∆f f +

φ∆f ₋f∆φ

fφ . (2.9)

No entanto, fφ_|Ω>0 e aplicando uma das fórmulas de Green a_{φ∆f₋f∆φ_}, teremos

Z

Ω{φ

∆f₋f∆φ_}dV =0.

Com isso, existemx1ex2emΩtais que

(φ∆f₋ f∆φ)(x1)_≤0_≤(φ∆f₋f∆φ)(x2).

Portanto, temos que

λ1(Ω) =− ∆f

f (x1) +

φ∆f₋f∆φ

fφ (x1)≤ −

∆f

f (x1)≤supΩ

−∆f

f

.

De forma análoga,

λ1(Ω) =₋∆f

f (x2) +

φ∆f₋f∆φ

fφ (x2)≥ −

∆f

f (x2)≥infΩ

−∆f

f

.

Além disso, se ocorre a igualdade em (2.8), então φ∆f−f∆φ

fφ =0. Que é equivalente a

dizer que∆f+λ1(Ω)f =0, ou seja, f é uma autofunção associada aλ1(Ω). Reciprocamente, se f é a primeira autofunção positiva, implica que ocorre₋∆f

f =λ1(Ω). Portanto,

sup

Ω

−∆_ff

=λ1(Ω) =inf

Ω

−∆_ff

.

2.4 Os Teoremas de Bishop e de Cheng

SejaM_κ uma variedade Riemanniana completa, simplesmente conexa, n-dimensional com curvatura seccional constante κ. As variedades M_κ são chamadas _{formas espaciais}. Como pode ser visto em [7],M_κ é isométrica a

(i)a esferaSn, quando_{κ >}0

(ii)o espaço euclidianoRn, quando_κ=0 (iii)o espaço hiperbólicoHn, quando_{κ <}0.

Para a demonstração do Teorema de Bishop, faremos o uso de alguns resultados. Um deles é o Teorema de Comparação de Rauch . Na qual será apresentado na forma que precisamos para a discusão atual. Além disso, a prova de tal resultado encontra-se em [4]

Teorema 2.2 Sejam M uma variedade Riemanniana completa, p_∈M eξ _∈TpM com|ξ|=1. Se a curvatura seccional ao longo da geodésicaγ_ξ são menores ou iguais a uma constanteκ, então para qualquer campo de Jacobi Y ao longo deγξ, pontualmente ortogonal aγξ, e nulo em p=γξ(0), temos

|Y_|′

|Y_| ≥ S′_κ Sκ

para todo t<π/√κ. Com igualdade para t=t0∈(0,π/√κ]se, e somente se, existe um campo

de vetores paralelos ao longo deγξ tal que

Y(t) =Sκ(t)E(t), RE(t) =κE(t) ∀t∈[0,π/√κ]

Em particular, temos

(A∗A)_≥S2_κ(t)I,

ondeA∗denota a adjunta da transformação linearA, para todo t_∈(0,π/√κ], com igualdade para um t0∈(0,π/√κ]se,e somente se,

A(t,ξ) =Sκ(t)I, R=κI

para todo t_∈[0,t0].

Lema 2.1 Dado uma familia de matrizes invertíveis A(t) = (ai j(t)). Então, vale a igualdade

abaixo

(ln detA)′=tr(A′A−1).

Prova. ConsidereG(t) =A′(t)A−1(t), ondet _∈R. Então, G(t)A(t)=A’(t). Com isso, fazendo

a′(t) =

n

∑

i=1 det



    

a11(t) _··· a′_1i(t) _··· a1n(t)

... ... ...

an1(t) ··· ani′ (t) ··· ann(t)



    

Denotandoai(t)a i-ésima coluna deA(t)obtemos

a′(t) =

n

∑

i=1

det a1(t), . . . ,(ai)′(t), . . . ,an(t)

(2.10)

Por outro lado, considere a equação diferencialA′=AG, ondeG=A−1A′. Então,

(ai)′=

_∑

j=1

gjiaj.

Daí, substituindo a última igualdade acima em (2.10), teremos

a′(t) =

n

∑

i=1

det a1(t), . . . ,

_∑

gjiaj, . . . ,an(t)

!

=

_∑

i=1

giidetA=tr GdetA

a′(t) = tr (A′A−1)detA.

Portanto,

(ln detA)′= (detA)′

detA =tr (A ′_A−1_).

