Grafos, matrizes autoadjuntos e espectra

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Grafos, matrizes autoadjuntos e espectra

Kostiantyn Iusenko

September 20, 2021

(2)

Espectro dos grafos.

1 Matrizes autoadjuntos

Um conceito fundamental para estes duas aula é noção de matriz autoadjunta. Assim primeiramente vamos lembrar as definiç ões e as propriedades basicas sobre matrizes autoadjuntas.

Defini¸cão 1.1. Uma matriz A∈ M_n(_C)é chamadaautoadjunta(hermitiana,simétrica) se ela satisfaz

A^T=^ĎA,

ou, equivalente,Aconsiderando como operador linearA:Cⁿ→_Cⁿsatisfaz hAx,yi=hx,Ayi,

para todos vetoresx,y∈_C, ondeh·,·i´e produto interno emCⁿ.

Tal noção faz sentido para matrizes sobre R também, neste caso A ∈ M_n(_R) é chamadaautoadjunta(simétrica), se

A^T=A.

O seguinte resultado (chamado Teorema Espectral) desempenha um papel fundamental em Algebra Linear.

Teorema 1.2 (Espectral). Seja A ∈ (C) uma matriz autoadjunta, assim existe uma base ortonormal emCⁿformado pelos autovectores de A. Alem disso todo autovalor de A ´e real.

Proof. Vamos apresentar a prova apenas para matrizes sobreR. Considere o problema de maximizar a func¸˜ao

f :Rⁿ→_R x7→ hx,Axi,

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sujeito à restriçãohx,xi=1 (bola unitária emRⁿ). Com f é continua e bola unitaria é um compacto, assim tal ponto extremo existe. Por a simetria de A, o gradiente de f é facilmente calculado (Exerc´ıcio para casa!) como sendo

∇f(x) =2Ax,

enquanto o gradiente da norma euclidianahx,xi´e 2x. Em um pontoxonde um m´aximo

´e atingido, temos

∇f(x) =2Ax=λ(2x),

para algum multiplicador de Lagrangeλ. Assim,xé um autovetor deAcom autovalor λ. Os argumentos usuais mostram que Ase restringe a um operador auto-adjunto no hiperplano ortogonal ax; escolhendo uma base ortonormal desse hiperplano, podemos representar essa restrição deApor uma matriz simétrica real de tamanho(n−1)×(n− 1), e o argumento se repete.

Observa¸cão 1.3. O teorema espectral admite generalização para espaços de dimensão infinita. Nomeadamente, sejaH um espaço de Hilbert (ou seja, espaço linear sobreC com produto interno, completo em topologia gerada pela norma) e sejaA:H → Hum operador autoadjunto (limitado ou não limitado), ou seja

hAx,yi=hx,Ayi, para todosx,y∈ H, assim

A=

Z

RλdE_λ,

ondeE_λé certa medida dos ortorojetores. Tal decomposição é generalização de decomposição da matriz autoadjunta em uma soma,

A=

∑

^λⁱ^Pⁱ^,

onde λ_i ∈ _R são autovalores de Ae P_i = P_i² = P_i^∗ são projeç ões ortogonais nos auto- subespaços correspondes (P_i⊥P_jpelo Teorema espectral, e∑P_i =Id).

2 Grafos e seu espectro

As referencias principaic sobre a teoria espectral dos grafos s˜ao [BH12, CRS10]. Um grafo´e um parΓ= (V,E)_com:

• Vum conjunto finito de v´ertices;

• E⊆V×Vum conjunto simétrico e irreflexivo de arestas (ou seja a gente suponha que o grafo não tem arrestas m últiplas e não tem os laços).

(5)

Por exemplo,

Petersen

Tutte–Coxeter 1

2

3

4

5

Defini¸cão 2.1. Amatriz adjacência A_ΓdeΓé matriz (com entradas 0 ou 1) com o tamanho n×n,n=|V|eA_Γ= (a_ij), com

a_ij=

1, se existe aresta entreiej, 0, caso contrario.

Exemplo 2.2. SeΓ é , assim a matriz de adjacência é A_Γ=





0 1 0 1 0 1 0 1 0



.

(6)

As propriedades da matriz de adjacˆenciaA_Γexplicam v´arios propriedades do grafo Γ. Por exemplo as potencias de A_Γ“controlam” os caminhos emΓem grafoΓcomo o seguinte Lema afirma.

Lema 2.3. Se k≥0,i,j∈V assim

(A^k_Γ)_ij=numero de caminhos de tamanho k emΓ.

Defini¸cão 2.4. Opolinômio caracter´ıstico é polin ômio caracter´ıstico da matriz A_Γ. Re- spectivamente, oespectro de grafoΓé o multiconjuntoσ_Γdos autovalores deA_Γ.

Observa¸cão2.5. ComoA_Γ é matriz simétrica, assimσ_Γconsiste dos n úmeros reais:

α₁≥α₂≥ · · · ≥αn.

O maior autovalorα₁deA_Γvamos denotar porα_Γe chamarindexdeΓ.

Exemplo 2.6. SeΓ ´e , assim

A_Γ=





0 1 1 1 0 1 1 1 0



, o polin ˆomio caracter´ıstico ´e

χ_Γ(x) =−x³+3x+2, e os autovalores s˜ao

2,−1,−1.

Logo o index do grafoΓ ´eα_Γ=2.

Exemplo 2.7. Para o grafo de Petersen como no exemplo acima, temos que

A_Γ=







0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0





 ,

o polin ˆomio caracter´ıstico ´e

χ_Γ=t¹⁰−15t⁸+75t⁶−24t⁵−165t⁴+120t³+120t²−160t+48,

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Estudando o espectro do grafo Γ de certa forma basta fazer isso para os componentes conexas doΓcomo a seguinte proposic¸˜ao afirma.

