Universidade de Cabo Verde

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto te´orico de An´alise Matem´atica III

Prof. Narciso Resende Gomes

Ano lectivo: 2011/2012

1.1 Geometria anal´ıtica . . . 2

1.1.1 Recta e plano . . . 2

1.1.2 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao . . . 4

1.1.3 C´onicas . . . 4

1.1.4 Qu´adricas . . . 7

1.2 Integrais duplos . . . 9

1.2.1 Integral iterado . . . 11

1.2.2 Integrais duplos e ´Areas . . . 13

1.2.3 Integrais duplos e Volumes . . . 14

1.2.4 Mudan¸ca de vari´aveis. Coordenadas polares . . . 14

1.2.5 Coordenadas polares . . . 14 1.2.6 Mudan¸ca de vari´aveis em Integrais duplos. Coordenadas polares . 15

Referˆ

encias

[1] A. Breda e J. Costa,C´alculo com fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.

[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

[3] H. Bertolossi, C´alculo diferencial a v´arias vari´aveis. Edi¸c˜oes Loyola e editora PUC-Rio, S˜ao Paulo, Brasil, 2002.

[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973.

[5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, 1996.

1

Integrais m´

ultiplos

Partindo do pressuposto que o aluno de An´alise Matem´atica III tem como pr´e-requisitointegrais de fun¸c˜oes a uma vari´avel dadas nas cadeiras de An´alise Matem´atica precedentes, pressup˜oe-se que n˜ao haver´a dificuldade em entender a no¸c˜ao de Integrais duplos e Integrais triplos, a ser introduzidos nesta sec¸c˜ao. Entretanto, para isso, ser´a tamb´em importante alguns conceitos degeometria anal´ıtica a ser introduzidos a seguir.

1.1

Geometria anal´ıtica

1.1.1 Recta e plano

Equa¸c˜ao vectorial da recta

Considere um pontoA(x1, y1, z1) e um vector n˜ao nulo~v = (a, b, c). S´o existe uma recta

r que passa por A e tem a direc¸c˜ao de~v. Um ponto P(x, y, z) pertence a recta r se, e somente se, o vector −→AP ´e paralelo a~v, isto ´e,

r

− →_v

O

A

P

−→

AP =t~v (1) para algum real t.

De (1), vem

P ₋A=t~v _⇒ P =A+t~v (2) ou em coordenadas

(x, y, z) = (x1, y1, z1) +t(a, b, c) (3)

Qualquer uma das equa¸c˜oes (1),(2) ou (3) ´e denominada equa¸c˜ao vectorial der. O vector~v ´e chamadovector director da recta r et ´e denominado parˆametro.

A recta r que passa por (1,₋1,4) de direc¸c˜ao~v = (2,3,2) tem a seguinte equa¸c˜ao vectorial:

r: (x, y, z) = (1,₋1,4) +t(2,3,2)) onde (2,3,2) representa um ponto qualquer na recta.

Equa¸c˜oes param´etricas da recta

Da equa¸c˜ao vectorial da recta (x, y, z) = (x1, y1, z1) +t(a, b, c) ou (x, y, z) = (x1+at, y1+bt, z1+ct) ent˜ao obt´em-se

 



x = x1+at

y = y1+bt (4)

As equa¸c˜oes (4) s˜ao chamadas equa¸c˜oes param´etricas da recta.

A recta r que passa por (3,₋4,2) paralela ao vector~v = (2,1,₋3) tem as seguintes equa¸c˜oes param´etricas:

r :

 



x = 3 + 2t y = ₋4 +t z = 2₋3t.

Equa¸c˜ao geral do plano

Seja um ponto A(x1, y1, z3) pertencente a um plano γ e ~n = (a, b, c), ~n ₆= 0, vector normal (ortogonal) ao plano (ver Figura).

γ

A

P

− →_n

i

Sendo~n_⊥γ,~n´e ortogonal a todo vector representado emγ. Ent˜ao, um pontoP(x, y, z) pertence a γ se, e somente se, o vector −→AP ´e ortogonal a~n, isto ´e,

~n_·(P ₋A) = 0 ou (a, b, c)_·(x₋x1, y₋y1, z₋z1) = 0 ou

a(x₋x1) +b(y−y1) +c(z−z1) = 0

ou ainda,

ax+by+cz₋ax1₋by1 ₋cz1 = 0.