Teorema 2.3 (Teorema de Comparação de Bishop I) Suponha que temos uma geodésicaγ_ξ com todas as curvaturas seccionais ao longo deγ_ξ menores ou iguais a uma constante realκ. Então,

(detA)′

detA ≥(n−1)

S′_κ

Sκ (2.11)

em 0,π/√κ

e

detA _≥Sn_κ−1 (2.12)

em 0,π/√κ

. Temos a igualdade em (2.11) para um t0∈ 0,π/√κse , e somente se, vale

A(t,ξ) =Sκ(t)I, R(t) =κI

Prova.Defina a transformação autoadjunta

B:=A∗A.

Temos que

detB=detA∗detA = (detA)2.

Então,

(detB)′=2 detB(detA)′

detA ,

(detA)′

detA =

1 2

(detB)′

detB . (2.13)

Dados_∈(0,π/√κ), seja_{e1, ...,en−1}uma base ortonormal deξ⊥constituinda de autovalores deB(s), e considere as soluções_{η1(t), ...,ηn−1(t)}da equação de Jacobi emB(s),

η′′+R(t)η =0,

dados porηi(t) =A(t)ei, comi=1, ...,n−1.Então, aplicando o lema (2.1) na expressão (2.13)

acima segue que

(ln detA)′(s) = 1

2(ln detB)′(s)

= 1

2tr B′B− 1

(s)

(detA)′

detA (s) =

n−1

∑

i=1

hη_i′,ηii

hηi,ηii

(s). (2.14)

Observe que_|ηi|′=h η_i′,ηii

|ηi|

.Assim,

n−1

∑

i=1

hη_i′,ηii

hηi,ηii

(s) =

n−1

∑

i=1

|ηi|′|ηi|

|ηi|2

(s) =

n−1

∑

i=1 |ηi|′

|ηi|

(s)

Dai, pelo Teorema de Rauch, segue que

n−1

∑

i=1

hη_i′,ηii

hηi,ηii

(s) _≥

n−1

∑

i=1

S′_κ Sκ(

s)

n−1

∑

i=1

hη_i′,ηii

hηi,ηii

(s) _≥ (n₋1)S ′ κ Sκ(

s).

(detA)′

detA (s)≥(n−1)

S′_κ Sκ(

s)

em(0,π/√κ).

Para o caso da igualdade, temos que detA =Sn_κ−1na qual implica queA =SκI e a partir

de (2.6) obtemosR=κI. Reciprocamente, seA(t,ξ) =Sκ(t)IeR(t) =κIpara todot∈[0,t0],

então

detA =Sn_κ−1

o que implica

(detA)′= (n₋1) = S n−1

κ Sκ

S_κ′.

Logo,

(detA)′

detA = (n−1) =

S′_κ Sκ

Teorema 2.4 (S. Y. Cheng I) Suponha que M é uma variedade Riemannaniana completa

n-dimensional, cuja curvaturas secccionais são menores ou iguais a uma constante real κ. Então, para todo x_∈M temos

λ(B(x,ρ))_≥λκ(ρ), (2.15)

para todoρ_≤min_{injx,π/√κ_}, onde λκ(ρ)é o primeiro autovalor de Dirichlet do disco de raioρemM_κ.

Prova.

Seja φ uma autofunção de λκ(ρ) comφ|B(o,ρ)>0, onde B(o,ρ)é a bola de centro oe

raioρ emM_κ. Então, temos

φ(exprξ) =Φ(r)

onde exp denota a aplicação exponencial emM_κ. Por outro lado, a métrica deM_κ é dada por

ds2 = (dt)2+S_κ2_|dξ_|2. Assim, usando a expressão do Laplaciano em coordenadas, visto em (1.17), na variedadeM_κ, temos que√_G=Sn_κ−1. Daí,

∆Φ = 1

Snκ−1 n

∑

i=1

∂ ∂xi

Sn_κ−1gii ∂ ∂xi

Φ

= 1

Sn_κ−1 ∂ ∂r

Sn_κ−1 ∂ ∂rΦ

∆Φ = ∂ 2

∂r2Φ+ (n−1) Cκ

A partir da última equação acima e do fato deφ ser uma autofunção do problema de Dirichlet, temos queΦsatisfaz a expressão

∂2

∂r2Φ+ (n−1) Cκ Sκ

∂

∂rΦ+λκ(ρ)Φ=0 (2.16)

com as condições de fronteira

∂Φ

∂r (0) =Φ(ρ) =0

Podemos escrever (2.16) como

S1_κ−n ∂ ∂r

Sn_κ−1 ∂ ∂rΦ

+λκ(ρ)Φ=0

S_κn−1 ∂ ∂rΦ

(r) =₋λκ(ρ) Z r

0 S

n−1

κ Φ(r)dt<0

para todor_∈(0,ρ). Assim,Φé estritamente decrescente com respeito ar.