Proposi¸cão 2.8. Se Γ = _Γ₁t_Γ₂t · · · t_Γ_n é união disjunta dos componentes conexas da Γ assim

σ_Γ=σ_Γ₁ ∪σ_Γ₂∪ · · · ∪σ_Γ_n, como multiconjunto.

Para provar a proposição basta observar que a matriz adjacência do Γ escreva-se como

A_Γ=







A_Γ₁ 0 . . . 0 0 A_Γ₂ . . . 0 ... ... . .. ... 0 0 . . . A_Γ_n





 .

O seguinte resultado ´e conhecido como o Teorema Perron-Frobenius para grafos.

Teorema 2.9(Perron-Frobenius). SejaΓum grafo conexo, assim (1) index deΓ´e positivo, ou sejaα_Γ>0;

(2) para qualquer autovalorα_itemos que

|α_i| ≤α_Γ; (3) α_Γtem multiplicidade1;

(4) existe autovalor positivo correspondenteα_Γ.

3 Espectro ←→ Propriedades do Grafo.

Existe uma ligação forte entre as propriedades do grafo e seu espectro como vamos ver nessa seção. Mesmo assim, sabendo apenas o espectro não tem como recuperar o grafo em geral. Por exemplo, os seguintes dois grafos

tem o mesmo espectro:

2, 0, 0, 0,−2,

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mas s˜ao fundamentalmente diferente: um grafo ´e conexo e outro desconexo. Mesma coisa acontece para os seguinte grafos:

cujos espectro ´e

2, 1, 1, 0,−1,−1,−2.

3.1 Diˆametro

Defini¸cão 3.1. Adistanciaentre dois vérticesi,j∈VemΓdefinida como o comprimento de menor caminho entrei,j. Agora, odiâmetrodo grafoΓd_Γ é a maior distancia entre dois vertices.

Proposi¸cão 3.2. Se Γestá conectado com o diâmetro d_Γ, entãoΓtem pelo menos d_Γ+1auto- valores distintos.

Proof. Seja m o n úmero de autovalores diferentes de A_Γ. Por ser diagonalizável, o polin ômio m´ınimo deA_Γtem graume háβ₀, . . . ,β_t−1∈_Rtais que

A^m_Γ =β₀+β₁A_Γ+· · ·+β_m−1A^m_Γ⁻¹.

Suponha quei,j∈ V comd(i,j) = t, assim há caminhos entreie jde comprimentot mas não há mais curto. Em termos deA_Γtemos que

(A^k_Γ)_ij=0, 0≤k≤t−1, (A^t_Γ)_ij>0.

Assimt<m, pois caso contrario a equação acima vai gerar absurdo. Logo a afirmação segue.

3.2 Grafos regulares

Um grafoΓ´e chamadoregular do grau kse todas v´ertices tem exatamentek-arestas.

Exemplo 3.3. Os seguintes tres grafos s˜ao regulares de grau 3.

(9)

Tetraedro Cubo Grafo completo Exemplo 3.4. O seguinte grafo ´e maior grafo 3-regular de diˆametro 3:

Finalmente, no exemplo acima, o Tutte-Coxeter grafo ´e 3-regular com 30 v´ertices e 45 arestas.

Para qualquer grafo, podemos definir os seguintes tr´es valores de maneira natural:

• k_min– grau minimal emΓ;

• kmax– grau maximal emΓ;

• ¯k– grau m´edio emΓ;

Obviamente, temos que

k_min≤k^¯≤kmax, onde as igualdades acontecem se e somente seΓ´e regular.

A seguinte proposição descreva uma ligação entre o grau de regularidade k e o index do grafoα_Γ.

Proposi¸cão 3.5. ([BH12, Proposi¸cão 3.1.2]) Suponha que grafoΓé conexo, assim (1) SeΓé regular de grau k, logoα_Γ=k;

(2) SeΓn˜ao ´e regular, assim

k_min<k^¯ <α_Γ<kmax.

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Proof. (1). Suponha queΓ ´ek-regular, assim

A_Γ





 1

... 1





=k





 1

... 1





,

ou sejak é autovalor. Agora é fácil verificar que se t> k, assim a matriztId_n−A_Γ é estritamente diagonalmente dominante (a_ii>_∑_j,ia_ij para todosi, veja [HJ13, Capitulo 6]). Assim pelo [HJ13, Teorema 6.2.27], temos quetIdn−A_Γ é invert´ıvel. Logo,k é o maior autovalor.

(2). Temos que

A_Γ





 1

... 1





≤k_max





 1

... 1





,

assim pelo Teorema de Perron-Frobenius, temos queα_Γ≤k_max. CasoA_Γ

1 . . . 1T

= kmax

1 . . . 1T

, assimΓ´ek-regular. Suponha que 1 . . . 1T

=

∑

n i=₁

λ_ix_i, numa base ortonormal dos autovetoresx_ideA_Γ, assim

nk¯ =1 . . . 1 A

1 . . . 1T

=

∑

n i=1

λ²_iα_i≤

∑

n i=1

λ²α_Γ=nα_Γ.

Se nk¯ = nα_Γ logo∑λ²_i(α_i−α_Γ) =0. Comoα_Γ ´e simples, logo x₁ = 1 . . . 1T

e Γ ´e regular.

Corolário 3.6. Um grafoΓé regular se e somente se∑ⁿi=1α²_i =nα_Γ. Proof. [=⇒] SeΓ é regular de grauk, assimα_Γ=ke

∑

n i=1

α²_i =trA²_Γ=kn.

[⇐=_]

Suponha∑ⁿi=1α²_i =nα_Γ. Temos k¯= ¹

ntrA_Γ= ¹ n

∑

n i=1

α²_i =α_Γ. Logo, grafo é regular pela proposição acima.