Fazendo,

d=₋ax1₋by1₋cz1,

obt´em-se

ax+by+cz+d= 0 (1)

A equa¸c˜ao (1) ´e a equa¸c˜ao geral do plano γ.

Equa¸c˜ao vectorial e param´etrica do plano

Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um planoγ e~u = (a1, b1, c1) e~v = (a2, b2, c2) dois vectores paralelos a γ, por´em~u e~v n˜ao-paralelos entre si.

− →_v

− →_u

t _{· −}→v

h _{· −}→u

Para todo o ponto P do plano, os vectores −→AP, ~u e ~v s˜ao coplanares. Um ponto

P(x, y, z) pertence a γ se, e somente se, existem os n´umeros reais h et tais que

P ₋A=h_·~u+t_·~v ou P =A+h_·~u+t_·~v

ou em coordenadas,

(x, y, z) = (x0, y0, z0) +h(a1, b1, c1) +t(a2, b2, c2), h, t_∈R (2)

Esta equa¸c˜ao ´e denominada equa¸c˜ao vectorial do plano γ. Da equa¸c˜ao (2) obt´em-se,

(x, y, z) = (x0 +a1h+a2t, y0+b1h+b2t, z0+c1h+c2t)

que, pela condi¸c˜ao de igualdade, vem

 



x = x0+a1h+a2t y = y0+b1h+b2t

z = z0+c1h+c2t, h, t_∈R.

Estas equa¸c˜oes s˜ao chamadasequa¸c˜oes param´etricas deγ eh ets˜ao vari´aveis auxiliares denominadasparˆametros.

Seja o plano ϕ que passa pelo ponto (2,2,₋1) paralelo aos vectores ~u = (2,₋3,1) e ~v = (₋1,5,₋3). Pretende-se obter a equa¸c˜ao vectorial, um sistema de equa¸c˜oes param´etricas e equa¸c˜ao geral do plano ϕ.

(a) Equa¸c˜ao vectorial: (x, y, z) = (2,2,₋1) +h(2,₋3,1) +t(₋1,5,₋3)

(b) Equa¸c˜oes param´etricas:

 



x = 2 + 2h₋t y = 2₋3h+ 5t z = ₋1 +h₋3t

1.1.2 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao

Superf´ıcie de revolu¸c˜ao´e a superf´ıcie gerada por uma curva plana (chamadageratriz) que gira 360o _{em torno de uma recta (chamada eixo) situada no plano da curva. Neste}

caso, o tra¸co da superf´ıcie num plano perpendicular ao eixo ´e uma circunferˆencia e a equa¸c˜ao da superf´ıcie de revolu¸c˜ao ´e obtida atrav´es da equa¸c˜ao de geratriz.

Uma esfera x2_+y2_+z2 _=r2 _{com r∈R}+_{, ´e uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao.}

1.1.3 C´onicas

Chama-sesec¸c˜ao c´onica ou simplesmentec´onica, ao conjuntos de pontos que formam a intersec¸c˜ao de um plano com a superf´ıcie c´onica.

Quando uma superf´ıcie c´onica ´e seccionada por um planoγ qualquer que n˜ao passa pelo v´ertice O, a c´onica ser´a:

1. uma par´abola, se γ for paralelo a uma geratriz da superf´ıcie.

3. uma hip´erbole, se γ n˜ao for paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superf´ıcie. A hip´erbole deve ser vista como uma s´o curva, constitu´ıda de dois ramos, um em cada folha de superf´ıcie.

Nota 1: Se a intersec¸c˜ao do plano com a superf´ıcie resultar em apenas em um ponto,

uma recta ouduas rectas,ent˜ao as c´onicas s˜aodegeneradas.