Agora, considereF :B(x,ρ)_→Rdada por

F(exprξ) =Φ(r)

onde exp denota a aplicação exponencial deTxMemM. Além disso, sendo a métrica emB(x,ρ)

dada por (2.7) temos que

∆F(exprξ) = _√ 1

g(r,ξ)

∑

∂ ∂xi

√

g(r,ξ)Gi j ∂ ∂xj

(Φ(r))

∆F(exprξ) = _√ 1

g(r,ξ)

∂ ∂r

√

g(r,ξ)∂

∂r(Φ(r))

,

onde√g(r,ξ) =detA(r,ξ). Com isso, obtemos que

∆F(exprξ)

F =

1 Φ(r)√g(r,ξ)

∂ ∂r

√_g(r,ξ) ∂

∂r(Φ(r))

= 1

Φ(r)√g(r,ξ)

∂ ∂r(

√

g(r,ξ))∂

∂rΦ(r) +

√

g(r,ξ) ∂ 2

∂r2Φ(r)

∆F(exprξ)

F =

1 Φ(r)

"

∂2

∂r2Φ(r) + ∂

∂r(√g(r;ξ))

√_{g(r;ξ) ∂}∂_rΦ(r) #

.

Pelo Teorema de Bishop I, temos que

∆F(exprξ)

F ≤

1 Φ(r)

∂2

∂r2Φ(r) + (n−1) Cκ Sκ ·

∂ ∂rΦ(r)

Então, usando a expressão (2.16) teremos

−∆F

F (exprξ)≥

1

Φ₍r){λκ(ρ)Φ(r)}=λκ(ρ). Assim, pelo Teorema de Barta,

λ(B(x,ρ))_≥inf

−∆_FF

≥λκ(ρ).

Portanto,λ(B(x,ρ))_≥λ_δ(ρ).

Teorema 2.5 (Teorema de Comparação de Bishop II) Dados um número real κ e uma geodésica fixada γξ, com a curvatura de Ricci ao longo de γξ maior ou igual a (n−1)κ, isto é,

Ric(γ ′_ξ(t),γ ′_ξ(t)) =tr R(t)_≥(n₋1)κ (2.17)

para todo t_∈(0,c(ξ)].Então,

(detA)′

detA ≤(n−1)

S′_κ Sκ

(2.18)

em(0,c(ξ)), edetA _≤S_κn−1em(0,c(ξ)].

Temos a igualdade em (2.18) para t =t0∈(0,c(ξ))se, e somente se,

A(t,ξ) =Sκ(t)I, R(t) =κI, (2.19)

para todo t_∈(0,t0].

Prova.Novamente, pelo Lema (2.1) temos que

(detA)′

detA =trA

′_A−1_.

Defina ψ:= (n₋1)Cκ Sκ

. Então, usando (1.8), vemos queψsatisfaz a equação escalar de Riccati

ψ′+ ψ 2

(n₋1)+ (n−1)κ =0 (2.20)

Além disso, sendo ψ′(t) = ₋S_κ−2 <0 segue que ψ(t) é estritamente decrescente com respeito at, e, quandoκ _≤0, tem-se parat_→+∞ que ψ(t) = (n₋1)√₋κ.

dimensão finita. Definimos o WronskianoWpor

W(A,B):= (A′)∗B₋(A)∗B′

Note que seAe Bforem soluções de (2.6), então W(A,B)é constante. Portanto, A satisfaz

W(A,A) =0.