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3.3 N ´umero de independˆencia

On úmero de independência in(_Γ)do grafoΓ é o máximo cardinalidade de a conjunto de vértices não adjacentes dois a dois.

Proposi¸c˜ao 3.7.

in(G)≤ |{i:α_i≥0}|, e, in(G)≤ |{i:α_i≤0}|. 3.4 N ´umero crom´atico

Uma coloração de vértice apropriada de um grafo Γ é uma atribuição de cores aos vértices de forma que os vértices adjacentes obtenham cores diferentes. O n úmero cromático χ(_Γ) é o n úmero m´ınimo de cores de uma coloração de vértice apropriada deΓ.

Proposi¸cão 3.8. (Wilf, [BH12, Proposi¸cão 4.2.1]) Seja Γ um grafo conexo. Então χ(_Γ) ≤ 1+α_Γcom a igualdade se e somente seΓfor completo ou for um ciclo ´ımpar.

4 Grafos de Dynkin

Os seguintes grafos s˜ao chamadosgrafos de Dynkin:

An : ^{. . .} |A_n|=n

Dn : ^{. . .} |D_n|=n

E₆:

E7:

E8:

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Adicionando mais uma v´ertice ao cada grafo vamos receber os grafos de Dynkin estendidos.

Aen : ^{. . .} |Ae_n|=n+1

Den : ^{. . .} |De_n|=n+1

Ee6:

Ee7:

Ee8:

È um mistério como estes grafos aparecem na Matemática em vários lugares aparentemente bem diferentes: álgebras de Lie, teoria de representaç ões das álgebras de di- mensão finita, classificação dos certos grupos finitos, classificação das singularidades, etc. Acontece que na Teoria espectral dos Grafos eles distinguirem os grafos dependendo do ´ındex.

Teorema 4.1. (Smith, [BH12, Teorema 3.3.1]) SejaΓum grafo conexo, assim (1) O ´ındexα_Γ<₂se e somente se quandoΓ´e um grafo de Dynkin;

(2) O ´ındexα_Γ=2se e somente se quandoΓ´e um grafo de Dynkin estendido.

Se Γ, assim pelo Teorema de Smith, temos que α_Γ = 2. Aplicando o Teorema de Perron-Frobenius deve existir um autovetor positivo correspondente esse autovalor.

Abaixo vamos apresentar tal autovetor para todo grafo de Dynkin estendido.

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1 1 1 1 1

2 2 2 2

1

1 2 3 2 1

2 1

1 2 3 4 3 2 1

2

2 4 6 5 4 3 2 1

3

Abaixo vamos discutir como provar o Teorema de Smith. Primeiramente vamos descrever o espectro dos grafos de Dynkin.

4.1 Espectro dos An,Dn, Aen eDen

A prova da seguinte Proposic¸˜ao vou deixar como o trabalho para casa.

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Proposi¸c˜ao 4.2. Para o grafo de Dynkin A_ntemos:

χ_A_n(λ) =

∏

16j6n

λ−2 cos jπ (n+1)

, portanto:

σ(An) =

2 cos jπ

n+1 |j=1, . . . ,n

α_A_n=2 cos π n+1. Para o grafo de Dynkin estendidoAe_n, temos:

χAen(λ) =

∏

06j6n

λ−2 cos jπ (n+1)

, portanto:

σ

Ae_n

=

2 cos jπ

n+1 |j=_{0, . . . ,}n

αAen =_2.

Proposi¸c˜ao 4.3. Para o grafo de Dynkin D_ntemos:

χ_D_n(λ) =

∏

06j6n−2

λ−2 cos(1+2j)π 2(n−1)

, portanto:

σ(A_n) =

2 cos(1+2j)π

2(n−1) |j=0, . . . ,n−2

∪ {0}, α_D_n =2 cos π 2(n−1)^. Para o grafo de Dynkin estendidoDe_n, temos:

χ_D_e

n(λ) =λ²(λ²−4)

∏

16j6n−3

λ−2 cos jπ (n−2)

, portanto:

σ

Den

=

2 cos jπ

n−2 |j=1, . . . ,n−3

∪ {−2, 0, 0, 2}, α_D_e

n=2.

4.2 Espectro dosEn,Een, n=6, 7, 8

Proposi¸c˜ao 4.4. Para grafos de Dynkin E₆,E₇,E₈temos χ_E₆(λ) =λ⁶−5λ⁴+5λ²−1=

∏

16j66

λ−2 cosm_jπ 12

, m_j=1, 4, 5, 7, 8, 11, χ_E₇(λ) =λ

λ⁶−_6λ⁴+_9λ²−₃=

∏

16j67

λ−_{2 cos}^m^j^π 18

, m_j=1, 5, 7, 9, 11, 13, 17,

χ_E₈(λ) =λ⁸−7λ⁶+14λ⁴−8λ²+1=

∏

^λ⁻^{2 cos}^m^j^π^, ^m^j⁼1, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

(15)

Assim:

σ(E₆) =

2 cosm_jπ

12 |m_j=1, 4, 5, 7, 8, 11

, α_E₆ =2 cos π 12, σ(E₇) =

2 cosm_jπ

18 |m_j=1, 5, 7, 9, 11, 13, 17

, α_E₇ =2 cos π 18, σ(E₈) =

2 cosm_jπ

30 |m_j=1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

, α_E₈ =_{2 cos} ^π 30. Proposi¸c˜ao 4.5. Para grafosEe₆,Ee₇,Ee₈temos:

χEe6(λ) =λ λ²−12

λ²−4 , χ_E_e

7(λ) =λ λ²−1

λ²−4

1

∏

6j63

λ−2 cosjπ 4

, χ_E_e

8(λ) =λ λ²−1

λ²−4

1

∏

6j64

λ−2 cosjπ 5

. Assim:

σ

Ee₆

={0,±1,±1,±2}, α

Ee6 =2, σ

Ee₇

=

2 cosjπ

4 |j=1, 2, 3

∪ {0,±1,±2}, α_E_e

7 =2, σ

Ee₈

=

2 cosjπ

5 |j=1, 2, 3, 4

∪ {0,±1,±2}, α_E_e

8 =2.