Defini¸c˜ao 1:

1. par´abola - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma recta fixa desse plano.

d(P, F) = d(P, P′)

e

P

d P1

P2

P3

P′

1 P2′ P3′ _P′

F

g

H

V

Equa¸c˜ao reduzida

2. elipse - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distˆancias a dois pontos fixos desse plano ´e constante.

d(P, F1) +d(P, F2) = 2a

F1 F2

P

Equa¸c˜oes reduzidas:

x2 a2 +

y2

b2 = 1 (i) x2 b2 +

y2

a2 = 1 (ii)

Onde o caso (i) se verifica quando o eixo maior est´a sobre o eixo dexe (ii) quando o eixo maior est´a cobre o eixo dey.

3. hip´erbole - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferen¸ca das distˆancias em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano ´e constante.

|d(P, F1)₋d(P, F2)_|= 2a

F1

P

2a F2

Equa¸c˜oes reduzidas:

x2 a2 −

y2

b2 = 1 (i) y2 b2 −

x2

a2 = 1 (ii)

1.1.4 Qu´adricas

A equa¸c˜ao geral do segundo grau nas trˆes vari´aveisx, y e z

ax2 +by2+cz2+ 2dxy+ 2exz+ 2f yz+mx+ny+pz+q= 0 (1)

onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f ´e diferente de zero (a fim de assegurar grau 2 para a equa¸c˜ao) representa uma superf´ıcie qu´adrica, ou simplesmente uma qu´adrica. A seguir estudar-se-´a as superf´ıcies qu´adricas denominadas elips´oides,

hiperbol´oides eparabol´oides. Elips´oides

O elips´oide da maneira mais geral ´e representado pela equa¸c˜ao

x2 a2 +

y2 b2 +

z2 c2 = 1

ondea, be crepresentam as medidas dos semi-eixos do elips´oide. S˜ao n´umeros reais positivos.

Se a =b =c, a equa¸c˜ao representa uma superf´ıcie esf´erica de centro (0,0,0) e raio a, isto ´e,

x2+y2+z2 =a2.

Hiperbol´oides

x2 a2 +

y2 b2 −

z2 c2 = 1

chamada forma can´onica do hiperbol´oide de uma folha ao longo do eixo Oz. As outras duas formas s˜ao

x2 a2 −

y2 b2 +

z2

c2 = 1 e − x2 a2 +

y2 b2 +

z2 c2 = 1,

e representam hiperbol´oide de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox, respectiva-mente.

(ii) Hiperbol´oide de duas folhas - Umhiperbol´oide de duas folhas da maneira mais geral ´e representado pela equa¸c˜ao

−x

2 a2 +

y2 b2 −

z2 c2 = 1,

chamadaforma can´onica do hiperbol´oide de duas folhas ao longo do eixo Oy. As outras duas formas s˜ao

x2 a2 −

y2 b2 −

z2

c2 = 1 e − x2 a2 −

y2 b2 +

z2 c2 = 1,

e representamhiperbol´oide de duas folhas ao longo dos eixos OxeOz, respectiva-mente.

Parabol´oides

z = x

2 a2 +

y2 b2,

chamada forma can´onica do parabol´oide el´ıptico ao longo do eixo Oz. As outras duas formas s˜ao

y= x2 a2 +

z2

c2 e x= y2 b2 +

z2 c2,

e representam parabol´oide el´ıptico ao longo dos eixos Oy eOx, respectivamente.

(ii) Parabol´oide hiperb´olico - Umparabol´oide hiperb´olico da maneira mais geral ´e repre-sentado pela equa¸c˜ao

z = x

2 a2 −

y2 b2,

chamadaforma can´onica doparabol´oide hiperb´olicoao longo do eixoOz. As outras duas formas s˜ao

y = z2 c2 −

x2

a2 e x= z2 c2 −

y2 b2,

e representamparabol´oide hiperb´olicoao longo dos eixosOyeOx, respectivamente.

1.2

Integrais duplos

As regi˜oes de integra¸c˜ao v˜ao ser agora subconjuntos deR2. Primeiramente considerar-se-´a regi˜oes de integra¸c˜ao rectangulares e depois considerar-considerar-se-´a regi˜oes mais gerais com fronteiras curvil´ıneos.

