Algebra Linear I ´
Anna Regina Cˆ orbo
DEMAT - CEFET/RJ
Aula Te´ orica 1 - Vetores
Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica ´
O objetivo ´ e estudar Geometria pelo m´ etodo cartesiano (atribu´ıdo a Ren´ e Descartes, no s´ eculo XVI) que consiste em associar equa¸c˜ oes aos entes geom´ etricos, e atrav´ es do estudo destas equa¸c˜ oes (consequentemente, o aux´ılio da ´ Algebra) tirar conclus˜ oes geom´ etricas.
Neste curso estudaremos: Vetores, Retas, Planos, Matrizes e Sistemas Lineares.
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Vetores
Grandezas Escalares: n´ umeros.
Exemplo: 50m
2de ´ area, 7kg de massa.
Grandezas Vetoriais: determinadas por uma dire¸ c˜ ao, intensidade (m´ odulo) e sentido.
Exemplo: for¸ ca, velocidade.
Vetores de mesma dire¸c˜ ao
S˜ ao vetores paralelos!
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Vetores de mesma intensidade
S˜ ao vetores de mesmo tamanho!
Vetores de mesmo sentido
Seguem com a mesma orienta¸ c˜ ao!
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Segmento orientado
´ E um par ordenado de pontos (A,B) no espa¸ co.
Um segmento orientado (A, A) ´ e dito um segmento orientado nulo.
Se A 6= B ent˜ ao (A,B) ´ e diferente de (B,A).
Vetores
´ E o conjunto de todos os segmentos orientados que possuem mesma dire¸c˜ ao, intensidade e sentido (ou ainda, equipolentes).
Seja (A,B) um segmento orientado: seu vetor associado ´ e −→
AB.
Na pr´ atica, um vetor − →
u ´ e uma flecha que representa qualquer segmento orientado no espa¸co de mesma dire¸ c˜ ao, sentido e intensidade (mesmo que em lugares diferentes...)
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Vetores
Vetor Nulo: E o vetor que tem como representante um ´ segmento orientado nulo. (Nota¸ c˜ ao − →
0 ) Vetor Oposto: Dado um vetor
−
→ v ≡ −→
AB o vetor oposto ser´ a o vetor:
−− → v ≡ − −→
AB ≡ −→
BA
Norma de um vetor
Norma de um vetor ´ e o comprimento de qualquer um de seus representantes.
Tamb´ em chamado de M´ odulo ou Comprimento Nota¸c˜ ao: k − →
v k ou | − → v |
Um vetor ´ e dito unit´ ario se sua norma ´ e 1.
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Norma de um vetor
Norma de um vetor
| −→
AB |= d
d
2= AR
2+ BR
2= ⇒ d
2= (x
2− x
1)
2+ (y
2− y
2)
2d = p
(x
2− x
1)
2+ (y
2− y
2)
2´
Opera¸c˜ oes com vetores
Soma
SOMA −→
AB + −→
BC ≡ −→
AC
Opera¸c˜ oes com vetores
Diferen¸ca
DIFERENC ¸ A
−
→ u − − → v = − → u + (−− → v )
´
Opera¸c˜ oes com vetores
Multiplica¸c˜ao de um vetor por um n´umero realk
Se − → u ´ e um vetor e k ´ e um n´ umero real ent˜ ao podemos ter o vetor k · − → u com as seguintes configura¸ c˜ oes:
Se 0 < k < 1: Contra¸c˜ ao do vetor Se k > 1: Dilata¸c˜ ao do vetor
Se −1 < k < 0: Mudan¸ca de sentido com contra¸ c˜ ao
Se k < −1: Mudan¸ ca de sentido com dilata¸ c˜ ao
Paralelismo entre vetores
Dois vetores − → u e − → v s˜ ao paralelos se − → u = k · − → v , onde k ´ e um n´ umero real.
Uma outra condi¸ c˜ ao de paralelismo no R
2´ e dado pelo Teorema abaixo:
Teorema
Se − → u = (a, b) e − → v = (c , d ) s˜ ao paralelos se det
a b c d
= 0.
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Exerc´ıcios:
1
Determine o valor de m, sabendo que o vetor − → u = 2
3 , m
´ e unit´ ario.
2
Calcule o valor de x para que os vetores − → u = (4, x + 3) e
−
→ v = (−5, 2) sejam paralelos.
Produto Escalar entre dois vetores
ou Produto Interno
Considere dois vetores em R
ndados por:
−
→ u = (u
1, u
2, · · · , u
n)
−
→ v = (v
1, v
2, · · · , v
n) O produto escalar entre os vetores ´ e dado por:
< u, v >= u
1· v
1+ u
2· v
2+ · · · + u
n· v
nExemplo:
Calcule o produto escalar entre − → u = (−2, 6, 1) e − → v = (1, −3, −1).
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Produto Escalar entre dois vetores
Propriedades
O produto escalar ´ e:
1
Comutativo: < u, v >=< v, u >
2
Distributivo: < u, v + w >=< u, v > + < u, w >
3
**< u, u >=k u k
24
< k · u, v >= k· < u, v > e < u, k · v >= k· < u, v >
Resultados com Produto Escalar
Vetores Perpendiculares
−
→ u ⊥ − → v ent˜ ao < u, v >= 0 Angulo ˆ θ entre vetores
< u, v >=k − → u k · k − → v k · cos θ
Exerc´ıcio:
Mostre que se os vetores s˜ ao perpendiculares, o produto escalar ´ e nulo utilizando a express˜ ao do ˆ angulo entre vetores.
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