1.2 Espa¸ co Amostral

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: Estat´ıstica

Prof. Anna Regina Corbo

CAP´ ITULO 2: Teoria da Probabilidade

E a base te´´ orica para an´alise de fenˆomenos aos quais est´a associada alguma forma de incerteza.

O estudo de probabilidades parte de experiˆencias aleat´orias, cujo resultado n˜ao pode ser conhecido antes que a experiˆencia seja realizada. Ou seja, as experiˆencias aleat´orias podem ser repetidas infinitamente sem previs˜ao de resultado.

1 Conceitos B´ asicos de Probabilidade

1.1 Experimentos Aleat´ orio

1. Jogar uma moeda 3 vezes e verificar o n´umero de caras;

2. Jogar um dado e verificar o n´umero na face superior;

3. N´umero de mortos em SP num fim-de-semana;

4. Temperatura di´aria no RJ.

1.2 Espa¸ co Amostral

E o conjunto´ S de todos os resultados poss´ıveis de uma experiˆencia aleat´oria.

1. Jogar uma moeda 3 vezes.

S ={HHH, HHT, HT H, T HH, HT T, T HT, T T H, T T T}, onde H head (cara) e T tail (coroa).

2. Jogar um dado.

S ={1,2,3,4,5,6}

3. N´umero de mortos em SP.

S ={0,1,2,3,4,5,· · · ,∞}

4. Temperatura no RJ.

1.3 Evento

E qualquer subconjunto´ A do espa¸co amostral S. Diremos que um evento ocorreu se o resultado da experiˆencia aleat´oria ´e um elemento de A.

1. Jogar uma moeda 3 vezes.

A= Pelo menos 2 caras(H) A={HHH, HHT, HT H, T HH}

2. Jogar um dado.

A= n´umero da face maior que 2⇒ A={3,4,5,6}

B = n´umero na face ´e par ⇒ B ={2,4,6}

Frequˆencia Relativa

A frequˆencia relativa do evento A´e definida por:

f_A = nA

N

onde n_A indica o n´umero de ocorrˆencias do evento A em N realiza¸c˜oes do experimento aleat´orio.

1.4 Combina¸ c˜ ao de Eventos (conjuntos)

SejamAeB dois eventos do espa¸co amostralSque possui elementosw_i. Ent˜ao, as seguintes opera¸c˜oes est˜ao bem-definidas:

a) Uni˜ao de Eventos:

A∪B ={w_i ∈S|w_i ∈A ouw_i ∈B}

b) Interse¸c˜ao de Eventos:

A∩B ={w_i ∈S|w_i ∈A e w_i ∈B}

c) Diferen¸ca de Eventos:

A−B ={w_i ∈S|w_i ∈A e w_i 6∈B}

d) Complementar de um Evento:

A^c ou ¯A={w_i ∈S|w_i 6∈A}

e) Eventos mutuamente exclusivos:

Dois eventosAeB s˜ao mutuamente exclusivos seA∩B =∅, isto ´e, seAocorreu certamente B n˜ao ocorreu.

Exemplo: Uma urna cont´em 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha ´e escolhida e seu n´umero ´e observado. Seja S={1,2,3,· · · ,10}. Descreva os eventos abaixo:

a) o n´umero obtido ´e par b) o n´umero obtido ´e ´ımpar c) o n´umero obtido ´e primo d) o n´umero obtido ´e maior que 6 e) o n´umero ´e m´ultiplo de 2 e de 5 f) o n´umero ´e m´ultiplo de 3 ou 8

g) o n´umero obtido n˜ao ´e m´ultiplo de 6

2 Probabilidade: Defini¸ c˜ ao e Propriedades

Consideremos um espa¸co amostral finitoS ={A₁, A₂,· · · , A_k}. Para cada eventoA_i, vamos associar um n´umero real P(A_i) ou p_i, chamado de probabilidade do evento A_i.

A fun¸c˜ao probabilidade que atua sobre o espa¸co amostral S satisfaz aos axiomas:

(i) 06P(A)61, para todo A∈S.

(ii) P(S) = 1, o chamado “evento certo”.