SejaU:=A′A−1. Então,

U∗₋U = (A−1)∗(A′)∗₋A′A−1

= (A−1)∗(A′)∗A A−1−(A−1)∗A∗A′A−1

= (A−1)∗[(A′)∗A −A∗A′]A−1

= (A−1)∗W(A,A)A−1

U∗₋U = 0

Portanto,Ué autoadjunta e satisfaz a equação

U′+U2+R=0, (2.21)

na qual implica

(tr U)′+tr U2+tr R. (2.22)

Agora a desigualdade de Cauchy-Schwarz implica

tr U2_≥ (tr U)

2

(n₋1) (2.23)

Daí, paraφ :=tr U=tr A′A−1= (detA)

′

detA e usando (2.17), (2.22), segue que

(tr U)′+ tr U 2

(n₋1)+ (n−1)κ ≤0,

ou seja,φ satisfaz a desigualdade diferencial

φ′+ φ 2

(n₋1)+ (n−1)κ≤0 (2.24)

Portanto, iremos compararφ comψ. Como vimos acimaψ′_{<0, e sendo válido (2.20) tem-se}

Ψ:= ψ 2

para todot_∈(0,π/√κ). Note, em seguida que

φ _∼ (n−1) t

quandot tende a zero. Assim, existeε0>0 tal que

Φ:= φ 2

n₋1+ (n−1)κ>0

em (0,ε0). Suponha que Φ>0 em todo (0,t), t _∈(0,c(ξ)). Então, a desigualdade (2.24)

dividida porΦ, fica

−φ′ φ2

(n−1)+ (n−1)κ

≥1, (2.25)

onde implica

Z s

0

−φ′ φ2

(n−1)+ (n−1)κ

(τ)dτ_≥s _∀s_∈(0,t]. (2.26)

Com isso, através de alguns cálculos, para os casos de κ =0, κ >0 e κ <0. Nota-se que a integral acima é a função inversa de f(t) := Cκ

Sκ

, aplicada em φ(t)

(n₋1). Então, como f é

estritamente decrescente, vale

φ(s)

(n₋1) ≤ f(s) = S′_κ Sκ ,

φ(s) _≤ (n₋1)S ′ κ Sκ,

φ(s) _≤ ψ(s) _∀s_∈(0,t].

Logo, pela definição deφ eψ segue que (detA)′

detA ≤(n−1)

S′_κ Sκ.

Na qual implica em detA _≤Sn_κ−1.

Suponha que tenhamos a igualdade em (2.18) para algum t0 >0, então a igualdade em (2.26) parat=t0implica na igualdade em (2.23) e (2.24). Isto, por sua vez, implica que

(tr U)′+(tr U) 2

(n₋1) +tr R = 0

φ′+ φ 2

(n₋1)+tr R = 0

tr R= (n₋1)κ,

Desde queUé um múltiplo escalar da identidade para cadat, a equação (2.21) implica queRé

um múltiplo escalar da identidade para cadat _∈(0,t₀]. Daí, como tr R= (n₋1)κ então

R=κI,

para todot _∈(0,t0]. Finalmente, porUser múltiplo escalar da identidade e seu traço ser igual a

tr U=tr A′A−1= detA

′

detA = (n−1)

S′_κ Sκ,

então

A′A−1= (n₋1)S ′ κ Sκ

para todo(0,t0]. Mas isto implica queA(t) =Sκ(t)I em todo(0,t0]. Isto verifica a expressão

(2.19). Agora resta considerar o caso de um dado valort_∈(0,c(ξ))para o qual a desigualdade Φ>0 não ocorra em todo intervalo(0,t]. Neste caso, então existe umt0∈(0,t]tal queΦ>0

em(0,t0), e Φ(t0) igual a zero. Mas, como Ψ>0 e Φ(t0) =0 entãoφ(t0)<ψ(t0). Assim, φ <ψ em todo intervalo(0,t0].

Se φ <ψ em todo (0,t), então já temos (2.18) em (0,t], como foi provado acima. Caso

contrário, então existe um elemento maximalt1∈(0,t)tal queφ <ψ em(0,t1). Em particular,

φ =ψ parat1. EntãoΦ(t1)>0, poisφ(t1) =ψ(t1), e existeε1>0 tal queΦ|[t1,t1+ε1)>0, implica que (2.25) é válido a partir det1 para qualquer s∈(t1,t1+ε1). Com isso, temos que

φ _≤ψ em(t1,t1+ε1), que contraria a maximalidade det1. Assim, temos que vale (2.18) em todo intervalo(0,t].

