AULA 6 –VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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AULA 6 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

ESTATÍSTICA I

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES

Variável Aleatória Contínua

Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor ao longo de um ou mais intervalos. Assim, a probabilidade de que uma variável aleatória contínua assuma um único valor é sempre igual a zero. Por isso, ao se construir a distribuição de frequência relativas de x, usam-se faixas de valores (classes).

EXEMPLO 1:

A tabela fornece a distribuição de frequências das estaturas (x) dos alunos de uma turma.

Estatura em m (x) Frequência Frequência Relativa Probabilidade

1,50< 1 0,01 0,01

1,50 – 1,60 8 0,08 0,08

1,60 – 1,70 40 0,40 0,40

1,70 – 1,80 41 0,41 0,41

1,80 – 1,90 9 0,09 0,09

1,90> 1 0,01 0,01

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EXEMPLO 1:

A partir da tabela um histograma e um polígono podem ser traçados.

0 20 40

GRÁFICOS

1 9

35 36

8 1,5 1

Frequência Relativa

Classes 8

28 48

1,6 1,7 1,8 1,9

Aproximação da curva de distribuição de probabilidade da variável x

Função densidade de probabilidade da variável x

Variável Aleatória Contínua

A distribuição das probabilidade da variável aleatória contínua x possui 2 propriedades.

x

A probabilidade de que x assuma um valor em qualquer intervalo está entre 0 e 1.

x=a x=b

1

P(a≤≤≤≤x ≤≤≤≤b) = Área sob a curva de a

até b

x

A probabilidade total de todos os intervalos em que x assume valor, mutuamente excludentes, é 1,0.

2

Área = 1,0 ou 100%

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EXEMPLO 2:

Calcular a partir do exemplo 1 o valor de P(1,6 ≤ x ≤ 1,8) e mostrar o gráfico.

0 20 40

GRÁFICOS

1 9

35 36

8 1,5 1

Frequência Relativa

Classes 8

28 48

1,6 1,7 1,8 1,9

P(1,6 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1,8) = P(1,6 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1,7) + P(1,7 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1,8) = 0,35 + 0,36 = 0,71

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

É a mais importante e utilizada das distribuições de probabilidade, pois vários fenômenos do mundo real seguem exatamente ou aproximadamente uma normal.

Exemplos: conjunto dos valores da estatura e peso de pessoas, notas em uma prova, pesos de embalagens de cereais e biscoitos, quantidade de leite em uma garrafa e vida útil de um equipamento como uma lâmpada ou uma TV.

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Possui a forma de um sino e é definida pela média µµµµ e desvio-padrão σ. Possui 3 propriedades.

x

Área = 1,0 ou 100%

A área sob uma curva normal é 1,0 ou 100%.

1

x

50% dos valores tais que x ≥≥≥≥ µµµµ É simétrica em torno da médiaµµµµ.

2

µµµµ

As caudas de uma normal se estendem em ambas as direções assintoticamente, mas, em geral, p(x <µµµµ-3σσσσ) e p(x >µµµµ+3σσσσ) é praticamente zero.

3

µµµµ µµµµ+3σσσσ x

µµµµ-3σσσσ

p(x > µµµµ+3σσσσ) ≅≅≅≅0 p(x < µµµµ-3σσσσ) ≅≅≅≅0

Assim, como a binomial e a Poisson, existe uma fórmula para calcular a distribuição de probabilidade normal tal como dado a seguir.

( ) (¹^/²[ )^/ ]²

2 ) 1

( ^µ ^σ

π σ

−

= e− ^x

x f

Onde: e = 2,71828 e π = 3,14159.

Para se calcular,P(a ≤ x ≤ b) com a equação é necessário empregar a seguinte equação.

∫

=

≤

≤ ^b

a

x f b x a

P( ) ( )

Mas, devido aos cálculos laboriosos, serão empregadas tabelas de valores ao invés das equações.

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É a distribuição normal com média µµµµ = 0 e desvio-padrão σ = 1. Nesse caso, a variável aleatória que segue esta distribuição é representada por z, e seus valores também são chamados de unidades ou resultados-padrão.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA

0 1 2 3 z

-3 -2 -1

50% dos valores tais que x ≥≥≥≥ µµµµ

µµµµ µµµµ= 0 e σσσσ=1

EXEMPLO 3:

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 1,95.

z 0,00 0,01 ... 0,05

0,0 0,0000 0,0040 ... 0,0199 0,1 0,0398 0,0438 ... 0,0596

... ... ... ... ...

1,9 0,4713 0,4719 ... 0,4744

Área entre 0 e 1,95 = P(0 < z < 1,95) = 0,4744

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EXEMPLO 3:

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = 0 e z = 1,95.

EXEMPLO 4:

Encontrar a área sob a curva da normal padronizada entre z = -2,17 e z = 0.