4.3 ´Index dos grafos maiores que grafos de Dynkin

Sabendo o espectro dos grafos de Dynkin e grafos estendidos basta mostrar que se grafo Γ maior do que grafo de Dynkin estendido, assim α_Γ > 2. Neste caso podemos proceguir como seguinte. Seja A≥ 0 uma matriz irredut´ıvel, ou seja impossivel colocar ela na forma triangular superior de bloco por permutaç ões simultâneas de lin- has/colunas. Observem que a matrizA_Γé irreducivel se e somente seΓé conexo. Dada uma extensão das matrizes irreduciveisAeB, podemos controlar o maior autovalor de Acomo seguinte.

Proposi¸cão 4.6. Se A ≥ B ≥0 e β é um autovalor de B, então |β| ≤ α₁, onde α₁ é maior autovalor de A. Se a igualdade vale assim B=A.

Proof. Sejax≥0 eβ∈_Rtal queBx=βx. Isto ´e A|x| ≥B|x| ≥ |β| · |x|

ent˜ao pelo teorema Perrno-Frobenius temos que|β| ≤α₁. Se a igualdade for verdadeira, assim o Teorema Perron-Frobenius implique que |β| = θ₁, que |x| > 0 e que A|x| =

|β||x|e usando desigualdade acima n ´os vemos que (A−B)|x|=0

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de modo queA=B.

Corolário 4.7. Se B é um menor principal de A eβum autovalor de B, assim|β|<α₁. Corolário 4.8. SejaΓum grafo conexo. SeΓ⁰ é obtido a partir deΓretirando uma aresta ou um vértice, então

α_Γ⁰<α_Γ.

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Aula 2

Problema do Hermann Weyl e suas generaliza¸c ˜oes

Nessa Aula vamos discutir o problema clássica do Hermann Weyl sobre o espectro de 3 matrizes autoadjuntasA,BeCtais queA=B+Ce suas generalizaç ões. Depois, vamos considerar a generalização deste problema para n-tupla dos operadores autoadjuntos num espaço de Hilbert. vamos ver as generalizaç ões seria conveniente codificar em termos de certos grafos e estudar as representaç ões da certa álgebra (involutiva). Estu- dando as propriedades de tais álgebras vamos ver como os grafos de Dynkin aparecem nesse contexto.

1 Problema de Hermann Weyl

1.1 Problema

Sejam dados tr´es conjuntos dos numeros reais:

σ_A:α₁≥α₂≥α₃≥ · · · ≥αn, σ_B:β₁≥β₂≥β₃≥ · · · ≥β_n, σ_C:γ₁≥γ₂≥γ₃≥ · · · ≥γ_n.

Problema(Hermann Weyl [Wey12], 1912) Descrever as condiç ões necessárias e sufi- cientes paraα_i’s,β_i’s eγ_i’ de modo que existem três matrizes autoadjuntasA,BeCdo mesmo tamanho, cujos espectros sãoσ_A,σ_Beσ_Crespectivamente e

A+B=C.

A resposta completa para este problema é fascinante, exigindo uma descrição es- tranhamente recursiva, antes conhecida como conjectura de Horn (veja de baixo), que agora está resolvida e conectada a um grande n úmero de outros campos da matemática, como a teoria dos invariantes geométricos, a teoria da intersecção e varios outros. O

(18)

problema de Hermann Weyl ´e ligado para v´arios problemas aparentemente indepen- dentes tais como:

• problema sobre o produto tensorial para componentes de irredut´ıvel representa¸c˜oes de GL_n com os pesos maximais;

• fatores invariantes;

• c´alculo de Schubert;

• feixes t´oricos semi-est´aveis,

e muitos outros. vejam [Ful00] (e as referencias la) para detalhes ausentes. Alem disso tem as aplicaç ões t´ıpicas para matrizes aleat órias, quando uma das matrizes (digamos, B) é “pequena” em algum sentido, de modo queA+Bé uma perturbação deA(vejam [Ful00] (e as referencias la) para detalhes ausentes).

1.2 Primeiros resultados

Como trC=trA+trB, assim temos que

∑

n i=1

γ_i=

∑

n i=1

α_i+

∑

n i=1

β_i. (1.1)

A igualdade acima chama-seigualdade de tra¸co.

Podemos pensar em A como um operador linear no complexo espaço euclidiano Cⁿequipado com seu produto interno usualhx,yi, escrito também comox^∗ye a norma associada kxk = (x^∗x)^1/2. O Teorema Espectral nos diz que todo operador Hermi- tiano A pode ser diagonalizado em alguma base ortonormal; ou equivalentemente, existe uma matriz unitária U tal que U AU^∗ = diag(α₁, . . . ,α_n). Se u_j são os autove- tores ortonormais correspondentes aos seus autovaloresα_j, escrevemos A=_∑α_ju_ju^∗_j, e chamamos isso deresolu¸cão espectral de A. Usando isso, é fácil ver que o conjunto {hx,Axi:kxk=1}é igual ao intervalo[αn,α₁]. Em particular, temos

α₁=max_k_x_k=₁hx,Axi α_n=min_k_x_|=₁hx,Axi

Para cada vetor fixo x, a quantidade hx,Axidepende linearmente de A. As equaç ões acima expressamα₁,α_ncomo máximo ou m´ınimo sobre essas funç ões lineares. Muitas vezes, eles levam a desigualdades interessantes, por exemplo temos

γ₁≤α₁+β₁ γ_n≥α_n+β_n

O Hermann Weyl no seu artigo original [Wey12] recebeu as seguintes desigualdades

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Teorema 1.1. Se i≤j, assim temos que

γ_j≤α_i+β_j−i+1.