Defini¸c˜ao 2: Sejam a, b, c e d n´umeros reais tais que a < b e c < d. Considere o rectˆangulo

R=_{(x, y)_∈R2 :a < x < b, c < y < d_}

e as parti¸c˜oes dos intervalos [a, b] e [c, d], definidas respectivamente, por

P1 :a=x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn=b e P2 :c=y0 < y1 < . . . < ym−1 < ym =d,

onde n e m s˜ao n´umeros naturais arbitr´arios. Designa-se por Parti¸c˜ao do rectˆangulo _R

ao conjunto seguinte

Fig. 1: A Regi˜ao _R e a parti¸c˜ao _P, o s´olido _S e um dos s´olidos _Si.

Tal como se definiu anteriormente, a parti¸c˜ao _P do rectˆangulo _R determina mn sub-rectˆangulos de _R:

Rij ={(xi, yj)∈R2 :xi−1 ≤x≤xi, yj−1 ≤y≤yj},

cujas ´areas s˜ao dadas por _△xi△yj = (xi −xi−1)(yj −yj−1). A colec¸c˜ao destes

sub-rectˆangulos _Rij, de facto, constitui a parti¸c˜aoP.

Defini¸c˜ao 3: Sejaf uma fun¸c˜ao definida num rectˆangulo _{R ⊂}R2. Designa-se porsoma de Riemann da fun¸c˜aof no rectˆangulo _R `a express˜ao seguinte:

n,m X

i=0,j=0

f(x∗_ij)_△xi△yj ≡ m X

j=0

n X

i=0

f(x∗_ij)_△xi△yj ≡f(x∗00)△x0△y0+· · ·+f(x∗nm)△xn△ym,

ondex∗

ij representa os pontos seleccionados aleatoriamente nos sub-rectˆangulosRij

res-pectivos.

Para a no¸c˜ao de integral duplo, interessa que as parti¸c˜oes sejam muito finas.

Defini¸c˜ao 4: Sejam f uma fun¸c˜ao definida num rectˆangulo _{R ⊂}R2 e

P =_{(xi, yj)∈R : 0≤i≤n, 0≤j ≤m}

uma parti¸c˜ao arbitr´aria de _R. Diz-se que a fun¸c˜ao f ´e integr´avel (`a Riemann) no rectˆangulo _R, se existir o limite finito seguinte:

lim

|P|→0

m X

j=0

n X

i=0

f(x∗ij)△xi△yj. (1)

No caso o limite (1) existir, esse limite designa-se por integral da fun¸c˜ao e denota-se por

Z Z

R

f(x, y)dxdy ou

Z Z

R

f(x, y)dA

1.2.1 Integral iterado

A proposi¸c˜ao seguinte permitir´a calcular alguns integrais duplos usando integra¸c˜oes simples repetidas, ou seja, usando fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real.

Fig. 2: A ´area A(x) varia com x.

Proposi¸c˜ao 1: (Fubini) Sejaf uma fun¸c˜ao integr´avel num rectˆangulo

R=_{(x, y)_∈R2 :a < x < b, c < y < d_}, onde a < bec < d.

Suponha-se que R

f(x, y)dxexiste para qualquer y_∈[c, d], e queR

f(x, y)dyexiste para qualquer x_∈[a, b]. Ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dxdy =

Z d

c Z b

a

f(x, y)dx

dy =

Z b

a Z d

c

f(x, y)dy

dx. (2)

Os dois ´ultimos integrais de (2) designa-se por integrais repetidos ou iterados. Note-se que na aplica¸c˜ao do Teorema Fundamental do C´alculo Integral ao c´alculo do integral entre parˆentesis rectos, se primitiva a fun¸c˜aof em rela¸c˜ao `a vari´avel a´ı referida, fixando a outra como constante.

Nota 2: Em algumas situa¸c˜oes, por muitas raz˜oes, ´e manifestamente imposs´ıvel calcular relativamente a uma das vari´aveis. A mais frequente ´e a impossibilidade de determinar a primitiva da fun¸c˜ao dada em rela¸c˜ao a essa vari´avel. Nestas situa¸c˜oes, calcula-se o integral repetido apenas numa ordem de integra¸c˜ao poss´ıvel.