Para considerar o caso da igualdade, é suficiente considerar o caso onde existe umt2∈[0,t] tal queφ <ψ em(0,t₂)eφ(t₂) =ψ(t₂). Mas então,Φ(t₂) =Ψ(t₂), na qual implica que existe ε>0 tal que (2.25) é válida em(t2−ε,t2]. Para qualquert∈(t2−ε,t2]integrar (2.25) detpara

t2, obtemosφ(t)≥ψ(t), uma contradição.

Teorema 2.6 (S. Y. Cheng II) Seja M uma variedade Riemanniana completa com as

curvaturas de Ricci em M maiores ou iguais a (n₋1)κ. Então, para todo x _∈M, ρ >0, temos

λ∗(B(x,ρ))_≤λκ(ρ). (2.27)

Prova. Note que não temos a garantia de que S(x,ρ), a fronteira de B(x,ρ), é suave, por

C₀∞(B(x,ρ)), tal que

Z

B(x,ρ)|

∇F _|2_≤(λκ(ρ) +ε) Z

B(x,ρ)

F2.

A função F é construida da seguinte forma. Seja φ uma autofunção de λκ(ρ) tal que φ _|B_κ(o,ρ)>0, ondeB_κ(o,ρ)representa o disco emM_κ. Então, tem-se que_φ é radial e

φ(exprξ) =Φ(r),

onde exp é a aplicação exponencial emM_κ, eΦsatisfaz a expressão

∂2

∂r2Φ+ (n−1) Cκ

Sκ ∂

∂rΦ+λκ(ρ)Φ=0, (2.28)

com as condições iniciais de fronteira

∂ ∂rΦ

(0) =Φ(ρ) =0. Novamente, como feito no Teorema de Cheng acima,

∂ ∂rΦ

(r)<0

para todo(0,ρ). Assim,Φé estritamente decrescente com respeito ar.

Agora, defina a aplicaçãoF :B(x,ρ)_→Rpara todo_{rξ ∈B(x,ρ)∩Dx}com

F(exprξ) =Φ(r),

onde exp é a aplicação exponencial deMx em M eB(x,ρ) ={ξ ∈TxM; |ξ |<ρ}. a função F está bem definida em toda B(x,ρ), pois se duas geodésicas minimizantes partem de x e

intersectam-se emy então ambas as geodésicas tem o mesmo comprimento. Temos também

que a função F é continua, pois c(ξ), definida na seção 2.2, é continua. Além disso, para

rξ _∈B(x,ρ)_∩Dxtemos

|(gradF)(exprξ)_|=_| ∂

∂r

Φ(r)_|,

assim grad F tem comprimento limitado em B(x,ρ). Desde que grad F é contínuo em

quase todo lugar, exceto, possivelmente, emC(x)_∩B(x,ρ), o qual é um conjunto de medida Riemmanniana nula, pois ele está contido emC(x):=exp(_{c(ξ)ξ;c(ξ)<+∞; _|ξ_|=1_})que tem medida nula, concluímos que F _∈H(B(x,ρ)), onde H(B(x,ρ)) é o completamento de

C1(B(x,ρ))com respeito a norma 2.5.

Mostraremos agora que F é aproximada emH(B(x,ρ))por uma funçãoG_∈C₀∞(B(x,ρ)).

SejaL:[0,∞)_→R_∈C∞com_L′(0) =0, e suporte contido em[0_,ρ1]para algum_ρ1<ρ. Defina a funçãoG:(exprξ)_→Rpor

G(exprξ) =L(r)

H(B(x,ρ))e G tem suporte compacto. Assim, teremos que

kF₋G_k2 =

Z

B(x,ρ)[(

F₋G)(exprξ)]2dV

=

Z

B(x,ρ)[

Φ(r)₋L(r)]2√g(r;ξ)dr dµx(ξ),

usando coordenadas polares e sendoSx={ξ ∈TxM; |ξ|=1}, temos

kF₋G_k2 =

Z

Sx

dµx(ξ)

Z min{c(ξ),ρ}

0 (Φ−L)

2_(r)√_g(r;ξ)dr

=

Z

Sx

dµx(ξ)

Z min{c(ξ),ρ}

0 (Φ−L)

2_{(r)detA(r,ξ)dr}

pelo Teorema 2.5 segue que

kF₋G_k2 _≤ Z

Sx

dµx(ξ) Z ρ

0 (Φ−L)