Proof. A gente vai dar apenas esbose da prova. Sejam u_j, v_j e w_j são autovalores de A,B e A+B que correspondem os autovalores α_j, β_j e γ_j. Considere os seguintes subespaç õs:

W ={w₁,w₂, . . . ,w_j}, U={u_i,u_i₊₁, . . . ,u_n}, V={v_j₋_i+1,v_j₋_i+2, . . . ,v_n}. Temos que

dimW=j, dimU=n−i+1, dimV=n−j+i,

assim dimW+dimU+dimV=2n+1, ou sejaW∩U∩Vtem interseção de dimensão maior igual a 1. Tomando vetor unitariox∈W∩U∩Vtemos que

γ_j≤ hx,(A+B)xi=≤ hx,Axi+hx,Bxi ≤α_i+β_j−i+1,

poishx,Axiestá no intervalo[α_n,α_i]_,hx,Bxiestá no intervalo[β_n,β_j₋_i+₁]_ehx,(A+B)xi está no intervalo[γ_j,γ₁].

No caso particular, quandon=2 essas desiqualdade geram 3 desigualdades γ₁≤α₁+β₁, γ₂≤α₁+β₂, γ₂≤α₂+β₁, (1.2) e acontece essas três desigualdades são suficiente para caracterizar os poss´ıveis autovalores deA,BeC; ou seja, se três pares de n úmeros reais{α_l,α₂},{β₁,β₂}, {γ₁,γ₂}, cada um ordenado de forma decrescente, satisfazem essas relaç ões, então existem 2×2 matrizes autoadjuntas A e B de modo que esses pares são os autovalores de A, B e A+B

Quandon≥3, existem mais relac¸ ˜oes. O primeiro devido a Ky Fan (1949) diz

∑

k j=1

γ_j≤

∑

k j=1

α_j+

∑

k j=1

β_j, for 1≤k≤n. (1.3)

Quandok=n, os dois lados de (1.3) são iguais; isso é apenas a igualdade de traço (1.1).

Uma generalizac¸˜ao substancial disso foi obtida por V. B. Lidskii (1950). Para resumir, deixe [1,n] denotar o conjunto {1, 2, . . . ,n}. O teorema de Lidskii diz que para cada subconjuntoI⊂[_1,n]com cardinalidade|I|=k, temos

∑

i∈I

γ_i≤

∑

i∈I

α_i+

∑

j≤k

β_j (1.4)

(20)

Observe que essas desigualdades incluem (1.3) como um caso especial escolhendo I = [_1,k]_.

Quandon=3, obtemos seis relac¸ ˜oes das desigualdades de Weyl:

γ₁≤α₁+β₁, γ₂≤α₁+β₂, γ₂≤α₂+β₁

γ3≤α₁+β3, γ3≤α3+β₁, γ3≤α2+β2 (1.5) Mais cinco resultam das desigualdades (1.4):

γ₁+γ₂≤α₁+α₂+β₁+β₂ γ₁+γ3≤α₁+α3+β₁+β2

γ₂+γ₃≤α₂+α₃+β₁+β₂ γ₁+γ₃≤α₁+α₂+β₁+β₃ γ₂+γ₃≤α₁+α₂+β₂+β₃

(1.6)

(use a simetria emA,B). Acontece que mais uma relac¸˜ao γ₂+γ₃≤α₁+α₃+β₁+β₃

é válido. Além disso, as relaç ões (1.5), (1.6) junto com (1.1) são suficientes para caracterizar os poss´ıveis autovalores deA,BeCpara cason=3.

1.3 Desigualdades de Horn.

O teorema de Lidskii despertou muito interesse e v´arias outras desigualdades foram descobertas. Todos eles tˆem a forma

k

∑

∈K

γ_k≤

∑

i∈I

α_i+

∑

j∈J

β_j (1.7)

Isso leva às seguintes quest ões. Quais são todos os triplos(I,J,K)de subconjuntos de [1,n] para os quais as desigualdades (1.7) são verdadeiras? Essas desigualdades, junto com (1.1), são suficientes para caracterizarα,βeγque podem ser autovalores das matrizes HermitianasA,BeA+B?

Em um artigo fundamental [Hor62] em 1962, Alfred Horn fez uma conjectura que afirmava que essas desigualdades, juntamente com relação do traço (1.1), são suficientes e que o conjunto T_rⁿ de triplos (I,J,K) de cardinalidade r em [1,n] pode ser descrito por indução em r como segue. Vamos escrever I = {i₁<i₂<· · ·<i_r} e da mesma forma paraJ eK. Então, parar=1,(I,J,K)está emT₁ⁿsek₁=i₁+j₁−1. Para r>1,(I,J,K)∈T_rⁿse

∑

i∈I

i+

∑

j∈J

j=

∑

k∈K

k+

r+1 2

e, para todos 1≤p≤r−1 e todos(U,V,W)∈T_p^r

∑

ⁱ^u⁺

∑

^j^v^≤

∑

^k^w⁺ ^p⁺¹

(21)

Horn provou sua conjectura paran=3 e 4. Observe que quandon=2, essas condiç ões apenas se reduzem às três desigualdades dadas por (1.2). Quando n =3, elas se reduzem ao doze desigualdades (1.5), (1.6). Quandon=7, há 2.062 desigualdades dadas por essas condiç ões, assim o numero das desigualdades cresce bem rápido quando n cresce.

Teorema 1.2. (Klyachko [Kly98] e Knutson, Tao [KT99]) Conjetura de Horn ´e verdadeira.