Área entre -2,17 e 0 = P(-2,17 < z < 0)

= P(0 < z < 2,17) = 0,4850 Usando a simetria da normal:

0 1 2,17 z

-2,17 -1

µµµµ

0 1 2,17 z

-2,17 -1

µµµµ

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EXEMPLO 5:

Calcular a probabilidade P(z > 2,32). Para tanto, encontrar a área à direita de z = 2,32.

Área desejada + 0,4898 = 0,50

P(z > 2,32) = 0,50 - 0,4850 = 0,0102

0 1 2,32 z

-2 -1

µµµµ

0,4898 dos valores tais que z < 2,32

P(z > 2,32)

EXEMPLO 6:

Calcular a probabilidade P(-1,56 < z < 2,31) e P(z > -0,75).

P(-1,56 < z < 2,31) = P(1,56<z<0) + P(0<z<2,31)=

0,4406 + 0,4896 = 0,9302

0 1 2,31 z

-1,56 -1

µµµµ

0,4896 dos valores tais que 0<z< 2,31 0,4406 dos valores

tais que -1,56< z <0

P(z > -0,75) =

P(z > 0) + P(-0,75<z<0)=

0,50 + 0,2704 = 0,7704

0 z

-0,75

µµµµ

0,50 dos valores tais que z > 0 0,2704 dos valores

tais que -0,75< z < 0

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EXEMPLO 7:

Calcular qual % dos resultados é abarcado com [µµµµ-3σσσσ, µµµµ+3σσσσ].

Isto é, qual o valor da probabilidade P(µµµµ-3σσσσ < z < µµµµ+3σσσσ)?

P(µµµµ-3σσσσ < z < µµµµ+3σσσσ) =

P(µµµµ-3σσσσ < z < 0) + P(0< z < µµµµ+3σσσσ) = 0,4987 + 0,4987 =

0,9974

0 1 2 3 z

-3 -2 -1

0,4987% dos valores tais que x < µµµµ+3σσσσ

µµµµ

Em aplicações reais, uma variável aleatória normal pode ter média aritmética e desvio-padrão diferentes de 0 e 1, respectivamente. Pode-se, porém, padronizar a distribuição normal, isto é, transformar os valores x de uma normal qualquer para uma normal padrão z com a seguinte equação.

PADRONIZANDO UMA DISTRIBUIÇÃO

σ µ

= x− z

Onde: µµµµ e σσσσ são a média e o desvio-padrão da distribuição normal x, respectivamente.

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EXEMPLO 8:

Seja x uma variável aleatória contínua normalmente distribuída com ma 25 e d-p de 4. Encontrar a área:

P(25 < x < 32,8) =

P(0 < z < 1,95) = (exemplo 3) 0,4744

Item (A): Entre x = 25 e x = 32,8.

(i) Para x = 25: z = 0.

(ii) Para x = 32,8:

95 , 4 1

25 8 ,

32 − =

− =

= σ µ z x

EXEMPLO 8:

Seja x uma variável aleatória contínua normalmente distribuída com ma 25 e d-p de 4. Encontrar a área:

Item (B): Entre x = 18,76 e x = 34,24.

(i) Para x = 18,76:

56 , 4 1

25 76 ,

18 − =−

− =

= σ µ z x

(ii) Para x = 34,24:

31 , 4 2

25 24 ,

34 − =

− =

= σ µ z x

P(18,76 < x < 34,24) =

P(-1,56 < z < 2,31) = (exemplo 6) 0,7704

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EXEMPLO 9:

Um guia automotivo indica o Porsche 911 como o carro que melhor mantém valor. É esperado que um carro novo de R$

87.500 mantenha um valor de R$ 48.125 após 3 anos de uso.

Supondo que a distribuição de preços de todos os Porsches 911 com 3 anos seja normal com média R$ 48.125 e desvio-padrão de R$ 1.600, encontrar a probabilidade de que 1 veículo aleatoriamente escolhido tenha preço de venda entre R$ 46.000 e R$ 49.000.

EXEMPLO 9:

Seja x o preço do carro, tal que x segue uma normal com µµµµ = 48.125 e σσσσ = 1.600. Para se calcular o valor de P(46.000 < x

< 49.000), usa-se a padronização. Assim, calcula-se:

(i) Para x = 46.000:

33 , 1600 1

48125 46000

−

− =

= σ µ z x

(ii) Para x = 49.000:

55 , 1600 0

48125 49000

− =

= σ µ z x

P(46.000 < x < 49.000) = P(-1,33 < z < 0,55) =

P(-1,33 < z < 0) - P(0 < z < 0,55) = 0,4082 + 0,2088 = 0,6170

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EXEMPLO 10:

A vida útil de uma calculadora possui uma distribuição normal com ma de 54 meses e d-p de 8 meses. A empresa garante que qualquer calculadora que comece a apresentar defeitos, dentro do período de 36 meses após a compra, será substituída por 1 nova. Qual a percentagem aproximada de calculadoras serão substituídas?