(iii) P(A₁∪A₂∪ · · ·) =P(A₁) +P(A₂) +· · ·, onde A_j s˜ao eventos mutuamente exclusivos.

2.1 Propriedades da Fun¸ c˜ ao Probabilidade

1. P(∅) = 0

2. P( ¯A) = 1−P(A) 3. P(A)6P(S)

4. Para qualquer A₁, A₂ onde A₁ ⊂A₂ temos que P(A)6P(A₂) 5. P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B)

frequˆencia relativay probabilidade n→ ∞

quando n´umero de experimentos ´e alto

Exemplo: Uma urna cont´em 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Uma bolinha ´e escolhida e seu n´umero ´e observado. Admitindo probabilidades iguais a ₁₀₀¹ para todos os eventos elementares, qual a probabilidade de:

a) Observarmos um m´ultiplo de 6 e de 8 simultaneamente?

b) Observarmos um m´ultiplo de 6 ou de 8?

c) Observarmos um n´umero n˜ao-m´ultiplo de 5?

2.2 Espa¸ cos Amostrais Equiprov´ aveis

Dizemos que uma distribui¸c˜ao de probabilidade sobre S ´e equiprov´avel se P(A₁) = P(A₂) = · · · = P(A_k), isto ´e, todos os eventos A₁, A₂,· · · , A_k de S tem a mesma probabilidade de acontecer.

Neste caso, a probabilidade de um evento A_i acontecer ´e dada por:

P(Ai) = #A_i

#S

onde #A_i indica o n´umero de resultados poss´ıveis que comp˜oem o eventoA_i dentro de todos os eventos de S.

Exemplo 1: De 300 estudantes de engenharia, 100 est˜ao matriculados em C´alculo e 80 em Estat´ıstica. Estes dados incluem 30 estudantes que est˜ao matriculados em ambas as disciplinas. Qual ´e a probabilidade de que um estudante aleatoriamente escolhido esteja matriculado em C´alculo ou em Estat´ıstica?

M´etodos de Contagem

1. Princ´ıpio da Multiplica¸c˜ao:

Se uma experiˆencia aleat´oria tem m resultados poss´ıveis e outra tem n resultados poss´ıveis ent˜ao existemm×n resultados para as duas experiˆencias.

Ex.: Lan¸car um moeda 3 vezes

1^a exp. 2^a exp. 3^a exp.

2 possibilidades × 2 possibilidades× 2 possibilidades = 8 resultados poss´ıveis.

2. T´ecnicas de An´alise Combinat´oria:

a) Permuta¸c˜ao: de quantas formas podemos ordenar n objetos?

P_n=n!

b) Arranjo: Considere n objetos, escolhemos p objetos onde p 6 n. Quantas s˜ao as escolhas poss´ıveis se a ordem ´E importante?

A^p_n= n!

(n−p)!

c) Combina¸c˜ao: Considere n objetos. Escolhemosp objetos onde p6n. Quantas s˜ao as escolhas poss´ıveis se a ordem N ˜AO ´E importante?

C^p = n!

=

n

Exemplo 3: De um lote de 200 pe¸cas, sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 pe¸cas s˜ao sele- cionadas ao acaso, sem reposi¸c˜ao. Qual a probabilidade de:

a) as 10 pe¸cas serem boas?

b) as 10 pe¸cas serem defeituosas?

c) 5 pe¸cas serem boas e 5 serem defeituosas?

3 Probabilidade Condicional

Como ser´a que a probabilidade de um evento ir´a mudar ap´os sabermos que outro evento ocorreu?

A probabilidade condicional ´e uma probabilidade calculada n˜ao mais a partir do espa¸co amostral S, e sim a partir de um subconjunto de S.

Seja S espa¸co amostral e dois eventos A e B. Com o s´ımbolo P(A|B) indicamos a probabilidade condicional do evento A, uma vez que B tenha ocorrido.

Exemplo 1: S = 100 pessoas onde 40 com diploma, 20 microempres´arios e 10 ambos.