2 Problema espectral aditivo

2.1 Modifica¸c˜ao do problema de Weyl

O problema de Weyl possui varios generalizaç ões. Com a relação com espaços vetorias filtrados (veja, por exemplo, [Tot94]) acontece o problema em procurando poss´ıveis espectrosσ(A_i)dosn-matrizes autoadjuntos que satisfazem

A₁+. . .+An=λId.

Vamos consideramos uma modificação de tal problema como o seguinte. SejaH um espaço de Hilbert separável. Para um operador linear limitadoX ∈ L(H)denotamos porσ(X)seu espectro. Suponha que dados os subconjuntos finitosM_i⊂_R₊:

M_i={0=α₀⁽ⁱ⁾<α⁽₁ⁱ⁾<. . .<α⁽_mⁱ⁾_i}

eλ∈_R+. O problema (chamadoproblema espectral aditivo) ´e determinar se existe uma n-tupla de operadores autoadjuntos limitados A_i = A^∗_i em H tais que seus espectros satisfazemσ(A_i)⊂M_ie

A₁+A2+· · ·+An=λId,

e descrever todas tais tuplas irredut´ıveis a menos de equivalência unitária. Dizemos que duas tuplas A_i ∈ L(H) e A⁰_i ∈ L(H⁰) são unitariamente equivalentes se existir um operador unitárioU:H → H⁰tal queA⁰_iU=U A_ipara todosi.

Observa¸cão2.1. Uma diferença essencial entre o problema acima e o problema clássico de Weyl é que não fixamos a dimensão do espaço de Hilbert (que pode ser até infinito) e não fixamos as multiplicidades espectrais.

2.2 ∗-´algebras e suas representa¸c ˜oes

Podemos estudar o problema acima usando os métodos da teoria de representaç ões das álgebras involutivas. Assim vamos vamos brevemente ver o que são as∗-álgebras e suas∗-representaç ões.

UmaC-álgebraA(isto é, umC-espaço linear com um produto associativo) é chamada

∗-álgebra(ouálgebra involutiva, seApossui umainvolu¸cão∗:A → Aque satisfaz (a+b)^∗=a^∗+b^∗, (ab)^∗=b^∗a^∗, (a^∗)^∗=a, (λa)^∗=λa^¯ ^∗, λ∈_C.

(22)

Por exemplo A= Mn(_C) é uma álgebra involutiva com a involução A^∗ = A^Ď^T. Outro exemplo é dado porA= L(H), ondeH é um espaço de Hilbert, e para um operador dadoA∈L(H)a involução∗é definido como operador adjunto deA.

Dada uma ∗-álgebraAuma ∗-representa¸cão deA é um espaço de HilbertH junto com∗-homomorfismo das álgebras

π:A →L(H), ou sejaπ ´e homomorfismo das algebra eπ(a^∗) =π(a)^∗.

Dados duas representaç ões (H,π) e (H⁰,π⁰) dizemos que eles são unitariamente equivalentesse existir um operador unitárioU:H → H⁰tal que

π(a)U=Uπ⁰(a), a∈ A.

Uma ∗-representação (H,π)da álgebra Achama-se irredut´ıvelse os únicos oper- adoresV∈L(H)que comutam comπ(a)para todosa∈ Asão operadores escalares.

Observa¸cão 2.2. De certa forma basta estudar apenas ∗-representaç ões irredut´ıveis a menos de equivalência unitária.

2.3 Certas∗-´algebras relacionadas com os grafos

A informação dada em conjuntosM_ie valorλpode ser codificada completamente pelo um grafo que tem a forma estrela comn-braços comi-esimo braço tem|M_i|elementos:

Γ:

E uma funçãoχno conjunto dos vértices desse grafo χ= (α⁽₁¹⁾, . . . ,α⁽_m¹₁⁾; . . . ;α⁽₁ⁿ⁾, . . . ,α⁽_mⁿ_n⁾);λ). que codifique os elementos dos conjuntosM_ieλ

Exemplo. Suponha que temos 4 conjuntos M_i ={0, 1}, comi =1, .., 4, e λ= 2, o grafo correspondente ´e ˜D₄:

(23)

2 1

1

Onde a gente colocou os componentes doχem vertices correspondetes.

Agora, considere a seguinte∗-´algebra A_Γ,χ=_Cha₁, . . . ,a_n

a_i=a^∗_i,(a_i−α⁽₀ⁱ⁾). . .(a_i−α⁽_mⁱ⁾_i) =0, a₁+a₂+· · ·+a_n=γei.

O problema espectral aditivo ´e equivalente ao seguinte tarefas a serem resolvidas:

• para cada pesoχdecidir se ou não álgebraA_Γ,χtem∗-representação;

• descrever todos ∗-representaç ões irredut´ıveis de A_Γ,χ a menos de equivalência unitária.

A vantagem desse abordagem é que podemos usar as ferramentas da teoria das representaç ões (das álgebras involutivas) para atacar o problema mencionada. Além disso estudando as propriedades da álgebra podemos esperar que eles trazem as informaç ões sobre as representaç ões dela.

2.4 Crescimento e finitute daA_Γ,χ

Dependendo das propriedades do gr´afoΓa estrutura da algebraA_Γ,χ ´e bastante diferente.

Estudando as propriedades da uma algebra uma das quest ões naturais écrescimento dele. Esse noção chegou de grupos. SejaS={g₁. . .g_n}um conjunto de geradores para um grupo Gfinitamente gerado. Seja S⁽ⁿ⁾ a coleção de todos os elementos de Gque podem ser escritos como uma palavra emSde comprimento≤n, e seja f_G(n) =|S⁽ⁿ⁾|é o n úmero de elementos deS⁽ⁿ⁾. A função f_G(n)é chamada defun¸cão de crescimentode G (em relação aos geradores escolhidos). Uma definição semelhante pode ser dada para

álgebra. Seja,a₁, . . . ,a_rum conjunto de geradores de uma algebraAsobre um corpoF, de modo que todoa∈Aé uma combinação linear de mon ômios noa_i. SejaVo espaço vetorial gerado pelosa_i, e sejaV^k o subespaço vetorial deAde todas asF-combinaç ões lineares de produtosv₁. . .v_k,v_i∈V. Então a função

f_A(n) =

∑

n i=1

dimVⁱ

é a função de crescimento de A.