Exemplo 1: Determine

Z Z

R

e−x−ydxdy sobre o rectˆangulo _R= [0,1]_×[0,1].

Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.

Exemplo 2: Determine

Z Z

R

x2+y2dxdy sobre o rectˆangulo_R = [₋1,1]_×[₋1,1].

Exemplo 3: Determine

Z π

0

Z 2

0

ysinxdydx.

Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.

A proposi¸c˜ao anterior permite generalizar a integra¸c˜ao a qualquer dom´ınio limitado

D ⊂R2.

1. Tipo I - Sejam g1 e g2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num

intervalo [a, b] _⊂ R, com a < b, e tais que, para cada a _≤ x _≤ b e g1(x) _≤ g2(x). Considere ainda a fun¸c˜aof

D=_{(x, y)_∈R2 :a_≤x_≤b, g1(x)_≤y_≤g2(x)_}.

Ent˜ao

Z Z

D

f(x, y)dxdy =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f(x, y)dy

dx.

2. Tipo II - Sejam h1 e h2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num intervalo [c, d] _⊂R, com c < d, e tais que, para cada c_≤ y _≤ d e h1(y) _≤ h2(y). Considere ainda a fun¸c˜aof

D=_{(x, y)_∈R2 :c_≤y_≤d, h1(y)_≤x_≤h2(y)_}.

Ent˜ao

Z Z

D

f(x, y)dxdy =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f(x, y)dx

dy.

Exemplo 4: Pretende-se determinar a regi˜ao _D limitada pela recta x+y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante.

A regi˜ao _D=_{(x, y)_∈R2 : 0_≤y_≤2, 0_≤x_≤2₋y_} ou

1 2 1

2

0

x= 2₋y

Corol´ario 1: Considere duas fun¸c˜oes integr´aveis sobre o rectˆangulo_D e sejak uma cons-tante. Ent˜ao f+g e kf s˜ao integr´aveis, e:

(i) Linearidade

Z Z

R

f(x, y) +g(x, y)

dA=

Z Z

R

f(x, y)dA+

Z Z

R

g(x, y)dA.

(ii) Homogeneidade

Z Z

R

kf(x, y)dA =k

Z Z

R

f(x, y)dA

(iii) Monotonicidade

Sef(x, y)_≥g(x, y), ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dA_≥

Z Z

R

g(x, y)

(iv) Aditividade

Se _Ri, (com i= 1, . . . , m) grupos de rectˆangulos disjuntos tal que f ´e limitado e

integr´avel sobre cada _Ri e se Q = R1∪ R2∪. . .∪ Rm for um rectˆangulo, ent˜ao

f :_{Q →}R´e integr´avel sobre _Qe

Z Z

Q

f(x, y)dA =

m X

i=1

Z Z

Ri

f(x, y)dA.

(v) M´odulo

Z Z R

f(x, y)dA

≤ Z Z R|

f(x, y)_|dA.

1.2.2 Integrais duplos e ´Areas

A ´area de uma regi˜ao plana fechada e limitada _R´e dada por

Area_R =

Z Z

R

dxdy.

1.2.3 Integrais duplos e Volumes

Suponha-se que um plano intersecta um s´olido onde forma uma sec¸c˜ao de ´area no plano de referˆencia Px. Ent˜ao o volume do s´olido ´e dado por

volume =

Z b

a

A(x)dx=

Z b

a Z d

c

f(x, y)dy

dx, com A(x) =

Z d

c

f(x, y)dy,

onde a e b s˜ao as distˆancias m´ınima e m´axima do plano de referˆencia.

Exemplo 6: Determine o volume sob o plano z = 8x+ 6y sobre a regi˜ao _R = _{(x, y) : 0_≤x_≤1, 0_≤y_≤2x2_}.