Eventos:

D: pessoas com diploma M: ser microempres´ario P(D) = #D

#S = 40 100 P(M) = #M

#S = 20 100 P(D∩M) = #D∩M

#S = 10

100 Probabilidade Condicional:

P(M|D) = #D∩M

#D = 10

40 P(D|M) = #D∩M

#M = 10

20 Note que P(M|D)6=P(D|M)X

Exemplo 2: Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas de acordo com a tabela:

Solteiro Casado Divorciado Vi´uvo Total

Masculino 50 60 40 30 180

Feminino 150 40 10 20 220

Total 200 100 50 50 400

Sejam os eventos:

S: ser solteiro

M: ser do sexo masculino

a) Qual a probabilidade de uma pessoa ser solteira, dado que ´e do sexo masculino?

b) Qual a probabilidade de uma pessoa ser do sexo feminino, dado que ´e divor- ciada?

Formalmente, temos:

P(A|B) = #(A∩B)

#B =

#(A∩B)

#S

#B

#S

= P(A∩B) P(B) Ou seja,

P(A|B) = P(A∩B)

P(B) , onde P(B)>0.

Consequˆencia: Teorema da Multiplica¸c˜ao

P(A∩B) =P(B)·P(A|B)

4 Parti¸ c˜ ao do Espa¸ co Amostral

Os eventos B₁, B₂, B₃,· · · , B_k formam uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral se:

1. B_i∩B_j =∅ 2. S

B_i =S

3. P(B_i)>0, para todo i

SejaAum evento cuja interse¸c˜ao com qualquer elemento da parti¸c˜ao do espa¸co amostral S ´e n˜ao-vazia, conforme o esquema acima. Deste modo, temos:

P(A) =P(A|B₁)·P(B₁) +P(A|B₂)·P(B₂) +· · ·+P(A|B₅)·P(B₅)

Consequˆencia: Teorema da Probabilidade Total

Seja B₁, B₂,· · · , B_k uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral S e A um evento qualquer de S.

Ent˜ao:

P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) +P(A|B₂)·P(B₂) +· · ·+P(A|B_k)·P(B_k) Ou seja,

P(A) =

k

X

i=1

P(A|B_k)·P(B_k)

Teorema da Bayes

a) Forma Simples: Sejam dois eventos A eB de um espa¸co amostralS.

P(B|A) = P(A|B)·P(B) P(A)

b) Forma Geral: SejaB₁, B₂,· · · , B_k uma parti¸c˜ao do espa¸co amostral S e A um evento.

P(B_i|A) = P(A|B_i)·P(B_i) Pk

j=1P(A|B_j)·P(B_j)

Exemplo 1: Cidade em que 40% s˜ao homens e 60% s˜ao mulheres. Al´em disso, 50% dos homens fumam e 30% das mulheres fumam. Qual a probabilidade de ser homem dado que ´e fumante?

Exemplo 2: Empregados de uma empresa:

40% economistas 30% engenheiros 30% administradores

O percentual de cada grupo exercendo cargo gerencial ´e:

30% dos economistas 40% dos engenheiros 10% dos administradores

Seleciona-se um empregado aleatoriamente.

a) Qual a probabilidade de ser gerente?

b) Qual a probabilidade de ser economista dado que ´e gerente?

5 Independˆ encia de eventos

5.1 Independˆ encia de dois eventos

Dois eventos A e B s˜ao ditos independentes se:

P(A∩B) = P(A)·P(B) Neste caso, se A independe deB ent˜ao

P(B|A) = P(A∩B)

P(A) = P(A)·P(B)

P(A) =P(B) Logo,

P(B|A) =P(B) P(B|A) =P(B)

5.2 Independˆ encia de trˆ es ou mais eventos

Sejam A, B, C eventos independentes do espa¸co amostral S.

P(A∩B∩C) =P(A)·P(B)·P(C)

Generalizando, seA₁, A₂,· · ·, A_k s˜aok eventos independentes de S, ent˜ao P(A1∩A2∩ · · · ∩Ak) = P(A1)·P(A2)· · · · ·P(Ak)

Exemplo: A probabilidade de um certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de uma certa data, ´e 0,4 e de que sua esposa sobreviva mais de 10 anos a partir da mesma data ´e 0,5. Qual a probabilidade de:

a) ambos sobreviverem mais de 10 anos a partir daquela data?

b) ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data?