Observem que o crescimento de f_A não depende da escolha deV e o crescimento da álgebra de grupoF[G]é o crescimento deG.

(24)

Teorema 2.3. (M. Vlasenko, A. Mellit e Yu.S. Samoilenko, [VMS05])

• Se Γ é um grafo de Dynkin tipo A_n, D_n, E₆, E₇ ou E₈, assim A_Γ,χ é uma álgebra da dimensão finita;

• Se Γ é um grafo de Dynkin estendido De₄, Ee₆, Ee₇ ou Ee₈, assim A_Γ,χ é uma álgebra da dimensão infinita, mas tem crescimento polinomial;

• SeΓcontem um grafo de Dynkin estendido como proprio subgrafo assimA_Γ,χtem crescimento exponencial, e contem algebra involutiva livre de dois geradores.

2.5 Rela¸c ˜oes polinomiais emA_Γ,χ

O teorema de Amitsur-Levitzki afirma que a álgebra den×nmatrizes sobre um anel comutativo satisfaz uma certa identidade de grau 2n. Isso foi provado por Amitsur e Levitsky (1950). Em particular, os anéis da matriz são anéis de identidade polinomial, de modo que a menor identidade que eles satisfazem tem um grau exatamente 2n.

Onde o polinomio padr˜ao de graun´e S_n(x₁, . . . ,x_n) =

∑

σ∈Sn

sgn(σ)x_σ₍₁₎· · ·x_σ₍_n₎.

em variáveis não comutativasx₁, . . . ,x_ne a soma é feita por todon! elementos do grupo simétrico S_n. Dizemos que uma álgebra A é F_n-álgebra se ela satisfaz a polin ômio padrão do graun. Por exemploMn(R) éF2n-álgebra por resultado do Amitsur e Levit- sky.

Observa¸cão2.4. Saber se ou não uma∗-álgebra A é F_n álgebra é bem importante para representaç ões dela. Nomeadamente, se A éF_2n-álgebra assim as dimens ões das rep- resentaç ões irredut´ıveis são limitadas pelon.

Teorema 2.5. (Mellit) SejaΓ é um grafo de Dynkin estendido De₄, Ee₆, Ee₇ ou Ee₈. Suponha queχé uma fun¸cão no grafo com a propriedade quehχ,v_Γi=0assim A_Γ,χ é F2n-álgebra, com n=2, 3, 5, 6paraDe₄,Ee₆,Ee₇ouEe₈respectivamente.

A função v_Γ usada no Teorema acima é relacionada com o autovetor do index do grafo correspondente e dada como o seguinte.

(25)

−2 1

1

1 1 2 −₃ ₂ ₁

2 1

1 2 3 −4 3 2 1

2

2 4 −6 5 4 3 2 1

3

2.6 Estrutura das representa¸c ˜oes

Como a gente viu a estrutura da álgebraA_Γ,λ depende fortemente do grafoΓ. Assim não é surpresa que a teoria das representaç ões dessa álgebra depende também do grafo Γ:

Dynkin:Neste caso a descrição das∗-representaç ões é conhecida e a classificação foi feito pelo Kruglyak e Roiter (veja [KR05]). No caso toda∗-representação irredutivel tem dimenção limitada e representaç ões dependem de 0-parametros.

Dynkin estendido:Neste caso a descrição das∗-representaç ões irredutivel é pos- sivel ainda. Existem∗-representação irredutiveis com dimenç ões illimitadas, mas a descrição das representaç ões depende de 1-parametro no maximo.

SeΓcontem Dynkin estendido: Neste caso a situação é mais complicada. Men- cionarei dois resultados que indicam que a descrição completa dos irredut´ıveis pode ser até imposs´ıvel.

Teorema 2.6. (Ostrovskii, [AOS07]) SeΓcontem o grafo de Dynkin estendido como subgrafo próprio, assim existe fun¸cãoχ_Γ de modo que álgebraA_Γ_,χ_Γ tem∗-representa¸cão irredut´ıvel de dimensão infinita.

Teorema 2.7. (KI, Weist, [WY13]) SejaΓum grafo em forma de estrela que contém um grafo de Dynkin estendido como um subgrafo próprio. Então existe um a fun¸cãoχ_Γtal que a álgebra

(26)

A_Γ,χ_Γ tem uma fam´ılia de∗-representa¸cões irredut´ıveis não equivalentes que dependem de um n úmero arbitrário de parâmetros cont´ınuas.

O Teorema acima foi provada estendendo os grafos de Dynkin por um ponto e construindo a funçãoχ_Γpara tais estenç ões:

5 2

2

2 2

4 8 3 2

4

4 8 12 9 5

8 4

2

4 8 12 16 13 9 5 2

8

8 16 24 21 17 13 9 5 2

12

(27)

Trabalho

Entregar at´e 31 de Outubro:

3 exerc´ıcios do Bloco A, + 3 exerc´ıcios do Bloco B, + 2 exerc´ıcios do Bloco C, + 2 exerc´ıcios do Bloco D.

Bloco A

Exerc´ıcio 1. Estende a prova do Teorema espectral (da Aula 1) para casoA∈Mn(_C)ou seja para n ´umeros complexos.

Exerc´ıcio 2. Mostre que o espectro do grafo completoK_ntem forman−1 com multiplicidade 1 e−1 com multiplicidaden−_1.