2_(r)Sn−1

κ dr

que é em L2(B_κ(o,ρ)) a distância de funções em B_κ(o,ρ) determinada por _φ e _L. Analogamente, mostra-se que

Z

B(x,ρ)|grad(

F₋G)_|2_≤

Z

Sx

dµx(ξ) Z ρ

0 (∂rΦ−L

′₎2_(r)Sn−1

κ dr,

onde daqui por diante usaremos∂r para representar ∂ ∂r

. Daí, qualquer aproximação atingida emH(B_κ(o,ρ))é atingida automaticamente em _H(B(x,ρ)). Então, F é aproximada por uma funçãoG_∈C₀∞(B(x,ρ))emH(B(x,ρ)).

Sejab(ξ):=min_{c(ξ),ρ_}. Então, afirmamos que

Z b(ξ)

0 (∂rΦ)

2√_g(r;ξ)dr

≤λκ(ρ) Z b(ξ)

0 Φ

2√_{g(r;ξ)dr (2.29)}

para todoξ _∈Sx. De fato, usando integração por partes, comuedvdados abaixo

teremos que

Z b(ξ)

0 (∂rΦ)

2√_{g(r;ξ)dr = Φ∂}

rΦ√g(r;ξ)|b( ξ)

0 −

Z b(ξ)

0 Φ∂r[∂rΦ

√_g(r;ξ)]dr

= Φ(b(ξ))∂rΦ(b(ξ))√g(b(ξ);ξ)− Z b(ξ)

0 Φ∂r[∂rΦ

√_g(r;ξ)]dr

≤ −

Z b(ξ)

0 Φ∂r[∂rΦ √

g(r;ξ)]dr

≤ −

Z b(ξ)

0 Φ

∂_r2Φ(√g(r;ξ)) + (∂rΦ)∂r√g(r;ξ) dr

≤ −

Z b(ξ)

0 Φ

∂r2Φ+ (∂rΦ)

∂r√g(r;ξ)

√_g(r;ξ)

√_g(r;ξ)dr

Z b(ξ)

0 (∂rΦ)

2√_g(r;ξ)dr

≤ −

Z b(ξ)

0 Φ

∂_r2Φ+ (n₋1)Cκ Sκ(

∂rΦ)

√_g(r;ξ)dr,

onde na primeira desigualdade usamos que Φ_|[0,ρ) > 0 e ∂rΦ|(0,ρ] < 0, e a última

desigualdade foi aplicamos o Teorema 2.5. Daí, como vale a igualdade (2.28), teremos

Z b(ξ)

0 (∂rΦ)

2√_g(r;ξ)dr

≤ λκ(ρ) Z b(ξ)

0 Φ

2√_g(r;ξ)dr,

com isso provamos a afirmação (2.29) feita acima. Agora, sabendo que

kgradF _k2=

Z

Sx

dµx(ξ) Z b(ξ)

0 (∂rΦ) 2√

g(r;ξ)dr,

e

kF_k2=

Z

Sx

dµx(ξ) Z b(ξ)

0 Φ

2√_g(r;ξ)dr,

concluimos, usando a afirmação (2.29) provada acima, que

Z

Sx

dµx(ξ) Z b(ξ)

0 (∂rΦ)

2√_g(r;ξ)dr

≤ λκ(ρ) Z

Sx

dµx(ξ) Z b(ξ)

0 Φ

2√_g(r;ξ)dr

kgradF _k2

kF _k2 ≤ λκ(ρ)

λ∗(B(x,ρ)) =inf (

kgradF_k2

kF_k2 ; F ∈H

1 0

)

≤ kgradF k 2

kF _k2 ≤λκ(ρ).

Portanto,λ∗(B(x,ρ))_≤λκ(ρ).

2.5 Teorema Principal

Nesta seção apresentamos a demonstração do principal resultado desta dissertação. Para isto usaremos o Teorema de Barta e o seguinte lema.

Lema 2.2 Dado u:BMn_(κ)(r)→ R uma primeira autofunção positiva de Dirichlet na bola

BMn_(κ)(r)⊂Mn(κ). Então, vale que:

(i) u é solução radial, isto é, u(t,θ) =u(t)e satisfaz a seguinte equação diferencial,

u′′(t) + (n₋1)S ′ κ Sκ(t)u

′_{(t) +λ}

1(BMn_(κ)(r))u(t) =0, t ∈[0,r). (2.30)

(ii) u′(t)_≤0,com igualdade somente para t =0.