EXEMPLO 10:

Seja x a vida útil da calculadora. Seja x normal com µµµµ = 54 e σσσσ = 8. Para se calcular o valor de P(x < 36), usa-se:

Para x = 36:

25 , 8 2

54 36− =−

− =

= σ µ z x

P(x < 36) = P(z < -2,25) = 0,5 – 0,4878 = 0,0122

Ou seja, é esperado que 1,22% das calculadoras fabricadas apresentem defeitos em menos que 36 meses.

54 x

36

???% dos valores tais que x < 36

µµµµ=

0 z

-2,25 µµµµ=

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Para encontrar o valor de x quando uma área sob a curva da distribuição normal é conhecida, usa-se os seguintes passos.

RELACIONANDO Z E X COM ÁREA SOB A CURVA CONHECIDA

Passo 1: Encontre o valor de z correspondente à x.

Passo 2: Aplique os valores de µµµµ, σσσσ e z na equação:

σ µ

= x− z

Passo 3: Resolva a equação para x: x = µµµµ + zσσσσ.

EXEMPLO 11:

Utilizando os dados do Exemplo 10, determinar o período de garantia de modo que não mais de 1% das calculadoras vendidas sejam substituídas.

Passo 1: Se x segue normal com µµµµ = 54 e σσσσ = 8. Então:

Na tabela, só existe z para 0,4901 que é 2,33. Como z encontra-se do lado esquerdo da média aritmética, então, z = -2,33.

54 x

x’

1% dos valores tais que x < x’

µµµµ=

0 z

-2,33 µµµµ=

Achar valor de z tal que área = 0,5 -0,01 =

0,49

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EXEMPLO 11:

Utilizando os dados do Exemplo 10, determinar o período de garantia de modo que não mais de 1% das calculadoras vendidas sejam substituídas.

Passos 2 e 3: Aplicando µµµµ = 54, σσσσ = 8 e z = -2,33. Então:

Assim, a garantia deve ser de 35,36 meses para se precisar substituir mais do que 1% dos equipamentos.

x = µµµµ + zσσσσ = 54 + (-2,33*8) = 54 – 18,64 = 35,36

54 x

35,36

1% dos valores tais que x < 35,36

µµµµ=

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES BINOMIAIS

Lembrando que a binomial fornece a probabilidade de que ocorram x sucessos em n testes com probabilidade p de sucesso através da seguinte equação:

x n x x

n C p q

x

P( ) = ⁻

Onde:

n – número de testes,

p – probabilidade de sucesso, q – probabilidade de insucesso, x – número de sucessos em n testes e n-x – número de insucesso em n testes.

Porém, quando n é grande sua aplicação é complicada e a normal pode ser usada como aproximação para a binomial desde que np > 5 e nq > 5.

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EXEMPLO 12:

Em uma estimativa, 50% das pessoas nos EUA possuem pelo menos 1 cartão de crédito. Caso uma amostra aleatória de 30 pessoas seja selecionada, qual a probabilidade de que pelo menos 19 pessoas tem pelo menos 1 cartão de crédito?

Sejam:

n – número de pessoas na amostra,

p – probabilidade de 1 pessoa com cartão, x – número de pessoas com pelo menos 1 cartão.

Seja n = 30, x = 19 e p = 0,50 e q = 1 – p = 0,50. Então:

0509 ,

0 )

19

(x = = C p q ⁻ =₃₀ C₁₉p¹⁹q¹¹ = P _n _x ^x ⁿ ^x

Observando-se que nq = np = 30 * 0,50 = 15, então, é possível realizar uma aproximação pela normal em 3 etapas.

EXEMPLO 12:

Etapa 1: Calcule µµµµ e σσσσ da binomial.

µµµµ = np = 15 e σσσσ = (npq)^1/2 = (30*0,5²)^1/2 = 2,738612.

Etapa 2: Converter a variável aleatória discreta em contínua.

Para tanto, um fator de correção de continuidade deve ser aplicado, isto é, é somado e subtraído o valor 0,5 de x.

15 x

P(18,5 ≤≤≤≤x ≤≤≤≤19,5)

µµµµ

18,5 19,5

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EXEMPLO 12:

Etapa 3: Calculando a P(x) desejada usando a normal padronizada.

(i) Para x = 18,5:

28 , 73 1 , 2

15 5 ,

18 − =

− =

= σ µ z x

(ii) Para x = 19,5

64 , 73 1 , 2

15 5 ,

19 − =

− =

= σ µ z x

P(18,5 < x < 19,5) = P(1,28 < z < 1,64) =

P(0 < z < 1,64) - P(0 < z < 1,28) = 0,4465 - 0,3997 = 0,0498

EXEMPLO 12:

Observe que:

Assim, o erro ao se usar a normal é:

0,0509 (binomial) – 0,0498 (normal) = 0,0011.

15 ^18,5 x

4,98%dos valores

µµµµ=

0 ^1,28 z

µµµµ=

19,5 1,64

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A correção para a continuidade sempre deve ser aplicada, mesmo para intervalos de valores. Por exemplo, a P(7 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 12) binomial será aproximada para P(6,5 ≤≤≤≤

x ≤≤≤≤ 12,5) normal.

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OBRIGADO !!!