Exerc´ıcio 3. Mostre que nenhum grafo tem autovalor 1/2.

Exerc´ıcio 4. Mostre que nenhum grafo tem autovalor 2+√ 5.

Exerc´ıcio 5. Verifique se ambos os grafos de baixo tem o mesmo polin ômio caracter´ısticot⁴(t⁴−7t²+9), de modo que essas duas árvores são cospectrais.

Exerc´ıcio 6. Define oconesobre um grafoΓcomo o grafo obtido pela adição um novo vértice x e juntando todos os vértices deΓpara x. Se Γ é regular de valência k em n vértices assim mostre que o cone sobreΓtem polin ômio caracter´ıstico

(x²−kx−n)χ_Γ(x)/(x−k).

(28)

Exerc´ıcio 7. SejaΓqualquer grafo. Mostre que o grau m´edio ¯k(veja pagina 8 das Aula 1) pode ser calculado como

k¯ = ¹ ntrA_Γ.

Bloco B

Exerc´ıcio 8. Mostre que o polin ômio caracter´ıstico do grafo de Dynkin A_n satisfaz o seguinte relação de recurrência

χ_A_n(λ) =λ·χ_A_n₋₁(λ)−χ_A_n₋₂(λ), n>2, comχ_A₁(λ) =λeχ_A₂(λ) =λ²−1.

Exerc´ıcio 9. Mostre que o polin ˆomio caracter´ıstico do grafo de DynkinAe_nsatisfaz:

χ_A_e

n(λ) =λ·χ_A_n(λ)−2χ_A_n₋₁(λ)−2.

Exerc´ıcio 10. Usando Exerc´ıcio 8 descreva o espectro do grafo de Dynkin A_ncomo na Proposic¸˜ao4.2(Aula 1).

Exerc´ıcio 11. Usando Exerc´ıcio 8 descreva o espectro do grafo de Dynkin Aencomo na Proposic¸˜ao4.2(Aula 1).

Exerc´ıcio 12. Mostre que o espectro para grafosD₄eDe₄satisfaz os formulas como na Proposic¸˜ao4.3.

Exerc´ıcio 13. Calcule o espectro para grafoE₆.

Bloco C

Exerc´ıcio 14. Mostre que se dois matrizes Hermitianas satisfazem queAB=BA, então AeBsão simultaneamente diagonalizáveis.

Exerc´ıcio 15. Usando exerc´ıcio anterior mostre “manualmente” as desigualdades de Weyl (Teorema1.1da Aula 2) e desigualdades de Lidski (1.4) para caso quando AeB comutam.

Exerc´ıcio 16. Mostre a desigualdade de Weyl dual γ_i+j−n≥α_i+β_j, para 1≤i,j,i+j−n≤n.

Exerc´ıcio 17. Mostre a desigualdade de Lidski dual

γ_i₁ +. . .+γ_i_k ≥α_i₁ +. . .+α_i_k+β_n−k+1+. . .+βn,

(29)

Exerc´ıcio 18. Use a desigualdade de Lidskii mais geral

∑

n i=1

c_iγ_i≤

∑

n i=1

c_iα_i+

∑

n i=1

c^∗_iβ_i,

ondec₁, . . . ,c_n≥0, ec^∗₁≥. . .≥c^∗_n≥0 ´e o rearranjo decrescente dec₁, . . . ,c_njunto com a desigualdade de H ¨older para concluir a desigualdadep-Weilandt-Hoffman

k(γ_i−α_i)ⁿ_i₌₁k_`p

n ≤ kBk_Sp

para qualquer 1≤p≤_{∞, onde}

k(a_i)ⁿ_i₌₁k_`^p

n:= (

∑

n i=₁

|a_i|^p)^1/p

´e a norma`^pusual e

kBk_S^p :=k(β_i)ⁿ_i₌₁k_`^p

n,

´e a normap-SchattendeB.

Bloco D

Exerc´ıcio 19. Sejam P=

1 0 0 0

, Q=

cos²ϕ cosϕsinϕ cosϕsinϕ sin²ϕ

,

comϕ∈(0,π/2). Mostre queP=P²=P^∗eQ=Q²=Q^∗, ou sejamP,Qsão orthopro- jetores emC. Alem disso mostre que seφ,φ⁰ em[_0,π]assim os pares correspondentes não são unitarialmente equivalentes (veja Aula 2 para definição).

Exerc´ıcio 20. Mostre que para qualquer ϕ∈(0,π/2)a par P,Qcomo no exerc´ıcio anterior ´e irredut´ıvel (ou seja unicos matrizes deM2(_C)que comutam com ambasPeQ) s˜ao matrizes escalares.

Exerc´ıcio 21. and either a >0,b>0,c∈_{R, or} a =0,b> 0,c> 0, or a > 0,b= 0c >

0. These representations form the first family in the statement of the theorem. The formulas forP_k are

Considere P₁= ¹

2

1+a −b−ic

−b+ic 1−a

, P₂= ¹ 2

1−a b−ic b+ic 1+a

P3= ¹ 2

1−a −b+ic

−b−ic 1+a

, P₄= ¹ 2

1+a b+ic

−b−ic 1−a ,

coma²+b²+c²=1. Mostre que

(30)

(1) P_i=P_i²=P_i^∗parai=1, 2, 3, 4;

(2) P₁+P₂+P₃+P₄=2I;

(3) Para diferentesa>0,b>0,c∈_Ros formulas acima apresentas as tuplas unitariamente n˜ao equivalentes.

Exerc´ıcio 22. Mostre que sea>0,b>0,c∈_Rassim as tuplas no exerc´ıcio acima são irredut´ıveis. Conclui que eles são∗-representaç ões da algebraA

De4,χcomχ= (2; 1, 1, 1, 1).

(31)

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Grafos, matrizes autoadjuntos e espectra