Prova.(i) Sabemos queMn_(κ)é uma variedade Riemanniana de curvatura seccional constante

κ_∈R. Então, para cada_p∈BMn_(κ)(r), existe um sistema de coordenadas(t,θ)∈[0,√π

κ)×S n−1

na qual a métrica Riemanniana é dada como

ds2= (dt)2+S_κ2(t)_|dθ_|2, (2.31)

ondeSκ(t)é a solução deψ′′+κψ=0 satisfazendoSκ(0) =0, eS′κ(0) =1. Veja [4] p.38 e

39. Agora definau(q(t,θ)) = f(t,θ). Assim, calculando o Laplaciano deu(q(t,θ)), teremos

∆u(q(t,θ)) =_√1

g n

∑

i,j=1

∂ ∂xi

√_ggi j∂f(t,θ) ∂xj

,

onde(gi j)é a matriz da métricads2que é dada por

(gi j) =



        

1 0 . . . 0

0 S2_κ ...

... . .. 0

0 . . . 0 S2_κ



        

Assim,

∆u(q(t,θ)) = 1

S_κn−1(t)

n

∑

i=1

∂ ∂xi

Sn_κ−1(t)gii∂f(t,θ) ∂xi

= 1

Sκn−1(t) ∂ ∂t

Sn_κ−1(t)∂f(t,θ)

∂t

+ 1

Snκ−1(t) n₋1

∑

i=1

∂ ∂xi

Sn_κ−1(t)S_κ−2(t)∂f(t,θ)

∂xi

= S1_κ−n(t)∂

∂t

Sn_κ−1(t)∂f(t,θ)

∂t

+S−_κ2(t)∆_Sn−1f(t,θ),

onde∆_Sn−1 é o operador Laplaciano emSn−1.

Se f(t,θ) =T(t)G(θ), temos que

∆u(q(t,θ)) =S_κ1−n(t)(Sn_κ−1(t)T′(t))′G(θ) +S−_κ2(t)T(t)∆_Sn−1G(θ),

sendo que ′ _{significa a diferenciação com respeito a t. Somando λ1(B}

Mn_(κ)(r))u, ou seja,

λ1(BMn_(κ)(r))T(t)G(θ)na última igualdade e sendo uuma primeira autofunção do problema

de Dirichlet, isto é,usatisfaz∆u+λ1(BMn_(κ)(r))u=0, teremos

S1_κ−n(t)(Sn_κ−1(t)T′(t))′G(θ) +S_κ−2(t)T(t)∆Sn−1G(θ) +λ1(BMn_(κ)(r))T(t)G(θ) =0 (2.32)

∆Sn−1G(θ) +

[S1_κ−n(t)(Sn_κ−1(t)T′(t))′+λ1(BMn_(κ)(r))T(t)]

S_κ−2(t)T(t) G(θ) =0

∆_Sn−1G(θ) +νG(θ) =0, (2.33)

onde ν = [S 1−n

κ (t)(Sκn−1(t)T′(t))′+λ1(BMn_(κ)(r))T(t)]

S−κ2(t)T(t)

são os autovalores de Sn−1 com autofunçõesG. Com isso, usando (2.33) na expressão (2.32) obtemos

(S_κn−1(t)T′(t))′G(θ) + S−_κ2(t)∆_Sn−1G(θ) +λ1(BMn_(κ)(r))G(θ)Sn_κ−1(t)T(t) =0

(Sn_κ−1(t)T′(t))′+

λ1(BMn_(κ)(r))−νS−_κ2(t)Sn_κ−1(t)T(t) G(θ) =0.

ComoG(θ)não é identicamente nula, podemos escrever a última igualdade acima da seguinte forma

T′′(t) + (n₋1)S ′ κ SκT

′_{(t) +λ}

1(BMn_(κ)(r))−

ν S2κ(t)

T(t) =0

Em particular, o menor autovalor deSn−1é zero, ver [4]. Assim, segue que

T′′(t) + (n₋1)S ′ κ Sκ

T′(t) +λ1(BMn_(κ)(r))T(t) =0 (2.34)

onde de (2.34) concluímos que a primeira autofunção do problema de Dirichlet, u, é uma