1 2 1

2

0

y= 2x2

Resolu¸c˜ao: A regi˜ao _R ´e representada na figura. Usando a tira vertical, fica: V =

Z Z

R

(8x+ 6y)dA =

Z 1

0

Z 2x2

0

(8x+y)dy

dx =

Z 1

0

Z 2x2

0

8xy+ 3y2

y=2x2

y=0 dx = Z 1 0

(16x3+ 12x4)dx= (4x4 +12 5 x 5₎ 1 0

= 4 + 12

5 =

32 5 .

Pode-se usar a tira horizontal para determinar o mesmo volume. Agora temos uma nova figura:

1 1

2

0

x=p

y/2

V =

Z Z

R

(8x+ 6y)dA=

Z 2

0

Z 1

√

y/2

(8x+y)dx

dy = Z 2 √ 0

4x2+ 6xy

1 √ y/2 dy = Z 2 0

(4 + 6y₋(2y+_√6 2y

√_{y))dy =}Z 2

0

(4 + 4y₋3√2y3/2_{) = 4y+ 2y}2₋ 6

√

2

5 y

5/2

2 0

= 8 + 8₋ 6√2₅√2 = 32₅ .

1.2.4 Mudan¸ca de vari´aveis. Coordenadas polares

1.2.5 Coordenadas polares

P

eixo polar r

O

θ

Sendor=_||OP_||, comP ₆= 0, tem-ser >0. Impondo que₋π_≤θ _≤πo par (r, θ) assim definido ´e ´unico e representa o ponto P. Diz-se que (r, θ) s˜ao ascoordenadas polares de

P ₆= 0. Todo o par da forma (0, θ), com θ _∈ [₋π, π] ´e uma representa¸c˜ao do p´olo O. Assim, a representa¸c˜ao ´e ´unica para todos os pontos em coordenadas polares. Se um pontoP do plano tem coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), ent˜ao

x=rcosθ y=rsinθ

1.2.6 Mudan¸ca de vari´aveis em Integrais duplos. Coordenadas polares

Considere a fun¸c˜ao integr´avelf em coordenadas cartesianas (x, y). Considere ainda a fun¸c˜ao cont´ınua, portanto, integr´avel g em coordenadas polares (r, θ) definida a par-tir de f, ou seja, g(r, θ) = rf(rcosθ, rsinθ). Assim, considerando que a fun¸c˜ao g ´e diferenci´avel em [a, b]_×[α, β], conclui-se que

Z Z

R

f(x, y)dxdy=

Z Z

[a,b]×[α,β]

g(r, θ)drdθ =

=

Z Z

[a,b]×[α,β]

f(rcosθ, rsinθ)_·r_·drdθ

=

Z b

a Z β

α

r_·f(rcosθ, rsinθ)dθ

dr = Z β α Z b a

r_·f(rcosθ, rsinθ)dr

dθ

Pode-se tamb´em fazer mudan¸ca de coordenadas cartesianas para coordenadas polares no caso da regi˜ao de integra¸c˜ao ser uma regi˜ao polar de Tipo I ou de Tipo II.

Proposi¸c˜ao 2:

1. Tipo I - Sejam_R=_{(r, θ) :α_≤θ _≤β e h1(θ)_≤r _≤h2(θ)_} uma regi˜ao polar do

Tipo I e f uma fun¸c˜ao cont´ınua em _R. Ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dxdy=

Z β

α

Z h2(θ)

h1(θ)

rf(rcosθ, rsinθ)dr

dθ.

2. Tipo II- Sejam _R=_{(r, θ) :a_≤r_≤b e g1(r)_≤θ _≤g2(r)_}uma regi˜ao polar do

Tipo II ef uma fun¸c˜ao cont´ınua em_R. Ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dxdy =

Z b

a

Z g2(r)

g1(r)

rf(rcosθ, rsinθ)dθ

Exemplo 7:

1. Calcular o volume do s´olido _S limitado superiormente pela superf´ıcie de equa¸c˜ao

z =x2_+y2 _{e inferiormente pela regi˜ao}

{(x, y)_∈R2 : 1_≤x2+y2 _≤4e x_≥0_}.

Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.

2. Determine o integral

Z Z

R

ex2+y2dydx

usando a coordenada polar onde _R ´e a regi˜ao do semic´ırculo limitada pelo eixo coordenado 0x e a curvay=√1₋x2_.